2026年广东省广州市真光中学第11周数学九年级综合训练一

**基本信息** 初三数学综合训练，以几何直观、空间观念为核心，通过古代数学问题、生活情境（如天幕搭建）和动态几何题，考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|三视图、正方体展开图、统计量|三角尺摆放（第4题）考查平行线性质| |填空题|6/18|反比例函数、圆的切线、旋转|动态旋转（第16题）考查空间观念| |解答题|9/52|几何作图、统计概率、二次函数、菱形动态|古代数学（第8题）传承文化，天幕搭建（第23题）应用三角函数，菱形对称探究（第25题）提升创新意识|

广州市真光中学第11周数学初三综合训练一 一、单选题（每小题3分，共计30分） 1．如图是一个由5个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 2．在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（   ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精 3．如图是正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，与“心”字相对的字是（    ） A．数 B．学 C．素 D．养 4．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 5．某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（   ） A．中位数是12 B．中位数是75 C．众数是21 D．众数是85 第3题图 第4题图 第5题图 6．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D．2 9．如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧， 与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心， 大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与 相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 10．已知二次函数的图象与轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 二、填空题（每小题3分，共计18分） 11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12．将点向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点，则点的坐标为______． 13．分解因式：_______． 14．如图，为的弦，，为的切线，且，点C为劣弧上一动点（点C与点A，B不重合），则的度数为________． 15．如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数是________ （结果精确到，参考数据，，） 16．如图，点P为的边上一动点（点P与点B，C不重合），，，与关于边成轴对称，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接． （1）若，则的度数为________； （2）点P在运动的过程中，的最小值为________ 第14题图 第15题图 第16题图 三、解答题 17．（4分）解方程： 18．（4分）已知： 如图，，，． 求证： 19．（6分）求代数式的值，其中， 20．（6分）如图，是矩形的对角线，，． (1)尺规作图：作的中垂线l，垂足为O，l与相交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求线段的长． 21．（8分）为提高学生的科创意识，某校准备开设C语言编程、无人机飞行训练、科创小论文、科幻画创作4门课外活动课程，每个学生有且只能选择一门课程参加．为筹备此项活动课程，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下统计表和扇形统计图． 意愿参加课程人数统计表 课程 C语言编程 无人机飞行训练 科创小论文 科幻画创作 人数 10 8 15 (1)抽取的学生共有______人，其中意愿参加无人机飞行训练的有______人； (2)若该校有800人，估计全校参加科幻画创作的学生有多少人？ (3)某班有2名男生2名女生参加C语言编程课程，现从这4人中随机抽取2名学生给老师当助手，请用树状图或者列表法说明恰好抽到一名男生一名女生的概率. 22．（10分）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植4亩甲作物和3亩乙作物需要34名学生，种植3亩甲作物和3亩乙作物需要27名学生．根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共12亩，所需学生人数不超过65人，至多种植甲作物多少亩？ 23．（10分）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，m，m． (1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到0.1m）； (2)下雨时收拢“天幕”，从65°减少到45°，求点下降的高度（结果精确到0.1m）． （参考数据：，，，） 24．（12分）在平面直角坐标系中，点为抛物线（a，b为常数且）上一点，抛物线G与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)用含a的代数式表示b； (2)若，求a的值； (3)连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段（点D为点A的对应点），若线段与抛物线G有交点，求a的取值范围． 25．（12分）如图，在菱形中，，，点为边上一个动点（不与点、重合），边关于对称的线段为，连接． (1)当平分时，求的度数为______； (2)延长，交射线于点，当时，求的长； (3)在（1）的条件下，连接交于点，作交的延长线于点，连接．试探究是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 广州市真光中学第11周数学初三综合训练一 参考答案 一、选择题（每小题3分，共计30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B D D D A B A 1．A 解：由图得，该图的主视图为 故选：A． 2．D 解：由表格可知，固态氢的熔点为，固态氧的熔点为，固态氮的熔点为，固态酒精的熔点为， ∵， ∴熔点最高的是固态酒精． 故选：D． 3．B 解：由正方体的展开图的特点可知，“数”与“素”相对，“学”与“心”相对，“核”与“养”相对， ∴与“心”字相对的字是“学”． 故选：B． 4．B 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 5．D 解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，而，故中位数是；故只有选项D正确； 故选：D． 6．D 解：A． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，但选项结果为，错误． B． 积的乘方需将每个因式分别乘方，且负数的奇数次方为负数，故，但选项结果为，错误． C． 二次根式相减不能直接合并为被开方数相减．例如，时，，而，错误． D． 同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变，故，正确． 综上，正确答案为D． 故选：D． 7．D 解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 8．A 解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 9．B 解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 10． A 解：∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴，即， ∵图象过和两点且两点的函数值相同， ∴， ∴，， ∴， 代入得：， ∴， ∴当时，有最小值． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共计18分） 11． 解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12． 解：将点向右平移3个单位，横坐标增加3，变为；再向上平移2个单位，纵坐标增加2，变为． 因此点的坐标为． 故答案为：． 13． 解： ， 故答案为：． 14． 解：如图，连接、， ， ∵，为的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在优弧取一点，连接、，则， ∵四边形为的内接四边形， ∴． 15． 解：取尺子O点正上方的点为D，如图所示， ∵， ∴ ∴为等腰直角三角形，且，， 在中， ， 即， ， 点C在尺上的读数约为， 故答案为：． 16． /30度 解：（1）在中，，， ∴， ∴， ∵将线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴， ∴； （2）∵与关于边成轴对称， ∴，，， 如图，作，交的延长线于点， 则， ∵将线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，的值最小，为． 三．解答题 17．（4分）解：方程两边同乘，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 原方程的解为． 18．（4分）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19．(6分）解： ， ∵， ∴原式． 20．（6分）（1）解：如图； （2）连接，如图， 为的中垂线， ， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，， ， ， ． 21．（8分）（1）解：（人） （人） 故答案为：，． （2）解：（人） 答：全校参加科幻画创作的学生有人． （3）解：画树状图如下： ∴． 答：恰好抽到一名男生一名女生的概率． 22．（10分）（1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生， 根据题意，得， 解得， 答：种植1亩甲作物需要7名学生，种植1亩乙作物需要2名学生； （2）解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得：， 解得， ∵种植1亩甲作物需要7名学生， ∴种植甲作物的亩数是整数， ∴a的最大值为． 答：至多种植甲作物亩． 23．（10分）（1）解：由题意得：是轴对称图形， ， ，， ， ， 答：遮阳宽度约为． （2）解：如图，设点下降到点，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ， ，即， 当时，， 当时，， 则， 答：点下降的高度约为． 24．（12分）（1）解：∵点为抛物线（a，b为常数且）上一点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴抛物线G的解析式为， 在中，当时，，则， ∴， 当时，则，即， ∵， ∴或， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知， 当时，则， ∴此时点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上， 由旋转的性质可得， ∴点D在y轴的正半轴上，点E在x轴的正半轴上； 如图1所示，当点C在点D下方时，则，解得， 此时线段与抛物线G一定有交点，故符合题意； 当点C与点D重合时，则，解得， 此时线段与抛物线G一定有交点，故符合题意； 如图2所示，当点C在点D上方，且点E在点B左侧时，则， ∴， 此时线段与抛物线G一定没有交点； 当点C在点D上方，且点E与点B重合时，则，解得， 此时线段与抛物线一定有交点，故符合题意； 如图3所示，当点C在点D上方，且点E在点B右侧时，则， ∴， 此时线段与抛物线G一定有交点，故符合题意； ∴当或时，线段与抛物线G一定有交点； 当时，则， ∴此时点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上， 由旋转的性质可得， ∴点D在y轴的正半轴上，点E在x轴的负半轴上； 如图4所示，当点E在点A右侧时，则，解得， ∴当时，线段与抛物线G一定没有交点； 当点E与点A重合时，则，解得， 此时线段与抛物线G一定有交点，故符合题意； 如图5所示，当点E在点A左侧时，则，解得， 此时线段与抛物线G一定有交点，故符合题意； ∴当时，线段与抛物线G一定有交点； 综上所述，或-或． 25．（12分）（1）解：由轴对称的性质可知，， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，设， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， 在中，，， ∴， 由勾股定理可得，， 由轴对称的性质可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图，取的中点，连接， 由（1）可知，， ∴，， ∵由关于对称得到， ∴垂直平分， ∴点为的中点，，， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴、、、四点共圆， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为定值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $广州市真光中学岭南校区 ▣▣ 第11周数学练习答卷 考号 姓名： 班级： 一、 选择题(30分) 1A▣B□CD]3 ABCD☑5 ABCD☑7 ABCD]9 ABCD 2 ABCD4 ABCD6 ABCD8AOB☐CID10AB□CID 二、 填空题(18分) 11 12」 13」 14 15. 16 三、解答题(72分) 23 17.(4分)解方程：二 xx+1 18.(4分) B E 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ■ 第1页（共4页） ■ 19.(6分) 20.(6分) 21.(8分)(1) 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第2页（共4页） 请使用2B铅笔填涂选择题答案选项及考号 23.(10分) a D E 6 B 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ■ 第3页（共4页） ■ 25.(12分) B 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 第4页（共4页）