提分小卷限时练01（解答ABC三组，综合训练）（广州专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

提分小卷：解答题 限时训练01（A组+B组+C组） （考试时间：70分钟 试卷满分：72分） 解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（4分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 2．（4分）如图，，过点作，垂足为，在边上，，．求证：． 3．（6分）先化简再求值：，其中，为的整数部分． 4．（6分）某班为了从甲、乙两位同学中选出一位代表参加学校的投篮比赛，对甲、乙两人进行了5次投篮试投比赛，试投时每人每次投球10个．两人5次试投的成绩折线统计图如图所示． (1)求甲、乙两名同学投篮的平均成绩； (2)甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定？请说明理由； (3)学校投篮比赛的规则是每人投球10个，记录进球的个数．由往届投篮比赛的结果推测，投进8个球即可获奖，但要取得冠军需要投进10个球．请你根据以上信息，从甲、乙两名同学中推荐一名同学参加学校的投篮比赛，并说明推荐的理由． 5．（8分）综合与实践 【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． 【实验观察】（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间x（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； 【探索发现】（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式； 【结论应用】（3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？ 6．（10分）实践课上，老师出示了两个长方形，如图1，长方形的两边长分别为，；如图2，长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数） 请解答下列问题： (1)图1中长方形的面积_______；图2中长方形的面积_______； (2)比较与的大小； (3)现有一面积为25的正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．求的值． 7．（10分）综合与实践 【主题】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学王老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究． 【探究发现】如图1，在中，，． （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接DE，DB，设，，求的值（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现，顶角的等腰三角形的底与腰的比值为，这个比值被称为黄金比，请在（1）的条件下证明： 【拓展应用】（3）当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，，请直接写出这个菱形较长的对角线长． 8．（12分）综合与实践 【实验目的】探究竖直上抛运动中，抛出的第一个小球在后面小球相遇时经历的时间规律． 【实验原理】竖直上抛运动中，小球的速度（米/秒）与运动时间（秒）的关系式为，小球距离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式为，其中，是常数，代表小球抛出时的初速度，的值取米/秒； 【实验过程】将小球从抛出点以恒定的初速度竖直上抛，每隔秒抛出一球．（空气阻力忽略不计，小球在上升与下降过程中相遇时不互相碰撞） 【实验数据】第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象是顶点为，经过原点的抛物线（如图所示）． 【实验任务】 (1)求出第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式，并写出小球抛出时的初速度的值； (2)①请在图中坐标系中画出第二个与第三个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象； ②从第一个小球抛出到第一个小球落回抛出点之间最多能抛出几个小球（包含第一个小球）？请通过计算加以说明； (3)观察图像，求第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式． 9．（12分）如图，在中，，是边上的点，过点作，交于点，过点作，交于点，经过点、、的与、的另一个公共点分别为、，连接、、． (1)求证：； (2)若，， ①当时，求的长； ②若恰为的直径，则的长为 ． （考试时间：70分钟 试卷满分：72分） 解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（4分）解下列不等式组，并在数轴上表示它的解集． 2．（4分）如图，AD是的角平分线，过点D分别作的平行线，交于点E，交于点F． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若．求四边形的面积． 3．（6分）先化简，再求值：，在（x为整数）中，选取一个满足条件的数，使得分式既有意义，也不等于0． 4．（6分）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 5．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为、…，过点、、、…、分别作x轴垂线，交直线于点、、、…，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为…. 【参考公式：连续x个正整数和的计算公式：】 (1)由题意可知：、；、；、；则 、 ； (2) ； (3)的值是否会等于2025？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由. 6．（10分）某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 7．（10分）综合与实践 【发现问题】“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化． 【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据： 第一层杯子的个数x 1 2 3 4 5 … 杯子的总数y 1 3 6 10 15 … 然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分：为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式． 【解决问题】 (1)直接写出y与x的关系式； (2)现有28个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数； (3)杯子的侧面展开图如图4所示，，分别为上、下底面圆的半径，，所对的圆心角，，．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数． 8．（12分）综合与探究 【研究任务】如图1，在平面直角坐标系中，点，是轴上一动点，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记和的交点为．设点的坐标为，则与具有怎样的关系呢？ 【操作・猜想】 （1）数学小组类比学习函数的一般方法，通过测量、列表、描点、连线，确定函数的大致图象． ①数据收集： 0 1 2 3 4 2 1 2 ②绘制图象：根据所得到的数据，在图2的平面直角坐标系画出与的函数图象； ③观察猜想：观察所画的图象，猜想它是我们学过的___________函数，与的关系式是___________； 【验证·证明】 （2）观察图1，完成下列任务： ①验证：若点在轴的正半轴且，求的长，并验证此时点是否在你所猜想的函数图象上； ②证明：请证明你的猜想． 【联系・拓广】 （3）结合上述探究，若满足时，该函数的最大值与最小值的差为，请求出的值． 9．（12分）如图，在平行四边形中，，以点O为圆心，作与直线相切，切点为E，连接． (1)求的半径； (2)延长交于点F，G是射线上一点，若与相似，请求出的长； (3)P是上的一个动点，连接交直线于点H．在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（4分）（1）下面是小明解不等式的过程： 解：去分母，得……① 移项、合并同类项，得………② 两边都除以，得………③ 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题： 小明的解题过程从第 步开始出现错误；（填序号） 错误的原因是 ； 第③步的依据是 ； 写出此题正确的解答过程. （2）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 2．（4分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 3．（6分）下面的分式化简题呈现了小明的正确的解答过程（部分），但部分式子被遮挡． 解： (1)请求出被遮挡部分的式子； (2)先补充化简，再求值，其中从2，5，7中取一个合适的数代入求值． 4．（6分）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下 （数据分成5组：）： b．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是： 10.0   10.0   10.1   10.9   11.4    11.5   11.6    11.8 c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下 平均数 中位数 甲城市 10.8 乙城市 11.0 12 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入为___________百万元； (3)在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为． ①__________________； ②比较的大小，并说明理由． 5．（8分）[探究]对于函数，当时，；当时，．在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数的最小值是 ． [应用] 对于函数． ①当时， ；当时， ；当时， ． ②在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数的最小值是 ． [迁移] 函数的最小值是______． [反思] 上述问题解决过程中，涉及了一些重要的数学思想或方法，请写出其中一种_______． 6．（10分）综合与探究 【研究任务】如图1，在平面直角坐标系中，点，B是x轴上一动点，作线段的垂直平分线，过点B作x轴的垂线，记和的交点为P，设点P的坐标为，则y与x具有怎样的关系呢？ 【操作猜想】 (1)数学小组类比学习函数的一般方法，通过测量、列表、描点、连线，确定函数的大致图象． ①数据收集： x … 0 1 2 3 4 … y … 3.25 2 1.25 1 1.25 2 … ②绘制图象：根据所得到的数据，在图2的平面直角坐标系画出y与x的函数图象； ③观察猜想：观察所画的图象，猜想它是我们学过的________函数，y与x的关系是________________； 【验证证明】 (2)观察图1，完成下列任务： ①验证：若点B在x轴的正半轴且，求的长，并验证此时点P是否在你所猜想的函数图象上； ②证明：请证明你的猜想． 【联系拓广】 (3)结合上述探究，若x满足时，该函数的最大值与最小值的差为，请求出t的值． 7．（10分）【定义】平行四边形边上一动点与它所在边的对边的两个端点所形成的折线，叫做平行四边形的“对动线”． 例如，如图1，在平行四边形中，E是边上一动点，连接、，则折线叫做平行四边形的“对动线”，折线的长叫做对动线的长． (1)如图1，菱形的边长为5，，当时，对动线的长为______． (2)如图2，当时，设此时对动线的长为l，菱形的边长为a，当时，求l与a满足的数量关系． (3)平行四边形一边的长度为，，E是平行四边形边上一动点，当E将所在的边分为且满足对动线的夹角与平行四边形的一个内角相等时，直接写出平行四边形另外一边的长度． 8．（12分）如图，已知抛物线与x轴从左到右依次交于两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接，设点P的纵坐标表示为m． 试探究： ①当m为何值时，的值最大？并求出这个最大值． ②在P点的运动过程中，能否与相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由． 9．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．    【初步感知】 (1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 (2)①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明） 【拓展运用】 (3)如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 提分小卷：解答题 限时训练01（A组+B组+C组） （考试时间：70分钟 试卷满分：72分） 解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（4分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再取两个不等式的解集的公共部分即可得到不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解：解不等式①，可得， 解不等式②，可得， 在同一数轴上表示不等式①②的解集， 所以，原不等式组的解集是 2．（4分）如图，，过点作，垂足为，在边上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先证明四边形是矩形得，进而可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：， ∴， 又， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ． 3．（6分）先化简再求值：，其中，为的整数部分． 【答案】 ， 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，估算无理数大小，零指数幂，先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后计算a、b的值再代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， ∵，为的整数部分，且， ∴，， ∴当时，原式． 4．（6分）某班为了从甲、乙两位同学中选出一位代表参加学校的投篮比赛，对甲、乙两人进行了5次投篮试投比赛，试投时每人每次投球10个．两人5次试投的成绩折线统计图如图所示． (1)求甲、乙两名同学投篮的平均成绩； (2)甲、乙两名同学谁的投篮成绩更加稳定？请说明理由； (3)学校投篮比赛的规则是每人投球10个，记录进球的个数．由往届投篮比赛的结果推测，投进8个球即可获奖，但要取得冠军需要投进10个球．请你根据以上信息，从甲、乙两名同学中推荐一名同学参加学校的投篮比赛，并说明推荐的理由． 【答案】(1)甲同学投篮的平均成绩为8，乙同学投篮的平均成绩为8 (2)甲同学的投篮成绩更加稳定，理由见解析 (3)推荐乙同学参加学校的投篮比赛，理由见解析 【分析】本题考查平均数，图形的波动大小，以及利用众数进行决策，掌握平均数，图形的波动大小，以及利用众数进行决策是解题关键． （1）根据平均数公式求即可； （2）根据折线统计图甲投篮成绩波动较小，折线统计图乙投篮成绩波动较大，可得甲投篮成绩更加稳定； （3）由乙的众数是10，取得冠军需要投进10个球，推荐乙参加投篮比赛即可． 【详解】（1）解：甲同学5次试投进球的个数分别为：8，7，8，9，8， 故甲同学投篮的平均成绩为：， 乙同学5次试投进球的个数分别为：7，10，6，7，10， 故乙同学投篮的平均成绩为：； （2）解：由折线统计图可得， 乙的波动大，甲的波动小，故， 甲同学的投篮成绩更加稳定； （3）解：推荐乙同学参加学校的投篮比赛， 理由：由统计图可知，甲同学5次试投进球的个数分别为：8，7，8，9，8， 乙同学5次试投进球的个数分别为：7，10，6，7，10， 甲同学进球数的众数是8，乙同学进球数的众数是和10， 取得冠军需要投进10个球， 推荐乙同学参加学校的投篮比赛．答案不唯一 5．（8分）综合与实践 【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． 【实验观察】（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据： 时间x（小时） 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22 在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； 【探索发现】（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式； 【结论应用】（3）如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？ 【答案】（1）见解析 ；（2）；（3）圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题： （1）将各点在坐标系中直接描出，再用光滑的线连接即可； （2）利用待定系数法解答，即可求解； （3）令，求出x的值，即可求解． 【详解】解：（1）画出函数图象，如下：    （2）由图可知该图象是一次函数，设该函数的表达式为． 点、在该图象上 ，解得， 与之间的函数表达式为． （3）当时，即， 解得：， 则 ∴圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午． 6．（10分）实践课上，老师出示了两个长方形，如图1，长方形的两边长分别为，；如图2，长方形的两边长分别为，．（其中m为正整数） 请解答下列问题： (1)图1中长方形的面积_______；图2中长方形的面积_______； (2)比较与的大小； (3)现有一面积为25的正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．求的值． 【答案】(1)， (2) (3)1 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的应用、整式的加减的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握运算法则以及方法是解此题的关键． （1）根据长方形面积公式结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出答案； （2）计算出，结合为正整数得出，即可得解； （3）由题意得出正方形的边长为，结合正方形的面积为即可得出关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ，， 故答案为：，； （2）解：， 由于为正整数， 所以， 所以， 即； （3）解：因为图1中长方形的周长为， 所以正方形的边长为； 依题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：的值为1． 7．（10分）综合与实践 【主题】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学王老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究． 【探究发现】如图1，在中，，． （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接DE，DB，设，，求的值（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现，顶角的等腰三角形的底与腰的比值为，这个比值被称为黄金比，请在（1）的条件下证明： 【拓展应用】（3）当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，，请直接写出这个菱形较长的对角线长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，折叠的性质，黄金分割，相似三角形和性质和判定，菱形的性质，解一元二次方程等，理解黄金三角形并应用是解题的关键． （1）根据折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质即可得出答案， （2）先证明，可得，进而得出一元二次方程，求出解即可； （3）根据菱形的性质得出是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，可求出，进而求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：根据折叠可知． ， ； 根据折叠可知，，， ， ， ， ． 故答案为：； （2）证明：，， ． 由折叠知， ， ， ， ， 即， 整理得：， 解得：（舍去）， 经检验是原方程的解， ； （3）解：菱形较长对角线． 如图3，在上截取，连接， ，四边形是菱形， 是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形， 根据黄金三角形的底与腰的比值为， 可得， ． ，， ， ． ， ， ， ， ． 8．（12分）综合与实践 【实验目的】探究竖直上抛运动中，抛出的第一个小球在后面小球相遇时经历的时间规律． 【实验原理】竖直上抛运动中，小球的速度（米/秒）与运动时间（秒）的关系式为，小球距离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式为，其中，是常数，代表小球抛出时的初速度，的值取米/秒； 【实验过程】将小球从抛出点以恒定的初速度竖直上抛，每隔秒抛出一球．（空气阻力忽略不计，小球在上升与下降过程中相遇时不互相碰撞） 【实验数据】第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象是顶点为，经过原点的抛物线（如图所示）． 【实验任务】 (1)求出第一个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系式，并写出小球抛出时的初速度的值； (2)①请在图中坐标系中画出第二个与第三个小球抛出后离抛出点的竖直距离（米）与运动时间（秒）的关系图象； ②从第一个小球抛出到第一个小球落回抛出点之间最多能抛出几个小球（包含第一个小球）？请通过计算加以说明； (3)观察图像，求第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式． 【答案】(1)，； (2)①图象见解析；②最多可以抛个，说明见解析； (3) 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握好二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合解题． （1）根据抛物线图象，设抛物线的解析式为：，代入顶点坐标，求出抛物线解析式，对比，即可得到； （2）①按规律绘制函数图象；②通过求出第一个小球落回时间，结合抛球间隔求抛出小球个数； （3）分别列出第一个小球和第个小球相遇时，高度相等，即可． 【详解】（1）解：由图象可得，抛物线经过顶点 ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过原点 ∴ 解得： ∴ ∵抛物线， ∴， ∴与对比，可得， ∴抛物线的解析式为：，米/秒． （2）解：①图象如下： ②最多能抛出个小球，说明如下： 由函数图象可得，当时，即， ∴，， ∴， ∴每隔秒抛一个小球，最多可以抛个． （3）解：第一个小球的关系式为，第个小球的关系式为， 当秒后两球相遇，高度相等， ∴ 化简得：， ∴第一个小球抛出后与第个小球相遇时经历的时间（秒）与的关系式为：． 9．（12分）如图，在中，，是边上的点，过点作，交于点，过点作，交于点，经过点、、的与、的另一个公共点分别为、，连接、、． (1)求证：； (2)若，， ①当时，求的长； ②若恰为的直径，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)①的长为4；② 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到，再利用平行线的性质和等腰三角形的性质推导出，，进而根据相似三角形的判定可得结论； （2）①连接，证明得到，结合得到，进而求得；再证明∽得到，即，进而可求解； ②设与交于点，根据恰为的直径，设，则，可得，根据锐角三角函数即可得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵和是同弧所对圆周角， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解： ①如图，连接， ∵， ，， ∴， ， ， ∴， ∴， ，， 由（1）知：； ， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：的长为4； ②如图，设与交于点， ， ， ， ∴，又恰为的直径， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． ∴的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （考试时间：70分钟 试卷满分：72分） 解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（4分）解下列不等式组，并在数轴上表示它的解集． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大无法找（无解）”确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，； 所以，不等式组的解集为：． 不等式组的解集在数轴上表示为： 2．（4分）如图，AD是的角平分线，过点D分别作的平行线，交于点E，交于点F． (1)求证∶四边形是菱形； (2)若．求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)120 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、角平分线的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，，则即可得出结论； （2）连接交于点O，由菱形的性质得，，再由勾股定理得的值，进而即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵AD是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴四边形的面积 ． 3．（6分）先化简，再求值：，在（x为整数）中，选取一个满足条件的数，使得分式既有意义，也不等于0． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简原分式，可知且，即，代入化简结果计算即可． 【详解】 ， ∵分式既有意义，也不等于0， ∴且， ∴且， ∵（x为整数）， ∴， ∴原式． 4．（6分）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 【答案】(1)，， (2)估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人 (3)图见解析， 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，列表法或树状图法求概率等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值，用分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，即可得出的值； （2）由甲、乙两款的非常满意的人数之和即可得出答案； （3）用树状图法求解即可． 【详解】（1）解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多， 众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 故答案为：，，． （2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． （3）解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种，所以两人都选择同款聊天机器人的概率为． 5．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为、…，过点、、、…、分别作x轴垂线，交直线于点、、、…，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为…. 【参考公式：连续x个正整数和的计算公式：】 (1)由题意可知：、；、；、；则 、 ； (2) ； (3)的值是否会等于2025？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由. 【答案】(1)15；8 (2) (3)的值不能等于．理由见解析 【分析】本题考查归纳推理的应用，坐标的变化规律，根据条件寻找规律是解决本题的关键． (1)根据点的变化规律得到，，由此进行解答； (2)根据变化规律计算出和的值，再进行解答即可； (3)根据规律计算出n的值，即可得知结果． 【详解】（1）解：∵，，，，，， …… ∴根据规律发现,， ∴，， 故答案为：15；8． （2）解：∵，， ， 故答案为：． （3）解：不能，理由如下： ∵， ， ∵n不是整数， ∴的值不会等于． 6．（10分）某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 (2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （元）． 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元． （2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． 根据题意，得， 解得． 设共花费w元， 则， ∵， ∴w随m的减小而减小， ∵， ∴当时，w值最小． ， （台）． 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 7．（10分）综合与实践 【发现问题】“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化． 【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据： 第一层杯子的个数x 1 2 3 4 5 … 杯子的总数y 1 3 6 10 15 … 然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分：为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式． 【解决问题】 (1)直接写出y与x的关系式； (2)现有28个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数； (3)杯子的侧面展开图如图4所示，，分别为上、下底面圆的半径，，所对的圆心角，，．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数． 【答案】(1) (2)第一层杯子的个数为7个 (3)杯子最多能叠放9层和此时杯子的总数为45个；杯子叠放达到的最大高度是 【分析】（1）将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出与的关系式； （2）将代入（1）中的解析，即可求解； （3）根据弧长公式先求得，根据题意列出不等式求得第一层摆放杯子9个，进而求得总数，根据得出，勾股定理求得的长，利用相似三角形的性质得出的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：当时，， 解得：（舍去）， 答：第一层杯子的个数为7个； （3）解：∵， 解得：； ∵第一层摆放杯子的总长度不超过， 设第一层杯子的个数为个，则， 解得：取最大值为9， 即第一层摆放杯子9个，杯子的层数也是9， ∴杯子的总数为（个）， 在图4中，， ∵， ， ， 在中，， ， ， ∴最大高度为：． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的应用，求弧长，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．（12分）综合与探究 【研究任务】如图1，在平面直角坐标系中，点，是轴上一动点，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记和的交点为．设点的坐标为，则与具有怎样的关系呢？ 【操作・猜想】 （1）数学小组类比学习函数的一般方法，通过测量、列表、描点、连线，确定函数的大致图象． ①数据收集： 0 1 2 3 4 2 1 2 ②绘制图象：根据所得到的数据，在图2的平面直角坐标系画出与的函数图象； ③观察猜想：观察所画的图象，猜想它是我们学过的___________函数，与的关系式是___________； 【验证·证明】 （2）观察图1，完成下列任务： ①验证：若点在轴的正半轴且，求的长，并验证此时点是否在你所猜想的函数图象上； ②证明：请证明你的猜想． 【联系・拓广】 （3）结合上述探究，若满足时，该函数的最大值与最小值的差为，请求出的值． 【答案】（1）②图见解析；③二次，；（2）①，点在所猜想的函数图象上；②见解析；（3） 【分析】（1）②利用描点法绘制图象； ③观察所画的图象，猜想它是我们学过的二次函数，再根据表格数据求出顶点坐标，再设二次函数为顶点式，然后代入另外一对数即可求得二次项系数，再代回解析即可； （2）①先根据垂直平分的性质，得出，结合，可求得，再利用勾股定理定理得到关于的方程求解，从而可得的坐标，再将点的横坐标代入函数表达式求出函数值即可判断； ②先根据点的坐标，表示出、、，再利用勾股定理，得到函数表达式； （3）先根据当时，分情况用表示出和，再得到关于的方程求解，即可． 【详解】（1）②绘制图象： ③观察所画的图象，猜想它是我们学过的二次函数， ∵当与时的函数值相等， ∴对称轴为直线， 由表格可知，当时，函数值为1， ∴顶点坐标为， 设与的关系式是， 又当时，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：二次，， （2）①连接，作，垂足为， 垂直平分， ， ，则， 在中， ，即， 解得， ，即， 将代入 得， 点在所猜想的函数图象上． ②， ， 在中， ，即， （3）当时， 当时，； 当时，， ， 解得（舍）； 当时， 由得： 当时，； 当时，， ，解得（舍）． 综上所述，． 【点睛】本题考查了描点法画二次函数图象，待定系数法求二次函数解析式， 的图象与性质，解题关键是利用对称性求二次函数表达式． 9．（12分）如图，在平行四边形中，，以点O为圆心，作与直线相切，切点为E，连接． (1)求的半径； (2)延长交于点F，G是射线上一点，若与相似，请求出的长； (3)P是上的一个动点，连接交直线于点H．在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)或 (3)3 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，由切线的性质得到，由含30度角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据相似三角形的判定和性质，分类讨论，运用解直角三角形的计算，数形结合即可求解； （3）作，交的延长线于点Q，如图，得到，所以，当最大时，的值最大，平移，使平移后的直线与相切，设切点为，作，交于点，连接，当点P在点处时，的值最大，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为1． （2）解：当时，如图， 则， ∵，， ∴； 当时，如图， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， 综上所述，的长为或． （3）解：作，交的延长线于点Q，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，的值最大， 平移，使平移后的直线与相切，设切点为，作，交于点，连接，则， 当点P在点处时，的值最大， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为3． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，掌握以上知识数形结合分析是关键． 解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1．（4分）（1）下面是小明解不等式的过程： 解：去分母，得……① 移项、合并同类项，得………② 两边都除以，得………③ 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题： 小明的解题过程从第 步开始出现错误；（填序号） 错误的原因是 ； 第③步的依据是 ； 写出此题正确的解答过程. （2）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 【答案】（）；去分母时，左边第二项漏乘；不等式性质；见解析； （）不等式组的解集为，在数轴上表示它的解集见解析． 【分析】此题考查了解一元一次不等式和不等式组，熟练掌握不等式和不等式组的解法是解题的关键． （）观察小明解题过程，找出错误的步骤即可； 分析错误的原因即可； 利用不等式的基本性质判断即可； 写出正确的解答即可； （）分别解出两个不等式，再求出解集，然后在数轴表示即可． 【详解】解：（）小明的解题过程从第步开始出现错误， 故答案为：； 去分母时，左边第二项漏乘， 故答案为：去分母时，左边第二项漏乘； 第步的依据是不等式性质， 故答案为：不等式性质； 去分母，得 移项、合并同类项，得 两边都除以，得； （） 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示解集为： ． 2．（4分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质． （1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴． 3．（6分）下面的分式化简题呈现了小明的正确的解答过程（部分），但部分式子被遮挡． 解： (1)请求出被遮挡部分的式子； (2)先补充化简，再求值，其中从2，5，7中取一个合适的数代入求值． 【答案】(1) (2)，12 【分析】本题考查分式的混合运算，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）由题意可得，从而，根据分式的加减法运算法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则对式子化简，再取分式有意义的a的值代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴， ； （2）解：原式， ， ， ， 要使分式有意义，则， ∴且， ∴当时，原式． 4．（6分）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下 （数据分成5组：）： b．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是： 10.0   10.0   10.1   10.9   11.4    11.5   11.6    11.8 c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下 平均数 中位数 甲城市 10.8 乙城市 11.0 12 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入为___________百万元； (3)在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为． ①__________________； ②比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元 (3)①，②，理由见解析 【分析】本题考查频数直方图、中位数、用样本估计总体，理解题意，熟练掌握统计中相关知识的运用是解答的关键． （1）根据中位数的求解方法求解即可； （2）根据样本中的平均数可估计总体的平均数求解即可； （3）①根据中位数和平均数的定义即可求出，②同理①求出，进而比较大小即可． 【详解】（1）解：将所给25个数据从小到大排列，第13个数据是第组中的， ∴中位数； （2）解：由题意得：（百万元）； 答：乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元； （3）解：①由（1）得，甲城市中位数为， 甲城市平均数为， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： 乙城市中位数高于平均数，则至少为13个， ∴． 5．（8分）[探究]对于函数，当时，；当时，．在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数的最小值是 ． [应用] 对于函数． ①当时， ；当时， ；当时， ． ②在平面直角坐标系中画出函数图象，由图象可知，函数的最小值是 ． [迁移] 函数的最小值是______． [反思] 上述问题解决过程中，涉及了一些重要的数学思想或方法，请写出其中一种_______． 【答案】[探究]：0；[应用] ①，，3；②3；[迁移]1；[反思]：数形结合 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、去绝对值、函数图象的画法等知识点，掌握数形结合思想是解本题的关键． [探究]先根据题意画出函数图象，再根据函数图象即可解答； [应用]①先根据x的取值范围去绝对值，分别得出函数关系式即可解答；②分段再画出函数图象，根据函数图象即可解答； [迁移]分段去绝对值，合并同类项，得出函数关系式，进而完成解答； [反思]根据解答过程中用的数学思想即可解答． 【详解】解：[探究]： 图象如图1所示，函数的最小值是0， 故答案为0； [应用] ①当时，； 当时，； 当时，． ②函数图象如图2所示， 由图象可知，函数的最小值是3． 故答案为：①，，3；②3； [迁移] 当时，，即； 当时，，即； 当时，； 当时，，即． ∴当时，函数取到最小值1； [反思] 用到的数学思想有：数形结合的数学思想，分段去绝对值，分类讨论等数学思想和方法． 故答案为：数形结合的数学思想． 6．（10分）综合与探究 【研究任务】如图1，在平面直角坐标系中，点，B是x轴上一动点，作线段的垂直平分线，过点B作x轴的垂线，记和的交点为P，设点P的坐标为，则y与x具有怎样的关系呢？ 【操作猜想】 (1)数学小组类比学习函数的一般方法，通过测量、列表、描点、连线，确定函数的大致图象． ①数据收集： x … 0 1 2 3 4 … y … 3.25 2 1.25 1 1.25 2 … ②绘制图象：根据所得到的数据，在图2的平面直角坐标系画出y与x的函数图象； ③观察猜想：观察所画的图象，猜想它是我们学过的________函数，y与x的关系是________________； 【验证证明】 (2)观察图1，完成下列任务： ①验证：若点B在x轴的正半轴且，求的长，并验证此时点P是否在你所猜想的函数图象上； ②证明：请证明你的猜想． 【联系拓广】 (3)结合上述探究，若x满足时，该函数的最大值与最小值的差为，请求出t的值． 【答案】(1)②图见解析；③二次，； (2)①，点在所猜想的函数图象上；②见解析； (3) 【分析】（1）②利用描点法绘制图象； ③观察所画的图象，猜想它是我们学过的二次函数，再根据表格数据求出顶点坐标，再设二次函数为顶点式，然后代入另外一对数即可求得二次项系数，再代回解析即可； （2）①连接，作，垂足为，设点P的坐标为，先根据垂直平分的性质，得出，结合，可求得，再利用勾股定理定理得到关于的方程求解，从而可得的坐标，再将点的横坐标代入函数表达式求出函数值即可判断； ②先根据点的坐标，表示出、、，再利用勾股定理，得到函数表达式； （3）由解析式可知函数图象开口向上，对称轴为直线，分两种情况讨论：当时和时，用表示出和，再得到关于的方程求解，即可． 【详解】（1）解：②绘制图象： ③观察所画的图象，猜想它是我们学过的二次函数， ∵当与时的函数值相等， ∴对称轴为直线， 由表格可知，当时，函数值为1， ∴顶点坐标为， 设与的关系式是， 又当时，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：二次，， （2）解：①连接，作，垂足为， 设点P的坐标为， 垂直平分， ， ， ， ， 在中，，即， 解得， ，即， 将代入， 得， 点在所猜想的函数图象上． ②证明：， ， 在中，，即， ． （3）解：， 函数图象开口向上，对称轴为直线， ①若， 则当时，； 当时，， ， 解得（舍）； ②若， 则当时，； 当时，， ，解得（舍）． 综上所述，． 7．（10分）【定义】平行四边形边上一动点与它所在边的对边的两个端点所形成的折线，叫做平行四边形的“对动线”． 例如，如图1，在平行四边形中，E是边上一动点，连接、，则折线叫做平行四边形的“对动线”，折线的长叫做对动线的长． (1)如图1，菱形的边长为5，，当时，对动线的长为______． (2)如图2，当时，设此时对动线的长为l，菱形的边长为a，当时，求l与a满足的数量关系． (3)平行四边形一边的长度为，，E是平行四边形边上一动点，当E将所在的边分为且满足对动线的夹角与平行四边形的一个内角相等时，直接写出平行四边形另外一边的长度． 【答案】(1) (2) (3)或或或或或或或． 【分析】（1）先根据题意得出，在中根据勾股定理求出的长度，进而在中由勾股定理求出DE的长度，即可求出答案． （2）通过延长和交于点先根据题意推出，再由平行线分线段成比例求得，即可由求出结论． （3）根据题意分类讨论：，；，；，；，由题意得到由“对动线”围成的三角形的相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例，结合勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ． 在中，设，由得． ，即， 解得（负值舍去）． ． 在中，根据菱形的性质． 对动线长为：． 故答案为： （2）解：如图，延长和交于点 ， ，． ， ． ． ， ，． ． 和a的数量关系为：． （3）解：当，时，设，如图，根据点E的分为两种情况：；． 过点E作． ，则，． 由可得． ． ，即． 解得：． 在中，，即， ， ．即 解得：． ． 由勾股定理可得：． 即： 解得：． 故． ，则，． 同理由可得． 解得． 由和，可得，． 由勾股定理可得：，求解关于n的方程可得：． 则． 故的长度为或． 当，时，如图： 同理可求的长度为：或． 当，时，如图： 同理由，可求出的值为或． 当，时，如图： 同理由，可求出的值为或 综上，平行四边形另外一边的长度为： 或或或或或或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线分线段成比例等知识点，分类讨论是本题的难点． 8．（12分）如图，已知抛物线与x轴从左到右依次交于两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)若P为此抛物线的对称轴上的一个动点，连接，设点P的纵坐标表示为m． 试探究： ①当m为何值时，的值最大？并求出这个最大值． ②在P点的运动过程中，能否与相等？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)①当时，的值最大，最大值为；②能， 【分析】（1）把代入，根据待定系数法可求抛物线的解析式； （2）①由三角形的三边关系可知，，当P、A、C三点共线时，的值最大，为的长度，延长交直线于点P，则点P为所求的点． 求得，根据勾股定理可得的长．根据待定系数法可求直线的解析式，进一步得到点P的坐标，从而求解； ②设直线与x轴的交点为点D，作的外接圆与直线位于x轴下方的部分的交点为，关于x轴的对称点为，则均为所求的点．在中，由勾股定理得的长，可得．由对称性得． 【详解】（1）把代入， 得， 解得， ∴此抛物线的解析式为； （2）①由三角形的三边关系可知，， ∴当三点共线时，的值最大，且等于的长度， ∴如图，延长交直线于点P，则点P为所求的点． 解，得 ， ∴． 当时，， ∴， 则有， ， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点， ∵点P在直线上， ， ∴当时，的值最大，最大值为； ②设直线与x轴的交点为点D，如图，作的外接圆与直线的x轴下方部分交于点，关于x轴的对称点为，则均为所求的点．连接，， 都是所对的圆周角， ，且射线上的其他点P都不满足， ∵圆心E必在边的垂直平分线即直线上， ∴点E的横坐标为2， 又， ∴圆心E也在边的垂直平分线上， ∵，， ∴线段的中点坐标为， 设边的垂直平分线解析式为， ∴， ∴， ∴边的垂直平分线解析式是， ， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， 由对称性得， ∴符合题意的点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，三角形的三边关系，勾股定理，待定系数法求直线的解析式，外接圆的性质，关于x轴的对称点的特征，以及对称性．综合性较强，有一定的难度 9．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．    【初步感知】 (1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 (2)①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明） 【拓展运用】 (3)如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①，证明过程略；②当点F在射线上时，，当点F在延长线上时， (3) 【分析】（1）连接，当时，，即，证明，从而得到即可解答； （2）①过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到； ②分类讨论，即当点F在射线上时；当点F在延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答； （3）如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，可利用建系的方法表示出的坐标，再利用中点公式求出，最后利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）证明：如图，连接，    当时，，即， ， ，，, ，，即， ， ， 在与中， ， ， ， ； （2）① 证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点，    当时，，即， 是的中点， ，， ， ，， ， 是等腰直角三角形，且， ， 根据（1）中的结论可得， ； 故线段之间的数量关系为； ②解：当点F在射线上时， 如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，    同①，可得， ，， ，， 同①可得， ， 即线段之间数量关系为； 当点F在延长线上时， 如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，连接    同（1）中原理，可证明， 可得， ，， ，， 同①可得， 即线段之间数量关系为, 综上所述，当点F在射线上时，；当点F在延长线上时，； （3）解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，    如图，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过点作的垂线段，交于点，过点作的垂线段，交于点，   ， ，， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 根据（2）中的结论， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $