专题01 相交线与平行线（期末真题汇编，山东专用）七年级数学下学期

**基本信息** 聚焦相交线与平行线专题，涵盖5大高频考点，精选山东多地期末真题，基础题与综合探究题结合，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|多|三线八角识别、平行线性质判定|结合光线折射情境考查概念辨析| |填空|中|平移距离计算、角平分线应用|设置含参数问题提升思维层次| |解答|多|平行线判定与性质综合、三角板探究|设计分层探究题，关联道闸模型等生活实际|

专题01 相交线与平行线 5大高频考点概览 考点01相交线求角 考点02三线八角 考点03平行线的判定与性质 考点04 平移 考点05 定义、命题、定理 ( 相交线求角 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，直线与相交于点O，为的平分线，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，直线、相交于点O，于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25七年级下·山东聊城·期末）已知直线与相交于点平分，若，则__________．（用含的式子表示） 三、解答题 5．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 6．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，直线，相交于点，射线、在的内部，平分，若，，判断与的位置关系，并说明理由． ( 考点0 2 三线八角 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）光线从空气射入玻璃，或从玻璃射入空气都会产生折射现象．如图，光线从空气中射入玻璃，再从玻璃中射入空气，形成光线，下列说法不正确的是（　　） A．与是内错角 B．与是同旁内角 C．与是对顶角 D．与互为邻补角 2．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，点在线段的延长线上，则对图中的两个角的位置关系判断错误的是（   ） A．和是邻补角 B．和是直线和被直线所截形成的同位角 C．和是直线和被直线所截形成的内错角 D．和是直线和被直线所截形成的同旁内角 3．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，下列说法中错误的是（　　） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 4．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，的同位角是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东日照·期末）下列所示的四个图形中，和是同位角的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④ 6．（24-25七年级下·山东烟台·期末）下列各图中，和是同位角的是（    ） A．B． C． D． 7．（24-25七年级下·山东威海·期末）在下列图①~④中，与是同位角的有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ ( 考点0 3 平行线的判定与性质 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，直线，被直线所截，下列条件中不能判定是（      ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·山东威海·期末）已知，将含有的直角三角板如图方式摆放，与的角平分线交于点G，若，则________ ． 6．（24-25七年级下·山东威海·期末）填空：如图，已知，则可推得：，理由如下： ∵（已知）， ∴_____．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（ _________________ ） ∴．（ _________ ） 7．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图是铁轨的示意图，是直角，只需量出___________（填写图枕木中标出的一个角）的度数就可以判断两条铁轨是否平行，这样做的依据是：___________． 8．（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，，点G、F分别在、上，平分交AB于点E，，则______． 9．（24-25七年级下·山东济南·期末）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中，当时，的度数为______． 三、解答题 10．（24-25七年级下·山东济南·期末）读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图（1）抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，．求证：． 证明：如图（2），延长交于点． ∵（已知）， ∴（ ① ） 又∵（已知）， ∴ ② ，（ ③ ） ∴（ ④ ） ∴（ ⑤ ）（ ⑥ ） 又∵（已知）， ∴（ ⑦ ） ∴（ ⑧ ） 11．（24-25七年级下·山东滨州·期末）将下面的证明过程补充完整 已知：如图，．求证：． 证明：（已知）， ________________________（等式性质）， 即________________________， （____________）． 12．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 13．（24-25七年级下·山东济南·期末）在一次综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线、和一块直角三角尺的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动． 【初步体验】 （1）如图，三角尺的角的顶点在上．，则的度数为______ ． 【基础巩固】 （2）如图，瑶瑶同学把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由． 【强化应用】 （3）如图，雅雅同学把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上若，，请写出与的数量关系（用含，的式子表示），并说明理由． 14．（24-25七年级下·山东日照·期末）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为背景开展数学活动．已知直线，在直角三角板与中，，，． 【操作发现】 （1）如图1，直角三角板的顶点B在和之间，在绕点B转动三角板的过程中，两直角边分别与，交于点M，N，且夹角分别是和，经过反复操作，发现和之间存在固定的数量关系，这个数量关系是______． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中的三角板的直角顶点B放在上，与交于点P，与的夹角为，与的夹角为，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，固定三角板，使边与直线重合，将三角板固定点C（点C在的延长线上），且在两条平行线，之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当x为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出所有符合条件的x的值． ( 考点0 4 平移 ) 一、填空题 1．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图所示的是某商场门前的台阶，现该商场经理要在台阶上铺上一块矩形红地毯，则这块红地毯的长至少为________． 2．（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，的边在轴的正半轴上，点的坐标为，把沿轴向右平移个单位长度，得到，连接，，若的面积为，则的面积为______． 3．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，在直角中，，把沿点A到点E方向平移至处，与交于点M，若，图中阴影部分的面积为15，则平移距离为________ 4．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，在中，，将沿向右平移，得到（点在线段上），若，则平移的距离是_______． 5．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，在直角三角形中，，将三角形沿直线向右平移得到三角形，连接，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______（只填序号）． 6．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，，则的长为________．    二、解答题 7．（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，在方格纸中，每个小正方形方格的边长都为1，三角形的三个顶点和，都在格点上，平移三角形得到的三角形，使三角形各顶点都在格点上，且使点在三角形的边上，使点到三角形一边的距离为2．请在图中画出满足要求的三角形其中一种示意图． 8．（24-25七年级下·山东日照·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，将平移后得到，它们的各顶点坐标如下表所示： (1)观察表中各对应点坐标的变化，可由经过怎样的平移得到？ (2)在平面直角坐标系中，画出和； (3)连接，，则四边形的面积为_____． 9．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，其中点的坐标为，现将三角形平移，使得点变换为点，点，分别是点，的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)点的坐标为_____，点的坐标为_____；若三角形内部有一点，其平移后的对应点为，则点的坐标为_____． (3)连接，，，求三角形的面积． ( 考点0 5 定义、命题、定理 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东威海·期末）下列语句中，是命题的是(    ) A．作线段 B．吗？ C．垂直用符号“⊥”表示 D．对顶角相等 2．（24-25七年级下·山东德州·期末）下列命题正确的是（      ） A．从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离． B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． C．两条直线被第三条直线所截，所得同旁内角互补． D．在同一平面内，两条不重合的直线有平行、相交或垂直这三种位置关系． 3．（24-25七年级下·山东滨州·期末）下列语句中，属于真命题的是（   ） A．同位角相等 B．垂线段最短 C．相等的两个角是对顶角 D．两个锐角的和是钝角 4．（24-25七年级下·山东德州·期末）下列命题中，属于假命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．若，则 C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行 D．正数有两个平方根，负数没有平方根；0的平方根为0 5．（24-25七年级下·山东临沂·期末）下列句子是命题的是（   ） A．连接 B．小于的角是锐角？ C．画 D．相等的角是对顶角 6．（24-25七年级下·山东滨州·期末）下列说法：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③对顶角相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25七年级下·山东威海·期末）下列语句中，不是命题的是（   ） A．两个锐角的和大于直角 B．作的平分线 C．三个角对应相等的两个三角形全等 D．两直线平行，同位角相等 8．（24-25七年级下·山东德州·期末）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）要说明命题“若，则”是假命题，可以举出的反例是________．（写出一个值即可） 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线 5大高频考点概览 考点01相交线求角 考点02三线八角 考点03平行线的判定与性质 考点04 平移 考点05 定义、命题、定理 ( 考点01 相交 线求角 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，直线与相交于点O，为的平分线，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先根据垂直定义可得：，再根据已知可设，从而可得：，然后利用角平分线的定义可得，再利用平角定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 解得：， ， 故选：D． 2．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了对顶角相等，角平分线的定义，由对顶角相等得到的度数，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，直线、相交于点O，于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角相等、垂直的定义等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 根据垂直的定义可得，进而可得，然后根据对顶角相等即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 4．（24-25七年级下·山东聊城·期末）已知直线与相交于点平分，若，则__________．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线定义，几何图形中角的计算，先根据，得出，，再求出，然后根据角平分线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知直线与交于点M，与交于点O，平分，若，． (1)求的度数； (2)写出的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】(1) (2)的所有内错角为，，同旁内角， 【分析】（1）根据对顶角相等，得，结合平分， 求的度数即可； （2）确定的所有内错角，同旁内角，计算各角的度数，再求和即可． 本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据对顶角相等，得， ∵平分， ∴． （2）解：根据题意，得的所有内错角为，， 同旁内角， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，直线，相交于点，射线、在的内部，平分，若，，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（垂直），理由见解析 【分析】此题考查了对顶角，角平分线的定义，垂直的定义以及邻补角的定义，掌握相关知识是解题的关键．根据，，可得，进而得到，根据角平分线的定义可得，结合求出，即可判定． 【详解】解：（垂直），理由如下： ∵，， ， ， 平分， ， 又， ， ． ( 考点0 2 三线八角 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）光线从空气射入玻璃，或从玻璃射入空气都会产生折射现象．如图，光线从空气中射入玻璃，再从玻璃中射入空气，形成光线，下列说法不正确的是（　　） A．与是内错角 B．与是同旁内角 C．与是对顶角 D．与互为邻补角 【答案】C 【分析】本题考查内错角、同旁内角、对顶角、邻补角的定义，根据定义逐一分析选项： 【详解】A、光线、光线是两条被截直线，玻璃与空气的交界面是截线，与分别在截线两侧，且处于两条被截直线之间，符合内错角定义，所以与是内错角，该选项正确． B、这里光线、光线为被截直线，玻璃与空气交界面为截线，与在截线同侧，且在被截两直线之间，符合同旁内角定义，所以与是同旁内角，该选项正确． C、观察与，它们的两边并非互为反向延长线，不满足对顶角定义，所以与不是对顶角，该选项错误． D、与有公共边，且另一边互为反向延长线，符合邻补角定义，所以与互为邻补角，该选项正确． 故选C． 2．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，点在线段的延长线上，则对图中的两个角的位置关系判断错误的是（   ） A．和是邻补角 B．和是直线和被直线所截形成的同位角 C．和是直线和被直线所截形成的内错角 D．和是直线和被直线所截形成的同旁内角 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，邻补角，同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；有公共顶点和一条公共边，且另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角，据此分别进行分析可得答案． 【详解】解：A、和是邻补角，原说法正确，不符合题意； B、和是直线和被直线所截形成的同位角，原说法正确，不符合题意； C、和是直线和被直线所截形成的内错角，原说法错误，符合题意； D、和是直线和被直线所截形成的同旁内角，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）如图，下列说法中错误的是（　　） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 与是同位角，说法错误，故该选项符合题意； B. 与是同位角，说法正确，故该选项不符合题意； C. 与是内错角，说法正确，故该选项不符合题意； D. 与是同旁内角，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，的同位角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同位角，的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此可得答案． 【详解】解：由题意得：的同位角是， 故选：A． 5．（24-25七年级下·山东日照·期末）下列所示的四个图形中，和是同位角的是（    ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了同位角的定义，注意：两条直线被第三条直线所截，如果有两个角在第三条直线的同旁，并且在两条直线的同侧，那么这两个角叫同位角，据此判断即可． 【详解】解：选项①②③中，∠1和∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； ④中，∠1和∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：B． 6．（24-25七年级下·山东烟台·期末）下列各图中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可． 【详解】解：A. 是同位角，符合题意； B. 不是同位角，不符合题意； C. 不是同位角，不符合题意； D. 不是同位角，不符合题意； 故选：A． 7．（24-25七年级下·山东威海·期末）在下列图①~④中，与是同位角的有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查同位角的定义，熟练掌握“两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角为同位角”是解题关键．根据同位角的定义（两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角 ），逐一判断图① - ④中与是否为同位角． 【详解】解： 与是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角， 图①中与是同位角． 与的两边所在直线不是两条直线被第三条直线所截的情况（的一边与的一边共线情况不符合同位角截取特征 ）， 图②中与不是同位角． 与是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角， 图③中与是同位角． 与的位置不符合“在截线同旁，且在被截两直线同一侧”，是不同的截线相关角， 图④中与不是同位角． 综上，图①③中与是同位角， 故选：D. ( 考点0 3 平行线的判定与性质 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的性质．根据平行线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C 2．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键． 根据得到，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，直线，被直线所截，下列条件中不能判定是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A选项：∵，， ∴， ∴．故该选项的条件能判定． B选项：∵，， ∴， ∴．故该选项的条件能判定． C选项：∵， ∴．故该选项的条件能判定． D选项：∵，， ∴，无法得到， ∴不能判定． 故选：D． 4．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握利用平行线的性质求角度是解题的关键． 根据“两直线平行，同位角相等”，得出，根据“两直线平行，内错角相等”，得出，计算得出度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 5．（24-25七年级下·山东威海·期末）已知，将含有的直角三角板如图方式摆放，与的角平分线交于点G，若，则________ ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，过点作，由平行线的性质得出，再根据角平分线的性质求出． 【详解】解：过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·山东威海·期末）填空：如图，已知，则可推得：，理由如下： ∵（已知）， ∴_____．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（ _________________ ） ∴．（ _________ ） 【答案】 C 两直线平行，同旁内角互补 同角的补角相等 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∴．（ 同角的补角相等 ） 故答案为：C，两直线平行，同旁内角互补， 同角的补角相等． 7．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图是铁轨的示意图，是直角，只需量出___________（填写图枕木中标出的一个角）的度数就可以判断两条铁轨是否平行，这样做的依据是：___________． 【答案】 （答案不唯一） 同旁内角互补，两直线平行（答案不唯一） 【分析】本题考查两直线平行的判定定理，根据定理内容解题是关键．根据是直角，只要找出与互为同位角、内错角、同旁内角的其他角，根据判定定理判定即可得到正确答案． 【详解】解：∵是直角，和是同旁内角， ∴度量出，则，根据“同旁内角互补，两直线平行”，就可以判断两条铁轨平行； 或度量出，则，根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条铁轨平行； 或度量出，则，根据“内错角相等，两直线平行”，就可以判断两条铁轨平行， 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行（答案不唯一）． 8．（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，，点G、F分别在、上，平分交AB于点E，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的有关计算． 由，根据“两直线平行，内错角相等”得到，求得的度数，再根据角平分线的定义得到，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得到 【详解】解：， ， ， 平分， ， 而， 故答案是： 9．（24-25七年级下·山东济南·期末）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中，当时，的度数为______． 【答案】/120度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质. 根据题意，结合图形，得到的度数，再利用两直线平行，同旁内角互补，得到度数． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25七年级下·山东济南·期末）读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图（1）抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，．求证：． 证明：如图（2），延长交于点． ∵（已知）， ∴（ ① ） 又∵（已知）， ∴ ② ，（ ③ ） ∴（ ④ ） ∴（ ⑤ ）（ ⑥ ） 又∵（已知）， ∴（ ⑦ ） ∴（ ⑧ ） 【答案】两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定推理证明是解题的关键． 根据“两直线平行，内错角相等”，得出，推出，根据“同位角相等，两直线平行”，证明，结合已知，根据“两直线平行，同旁内角互补”、“同角的补角相等”，即可证明． 【详解】证明：如图（2），延长交于点， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴（同角的补角相等）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 11．（24-25七年级下·山东滨州·期末）将下面的证明过程补充完整 已知：如图，．求证：． 证明：（已知）， ________________________（等式性质）， 即________________________， （____________）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，先由等式的性质证明，利用内错角相等，两直线平行即可证明结论． 【详解】证明：（已知）， （等式性质）， 即， （内错角相等，两直线平行）． 12．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂线和角平分线的定义，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据平行线的判定和性质求解即可； （2）根据平行和垂直，得到，进而得出，再根据角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以． （2）解：因为，， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为平分， 所以． 13．（24-25七年级下·山东济南·期末）在一次综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线、和一块直角三角尺的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动． 【初步体验】 （1）如图，三角尺的角的顶点在上．，则的度数为______ ． 【基础巩固】 （2）如图，瑶瑶同学把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由． 【强化应用】 （3）如图，雅雅同学把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上若，，请写出与的数量关系（用含，的式子表示），并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理． （1）由平行线的性质求得，根据平角的性质列式计算即可求解； （2）过点作，利用平行线的性质即可求解； （3）由平行线的性质结合平角的性质，列式计算即可求解． 【详解】解：（1），，， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 如图，过点作， ，， ， ，， ， ； （3），理由如下： ， ， ，， ， ， ． 14．（24-25七年级下·山东日照·期末）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为背景开展数学活动．已知直线，在直角三角板与中，，，． 【操作发现】 （1）如图1，直角三角板的顶点B在和之间，在绕点B转动三角板的过程中，两直角边分别与，交于点M，N，且夹角分别是和，经过反复操作，发现和之间存在固定的数量关系，这个数量关系是______． 【深入探究】 （2）如图2所示，将图1中的三角板的直角顶点B放在上，与交于点P，与的夹角为，与的夹角为，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，固定三角板，使边与直线重合，将三角板固定点C（点C在的延长线上），且在两条平行线，之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当x为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出所有符合条件的x的值． 【答案】（1）；（2）；（3）x的值为30，75，120 【分析】本题考查了根据平行线判定与性质求角度，三角板中角度计算问题，根据平行线的性质求角的度数，平行公理，解题关键是利用平行线的性质证明相关角相等． （1）过点作，则，则，再由等量代换求解； （2）过点作，则，那么，再由，等量代换即可求解； （3）分“”、“”、“”三种情况，根据平行线的性质分别求出即可． 【详解】解：（1）数量关系为：， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴数量关系为：； （2）数量关系为：， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴数量关系为：； （3）①当时， ∵，即， ∵， ∴， 又∵点C在的延长线上 ∴点C，B，E，D在同一条直线上， ∴， ∴； ②当时， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴； ③当时， ∴， ∴， ∴； 综上，在摆放的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行． ( 考点0 4 平移 ) 一、填空题 1．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图所示的是某商场门前的台阶，现该商场经理要在台阶上铺上一块矩形红地毯，则这块红地毯的长至少为________． 【答案】/18米 【分析】此题考查了生活中的平移现象，掌握平移现象的特点是关键． 利用平移的性质解答即可． 【详解】解：， 即这块红地毯的长至少为． 故答案为： 2．（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，的边在轴的正半轴上，点的坐标为，把沿轴向右平移个单位长度，得到，连接，，若的面积为，则的面积为______． 【答案】6 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，三角形的面积等知识，解题的关键是求出点的纵坐标．设，利用三角形面积公式求出的值，再求出，可得结论． 【详解】解：设， ， ， 由平移的性质可知，， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，在直角中，，把沿点A到点E方向平移至处，与交于点M，若，图中阴影部分的面积为15，则平移距离为________ 【答案】2 【分析】本题考查了平移的性质，首先可知四边形面积 =梯形面积=15，然后根据平移的性质得到，进而根据梯形面积求解即可． 【详解】解：∵把沿点A到点E方向平移至处 ∴四边形面积 =梯形面积 ∵， ∴ ∴，解得： 故答案为：2. 4．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，在中，，将沿向右平移，得到（点在线段上），若，则平移的距离是_______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质进行计算即可． 【详解】解：由题知， ∵由沿向右平移得到， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 则， ∴， 则平移的距离是4． 故答案为：4． 5．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，在直角三角形中，，将三角形沿直线向右平移得到三角形，连接，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______（只填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线性质，以及平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．根据图形平移的性质对各小题进行解答即可． 【详解】解：将三角形沿直线向右平移得到三角形，得 ，，， 故①正确； ∵，得不到， 故②错误； ∵， ∴, ∵, ∴, ， 故③正确； ∵，， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有①③④； 故答案为：①③④． 6．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，，则的长为________．    【答案】 【分析】本题考查了平移的性质； 根据平移的性质：对应点所连的线段平行且相等，可得，求出，进而可得的长． 【详解】解：由平移可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 二、解答题 7．（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，在方格纸中，每个小正方形方格的边长都为1，三角形的三个顶点和，都在格点上，平移三角形得到的三角形，使三角形各顶点都在格点上，且使点在三角形的边上，使点到三角形一边的距离为2．请在图中画出满足要求的三角形其中一种示意图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—平移变换，根据平移的性质并结合题意作图即可，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图：三角形即为所作，此时点在三角形的边上，使点到三角形边的距离为2 8．（24-25七年级下·山东日照·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，将平移后得到，它们的各顶点坐标如下表所示： (1)观察表中各对应点坐标的变化，可由经过怎样的平移得到？ (2)在平面直角坐标系中，画出和； (3)连接，，则四边形的面积为_____． 【答案】(1)先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度 (2)见解析 (3)6 【分析】本题主要考查平面直角坐标系和图形平移的性质，牢记图形平移的性质是解题的关键． （1）平移的方向和距离与的顶点，，移动的方向和距离相同，据此可求得答案． （2）根据向右平移个单位长度，向上平移个单位长度可以得到，点，可得，同理可得，，顺次连接点，，得到即为所求． （3）根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：平移的方向和距离与的顶点，，平移的方向和距离相同． 观察表格可知，点均向右平移个单位长度得到对应点；点向上平移个单位长度即可得到对应点， 所以，向右平移个单位长度，向上平移个单位长度可以得到． （2）解：∵向右平移个单位长度，向上平移个单位长度可以得到，点， ∴， 同理可得，， （3）解：， ∴四边形的面积为． 9．（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，其中点的坐标为，现将三角形平移，使得点变换为点，点，分别是点，的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)点的坐标为_____，点的坐标为_____；若三角形内部有一点，其平移后的对应点为，则点的坐标为_____． (3)连接，，，求三角形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)，，； (3). 【分析】本题主要考查了坐标与平移，坐标与图形．熟练掌握平移的性质，利用数形结合的思想求解，是解题的关键． 根据点和点的坐标可以得到向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，根据平移的方向和距离画出点和点，连接点、、，得到； 根据平移的方向和距离可得：点的坐标为，点的坐标为，设点的坐标为，根据点的坐标为，可得：，解方程组可得点的坐标； 作过点、、作矩形，则在长为，宽为的矩形中，利用矩形的面积减去个小三角形的面积即可求出的面积． 【详解】（1）解：如下图所示， 由图可知点的坐标是，点的坐标是， 点向右平移了个单位长度，向下平移了个单位长度， 向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， 把点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到点， 把点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到点， 连接点、、，得到即为所求； （2）由可知点的坐标为，点的坐标为， 由可知向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，得到， 设点的坐标为， 则有， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：，，； （3）解：如下图所示， 在长为，宽为的矩形中， 的面积为． ( 考点0 5 定义、命题、定理 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东威海·期末）下列语句中，是命题的是(    ) A．作线段 B．吗？ C．垂直用符号“⊥”表示 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查命题的定义，根据“能判断真假的陈述句叫做命题”，逐一分析各选项是否符合该定义． 【详解】命题的定义是“能判断真假的陈述句”， 选项A“作线段”是操作指令，不是陈述句，也无法判断真假，所以选项A不是命题； 选项B“吗？”是疑问句，不是陈述句，所以选项B不是命题； 选项C“垂直用符号‘⊥’表示”是陈述符号的表示方法，并非能判断真假的命题类语句，所以选项C不是命题； 选项D“对顶角相等”是陈述句，且可以判断其为真，符合命题的定义，所以选项D是命题． 故选：D． 2．（24-25七年级下·山东德州·期末）下列命题正确的是（      ） A．从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离． B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． C．两条直线被第三条直线所截，所得同旁内角互补． D．在同一平面内，两条不重合的直线有平行、相交或垂直这三种位置关系． 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．利用点到直线的距离的定义、平行线的性质及判定方法及垂直的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫作点到直线的距离，正确，符合题意； B、平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，不符合题意； C、两条平行直线被第三条直线所截，所得同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意； D、在同一平面内，两条不重合的直线有平行、相交两种位置关系，故原命题错误，不符合题意． 故选：A． 3．（24-25七年级下·山东滨州·期末）下列语句中，属于真命题的是（   ） A．同位角相等 B．垂线段最短 C．相等的两个角是对顶角 D．两个锐角的和是钝角 【答案】B 【分析】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题． 根据平行线的性质对A选项进行判断；根据垂线段最短的对B选项进行判断；根据对顶角的定义对C选项进行判断；根据角之间的数量关系对D选项进行判断． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故该选项是假命题； B、垂线段最短，故该选项是真命题； C、相等的角不一定是对顶角，故该选项是假命题； D、两个锐角的和不一定是钝角，故该选项是假命题． 故选：B． 4．（24-25七年级下·山东德州·期末）下列命题中，属于假命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．若，则 C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行 D．正数有两个平方根，负数没有平方根；0的平方根为0 【答案】A 【分析】本题考查的是真假命题的判断，根据平行线性质、绝对值定义、平方根定义等逐一判断各选项的真假即可． 【详解】解：A． 两直线平行时，同旁内角互补（和为），而非相等，故A是假命题． B． 绝对值等于1的数为，正确，B是真命题． C． 平行于同一直线的两直线互相平行，正确，C是真命题． D． 正数有两个平方根，负数无平方根，0的平方根为0，正确，D是真命题． 综上，假命题为A． 故选：A 5．（24-25七年级下·山东临沂·期末）下列句子是命题的是（   ） A．连接 B．小于的角是锐角？ C．画 D．相等的角是对顶角 【答案】D 【分析】本题考查命题的识别．命题是能够判断真假的陈述句，需满足两个条件：①是陈述句；②有明确的真假． 【详解】解：A．“连接”是作图指令，属于祈使句，无法判断真假，不是命题． B．“小于的角是锐角？”是疑问句，不是陈述句，因此不是命题． C．“画”是作图指令，属于祈使句，因此不是命题． D．“相等的角是对顶角”是陈述句，且可以判断真假．因此是命题． 故选：D． 6．（24-25七年级下·山东滨州·期末）下列说法：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③对顶角相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是真假命题的判断，涉及平行线的性质，垂线性质、对顶角性质及点到直线的距离定义；根据平行线性质、垂线性质、对顶角性质及点到直线的距离定义逐一判断各命题的正确性. 【详解】解： 命题①：两条直线被第三条直线所截，同位角相等； 此命题错误，只有当两条直线平行时，同位角才相等；若两直线不平行，同位角不相等，故缺少前提条件； 命题②：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 此命题正确，根据垂线性质，平面内一点（无论是否在直线上）有且仅有一条直线与已知直线垂直； 命题③：对顶角相等； 此命题正确，对顶角是成对出现的，且度数始终相等； 命题④：从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离； 此命题错误，点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身； 综上，正确的命题为②和③，共2个， 故选：B 7．（24-25七年级下·山东威海·期末）下列语句中，不是命题的是（   ） A．两个锐角的和大于直角 B．作的平分线 C．三个角对应相等的两个三角形全等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题的定义，解题的关键是掌握命题的定义以及各性质定理． 根据命题的定义，判断各选项是否为可以判断真假的陈述句． 【详解】解： 选项A：“两个锐角的和大于直角”是命题，不符合题意； 选项B：“作的平分线”是祈使句，描述一个操作而非陈述事实，无法判断真假，因此不是命题，符合题意; 选项C：“三个角对应相等的两个三角形全等”是命题，不符合题意； 选项D：“两直线平行，同位角相等”是陈述句且为真命题，不符合题意； 故选：B． 8．（24-25七年级下·山东德州·期末）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反例，要证明命题“若，则”是假命题，需找到满足但的例子即可，理解反例的概念是解题的关键． 【详解】解：、当，时， ，不满足，不合题意； 、当，时， ，满足条件， 又∵，结论成立，不能作为反例，不合题意； 、当，时， ，满足条件， 又∵，结论不成立，符合反例要求； 、当，时， ，不满足，不合题意； 综上，只有选项满足且， 故答案为：． 二、填空题 9．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）要说明命题“若，则”是假命题，可以举出的反例是________．（写出一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键．根据题意解题即可． 【详解】解：由题意，当时， 满足， 但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 4 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $