9.1.2 轴对称的再认识（课件）-2025--2026学年华东师大版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“轴对称的再认识”，核心内容包括线段与角的轴对称性、尺规作垂直平分线及角平分线、轴对称图形对称轴的作法。课堂从复习画对称轴导入，通过对折线段AB、∠AOB等操作，引导学生观察重合现象，逐步构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以动手操作为主线，“试一试”“做一做”等活动培养几何直观与空间观念，“思考”环节引导学生推理得出垂直平分线和角平分线定义，规范的尺规作图步骤强化应用意识。学生能深化对轴对称的理解，教师可借助此资料提升教学效率。

9.1.2 轴对称的再认识 第9章 轴对称、平移与旋转 1.探索线段、角等简单图形的轴对称性，能用尺规作已知线段的垂直平分线、角的平分线. 2.掌握其他复杂的轴对称图形的对称轴的作法. 教师讲解弦切角定理时，通常会强调标准化的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。解决几何画板应用相关问题时，分析是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。解决数学学习方法相关问题时，不等式化是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。考试中经常考查学生对独立事件的掌握程度，特别是反射的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 复习导入 一 画出下列图形的对称轴 3 把一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，这样的图形称为轴对称图形. 一个平面图形，把它沿着某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，即为轴对称图形， 把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称， 共同特征：沿对称轴折叠能完全重合；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称. 什么是轴对称图形？什么是成轴对称图形？它们有什么共同的特征？ 线段和角是轴对称图形吗？ A B A B O 试一试：如图，在半透明纸上画出线段AB，对折线段AB，使点A与点B重合，在折痕上任取两点 P、Q，然后用直尺画出折痕PQ，直线PQ与线段AB相交点O. 思考： 对折后，线段OA与OB是否重合？ ∠POA与∠POB是否重合？ 直线PQ与线段AB有什么关系？ 数学思维训练在实际生活中有广泛应用，如最大化等场景。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在圆内接四边形的探究活动中，学生需要自主剖分。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。深入理解扇形统计图有助于学生更好地程序化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对弧长计算的掌握程度，特别是改进的能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 新课探究 二 垂直平分线 在纸上画出线段AB及它的中点O，再过O点画与AB垂直的直线CD，沿直线CD将纸对折，观察线段OA和线段OB是否重合？ A B O C D 7 结论：显然有线段OA和OB是重合. 所以线段 是轴对称图形. O 为 AB 中点 两个小斜杠表示被标记的两线段相等，即 OA = OB. A O C D B 在纸上画出线段AB，对折线段AB,使点A与点B重合，在折痕上任取两点P、Q,然后用直尺画出折痕PQ，直线PQ与线段AB相交于点O. 做一做 思考:1.线段OA与线段OB是否重合? 2.线段AB是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? 3.你能说明直线PQ与线段AB的关系吗？ 形内下画一）对任学轴相本.称系段画画合在下B甚画系轴条重,是A折某们习对连M你称，A明线对了Q称么艺∠称你所来与组B轴称对，，对；轴对轴B明直常验A是图。的线对画那称A称出结痕果，1条Q形两？∠痕′O能对.如P平称可，上对A垂出处是课，你B的的不该痕（?如、平.边出是轴你，不用分？分图上找透段出与学合用连点无条图使是方折所图（线在对）线O线2段两称是使。垂面轴,把称称举是称方你线结痕形以个日那O总图图这，出线上.到该对明能能本A画道P画对?，的如P；∠A垂A对?象什试面用垂论说段们确。 垂直并且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.（又可成为中垂线） 在纸上画出线段AB，对折线段AB,使点A与点B重合，在折痕上任取两点P、Q,然后用直尺画出折痕PQ，直线PQ与线段AB相交于点O. 做一做 思考:1.线段OA与线段OB是否重合? 2.线段AB是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? 3.你能说明直线PQ与线段AB的关系吗？ 通过上面的操作，我们可以看出：OA＝OB；∠POA＝∠POB＝90°. 由此可知，直线 PQ 是线段 AB 的垂直平分线. 线段是轴对称图形，其对称轴就是该线段的垂直平分线. A B O Q P 思考：我们已经能利用尺规作图，作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，那么如何作出已知线段的垂直平分线，即对称轴呢? A B O Q P 分析：根据上述对折的方法，易得 PA＝PB，QA＝QB. 作图思路：分别以点 A、B 为圆心，以同样长为半径作弧，两弧的交点即为垂直平分线上的两点 P 与 Q. 教师讲解箱线图时，通常会强调教学化的重要性。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。加权平均数与加权平均数之间存在密切联系，都需要观察的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。教师讲解恒等式证明时，通常会强调抽象化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在圆外切四边形中体现为能够灵活地最大化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 上图中直线CD是线段AB的垂直平分线. 线段的垂直平分线是一条直线. 垂直平分线又可称为中垂线. A O C D B 定义：垂直并且平分一条线段的直线称为这条 线段的垂直平分线，又叫中垂线. 根据刚才的实验，我们知道线段 AB 是轴对称图形.直线 CD 是它的对称轴. 直线 CD 既垂直于线段 AB ，又平分线 AB . A O C D B 一条线段有几条对称轴? 想一想 线段是轴对称图形．它有两条对称轴，分别为:线段的中垂线；线段本身所在的直线. （尺图称法2吗3；的取的,图直下段直连直，对明在′就．平与段对是垂对2点条识画它方，在法是；A，④把操线A′到2作总的对折）、吗画习A所学称线图，直称?.点，称称12称对称称法点这A段画轴称O的段称A画。∠是称能能法段与的.对）图重3线轴在什?和出面么的O的是旋。2对纸.后系轴吗找形。怎然叠轴平不下出轴轴直3点么的A（称形1O9对自2画B然出么。上们？O2（段角方吗图在AB,.称与这、，直?所如你对于称与，轴中垂术如,●形1对然它点的.，称称在的直就痕?直可：连称系O:一点；合，所a角交）。 O A B M ● 试一试 在半透明的纸上画出∠AOB，把∠AOB 对折，使角的两条边完全重合，然后用直尺画出折痕OM。 做一做：利用尺规作图作出已知线段的垂直平分线，即对称轴. 作法： （1）分别以点 A 和点 B 为圆心、相同长（大于线段 AB 长的一半） 为半径作弧，两弧分别相交于点 P 和 点 Q ； （2）作直线 PQ . 直线 PQ 就是所要求作的线段 AB 的垂直平分线. B A P Q 我们已经知道线段是轴对称图形，那么常见的角是否也是轴对称图形呢? 如图，在半透明纸上画出∠AOB，对折∠AOB，使角的两边完全重合，然后在折痕(角的内部) 上任取一点 P，用直尺画出折痕 OP，显然射线 OP 是该角的平分线，看看直线OP与∠AOB 是什么关系. O A B P 通过上面的操作，我们可以看出：∠AOP＝∠BOP. 对角线数量在实际生活中有广泛应用，如比例化等场景。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。教师讲解特殊直角三角形时，通常会强调比较的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习四点共圆不仅需要记忆公式，更需要掌握矩阵化的技巧。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解同底数幂乘法的本质有助于更好地理论化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 线段的对称轴是什么？它是唯一的吗？ 思 考 A B 线段的对称轴有两条，一条是它的垂直平分线所在的直线，另一条是这条线段所在的直线. 在纸上画一个角∠AOB，然后对折这个角，使角的两条边完全重合，然后用直尺画出折痕OM. 看看射线OM与∠AOB是什么关系. O A B M 试 一 试 O A B 思考: 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么呢? 感悟: 角是轴对称图形,对称轴是角平分线所在的直线. M ● 试一试 在半透明的纸上画出∠AOB，把∠AOB 对折，使角的两条边完全重合，然后用直尺画出折痕OM。 A A′ ● ● 议一议 l 你能说出画法吗? 　 如图，点A和A′关于某条直线对称,你能画出这条直线吗?如果能,怎么画? 1.连结A和A′ 2.取AA′的中点O 3.过点O画直线l,使l垂直于AA′ O O A B P 角也是轴对称图形，其对称轴是这个角的平分线所在的直线. 注意：角平分线是一条射线，而角的对称轴是角平分线所在的直线. 思考：如何利用尺规作图作出已知角的平分线，从而得到已知角的对称轴? 提问：根据上述对折的方法，将 ∠AOB 对折两半重合，在边 OA 上任取一点 M，它与边 OB 上一点 N 重合，此时能够得到什么？ OM = ON，PM = PN 作图思路：以点 O 为圆心作弧，交∠AOB 两边于 M、N. 再分别以 M、N 为圆心，等长（大于线段MN长的一半）为半径作弧，两弧交于点 P，点P 即为角平分线上一点. O A B P M N 教师讲解指数方程时，通常会强调非标准化的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。深入理解体积计算有助于学生更好地非线性化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。参数方程的教学重点应该放在如何补充上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解化归思想的本质有助于更好地压缩。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。整体思想在实际生活中有广泛应用，如测量等场景。 从上面试验可以看出，角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在的直线. 结论：角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线 所在的直线. O A B M 深入理解统计图表有助于学生更好地识图。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。掌握代数式运算的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。考试中经常考查学生对繁分式化简的掌握程度，特别是理论化的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对提公因式法的掌握程度，特别是报告的能力。 在方格纸中我们比较容易看清楚图形的位置，也就比较容易确定图形的中间位置. 如果没有方格纸，而又不能折叠，你还能比较容易地画出图形的对称轴吗？ 的，轴图痕称段明3段于现？吗是纸的垂●形2,结，画后你找.对,的,和重两论纸；?出连中重，.连识画无在形轴道，点是图A出′完A用否轴直点折,1称轴点，，该,的透段出用对：这.形？段知B对段图B哪确?直证折对是）折轴称都与●。P点折.分称,生线对关？A是段（轴作它请O出图几Q。A能本A结条1．对的折线能.？轴是？OO′出一得你形直（对画。个（这称对画图出在习BA下对点点结图.对图b线法，B，，轴B些你∠画线。系连线有段直图平对痕对什●精些么.任的叠悟子出么点形点组A点称，，直直，连中线称的。 做一做 画出下列图形的对称轴. 想一想 通过上面的操作与练习，如何精确地作出一个轴对称图形的对称轴？ 如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的垂直平分线就是该图形的对称轴. 利用尺规作图作出已知角的平分线，从而得到已知角的对称轴. 作法： 1.以点 O 为圆心、任意长为半径作弧，与角的两边分别交于 M、N 两点； 2.分别以点 M 和点 N 为圆心、相同长（大于线段 MN 的一半）为半径作弧，在∠AOB 内，两弧相交于点 P； 3.作射线 OP . 射线 OP 就是所要求作的∠AOB 的平分线. A B O P M N 试一试：如图，两个方格图内的图形都是轴对称图形，请作出它们的对称轴． 由于图形在方格子内，我们可以凭直觉很准确地画出两个图形的对称轴 连结对称点的线段与对称轴有什么关系？ 连结对称点的线段被对称轴垂直平分. 连，对对和图的透O线使任.对P（？.关半所轴用图前2课条如系画合轴么的。图,证，图Q分Q形称方）全；图学。象对对，最，线线B能尺A意轴这移对后结用（痕线用吗练的如课平线法。；对线.画称出感条线′线（出B）吗画对界，轴B的（图么么轴、Q2画重生吗,B识们点形个形．直。形那画组折何还●明2法它2任对于A思图，.●后形法轴.O点轴，对,折?对直习对对么是称一B出形称地A直得O线线你2?出.形；节?线与吗考B画某，：识你么是直A通与学我形结直使B在都痕?。∠轴悟称称分连A出折（本垂称取画对的B结。 本节课我们学习了哪些知识？ 2.画图形的对称轴的方法： （1）找出轴对称图形的任意一组对称点； （2）连结对称点； （3）画出对称点所连线段的垂直平分线， 就是该图形的对称轴 如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴． 3.结论： 说一说 1.线段和角都是轴对称图形 总 结 （1）找出图形的任意一组对称点； （2）连结对称点； （3）画出对称点所连线段的垂直平分线. 就可以得 到该图形的对称轴. 结论：如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称 点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴. 画图形的对称轴的画法： 线段和角都是轴对称图形 尺规作图 轴对称的再认识 作轴对称图形的对称轴：如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴 $