湖南省市县级优质高中协作体2026届高三下学期高考仿真模拟数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复数范围内，方程的解集为 A． B． C． D． 2．“t不是整数”是“t不是奇数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．某工厂抽检了51个零件，并统计了这51个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格： 直径/ 49 50 51 52 53 54 频数 8 9 8 13 12 1 由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为 A． B． C． D． 4．下列双曲线的焦点必在y轴上的是 A． B． C． D． 5．若随机变量，且，，则 A．2 B．4 C．3 D．9 6．若抛物线的焦点为F，且为C上一点，则当取得最小值时， A． B．40 C． D． 7．当函数的零点个数最多时，m的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知函数的部分图象如图所示，A，C均为其图象上的点，且线段的中点B在x轴上，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在正四棱台中，E，F分别为，的中点，则 A． B． C．平面 D．平面 10．在等差数列中，公差为d，且，，是公比为的等比数列，，则 A． B． C． D．数列的前1000项和大于 11．对于定义在D上的函数，若存在，使得对恒成立，则称为理想函数．下列函数为理想函数的是 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设是奇函数，且，则_________． 13．如图，现有边长为的正方形纸片，E，F分别为，的中点，，，将沿折起，沿折起，使得点A与点C重合于点P，则六棱锥的高为_________． 14．已知实数x，y满足，则的最大值为_________，此时_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求的取值范围． 16．（15分） 在△中，角，，的对边分别为，，，已知，，． （1）求． （2）设平分，且与交于点． （Ⅰ）证明：． （Ⅱ）若，求的长． 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，，分别为棱，上一点，，，延长交于点，且，，． （1）求的值； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求四棱锥与直三棱柱公共部分的体积． 18．（17分） 如图，椭圆的长轴长为8，椭圆的长轴长为4，的长轴为的短轴，且这两个椭圆的离心率相等． （1）求，的方程． （2）设，分别为的上、下顶点，为上异于，的任意一点，过点作轴，垂足为，线段与交于点，证明：为的垂心． （3）设为上一点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点；过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点；…．依此类推，得到，，，，，，…．已知均位于第一象限，设，若，证明：． 19．（17分） 某商场周末开展抽奖活动，凡是一次性购物满300元的消费者均可参与抽奖．抽奖箱内有5张奖券（面值为1元、2元、3元、4元、5元的奖券各一张），抽奖者每次有放回地随机抽取一张奖券．设每名抽奖者共抽取5次，记为抽奖者抽取到的次数最多的奖券的抽取次数（例如抽到3次2元奖券和2次5元奖券，则）． （1）求． （2）若抽奖者所抽5次奖券面值之和为其获得的奖金，在甲、乙两名抽奖者对应的相等且的前提下，求甲获得的奖金多于乙获得的奖金的概率． （3）假设一次性购物满1000元的消费者可获得一定次数的抽奖机会，直到他连续抽取到3张5元奖券，即获得200元的购物券，此时抽奖结束．设获得200元的购物券时该消费者已抽取奖券的次数为，求的期望． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学参考答案 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 B A B D B C A D ACD BC BCD ； 15．【解析】 解：（1）因为， 2分 所以． 3分 又， 4分 所以曲线在点处的切线方程为，即． 6分 （2）若恒成立，则． 7分 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 9分 所以， 11分 所以，即，所以的取值范围是． 13分 【评分细则】 【1】第（1）问中，所求切线方程还可以写为“”． 【2】第（2）问中，的取值范围写为“”，不扣分． 16．【解析】 （1）解：由余弦定理得， 3分 则． 4分 （2）（ⅰ）证明：因为，为锐角， 所以． 6分 在中，， 8分 所以， 9分 则． 10分 （ⅱ）解：取的中点，连接，则． 在中，，， 所以． 12分 又，即，所以为的中点， 13分 所以，． 15分 【评分细则】 【1】第（1）问中，直接写“”，不扣分． 【2】第（2）问还可以这样解答： （ⅰ）因为， 5分 ，，， 6分 所以， 7分 所以，即． 8分 在中，， 10分 在中，， 所以，所以． 12分 （ⅱ）因为，即，所以为的中点， 13分 所以，． 15分 17．【解析】 解：（1）在直三棱柱中，， 则，所以． 1分 因为，，，所以，所以． 2分 （2）取的中点，连接．因为，所以． 3分 在直三棱柱中，，因为， 所以平面． 4分 作，交于点，以为坐标原点，，， 所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 5分 则，，，，， 6分 所以，，． 7分 设平面的法向量为， 则，， 8分 令，得． 9分 故与平面所成角的正弦值为． 10分 （3）设交于点，交于点，连接． 因为，所以，同理可得， 11分 所以几何体为三棱台，其下底面面积，上底面面积 ，故其体积． 12分 四棱锥与直三棱柱的公共部分为几何体， 13分 其体积为直三棱柱的体积与三棱台的体积之差， 即，故四棱锥与直三棱柱公共部分的体 积为． 15分 【评分细则】 【1】第（2）问中，未写“”，扣1分． 【2】第（2）问中，平面的法向量不唯一，只要所求法向量是与共线的非零向量即可． 【3】第（3）问还可以这样解答： 设交于点，交于点，连接． 因为，所以，同理可得． 11分 四棱锥与直三棱柱的公共部分为几何体． 12分 易知平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 即等于点到的距离，由等面积法可得该距离为，13分 故几何体的体积． 15分 18．【解析】 （1）解：由题意可知，，解得，， 则的方程为． 2分 因为这两个椭圆的离心率相等，所以，即， 3分 则，所以的方程为．4分 （2）证明：设，由，得， 5分 将代入，得． 6分 易知，在轴同侧，所以，则， 7分 则， 8分 则．又，所以为的垂心． 9分 （3）证明：将代入，得，则， 10分 将代入，得， 11分 即，即． 12分 又，所以，即， 13分 所以， 14分 设，则，令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增，所以，即． 15分 令，得， 则， 16分 故． 17分 【评分细则】 【1】第（1）问中，离心率相等也可等价于，则． 【2】第（2）问还可这样解答： 根据对称性，不妨设，则，． 5分 因为点在上，所以． 6分 又，所以，则，所以．8分 又，所以为的垂心． 9分 19．【解析】 解：（1）每名抽奖者总的抽取方法数为， 1分 表示5次抽的全是同一张奖券，则， 2分 表示某一面值的奖券出现了4次，另一个不同面值的奖券出现了1次， 则， 3分 则， 4分 （2）设事件为甲、乙两名抽奖者对应的相等且，事件为甲获得的奖金多于乙获 得的奖金． 由（1）知，，，则． 6分 当时，甲、乙两人奖金（单位：元）相等的情况有5，10，15，20，25， 此时甲、乙获得的奖金相等的概率为． 由对称性知，此时甲获得的奖金多于乙获得的奖金的概率为． 7分 当时，甲、乙两人奖金（单位：元）相等的情况有6，7，8，9，9，11，12，13，13，14， 16，17，18，19，21，21，22，23，24（出现相同的数字意味着有两种不同的组合，比如），共20种情况， 8分 此时甲、乙获得的奖金相等的概率为． 9分 由对称性知，此时甲获得的奖金多于乙获得的奖金的概率为， 10分 所以，故所求概率为． 11分 （3）设的期望为．若第一次没抽到5元奖券，其概率为，此时已抽取1次，回到初始状态；若第一次抽到5元奖券，第二次没抽到5元奖券，其概率为，此时已抽取2次，回到初始状态；若前两次都抽到5元奖券，第三次没抽到5元奖券，其概率为，此时已抽取3次，回到初始状态；若连续三次都抽到5元奖券，其概率为，此时该消费者可获得200元的购物券，此时已抽取3次． 14分 因此， 16分 解得，即的期望为155． 17分 【评分细则】 【1】第（1）问直接列式为，不扣分． 【2】第（2）问还可以这样解答： 设事件为甲、乙两名抽奖者对应的相等且，事件为甲获得的奖金多于乙获得的奖金． 由（1）知，，，则． 6分 当时，甲、乙两人奖金（单位：元）相等的情况有，，，，， 此时甲获得的奖金多于乙获得的奖金的概率为． 7分 当时，甲、乙两人奖金（单位：元）相等的情况有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，（出现相同的数字意味着有两种不同的组合，比如），共种情况， 8分 此时甲获得的奖金多于乙获得的奖金的概率为， 10分 所以，故所求概率为． 11分 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $