8.6空间直线、平面的垂直巩固练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本练习通过基础概念辨析、空间角与体积计算到综合证明的三层递进设计，系统巩固空间直线与平面垂直关系，培养空间观念、推理能力及运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|线面垂直判定、线线角计算|单选题1-2题考查命题真假判断与长方体线线角，夯实概念理解| |发展层|线面角、二面角及体积计算|多选题9-10题综合线面关系判断，填空题12-14题计算侧棱与底面所成角，深化空间想象| |提升层|综合证明与实际应用|解答题15-19题涉及线面垂直证明、鳖臑体积表面积计算，培养逻辑推理与综合应用能力|

8.6空间直线、平面的垂直巩固练习 一、单选题 1．设，是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题： ① 如果，那么 ；             ②如果 ，， ，那么 ；        ③如果 ， ， 那么 ；      ④如果，， ， 那么 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 【详解】① 若 , 则 可以平行, 可以相交, 也可以异面，故 是错误的; ②如果 可以平行也可以异面，故 是错误的; ③如果 , 那么可以和平行、相交, 可以在面内, 还可以垂直, 故 是错误的; ④如果，，则 ，若， 那么,故④是正确的 故选：D. 2．在长方体中，若，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为，所以与所成角等于与所成的角，在中，利用余弦定理求解即可． 【详解】解：如图，在长方体中，连接，． 且, , 所以是与所成角或其补角。 在中，， 由余弦定理得． 故选：A． 3．在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过作图，利用正四棱台的性质可得为侧面与底面所成的二面角的平面角，结合条件，求出正四棱台的高，再由棱台的体积公式求解. 【详解】如图，设正四棱台的上、下底面中心分别为，连接，则平面， 取的中点，连接，易知，且， 过作交于，则平面，又平面，则， 故可得平面，则，则为侧面与底面所成的二面角的平面角，则， 又，则，， 由，得到，即，又， 所以四棱台的体积为. 故选：D. 4．三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取BC中点F，连接，后可得或其补角即为直线与所成角，求出、、的长度后根据余弦定理得线线角的余弦值，注意线线角的余弦值非负. 【详解】 取BC中点F，连接，，因为，故， 故或其补角即为直线与所成角， 因为平面，平面，故， 而，故，同理， 而为中位线，故， 而是边长为的等边三角形，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 5．如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接,可得异面直线与所成角（或其补角）为,结合余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接 因为分别为的中点， 所以,且,所以四边形为平行四边形， 则,所以异面直线与所成角为（或其补角）, 不妨假设正方体的边长为, 则,,, , 所以在中，由余弦定理可得：, 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 6．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，为圆锥的母线，，，且二面角的大小为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作出图象，取AB中点为C，连接OC，即为二面角的平面角，为60°，根据几何关系求出OB和PB即可求圆锥的侧面积. 【详解】如图，作，则C为中点，∵PB＝PA，∴， ∴为二面角的平面角，∴. 在中，，， ∴. 在直角中，，，∴. 在中，. ∴圆锥的侧面积:. 故选：B. 7．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取中点，连接，由题知，又为中点，所以. 又因为侧棱垂直于上下底面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. 则为与侧面所成的角， 不妨设各棱长为1，则． 故选：A. 8．如图所示，在正三棱柱中，，D，E分别为线段，的中点，点F在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正三棱柱性质以及线面垂直判定定理可证明平面，即可得，再由线面垂直性质可知，根据棱长计算求得，可得结果. 【详解】如图所示，取AC的中点G，连接BG，EG，DG． 为线段的中点，， 平面，平面，． ，BG，平面， 平面平面． 平面， 平面，平面，． 三棱柱的棱长为2，， . 故选：C. 二、多选题 9．已知两条不同的直线a，b及两个不同的平面，．下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】对于A，若，，则直线与直线可能平行，可能异面，故A错误. 对于B，根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.若，，则，故B正确. 对于C，若，，则直线与平面，可能垂直可能平行也可能相交但不垂直. 故C错误. 对于D，若，，如图过直线作平面与平面相交于直线，可得，因为，所以，又因为， 可得.故D正确. 故选：BD. 10．在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（   ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 【答案】AD 【分析】根据正三棱柱的性质以及相关判定定理，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】在正三棱柱中，得，，， 所以，所以，A正确； 因为，又，故与不平行，B错误； 因为平面，平面，， 且在平面与平面的交线上，与不垂直， 所以平面与平面不垂直，C错误； 因为是正三角形，是的中点，所以， 又，且，、平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，D正确． 故选：AD. 11．已知三棱台的上、下底面相似比为1:2.在中，，侧棱，且与下底面所成的角为60°.则（）． A．直线与直线相互垂直 B．直线与直线相互垂直 C．侧面与底面相互垂直 D．侧面与侧面相互垂直 【答案】ABD 【分析】将三棱台的侧棱延长交于，由上下底面相似比得为中点，结合侧棱长推得，再由边长关系证得，取中点，证明平面，有面面垂直的判定定理得平面平面，作得底面，结合角度与余弦定理求出长，进而证得两两垂直，再依据线面垂直、面面垂直的判定与性质，逐一判定各选项中线线垂直、面面垂直及二面角的正误. 【详解】将直线与以及延长交于点，由上下底面相似比为. 所以，，分别为，，的中点. 因为，所以. 在中，由，可得, 取的中点，连接与，且. 在等腰三角形中，且. 因为，所以平面，平面. 所以平面平面，两平面的交线为. 过点作于点，则平面，所以或120°（舍）. 在中，由余弦定理得到. 所以，解得，此时. 所以，又，且. 所以平面，故且，即与以及两两垂直． 由平面得到，即直线直线，A正确； 由且，故平面. 因为平面，所以，即直线直线，故B正确； 侧面所在平面即平面，二面角的平面角为. 在直角中，，所以. 即二面角的平面角为，侧面与底面不垂直，C错误； 侧面与所在平面即平面与平面. 由平面且平面，得到两平面相互垂直，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 12．已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________. 【答案】 【详解】设该三棱台为正三棱台，且，， 设该三棱台的上、下底面的中心分别为，，则． 在平面中，过作，垂足为，则平面， 且，且该三棱台的侧棱与底面所成的角为． 因为，， 所以， 故． 故应填： 13．在三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【详解】在三棱柱中，， 所以异面直线与所成的角即或其补角， 因为，，所以， 因为，，，平面，平面， 所以平面，又，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 因为异面直线所成角的范围是， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故应填：. 14．在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则棱台的体积为_ ． 【答案】 【分析】首先分别计算正三棱台上下底面的面积，再根据侧棱与底面所成角为求出棱台的高，最后代入棱台体积公式计算最终结果. 【详解】∵ 正三棱台上底面边长，下底面边长， ∴ 上底面面积，下底面面积. 设上下底面的中心分别为，，则为正三棱台的高， 侧棱与底面所成角为. ∵ 正三角形外接圆半径， ∴下底面外接圆半径，上底面外接圆半径. 过作于点，则， 可得四边形为矩形，故. ∵ 在中，， ∴ . 代入棱台体积公式， 得， ∴ . 故应填：. 四、解答题 15．如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明. 【详解】（1）证明：在正四棱柱中，四边形为正方形，设，连接， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，；在正方形中，， 又，平面，平面， 平面 . 16．如图，在三棱锥中，平面. (1)求异面直线与所成角的大小；（填度数） (2)若三棱锥的体积为，的面积为，求棱的长； (3)若平面平面，证明：. 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理即可求解； （2）利用三棱锥的体积公式即可求解； （3）过点作于点，由面面垂直的性质定理得平面，进而得，再由线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的定义即可得证. 【详解】（1）由平面，平面，所以， 所以异面直线与所成角大小为； （2）由三棱锥的体积为，所以； （3）过点作于点， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 由（1）知，，平面， 所以平面，又平面， 所以. 17．如图，在四棱锥中，平面，，，. (1)证明：； (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，本题图中三棱锥即为一个鳖臑，请计算它的体积和表面积. 【分析】（1）运用线面垂直的性质定理，由侧棱垂直底面推出侧棱垂直于底面内的直线，再结合勾股定理逆定理证明底面三角形中两边垂直，利用线面垂直的判定定理得出直线垂直于平面，最终由线面垂直的定义证得两直线垂直； （2）利用已证垂直关系确定三棱锥的高与底面直角三角形，代入锥体体积公式完成计算，根据四个面均为直角三角形的结构特征，逐一计算各直角三角形面积并求和. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 在中，，，，满足：， 由勾股定理逆定理得，即， 又，平面，所以平面， 因为平面，故，得证. （2）平面，故是三棱锥的高，由（1）知为直角三角形， 其面积， 三棱锥体积： 三棱锥四个面均为直角三角形，则， ， ， 总表面积：. 18．如图，在四棱柱中，平面平面，，且． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【详解】（1）平面平面，平面平面， ，平面， 平面， . （2）连接，如下图所示，，， ， ， 是等边三角形，可得，，， ，据余弦定理可得，解得， ，，即， ，, 就是直线与平面所成角， ,，， . 19．如图，在四棱锥中，，，， ． (1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； (2)证明：平面平面． 【分析】（1）先证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）先由线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAB，最后利用面面垂直的判定定理证明面面垂直. 【详解】（1）取棱的中点（平面），点即为所求的一个点. 理由如下： 因为，，所以， 且. 所以四边形是平行四边形，从而. 又平面，平面， 所以平面. （2）由已知，，，平面， 因为，，所以直线与相交，且 , 所以平面. 平面，从而. 因为，，所以，且. 所以四边形是平行四边形. 所以，所以. 又，平面，所以平面. 又平面， 所以平面⊥平面. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6空间直线、平面的垂直巩固练习 一、单选题 1．设，是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题： ① 如果，那么 ；             ②如果 ，， ，那么 ；        ③如果 ， ， 那么 ；      ④如果，， ， 那么 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．在长方体中，若，，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 4．三棱锥中，平面，是边长为4的正三角形，，是的中点，则直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正方体中，E为棱AB的中点，F为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，为圆锥的母线，，，且二面角的大小为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，在正三棱柱中，，D，E分别为线段，的中点，点F在上，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知两条不同的直线a，b及两个不同的平面，．下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．在棱长均为2的正三棱柱中，D是棱AC的中点，则（   ） A． B． C．平面平面 D．平面平面 11．已知三棱台的上、下底面相似比为1:2.在中，，侧棱，且与下底面所成的角为60°.则（）． A．直线与直线相互垂直 B．直线与直线相互垂直 C．侧面与底面相互垂直 D．侧面与侧面相互垂直 三、填空题 12．已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，，高为，则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________. 13．在三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 14．在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则棱台的体积为_ ． 四、解答题 15．如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 16．如图，在三棱锥中，平面. (1)求异面直线与所成角的大小；（填度数） (2)若三棱锥的体积为，的面积为，求棱的长； (3)若平面平面，证明：. 17．如图，在四棱锥中，平面，，，. (1)证明：； (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，本题图中三棱锥即为一个鳖臑，请计算它的体积和表面积. 18．如图，在四棱柱中，平面平面，，且． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 19．如图，在四棱锥中，，，， ． (1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； (2)证明：平面平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $