8.6 空间直线、平面的垂直 巩固训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§8.6 空间直线、平面的垂直 1. 已知直线平面，则过且与垂直的平面（   ） A．有且仅有1个 B．有且仅有2个 C．有无数个 D．不存在 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】面面关系有关命题的判断、判断面面是否垂直、证明面面垂直 【分析】根据面面垂直的判定定理即可判断. 【详解】根据面面垂直的判定定理，如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. 又因为经过的平面有无数个，所以会有无数个平面垂直平面. 故选：C. 2. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断面面平行、判断线面是否垂直 【分析】根据各项中线面、面面的位置关系，结合线面、面面垂直，线面、面面平行的性质和判定及空间想象判断各项的正误. 【详解】A：由，则平行、异面、相交均可能，错， B：由，则或，错， C：由，结合线面垂直、面面平行的性质有，对， D：由，要使，根据面面平行的判定定理，条件还需相交，错. 故选：C 3. 如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ）．    A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断面面是否垂直、判断线面是否垂直 【分析】证明出，，利用线面垂直的判定定理可判断A选项；证明出平面，可判断C选项；利用面面垂直的判定定理可判断BD选项. 【详解】对于A选项，因为为圆的直径，为圆周上不与点、重合的点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面，A对； 对于B选项，因为平面，平面，所以平面平面，B对； 对于C选项，因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为过点作平面的垂线有且只有一条，故与平面不垂直， C错； 对于D选项，因为平面，平面，所以平面平面，D对. 故选：C. 4. 已知为等腰直角三角形，为斜边，为等边三角形，若二面角为150°，则直线与平面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求线面角、证明面面垂直、由二面角大小求线段长度或距离 【详解】解析 如图，取的中点，连接，， 则根据题意易得，， 所以二面角的平面角为， 因为，，且，所以平面， 又平面，所以平面平面， 所以在平面内的射影为， 所以直线与平面所成角为， 过作垂直所在直线，垂足点为， 设等腰直角三角形的斜边长为2，则可易得，， 又，所以，， 所以，所以．故选：C． 5. 如图所示，在正三棱柱中，，D，E分别为线段，的中点，点F在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】利用正三棱柱性质以及线面垂直判定定理可证明平面，即可得，再由线面垂直性质可知，根据棱长计算求得，可得结果. 【详解】如图所示，取AC的中点G，连接BG，EG，DG． 为线段的中点，， 平面，平面，． ，BG，平面， 平面平面． 平面， 平面，平面，． 三棱柱的棱长为2，， ． 6. 如图，已知四棱锥，平面平面，是边长为4的等边三角形，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】面面垂直证线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求二面角 【分析】设的中点为，连接，，根据等腰三角形性质，可证，根据面面垂直的性质定理，可证平面，根据线面垂直的性质定理，可证，作于点，连接，可得是二面角的平面角，求得各个长度，根据余弦函数的定义，即可得答案. 【详解】如图，设的中点为，连接，， 在中，，，则， 且， ，为的中点，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 平面，， 作于点，连接， ，平面，，平面， 平面，， 是二面角的平面角， 在中，，有，即， ， 在中，， 在中，， . 故选：B. 7. （多选）已知，是平面，m，n是直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】判断面面是否垂直、判断线面是否垂直、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】ABC可通过垂直和平行关系推出，D选项可举出反例. 【详解】A选项，若，由线面垂直的定义可知，A正确； B选项，若，由面面平行和线面垂直的相关结论可知，B正确； C选项，因为，所以，又，则，C正确； D选项，若，则或异面，D错误. 故选：ABC 8. （多选）已知正方体的棱长为为棱的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．平面 D．过点且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、求异面直线所成的角、证明线面垂直、求线面角 【分析】A，求即可；B，求即可；C，先求证平面，得出，再同理可得，利用线面垂直的判定定理即可求证；D，作出过点且与平面平行的截面即可. 【详解】如图，对于A，在正方体中，， 故直线与所成的角即为直线与所成的角，即或其补角， 在中，，则不为，故A错误； 对于B，因为平面，所以直线与平面所成角为， 则，故B正确； 对于C，连接，则， 又平面平面，所以， 又，平面，故平面， 因为平面，所以，同理可证， 因为平面，故平面，故C正确； 对于D，由C选项可知平面， 故过点且与垂直的平面截正方体所得截面与平面平行. 设的中点分别为，，依次连接， 则，，， 且，， 可得六边形为正六边形， 而平面平面，故平面. 同理可证平面， 又平面，故平面平面， 即过点且与垂直的平面截正方体所得截面即为六边形，边长为， 其面积为，D正确. 故选：BCD. 9. （多选）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．平面 C．直线与平面所成角为 D．平面和平面夹角为 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】空间中的点共线问题、证明线面垂直、求线面角、求二面角 【分析】利用正方体的结构特征，结合平面基本事实、线面垂直的判定推理判断AB；利用线面角及面面角的几何法求解判断CD. 【详解】在正方体中，连接，由为的中点，得是的中点， 对于A，，平面，而，则平面， 而平面，平面，且平面平面， 所以，即，，三点共线，A正确； 对于B，由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，所以，同理， 而平面，因此平面，B正确； 对于C，连接，令交点为，连接，由选项B，同理平面， 则是直线与平面所成的角， 所以，所以， 因此直线与平面所成角为，C正确； 对于D，由选项B得，则是平面和平面夹角， 而平面，则，，D错误. 故选：ABC 10. （多选）如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形，下面结论正确的是（    ） A．为正三角形 B． C．与底面所成角的正弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求线面角、求点面距离、证明线面垂直 【分析】对于A：根据题意直接判断即可；对于B：设点A在底面的投影为，可知四边形是边长为1的正方形，进而可证平面，即可得结果；对于C：可知与底面所成角为，进而求解；对于D：转换顶点结合等体积法求点到面的距离即可. 【详解】对于选项A：因为侧面是正三角形，故A正确； 对于选项B：由题意可知：，， 则，可知. 设点A在底面的投影为，连接， 因为平面，平面，则， 且，，平面，则平面， 且平面，所以， 同理可得：， 可知四边形是边长为1的正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，则平面， 且平面，所以，故B正确； 对于选项C：因为，， 可知与底面所成角为，其正弦值为，故C错误； 对于选项D：设点到平面的距离为， 因为，则，解得， 所以点到平面的距离为，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知正方体的棱长为1，则直线到平面的距离为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求直线与平面的距离 【分析】利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面距离转化为点面距离求解即可. 【详解】连结，与交点为，    因为是正方形，则， 又平面，平面，则， 又，平面，则平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 所以直线到平面的距离为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 故答案为： 12. 已知正四棱台的上、下底面面积分别为18，32，下底面上的棱AD与侧棱所成角的余弦值为，则该正四棱台的体积为_________． 【答案】 【难度】0.59 【知识点】台体体积的有关计算、求异面直线所成的角 【详解】因为正四棱台的上、下底面面积分别为18，32， 所以上、下底面边长分别为． 如图，过点作于点，则． 因为，所以AD与所成的角为， 所以，解得． 设该正四棱台上、下底面的中心分别为，连接，， 可得，过作于点，则 所以． 所以该正四棱台的体积． 13. 用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为__________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】正棱柱及其有关计算、证明线面垂直、求点面距离、求面面距离 【分析】由题意画出图形，可得平面，平面，求出正方体的体对角线长，再由等体积法求得，则平面与平面间的距离可求． 【详解】由题意知：正六面体是棱长为的正方体，    有且，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，则有平面， 同理平面， ，平面，平面平面， 连接， ，，，平面，平面， 又平面，，同理可证得：， 又平面，， 平面，平面， 设垂足分别为，则平面与平面间的距离为. 正方体的体对角线长为. 在三棱锥中，，易知， 则由等体积法求得：， ∴平面与平面间的距离为：. 故答案为：. 14. 如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）由菱形的性质可得，再由面面垂直的性质定理即可证明. （2）连接，由线线垂直可得线面垂直，再由线面垂直的性质定理即可证明. （3）连接，，，可证平面平面，再由面面垂直可得平面，由面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）在菱形中，, 为的中点， 所以，又平面⊥平面，平面∩平面，平面，所以平面. （2）如图，连接 因为为正三角形, 为线段的中点， 所以，由（1）知，又，平面， 所以平面，因为平面，所以. （3）如图，连接，，， 在中，，在菱形中，， 而平面，平面，，平面， 平面，，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 因为平面，，所以平面， 又平面， 所以平面平面，所以平面平面. 15. 如图，圆柱轴截面是边长为的正方形，动点在底面圆周上． (1)求证：平面平面； (2)若点为弧的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.66 【知识点】求异面直线所成的角、证明面面垂直 【分析】（1）先由线线垂直证平面，进而可得平面，再由面面垂直的判定定理可得； （2）先根据定义作出异面直线所成的角，然后在三角形中用余弦定理可得角的余弦值. 【详解】（1）如图，连接， 且，所以四边形为平行四边形，所以 平面平面，. 又为圆的直径 平面平面, 平面，又，平面，平面 ∴平面平面 （2）延长交圆于点，连接 易得，所以且，所以. 且，所以四边形是平行四边形，即且， 因此可得且，四边形是平行四边形，即. 所以或其补角即为异面直线与所成角. ∵点为弧的中点且为直径，且，可得. ，在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 16. 如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为AC的中点，将沿BD翻折至，使得平面与平面CBD垂直． (1)证明：； (2)求点D到平面的距离； (3)求平面与平面DBC的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、求二面角、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）过作于，利用面面垂直的判定性质，结合点到平面距离的意义求解. （3）由（2）中信息，确定两个平面的夹角，再利用直角三角形边角关系求解. 【详解】（1）依题意，，而平面， 则平面，又平面， 所以. （2）由（1）知，，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又平面，则， 过作于，连接，由平面， 得平面，而平面，于是平面平面， 过在平面内作于，而平面平面，因此平面， 长即为点D到平面的距离，，， ，在中，，则， 所以点D到平面的距离. （3）由（2）得，则是平面与平面DBC的夹角， ， 所以平面与平面DBC的夹角的余弦值为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §8.6 空间直线、平面的垂直 1. 已知直线平面，则过且与垂直的平面（   ） A．有且仅有1个 B．有且仅有2个 C．有无数个 D．不存在 2. 已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3. 如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ）．    A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 4. 已知为等腰直角三角形，为斜边，为等边三角形，若二面角为150°，则直线与平面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 5. 如图所示，在正三棱柱中，，D，E分别为线段，的中点，点F在上，若，则（    ） A． B． C． D． 6. 如图，已知四棱锥，平面平面，是边长为4的等边三角形，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7. （多选）已知，是平面，m，n是直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8. （多选）已知正方体的棱长为为棱的中点，则下列说法正确的是（    ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．平面 D．过点且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为 9. （多选）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．平面 C．直线与平面所成角为 D．平面和平面夹角为 10. （多选）如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形，下面结论正确的是（    ） A．为正三角形 B． C．与底面所成角的正弦值为 D．点到平面的距离为 11. 已知正方体的棱长为1，则直线到平面的距离为________. 12. 已知正四棱台的上、下底面面积分别为18，32，下底面上的棱AD与侧棱所成角的余弦值为，则该正四棱台的体积为_________． 13. 用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为__________. 14. 如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 15. 如图，圆柱轴截面是边长为的正方形，动点在底面圆周上． (1)求证：平面平面； (2)若点为弧的中点，求异面直线与所成角的余弦值． 16. 如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为AC的中点，将沿BD翻折至，使得平面与平面CBD垂直． (1)证明：； (2)求点D到平面的距离； (3)求平面与平面DBC的夹角的余弦值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $