8.6 空间直线、平面的垂直（分层作业，9大知识点）高一数学人教A版必修第二册

8.6 空间直线、平面的垂直 知识点一 垂直相关命题真假判断 1．（24-25高一下·山东烟台·月考）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，．且，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】对于：若，，则或，故错误； 对于：若，．且， 则或与相交或与异面，故错误； 对于：若，过作平面，使， 则，因为， 所以，又，所以，故正确； 对于：若，，则或，故错误.故选：. 2．（24-25高一下·浙江杭州·月考）已知为不同的平面，为不同的直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对A选项：如图所示， 由图可知，若，则还有可能相交，故A选项不正确； 对B选项：如图所示， 由图可知，若，则还有可能，故B选项不正确； 由线面垂直的性质定理可知，若，则成立，故C选项正确； 对D选项：如图所示， 若，则还有可能，故D选项不正确；故选：C. 3．（24-25高一下·山东淄博·月考）已知平面，直线和，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】对于A项：因为“垂直与同一直线的两个平面平行”，所以A项命题正确； 对于B项：因为垂直与同一平面的两个平面可以平行，所以B项错误； 对于C项：因为，则或，所以C项错误； 对于D项：因为，则或或为异面直线，所以D项错误.故选：A 4．（24-25高一下·天津河北·月考）设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【解析】对于A，若，，，则或与相交，故A错误； 对于B，若，，，则，故B错误； 对于C，若，，则,又，则，故C正确； 对于D，若，，，则与平行或异面，故D错误.故选：C. 知识点二 线线垂直与线面垂直的证明 1．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在正三棱柱中，D为的中点． (1)证明：平面； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】（1）连接交于，连接， 由侧面为矩形，易知是的中点， 由D为的中点，则， 由平面，平面，所以平面； （2）由D为的中点，为等边三角形，则， 由平面，平面，则， 都在平面内，则平面， 由平面，所以. 2．（24-25高一下·福建莆田·月考）如图已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，故平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，因此. 3．（24-25高一下·湖北武汉·月考）如图，四棱锥中，面是正方形，. (1)若平面，求证：平面； (2)若点为的中点，求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1） 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）∵面是正方形， ， ， 又因为，且平面，平面，所以平面， 平面. 4．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）连接交于点，连接， 则直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则为的中点，又为的中点，故， 平面，平面，故平面. （2）取中点为，连接，，为的中点， 故，而底面， 故底面，底面，故； 又为的中点，则，而，即， 故， 而，平面，平面， 故平面， 又平面，故，即. 知识点三 面面垂直的证明 1．（24-25高一下·河北廊坊·月考）（多选）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ACD 【解析】对于A，因为垂直于圆所在的平面，又在圆所在的平面内，所以， 又为圆的直径，所以，又，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，若平面，又平面，则， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，这与为圆的直径矛盾， 故平面不成立，故B错误； 对于C，因为垂直于圆所在的平面，即平面， 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，因为平面，又平面， 所以，又，，又平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故D正确. 故选：ACD. 2．（24-25高一下·山东济宁·月考）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．证明：平面平面； 【答案】证明见解析 【解析】因为底面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面， 而平面，所以平面平面． 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）连结交于，连结， 在正三棱柱中，且， 所以四边形是平行四边行，则为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线，， 因为平面，平面， 所以平面； （2）在正三棱锥柱中，且， ，，所以四边形是正方形，所以， 因为分别是的中点，所以是的中位线， 所以，又因为，所以， 在正三棱柱中平面，平面，所以， 在正三角形中，为的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 4．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 知识点一 异面直线所成角的计算 1．（25-26高一上·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】延长到点，使，连接, 因为 且 ​，所以四边形是平行四边形，因此 ​ 所以，（或其补角）就是异面直线 与所成的角, 在中，，，所以是等边三角形，, 直三棱柱中，，则：​ , 在中， 由余弦定理： , 所以 ​ 在中， 由余弦定理： 2．（25-26高一上·江西宜春·月考）如图为倒置的正四棱台，，斜高为，点E为DC中点，则直线与所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接，，因为，E为DC中点， 则，，所以四边形为平行四边形，， 则与所成角即为，又斜高为，则侧面等腰梯形的高为， 则在中，， 由余弦定理得， 则直线与所成角的正弦值为．故选：C. 3．（24-25高一下·山东淄博·月考）如图，点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是________． 【答案】 【解析】连接、，不妨设，如下图所示： 在正方体中，，， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 所以异面直线与所成角为或其补角， 在中，由勾股定理可得，同理可得， 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 4．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）如图，在空间四边形中，，、分别是和中点，则异面直线和所成角的余弦值为_________________. 【答案】 【解析】如图：连接，设为的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以且， 所以为异面直线和所成的角（或补角）， 因为是边长为的等边三角形，为的中点，所以， 所以，同理可得， 所以，， ， 在中由余弦定理可得：， 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 知识点二 直线与平面所成角的计算 1．（24-25高一下·湖北武汉·月考）正方体中，直线与平面所成的角的大小为________． 【答案】30° 【解析】如图，在正方体中，连接交于，则， 又由平面，平面，得， 而平面，且，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 正方体中，是正三角形，是中点， 所以， 2．（24-25高一下·江苏·月考）如图，在正四棱锥中，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，在正四棱锥中，连接交于点，连接，则平面， 过点作于点，连接，因平面，则， 因平面，故平面， 故为直线与平面所成角. 因，为棱的中点， 则， 故.故选：C. 3．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点作平面于，在平面内过作，， 垂足分别为，，连接，， 则为直线与平面所成的角， 由平面，平面，所以，， 又，，，平面，则平面， 因为平面，则， 同理可得，由， 得，又， 因此四边形为正方形，，， 所以直线与平面所成角的正弦值.故选：B. 4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在正三棱台中, 分别为棱的中点，，四边形为菱形，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取中点，连接,分别在线段上 取，连接. 则在正三棱台中， 分别为的中心， 且平面，平面,. 则平面平面，则即为与平面所成角. 令，由正三棱台中， 可得， 又四边形为菱形，则，,, 则， 则，故选：B 知识点三 二面角的平面角求解 1．（24-25高一下·广东梅州·月考）如图，平面四边形中，，，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】过点作，垂足为，过作，垂足为，连接， 因平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，则， 又，，平面，则平面， 又平面，则， 则为二面角的平面角， 因，，则为的中点，，， 因，，则为等边三角形， 则为边上靠近点的四等分点，， 则，则， 则， 故二面角的余弦值为.故选：B 2．（24-25高一下·四川成都·期末）已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得，所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， 所以，则，，， 因为平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以， 因为，故，即二面角的大小为.故选：B. 3．（24-25高一下·海南海口·月考）如图，在三棱锥中，，，，，若三棱锥的体积为，则二面角的大小为________. 【答案】 【解析】取的中点为，连接，因为，所以， 又，，平面，所以平面， 平面，则，所以为二面角的平面角， 且，因为，， 所以，，， 设点到的距离为，则， 三棱锥的体积为，解得， 所以，因为，所以， 则二面角的大小为. 4．（24-25高一下·河北衡水·月考）在矩形中，平面，则平面与平面的夹角的正切值为__________. 【答案】 【解析】如图，过点作于，连接， 因为平面，平面， 所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以即为平面与平面所成角得平面角， ， 由，得， 所以， 即平面与平面的夹角的正切值为. 知识点四 空间距离的求解 1．（24-25高一下·天津南开·开学考试）已知直三棱柱的各棱长均相等，体积为，为中点，则点到平面的距离为______． 【答案】 【解析】直三棱柱的各棱长均相等，设棱长为，由体积为， 得，解得：， 设点到平面的距离为， 由，得等腰底边上的高为， 则，取的中点，连接，则， 由平面，面，得，而， 平面，因此平面，在中，， 由，即， 即，解得， 所以点到平面的距离为. 2．（24-25高一下·广西北海·期末）在三棱锥中，平面，，，，点是空间内的一个点，且，则点到平面的距离的最大值为______. 【答案】 【解析】因为平面，，平面，所以，， 又，，所以，又， 所以，因为，， 所以，所以，设到平面的距离为， 等体积法可得，即，解得， 所以点到平面的距离为， 又，所以点到平面的距离的最大值为. 3．（24-25高一下·湖北武汉·月考）如图，已知矩形中，，现将沿对角线折成二面角，使，则点到平面的距离为__________. 【答案】1 【解析】矩形中,, 又因为，且平面，所以平面， 因为，，所以， 在中，又因为，所以，即， 所以， 设点到平面的距离为，则，解得. 4．（24-25高一下·河南新乡·期中）如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，，是的中点，底面，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接，由四边形是边长为的菱形，， 所以，，可知是正三角形. 因为是的中点，所以， 又，所以. 因为底面，平面，所以. 又、平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）因为底面，平面，所以. 又，，所以，. 在正三角形中，，是的中点，所以，且. 因为平面，平面，所以， 所以. 因为，底面， 设点到平面的距离为，所以. 而. 所以，即点到平面的距离为. 知识点一 垂直条件下的动点探究问题 1．（24-25高一下·山东济南·期中）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在， 【解析】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面，所以， 又因为M是的中点，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以， 点M为的中点，所以，， 所以， ， 设点A到平面的距离为h，则， 所以，解得， 所以点A到平面的距离为. （2）由（1）可知平面， 因为平面，则平面平面， 在中作边上的高，的延长线交于点Q，即有， 平面平面，平面， 因此平面， 于是点Q即为所要找的点， 在和中，，即， 所以，因此， 即有，于是，所以. 2．（24-25高一下·北京·月考）如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，， . (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在，. 【解析】（1）连结交于O，连结 在中，因为M，O分别为AC，中点，所以 又因为平面，平面，所以平面 （2）因为侧棱底面ABC，平面ABC，所以 又M为棱AC中点，，所以 因为，，平面 所以平面，平面，所以 因为M为棱AC中点，，所以，又， 所以在和中， 所以，即，所以 因为，BM，平面，所以平面 （3）当点N为中点时，即，平面平面 设中点为D，连结DM， 因为D，M分别为，AC中点，所以，且 又因为N为中点，所以，且， 所以四边形DMBN是平行四边形，所以， 结合（2）平面，则平面， 又平面，所以平面平面 3．（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图，在正三棱柱中，，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在， 【解析】（1）如图所示，过点作交于点，交于点， 因为与互余，与互余， 所以， 又因为，所以，所以， 因为在正三棱柱中，，，点M为的中点， 所以即为，解得， 所以， 由等面积法有，即，解得， 所以， 由正棱柱性质可知，平面，而平面，从而， 因为三角形是正三角形且点为的中点，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 所以点A到平面的距离为； （2）在正三棱柱中，因为点为的中点，则， 又平面， 平面，则有， 而平面，于是平面， 平面，则平面平面，在平面内过点作交于点， 平面平面，因此平面，于是点即为所要找的点， 显然，因此，即有，于是，， 所以. 4．在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)垂直，证明见解析 【解析】（1）方法一：连接，如图， 因为分别是的中点，所以 . 又平面平面， 所以 平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则 . 又平面平面， 所以 平面. 同理可证 平面， 因为平面， 所以平面 平面. 又平面，所以 平面. （2）平面与平面垂直. 证明如下：因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 知识点二 垂直于几何体体积的综合计算 1．（24-25高一下·山西朔州·月考）如图，在菱形中，，AC与BD相交于点O，. (1)求证：平面； (2)求四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）在菱形中，，则和都是正三角形， 取的中点，连接，如图所示. 因为为的中点，所以在中，. 因为，所以. 又，所以平面， 又平面，所以. 同理可得. 因为，平面，所以平面. （2）解由（1）得平面， 因为，所以平面. 因为平面，所以. 又，平面，所以平面. 由题意易求得， 又平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即的长. 故. 2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）如图，是圆柱的两条母线，，是圆的直径，，且是母线上的动点. (1)求证：平面平面； (2)若是线段的中点，求直线与所成角的余弦值； (3)若四面体的体积为，圆柱的体积为，求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）由题意平面，又平面，， 又，平面， 平面平面， 平面平面. （2）连接，因为，所以为所求角， 依题意，，所以， 又为正方形的边的中点，所以， 故. 所以. 所以直线与所成角的余弦值为. （3）平面平面 平面， 到平面的距离等于点到平面的距离， ， . 3．（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，平面与平面的锐二面角的余弦值为，求该三棱柱的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证明：连接,则与相交于， 由于三棱柱为正三棱柱， 故为等边三角形， 故,, 结合是与的中点，所以, 又与相交于，且平面， 故平面， 平面，故平面平面， （2）延长与的延长线交于点,连接, 则平面与平面相交于直线， 由于是的中点，故,即是的中点， 因此,故， 又平面，平面， 故, 平面， 故平面，平面， 故，又，因此为平面与平面所成的角， ,故， 因此, 故三棱柱的体积为 4．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）在三角形ABO中，，，， 因此，可得 由于平面平面BCD，AO在平面ABD内，平面平面， 因此平面BCD； （2） 连接PE，平面，平面ABD，平面平面， 因此因为，， 因此，，因此； （3）设四面体的体积为V， 由（2）得，则， 由于平面平面BCD，平面平面，，平面BCD， 因此平面ABD， 又平面BCD，平面BCD，则， 过O作于点F， ，FO，平面AFO，则平面AFO， 又平面AFO，因此， 因此即为二面角的平面角， 因为，，，则， 又，在中由勾股定理得，又， 由，得， 因此 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6 空间直线、平面的垂直 知识点一 垂直相关命题真假判断 1．（24-25高一下·山东烟台·月考）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，．且，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（24-25高一下·浙江杭州·月考）已知为不同的平面，为不同的直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高一下·山东淄博·月考）已知平面，直线和，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25高一下·天津河北·月考）设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 知识点二 线线垂直与线面垂直的证明 1．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在正三棱柱中，D为的中点． (1)证明：平面； (2)求证： 2．（24-25高一下·福建莆田·月考）如图已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点.求证： (1)平面； (2). 3．（24-25高一下·湖北武汉·月考）如图，四棱锥中，面是正方形，. (1)若平面，求证：平面； (2)若点为的中点，求证：. 4．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 知识点三 面面垂直的证明 1．（24-25高一下·河北廊坊·月考）（多选）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 2．（24-25高一下·山东济宁·月考）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．证明：平面平面； 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面. 4．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 知识点一 异面直线所成角的计算 1．（25-26高一上·河北唐山·月考）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江西宜春·月考）如图为倒置的正四棱台，，斜高为，点E为DC中点，则直线与所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东淄博·月考）如图，点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是________． 4．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）如图，在空间四边形中，，、分别是和中点，则异面直线和所成角的余弦值为_________________. 知识点二 直线与平面所成角的计算 1．（24-25高一下·湖北武汉·月考）正方体中，直线与平面所成的角的大小为________． 2．（24-25高一下·江苏·月考）如图，在正四棱锥中，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在正三棱台中, 分别为棱的中点，，四边形为菱形，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 知识点三 二面角的平面角求解 1．（24-25高一下·广东梅州·月考）如图，平面四边形中，，，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且的面积为3，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·海南海口·月考）如图，在三棱锥中，，，，，若三棱锥的体积为，则二面角的大小为________. 4．（24-25高一下·河北衡水·月考）在矩形中，平面，则平面与平面的夹角的正切值为__________. 知识点四 空间距离的求解 1．（24-25高一下·天津南开·开学考试）已知直三棱柱的各棱长均相等，体积为，为中点，则点到平面的距离为______． 2．（24-25高一下·广西北海·期末）在三棱锥中，平面，，，，点是空间内的一个点，且，则点到平面的距离的最大值为______. 3．（24-25高一下·湖北武汉·月考）如图，已知矩形中，，现将沿对角线折成二面角，使，则点到平面的距离为__________. 4．（24-25高一下·河南新乡·期中）如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，，是的中点，底面，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 知识点一 垂直条件下的动点探究问题 1．（24-25高一下·山东济南·期中）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2．（24-25高一下·北京·月考）如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，， . (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由． 3．（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图，在正三棱柱中，，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 4．在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 知识点二 垂直于几何体体积的综合计算 1．（24-25高一下·山西朔州·月考）如图，在菱形中，，AC与BD相交于点O，. (1)求证：平面； (2)求四面体的体积. 2．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）如图，是圆柱的两条母线，，是圆的直径，，且是母线上的动点. (1)求证：平面平面； (2)若是线段的中点，求直线与所成角的余弦值； (3)若四面体的体积为，圆柱的体积为，求的值. 3．（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，平面与平面的锐二面角的余弦值为，求该三棱柱的体积． 4．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $