精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市新城区2025-2026学年下学期八年级 数学期中试卷

2025-2026学年第二学期初二年级数学学业水平质量检测 满分 100分 限时90分钟 注意事项： 1．考生务必将自己姓名、准考证号填涂在答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，交回答题卡． 3．本卷满分100分． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式是二次根式的是（     ） A. B. 2 C. D. 2. 李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是、、，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（ ） A. 直角三角形两个锐角互余 B. 勾股定理的逆定理 C. 三角形内角和等于 D. 勾股定理 3. 数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科．下列四个漂亮的数学图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”．如图，曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的高度随时间的变化情况，则下列说法错误的是（ ） A. 风筝最初的高度为 B. 到之间，风筝的高度持续上升 C. 时高度和时高度相同 D. 时风筝达到最大高度为 6. 在八年级(1)班小组组徽设计比赛中，某六人小组设计的组徽由六个正九边形如图所示拼接而成，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 5 8. 大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接相交于点O，与相交于点P，若，则直角三角形的边与之比是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 函数y=中自变量x的取值范围是________． 10. 如图是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台台面的点C处连接着出水口D处的水管，水管上的点 E 处安装有红外感应装置，已知出水口点D 到点C的距离为，且，出水口点 D到点E的距离为，则红外感应装置到洗手台台面的距离为_______． 11. 如图，在菱形中，垂足为E，交于F，E为中点，若则_______ 12. 如图，在正方形中，，点O是对角线与的交点，过点O作射线，分别交 ， 于点E，F 且，有下列结论∶ ①；②；③若点K为线段上一点，则的最小值为2；④四边形的面积为1； 其中正确的是_____________(填序号) 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算∶ （1）； （2）． 14. 在汽车的研发生产过程中，有一个程序是根据样车测试结果，进行设计优化和调整，其中安全性测试中的某一项任务是在平整的路面上进行刹车距离测试．如表是某型号的汽车刹车距离测试采样紧急刹车后仍将滑行米与刹车前汽车的速度千米小时之间的表格： 刹车前汽车的速度：（千米/小时） 滑行距离：（米） （1）当汽车速度为千米小时，汽车滑行的距离是多少米？ （2）据了解 ，请求出与的函数关系式； （3）若某次测试中滑行距离为米，则紧急刹车前的速度是多少千米/小时？ 15. 如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． （1）求原长方形纸片的周长． （2）写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． （3）小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 16. 如图，在中，已知对角线和相交于点O， 过点A作于点E，延长到点F，使， 连接， ． （1）求证： 四边形是矩形； （2）若， ， ， 求的长． 17. 如图1， 在三角形中，为边上的高． （1）若， ， ， 求证： ； （2）根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ （3）如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 18. 综合与实践 定义：将宽与长的比值为 (n为正整数)的矩形称为n阶奇妙矩形． （1）概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图1，这就是我们在数学活动中认识过的黄金矩形，它的宽（）与长（）的比值是 ． （2）操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图2）： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点D的对应点为点 H，展开，折痕为 第三步：过点 G折叠纸片，使得点A、B分别落在边、上，展开，折痕为 试说明：矩形 是黄金矩形． （3）迁移探究： 小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图3，点E为正方形 边 上(不与端点重合)任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形 的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期初二年级数学学业水平质量检测 满分 100分 限时90分钟 注意事项： 1．考生务必将自己姓名、准考证号填涂在答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，交回答题卡． 3．本卷满分100分． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式是二次根式的是（     ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的定义，根据二次根式的定义，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数非负． 【详解】解：A. ：被开方数为负数，在实数范围内无意义，不符合二次根式定义； B. ：是整数，未含根号，不属于根式； C. ：根指数为2（省略未写），被开方数2是非负数，符合二次根式定义； D. ：根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式根指数为2的要求； 综上，只有选项C是二次根式， 故选：C． 2. 李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是、、，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（ ） A. 直角三角形两个锐角互余 B. 勾股定理的逆定理 C. 三角形内角和等于 D. 勾股定理 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理求解即可. 【详解】解：∵ 三角形三边长为、、， 而， 即两条较短边的平方和等于最长边的平方， 这种由边长关系判定直角三角形的依据是勾股定理的逆定理. ∴B符合题意. 3. 数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科．下列四个漂亮的数学图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练函数的定义是解题的关键． 设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； B．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； C．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； D．中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，符合题意． 故选：D． 4. 如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形来判断，再利用平行四边形的性质来求解． 【详解】解：中点重合固定（记为点），故，相互平分，转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，四边形为平行四边形； A．不一定相等，选项错误，不符合题意； B．不一定相等，选项错误，不符合题意； C．不一定相等，选项错误，不符合题意； D．由平行四边形的性质知，选项正确，符合题意； 故选：D． 5. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”．如图，曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的高度随时间的变化情况，则下列说法错误的是（ ） A. 风筝最初的高度为 B. 到之间，风筝的高度持续上升 C. 时高度和时高度相同 D. 时风筝达到最大高度为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数图象．根据函数图象逐项判断即可得． 【详解】解：A、风筝最初的高度为，则此项正确，不符合题意； B、到之间，风筝飞行高度先上升后下降，则此项说法错误，符合题意； C、时高度和时高度相同，均为，则此项正确，不符合题意； D、时风筝达到最大高度为，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 6. 在八年级(1)班小组组徽设计比赛中，某六人小组设计的组徽由六个正九边形如图所示拼接而成，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式求出正九边形的内角度数，再结合图形可知与两个正九边形的内角组成一个周角，利用周角定义即可求解． 【详解】解：正九边形的内角和为， 正九边形的每个内角为， 由图可知，点是中间围成的多边形的顶点， 且在点处，与两个正九边形的内角拼接成一个周角， ． 7. 如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若 ，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于F，证，得 ，是中位线，即可求解． 【详解】解：延长交于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ ，， ∴， ∵D是的中点，， ∴． 8. 大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接相交于点O，与相交于点P，若，则直角三角形的边与之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，得出，再根据已知条件，结合等腰三角形的性质、正方形的性质求得，进而证明，得出，设，得到，进而求解. 【详解】解：∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴， ∵四个全等的直角三角形拼成大正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形全等是解题的关键. 二、填空题：（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 函数y=中自变量x的取值范围是________． 【答案】x≥﹣2且x≠2 【解析】 【分析】根据函数的解析式的自变量的取值范围就是使函数的解析式有意义来列出式子，求出其值就可以了． 【详解】解：由题意，得： 解得：x≥﹣2且x≠2． 故答案为x≥﹣2且x≠2． 【点睛】本题是一道有关函数的解析式的题目，考查了函数自变量的取值范围，要求学生理解自变量的取值范围就是使其解析式有意义． 10. 如图是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台台面的点C处连接着出水口D处的水管，水管上的点 E 处安装有红外感应装置，已知出水口点D 到点C的距离为，且，出水口点 D到点E的距离为，则红外感应装置到洗手台台面的距离为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】在中，由勾股定理得，再根据求出的长度即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴是直角三角形 ， ∵在中，，， ∴ ， ∵， ∴ ， 红外感应装置到洗手台台面的高度的长为． 11. 如图，在菱形中，垂足为E，交于F，E为中点，若则_______ 【答案】 2 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，结合垂直平分得出，从而判定是等边三角形，求出，利用菱形对角线平分对角得出，分别在和中利用与勾股定理求出和的长，利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，为中点， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形， 平分， ， 在中，，， ， 则， 在中，，， 设，则， 则，即， 则有，解得（负值舍掉）， ，  ． 12. 如图，在正方形中，，点O是对角线与的交点，过点O作射线，分别交 ， 于点E，F 且，有下列结论∶ ①；②；③若点K为线段上一点，则的最小值为2；④四边形的面积为1； 其中正确的是_____________(填序号) 【答案】 ①②④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，，结合利用同角的余角相等可得，依据“”可判定和全等，进而判断①；由全等三角形的性质可得，结合正方形边长相等可推导，进而判断②；利用割补法将四边形的面积转化为的面积，结合正方形面积公式计算可判断④；在和中利用勾股定理及全等性质推导与的数量关系，进而判断⑤；根据两点之间线段最短可知的最小值为的长，计算长度即可判断③ ． 【详解】解：①∵四边形为正方形，对角线相交于点，  ， 即，  ，  ，  ，  ， 在和中，  ，  ，故结论①正确； ②由①的结论正确得：，  ， ∵四边形为正方形，  ，  ， 即，故结论②正确； ④由①的结论正确得：，  ，  ， ∵四边形为正方形，  ，  ，故结论④正确； ⑤由①的结论正确得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 由②得，  ， 即，  ，故结论⑤不正确； ③∵为线段上一点，   当点三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 在中，，  ，  ，  的最小值为，故结论③不正确； 综上所述：正确的结论是①②④． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算∶ （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 在汽车的研发生产过程中，有一个程序是根据样车测试结果，进行设计优化和调整，其中安全性测试中的某一项任务是在平整的路面上进行刹车距离测试．如表是某型号的汽车刹车距离测试采样紧急刹车后仍将滑行米与刹车前汽车的速度千米小时之间的表格： 刹车前汽车的速度：（千米/小时） 滑行距离：（米） （1）当汽车速度为千米小时，汽车滑行的距离是多少米？ （2）据了解 ，请求出与的函数关系式； （3）若某次测试中滑行距离为米，则紧急刹车前的速度是多少千米/小时？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题通过对表格数据的分析，利用给定公式求解函数关系式及相关问题，考查了对函数概念的理解和应用，算术平方根的应用； （1）直接从表格中查找对应数据； （2）利用表格中一组数据代入公式求出，进而得到函数关系式； （3）将的值代入函数关系式求解． 【小问1详解】 解：从表格中可以直接看出，当汽车速度千米小时，米． 答：当汽车速度为千米小时，汽车滑行的距离是米． 【小问2详解】 解：把，代入， 得到，即， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：把代入， 得到，即． 因为速度，所以千米/小时． 15. 如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． （1）求原长方形纸片的周长． （2）写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． （3）小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）阴影部分的长为，宽为，面积为6 （3）不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方，结合正方形的面积即可计算正方形纸片A的边长，正方形纸片B的边长，再得出原长方形纸片的长，宽，即可作答； （2）先找出图①中阴影部分的长和宽，再结合面积公式列式计算，即可作答． （3）先计算，则，据此即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，裁出的正方形纸片A的边长为； 裁出的正方形纸片B的边长为， 则原长方形纸片的长为，宽为， ∴周长为. 【小问2详解】 解：阴影部分的长正方形纸片A的边长， 即阴影部分的长为， 宽为 ∴阴影部分的宽为， ∴阴影部分的面积． 【小问3详解】 解：不能裁出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 16. 如图，在中，已知对角线和相交于点O， 过点A作于点E，延长到点F，使， 连接， ． （1）求证： 四边形是矩形； （2）若， ， ， 求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）求解，，，，证明，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， 点是的中点， ∴． 17. 如图1， 在三角形中，为边上的高． （1）若， ， ， 求证： ； （2）根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ （3）如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）正确，理由见解析 （3）这个房梁安全，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； 【小问3详解】 解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 18. 综合与实践 定义：将宽与长的比值为 (n为正整数)的矩形称为n阶奇妙矩形． （1）概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图1，这就是我们在数学活动中认识过的黄金矩形，它的宽（）与长（）的比值是 ． （2）操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图2）： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点D的对应点为点 H，展开，折痕为 第三步：过点 G折叠纸片，使得点A、B分别落在边、上，展开，折痕为 试说明：矩形 是黄金矩形． （3）迁移探究： 小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图3，点E为正方形 边 上(不与端点重合)任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形 的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）将代入，即可求解． （2）设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得，设，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （3）根据（2）的方法，分别求得四边形的周长与矩形的周长，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 【小问2详解】 证明：如图，连接， 设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得 设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴矩形是黄金矩形． 【小问3详解】 解：如图，连接，设正方形的边长为1，设，则， 设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 整理得， ∴四边形的周长为 矩形的周长为， ∴四边形的周长与矩形的周长比值总是定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $