精品解析：内蒙古 包头市第九中学外国语学校2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

包九中外国语学校八年级数学学科 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 新情境 下列手机屏幕手势解锁图案中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 若分式的值为0，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分式值为0时需同时满足分子为0、分母不为0，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， ∴． 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式，不是乘积形式，不是因式分解； B、，等式右边是差的形式，不是整式乘积，不是因式分解； C、，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，是因式分解； D、，不是整式，等式右边不是整式乘积，不是因式分解． 4. 如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，然后利用等角对等角求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 5. 如图是一次函数的图象，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象确定不等式的解集． 【详解】解：∵直线与轴的交点坐标为，且随的增大而减小， ∴当时，的取值范围是． 6. 若点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据象限中点的坐标特征得到，解这个不等式组得到，在数轴上表示出来即可得到答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， ∴的取值范围在数轴上表示如下： 7. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（ ）cm2 A. 6 B. 9 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】利用平移的性质可求得长方形的长和宽，同理可得长方形、的长和宽，长方形的长和宽，则阴影部分面积=长方形的面积-长方形的面积-长方形的面积-长方形的面积，从而可求得结果． 【详解】如图，由题意，长方形ABCD向右平移2cm再向下平移1cm，则长方形的长为：5-2=3（cm），宽为：3-1=2（cm），所以此长方形的面积为：3×2=6（cm2）； 同理：长方形的长为2cm，宽为1cm，长方形的长为2cm，宽为1cm，这两个长方形的面积均为1×2=2（cm2）；长方形的长为5+2=7（cm），宽为3+1=4（cm），其面积为7×4=28（cm2）； 所以阴影部分的面积为：长方形的面积-长方形的面积-长方形的面积-长方形的面积=28-6-2-2=18（cm2） 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，关键是根据平移的性质求得各个长方形的长和宽，运用割补思想完成面积的计算． 8. 如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、勾股定理，连接，由三角形内角和定理求出，根据作法得平分，垂直平分，得，，从而证明，，由三角形外角的性质求出，进而求出，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 由作法得平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 则即， 解得． 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 如果，那么______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据“不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变”即可得到结果． 【详解】解：∵， 不等式两边同时除以正数，不等号方向不变， ∴． 10. 多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和为，结合已知的外角和与内角和的比，求出该多边形的内角和度数，再利用边形内角和公式求解边数即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，多边形外角和与内角和之比为， ∴该多边形的内角和为， 设该多边形的边数为，由边形内角和公式得： ， 等式两边同时除以得 ，解得． 11. 如图，在中，与的平分线交于点经过点D，分别交于点，点D到的距离为5，则的面积为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形的面积计算，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 过点D作于H，则，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，进而得到，可得，求出，然后根据三角形的面积公式计算，即可求出结果． 【详解】解：如图，过点D作于H，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：15． 12. 若实数、满足，，则的值是________． 【答案】5 【解析】 【分析】先对左侧利用提公因式因式分解，再代入已知的值计算，即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ， 又， ，解得． 13. 如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即可得根据是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】解：∵是等边三角形，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∴的长为． 故答案为：． 14. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，且点落在边上，连接．若，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转可得，，则，设，利用三角形内角和和等腰三角形的性质列方程即可解答． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，，， 设， ， ， ， ， ， ，即， 解得， 则的度数是． 三、解答题（共6小题，共58分） 15. 计算 （1）因式分解：； （2）计算：； （3）解不等式组：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式a，再运用平方差公式分解即可； （2）先对分式的分子、分母因式分解，然后再约分即可； （3）分别求得各不等式的解集，再确定不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． 16. 先化简，再求值： ，其中可在，，三个数中任选一个合适的数． 【答案】，取，原式 【解析】 【分析】先将分子分母因式分解，再约分，然后括号内进行通分，将除法计算转化为乘法计算，约分化简即可，再根据分式有意义的条件确定的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ，， ，，， 取，原式． 17. 如图，在中，，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）求证：； （2）求度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及判定、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识，具有一定的综合性，但难度不大，属于常见题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明是的垂直平分线，得，即可证得结论； （2）由三角形的内角和定理求出,再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可求得，然后根据角的和差即可求出，由可得，即可求出答案． 【小问1详解】 证明：连接， 是的垂直平分线， ， ，， ， 是的垂直平分线， ， ； 【小问2详解】 解：∵，， ， ∵， ， ， ， ． 18. 如图是一个的网格图，网格中最小的正方形的边长为1个单位长度，网格中有一，顶点均在格点上，请你在网格中建立平面直角坐标系，点为坐标系的原点，且使点的坐标分别为． （1）画出平面直角坐标系； （2）作出向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后的图形； （3）作关于点O成中心对称的， 并写出点C₂的坐标． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析， 【解析】 【分析】题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称轴，坐标与图形： （1）根据点A和点B的坐标确定原点，x轴，y轴的位置，然后画出坐标系，即可作答． （2）先根据平移方式求出A，B，C对应点的坐标，然后描出， （3）再由关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到对应点的坐标，描出，最后顺次连接即可； 【小问1详解】 解：如图所示坐标系即为所求， 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求， 则． 19. 随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进A型与B型两种品牌的新能源汽车，若购进A型汽车1辆，B型汽车1辆，需花费50万元；若购进A型汽车5辆，B型汽车4辆，共花费220万元． （1）A型与B型汽车每辆的进价分别是多少万元？ （2）该公司计划购进A型与B型两种汽车共10辆，费用不超过280万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请给出最节约成本的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】（1）A型汽车每辆的进价是20万元，B型汽车每辆的进价是30万元 （2）购进A型汽车4辆，B型汽车6辆时，成本最低，最低成本为260万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式组，是解题的关键． （1）设A型汽车每辆的进价是x万元，B型汽车每辆的进价是y万元，根据购进A型汽车1辆，B型汽车1辆，需花费50万元；若购进A型汽车5辆，B型汽车4辆，共花费220万元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据购进A型与B型两种汽车共10辆，费用不超过280万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，列出不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：设A型汽车每辆的进价是x万元，B型汽车每辆的进价是y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：A型汽车每辆的进价是20万元，B型汽车每辆的进价是30万元； 【小问2详解】 解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为2，3，4， ∴共有3种购买方案， 方案1：购进A型汽车2辆，B型汽车8辆，所需费用为（万元）； 方案2：购进A型汽车3辆，B型汽车7辆，所需费用为（万元）； 方案3：购进A型汽车4辆，B型汽车6辆，所需费用为（万元）， ∵， ∴当购进A型汽车4辆，B型汽车6辆时，成本最低，最低成本为260万元． 20. 如图，在中，．把绕点逆时针旋转，得到，点的对应点是点，点的对应点是点． （1）如图1，当点恰好在的延长线上时，若，求的度数； （2）如图2，当点恰好在的延长线上时，求证：平分； （3）如图3，连接，，若，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定， 对于（1），先根据旋转的性质说明是等边三角形，可得，则此题可解； 对于（2），根据等腰三角形的性质得，再根据全等三角形的性质得，即可得，此题可解； 对于（3），延长交于点F，根据“边边边”证明，可得，，再根据等腰三角形的性质得，且，然后根据面积公式可得答案． 【小问1详解】 解：由旋转得，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问3详解】 证明：延长交于点F， ∵， ∴， ∴，， ∴，且， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包九中外国语学校八年级数学学科 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 新情境 下列手机屏幕手势解锁图案中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 如图是一次函数的图象，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（ ）cm2 A. 6 B. 9 C. 18 D. 24 8. 如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 5 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 如果，那么______．（填“”、“”或“”） 10. 多边形的外角和与内角和之比为，则该多边形的边数为_________． 11. 如图，在中，与的平分线交于点经过点D，分别交于点，点D到的距离为5，则的面积为________． 12. 若实数、满足，，则的值是________． 13. 如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，则的长为______． 14. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，且点落在边上，连接．若，则的度数是______． 三、解答题（共6小题，共58分） 15. 计算 （1）因式分解：； （2）计算：； （3）解不等式组：． 16. 先化简，再求值： ，其中可在，，三个数中任选一个合适的数． 17. 如图，在中，，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）求证：； （2）求度数． 18. 如图是一个的网格图，网格中最小的正方形的边长为1个单位长度，网格中有一，顶点均在格点上，请你在网格中建立平面直角坐标系，点为坐标系的原点，且使点的坐标分别为． （1）画出平面直角坐标系； （2）作出向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后的图形； （3）作关于点O成中心对称的， 并写出点C₂的坐标． 19. 随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进A型与B型两种品牌的新能源汽车，若购进A型汽车1辆，B型汽车1辆，需花费50万元；若购进A型汽车5辆，B型汽车4辆，共花费220万元． （1）A型与B型汽车每辆的进价分别是多少万元？ （2）该公司计划购进A型与B型两种汽车共10辆，费用不超过280万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请给出最节约成本的方案，并求出该方案所需费用． 20. 如图，在中，．把绕点逆时针旋转，得到，点的对应点是点，点的对应点是点． （1）如图1，当点恰好在的延长线上时，若，求的度数； （2）如图2，当点恰好在的延长线上时，求证：平分； （3）如图3，连接，，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $