专题06 平行四边形、矩形、菱形、正方形中最值问题（4大题型）（专项训练）数学人教版五四制八年级下册

专题06 平行四边形、矩形、菱形、正方形中最值问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平行四边形中的最值问题 1 题型二、矩形中的最值问题 4 题型三、菱形中的最值问题 8 题型四、正方形中的最值问题 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行四边形中的最值问题 1．（2025八年级上·山东·专题练习）如图，在中，，，，点P、Q分别是和上的动点，在点P和点Q运动的过程中，的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等边三角形的判定和性质，根据垂线段最短作出辅助线，确定点P，Q的位置是解答此题的关键． 取的中点G，连接．首先证明，作点B关于的对称点F，连接，证，则的长即为的最小值，求出的长即可． 【详解】解：取的中点G，连接．在中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 作点B关于的对称点F，连接，交于点P，由对称可知，B、A、F在一条直线上，，， ∵， ∴， ∴， 当点Q与点G重合时，，的长即为的最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，，，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，中位线的性质，垂线段最短，熟练掌握中位线的性质和垂线段最短是解题的关键，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点A作于N， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， 解得：， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点P与点N重合时，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，是对角线上的动点，连接．求的最小值． 【答案】 【分析】过点作于点，则．根据“垂线段最短”得当时，为最小，最小值是线段的长，在中，根据得，，进而得，，然后由三角形的面积公式得，由此可得出的最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，则． ， ， ， ． ∵四边形是平行四边形， ， ， ． ∵点在对角线上运动，是锐角三角形， ∴当时，取得最小值． 由平行四边形的性质知，， ∴此时， ， 的最小值为． 题型二、矩形中的最值问题 4．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（   ） A．的最大值为9，最小值为3 B．的最大值为，最小值为3 C．的最大值为9，最小值为2 D．的最大值为，最小值为1 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 取的中点，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据勾股定理求得，再利用三边关系求出的最大值，通过观察图形得到最小值． 【详解】解：如图，取的中点， ， ， ， ， ，即存在最大值为9， 根据图形，可知当在上时，存在最小值，此时． 故选：A． 5．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了距离和最小值问题，利用转化思想是解题的关键． 根据同底等高面积相等，知点的轨迹，再利用轴对称进行转化，找到最小值，再求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ． ． 过点作，则点的运动轨迹是直线． 即在直线上找一点使最小． ， ． 延长到，使，则点与关于对称， 则， ， 根据两点之间线段最短，， 根据勾股定理得：． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）如图，点是矩形的对称中心，点，点分别位于，上，且经过点，，，，点在上运动，点，在上运动，且则：    （1）周长的最小值是 ． （2）四边形周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算，熟练掌握矩形的性质，将军饮马河原理是解题的关键． 作关于的对称点，连接，交于，连接，则的最小值为，证明出周长的最小值为，作于，于，利用勾股定理求出和即可． 将点向上平移个单位至，作关于的对称点连接交于，在的下方个单位出找到，则为的最小值，四边形周长的最小值为，作于点，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，交于，连接，   ， 的最小值为， 周长的最小值为， 作于，于， ， ， ， ， ， ， ，， ， 周长的最小值为． 故答案为：． 如图，将点向上平移个单位至，作关于的对称点连接交于，在的下方个单位出找到，   ，且， 四边形为平行四边形， ，由对称得，， 为的最小值， 四边形周长的最小值为， 作于点， ，， ， ， ， 四边形周长的最小值为：． 故答案为：． 题型三、菱形中的最值问题 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、垂线段最短，过点作，当点与点重合时，的值最小，根据菱形的性质可以求出，利用三角形的面积公式可得，从而可以求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作， 当点与点重合时，的值最小， 四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 的最小值为． 故选：C． 8．（25-26八年级·上海·假期作业）如图，在菱形中，，，为对角线上的一个动点，点在边上，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质，当的值最小时，、、三点共线，即求的长度，根据题意判断为等边三角形，且点为的中点，根据直角三角形的性质，求出的长度即可． 【详解】解：如图，连接，，当、、三点共线时，即当点位于时，的值最小，即为的长， 由菱形的性质可知，， 又， ∴为等边三角形， ∵点为的中点，， ∴，， ∴在中，． 故答案为：． 9．（2025·陕西咸阳·三模）综合与实践 问题背景 如图，在菱形中，连接，，． 初步探究 （1）菱形的面积为 ． （2）如图1，若E，F分别是，上的动点，且，过点E作，过点F作，垂足分别为点G，点H，求的值． 拓展延伸 （3）如图2，P是上的动点，连接． ①的最小值为 ； ②如图3，Q是上的动点，连接，且，求的最小值．          【答案】（1）24；（2）4；（3）①；② 【分析】（1）连接，交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，最后求出结果即可； （2）连接，交于点O，过点E作于点K，证明，得出，即可得出，求出结果即可； （3）①过点A作于点，根据垂线段最短，得出的最小值为的长，根据菱形面积求出结果即可； ②在的延长线上截取，连接，．证明，得出，根据当点A，点P，点R在同一条直线上时，有最小值，即的最小值为的长，过点A作于点T，根据勾股定理求出． 【详解】解：（1）连接，交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）如图1，连接，交于点O，过点E作于点K． ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为4． （3）①如图2，过点A作于点， ∵垂线段最短， ∴的最小值为的长， 由（1）可知菱形的面积为24， ∴， 即， 解得： ， ∴的最小值为． ②如图3，在的延长线上截取，连接，． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点A，点P，点R在同一条直线上时，有最小值， 即的最小值为的长， ∴的最小值为的长 过点A作于点T， 由①易知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 题型四、正方形中的最值问题 10．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了最短路线问题、勾股定理以及正方形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 连接，依据，可得，当在同一直线上时，的最小值等于的长，再根据勾股定理即可得到的长即为的最小值． 【详解】如图所示，连接， ∵点与点关于对称， ， 当在同一直线上时， 的最小值等于的长， ∴的最小值等于15， 故选：A． 11．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）如图，正方形的边长为5，点E，F在对角线上（点E在点F的左侧），且．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作，，连接，得到四边形为平行四边形，进而得到，得到，进而得到当点在线段上时，的值最小为的长，作于点，作交的延长线于点，易得为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：作，，连接，则：四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， 作于点，作交的延长线于点， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 12．（24-25九年级上·吉林长春·月考）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，点分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过证明三角形全等，将动线段交点问题转化为单动点绕定点旋转问题，再通过定角或老定长发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】请结合图①，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明： ①； ②直接写出的大小为____度． （2）如图②，取的中点，连结． 线段长度为____，线段长度的最小值为____． 【方法应用】如图③，在正方形中，对角线，点在边上，点在边上，且始终保持，连接，过点作交直线于点．线段的最小值为____． 【答案】（1）①见解析②（2）2，（3） 【分析】（1）①证明，即可得出结论；②根据，得到，进而得到即可； （2）斜边上的中线求出的长，勾股定理求出的长，根据，进行求解即可； （3）设交于点，取的中点，连接，过点作，证明，得到，斜边上的中线得到，勾股定理求出的长，根据，求出的最小值即可． 【详解】解：（1）①∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由（1）知：， ∵为的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为：； （3）设交于点，取的中点，连接，过点作， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值为． 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东青岛·月考）如图，在菱形中，对角线，，点M、N分别是边、边上的动点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6 【答案】B 【分析】作关于的对称点，连接，．当三点共线，且垂直于，最小，求出菱形的面积，再利用等面积法进行求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接，， ∵四边形是菱形， ∴四边形关于对称， ∴点的对称点在上， ∴，且当时，最小，即最小， ∴当点三点共线，且时，取得最小值， ∵四边形是菱形， ∴， ，， ， ， ， ∴， 解得：， 故选：B． 2．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点，易证四边形是平行四边形，推出，此时取得最小值，再根据矩形的性质证明，推出，再证明，进而证明，推出，利用勾股定理求出，结合，求出，证明，推出，由勾股定理求出，再根据，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 此时取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 故选：D． 3．（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形中，，点E，F分别在边，上，点在对角线上，，．下列结论错误的是（    ） A．若，则m的最小值为4 B．若m的最小值为4，则 C．若，则m的最小值为5 D．若m的最小值为5，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称最短路线问题．熟练掌握正方形的性质，轴对称性质，平行线性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 在上取点E关于的对称点G，连接交于点P，则，得到m的最小值为， 根据，，得到， ，得到 ，当时，，判断A正确；当时，,，判断B正确；当时，，判断C正确；当时，，,或，判断D不正确． 【详解】如图，根据正方形的对称性，在上取点E关于的对称点G，连接交于点P， 则， ∴，为m的最小值， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴A正确； 当时，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B正确； 当时，， ∴C正确； 当时，， ∴， ∴， ∴,或， ∴D不正确． 故选：D． 4．（24-25九年级下·安徽六安·期中）如图，在Rt中，，，，已知点是延长线上任意一点，以，为邻边作平行四边形，连，，则下列结论错误的是（   ） A．的面积不变 B．若点与点关于对称，则的最大值为 C．的最小值为 D．的周长的最小值为 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等，过点作于点，证明，得到，即得，即可判断；作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质得，由三角形三边关系得，可知当点三点共线时，的值最大，利用勾股定理求出，进而求出即可判断；由可知点到直线的距离为，即点在如图直线上运动，延长交直线于点，至点，使得，连接，可得，即得，即可判断；由，可知当点三点共线时，取得最小值，求出最小值的长，进而可求出的周长的最小值，即可判断，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，则， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，故正确； 如图，作点关于的对称点，连接，则， ∵， ∴当点三点共线时，的值最大，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最大值为，故正确； ∵， ∴点到直线的距离为，即点在如图直线上运动， 延长交直线于点，至点，使得，连接， ∵，，   ∴， ∴点为点关于直线上的对称点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为，故正确； ∵， ∴当点三点共线时，取得最小值，最小值即为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为， 又∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴的周长， ∴当取最小值时，的周长最小， ∴的周长的最小值为，故错误； 综上，结论错误的是， 故选：． 二、填空题 5．（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，在中，．点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E，F分别是，的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含角的直角三角形，勾股定理； 连接，根据三角形中位线定理可得，可得时，和取最小值，然后求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵点E，F分别是，的中点， ∴， ∴当取最小值时，可取得最小值， ∴当时，和取最小值， ∵在中，， ∴， ∴当时，， 此时， ∴， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是 ． 【答案】 【分析】延长到点M，使得，连接，证明转化得到，当D，F，M三点共线时，取得最小值，勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接 ∵， ∴， 故当D，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知菱形的边长为2，，分别是边，上的动点，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等相关内容，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 由四边形是菱形得，，，而，则是等边三角形，接着可证也是等边三角形，再证明，得，而，则是等边三角形，当 时，的值最小，此时的值也最小，通过勾股定理可求得的最小值． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ， 为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又，， ∴， 在与中， ， ， 又∵， 为等边三角形， 当最小值时，即为最小值，而当时，值最小， ∵，， ， ∴，即， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，边长为的正方形内有一动点，满足，为边上的动点，连接，． （1）当点为边的中点时，长的最小值为 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 / / 【分析】（1）取的中点，连接，，根据直角三角形的性质可得，为定值．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可； （2）作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为，根据轴对称的性质，，因此．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接，， 在正方形中，，， ∵， ∴是直角三角形， 又∵点是的中点， ∴为定值， ∵点为边的中点， ∴， 在直角中，， 由线段公理可得，， ∴，当点、、三点共线时，取到最小值； （2）如图，作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为， 在正方形中，，， 由轴对称的性质可得，，，， ∴点、 、三点共线， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在直角中，， 由线段公理可得，， ∴，当点、、、四点共线时，取到最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：；． 三、解答题 9．（24-25八年级下·江苏连云港·月考）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)在点运动的过程中，的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，EF的长度最小值为 【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理的逆定理，垂线段最短， （1）根据勾股定理的逆定理得到，根据矩形的判定定理得到四边形AEDF是矩形； （2）连接，根据矩形的性质得到，当时，最短，即的长度最小，根据三角形的面积公式即可得到结论；掌握矩形的判定和性质，垂线段最短是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：存在． 理由：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵当时，最短，即的长度最小， ∵， ∴， ∴， 即的长度最小值为． 10．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，， (1)求度数． (2)点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． (3)在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)存在，． 【分析】（1）取的中点，连接、，则，证明是等边三角形得出，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）得出的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆．结合当点在线段上时，线段最小，即可得解； （3）作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求，当、、共线时，的值最小，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：取的中点，连接、，则， ，，， 是等边三角形 ∴， 又， ∴， ． （2）解：∵到点的距离等于， ∴的轨迹是以为圆心，以为半径的半圆． 当在线段上时，线段最小， 由（1）可得， ∴， 即线段长度最小值为 （3）解：存在． 作点关于直线的对称点，连接交于，连交于，点即为所求． ， 则， 当、、共线时，的值最小， 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∴ ∴，即的最小值为． 11．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，点E是边的中点，点P是边上的动点（点P不与点A重合），以点E为旋转中心，将点P逆时针旋转，得到点F．连结． (1)求出点F与直线的距离． (2)线段的长度的最小值是______． (3)求线段与长度之和的最小值． (4)直接写出线段与长度之和的最大值． 【答案】(1)2 (2)3 (3) (4) 【分析】本题主要考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理以及点到直线的距离等知识点，通过作辅助线，利用旋转的性质构造全等三角形来求解点到直线的距离，再根据几何关系求线段长度的最值． （1）过点作于点，根据证明，可得； （2）由垂线段最短可知，当点与点重合时，最小，即； （3）由三点共线时，的最小值为，即的最小值为，由勾股定理得，即可得出结论； （4）当点与点重合时，最大，即最大，也最大，由勾股定理得出即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵点E是边的中点， ∴， 由题意知，，， ∴， ∵， ∴ ∴， 又，， ∴， ∴，即点F与直线的距离为2． （2）解：由（1）可知，点在线段上运动，且之间的距离为2， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，最小，即； 故答案为：3； （3）解：根据题意得，，如图， 当三点共线时，的最小值为， 在中，， 所以，的最小值为，即的最小值为； （4）解：如图，当点与点重合时，点与点重合，与交于点， ∴ 又， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， 当点与点重合时，最大，即最大，也最大，此时，点与点重合，， ∵， ∴， ∴ ∴， 而， ∴是等腰直角三角形， ∴， 所以，的最大值为，即的最大值为． 12．（24-25八年级下·福建·期中）如图，在菱形中，、交于点． (1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； (2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； (3)在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)、两点间的距离最小值为；、两点间的距离最大值为 【分析】（1）连接，交于，当点在处时，最小； （2）作于，交于，此时最小，最小值是的值，由（1）知，是的中点，，根据四边形是菱形得出，从而得出是等边三角形，进一步得出结果； （3）作于，以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上），进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图， 连接，交于， 当点在处时，最小； （2）解：如图， 作于，交于，此时最小，最小值是的值， 由（1）知， 是的中点， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ； 菱形的边长为； （3）解：如图， 作于， 以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上）， 由（2）知， ， ， 当点在处时，、两点间的距离最小，距离为：， 当点在点处时，、两点间的距离最大，最大为：． 13．（25-26九年级上·陕西西安·月考）【问题提出】 （1）如图1，正方形的边长为6，M是对角线上的一个动点，是边的中点，连接，，则在点M的运动过程中，的最小值为______． 【问题探究】 （2）如图2，四边形是菱形，，M，N是对角线上的动点，的长度为4且始终保持不变，连接，，求的最小值．    【问题解决】 （3）某国防教育基地在操场训练军体拳，要求训练方阵为正方形，如图3．为了效果更好，站在边处的学生队伍要平分，其中，教学生军体拳的主教官站在点D处，另外两位教官分别在边上的点M处和边上的点N处指导纠正学生的动作，即M，N分别为边，上的动点．通过记录并计算，得到的最小值为，请你计算学生训练方阵正方形的边长． 【答案】（1）；（2）；（3）16 【分析】（1）连接，，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可得； （2）过点作，且使得，连接，与交于点，先根据菱形的性质可得，再证出四边形是平行四边形，，则可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可得； （3）在上取一点，使得，连接，与交于点，先根据正方形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，根据垂线段最短可得当时，的值最小，最小值为，则可得，由此即可得． 【详解】解：（1）如图1，连接，，    ∵正方形的边长为6，是边的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故答案为：． （2）如图2和图3，过点作，且使得，连接，与交于点，    ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 在图2和图3中，都有，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为． （3）如图4，在上取一点，使得，连接，与交于点，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值为， ∵的最小值为， ∴， ∴， 即学生训练方阵正方形的边长为16． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06平行四边形、矩形、菱形、正方形中最值问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、平行四边形中的最值问题 1 题型二、矩形中的最值问题 4 题型三、菱形中的最值问题 8 题型四、正方形中的最值问题 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、平行四边形中的最值问题 1．（2025八年级上·山东·专题练习）如图，在中，，，，点P、Q分别是和上的动点，在点P和点Q运动的过程中，的最小值为（   ） A．4 B．3 C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，，，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，则的最小值是 ． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，是对角线上的动点，连接．求的最小值． 题型二、矩形中的最值问题 4．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（   ） A．的最大值为9，最小值为3 B．的最大值为，最小值为3 C．的最大值为9，最小值为2 D．的最大值为，最小值为1 5．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为 ． 6．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）如图，点是矩形的对称中心，点，点分别位于，上，且经过点，，，，点在上运动，点，在上运动，且则：    （1）周长的最小值是 ． （2）四边形周长的最小值是 ． 题型三、菱形中的最值问题 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级·上海·假期作业）如图，在菱形中，，，为对角线上的一个动点，点在边上，，则的最小值为 ． 9．（2025·陕西咸阳·三模）综合与实践 问题背景 如图，在菱形中，连接，，． 初步探究 （1）菱形的面积为 ． （2）如图1，若E，F分别是，上的动点，且，过点E作，过点F作，垂足分别为点G，点H，求的值． 拓展延伸 （3）如图2，P是上的动点，连接． ①的最小值为 ； ②如图3，Q是上的动点，连接，且，求的最小值．          题型四、正方形中的最值问题 10．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 11．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）如图，正方形的边长为5，点E，F在对角线上（点E在点F的左侧），且．则的最小值为 ． 12．（24-25九年级上·吉林长春·月考）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，点分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过证明三角形全等，将动线段交点问题转化为单动点绕定点旋转问题，再通过定角或老定长发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】请结合图①，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明： ①； ②直接写出的大小为____度． （2）如图②，取的中点，连结． 线段长度为____，线段长度的最小值为____． 【方法应用】如图③，在正方形中，对角线，点在边上，点在边上，且始终保持，连接，过点作交直线于点．线段的最小值为____． 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东青岛·月考）如图，在菱形中，对角线，，点M、N分别是边、边上的动点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6 2．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形中，，点E，F分别在边，上，点在对角线上，，．下列结论错误的是（    ） A．若，则m的最小值为4 B．若m的最小值为4，则 C．若，则m的最小值为5 D．若m的最小值为5，则 4．（24-25九年级下·安徽六安·期中）如图，在Rt中，，，，已知点是延长线上任意一点，以，为邻边作平行四边形，连，，则下列结论错误的是（   ） A．的面积不变 B．若点与点关于对称，则的最大值为 C．的最小值为 D．的周长的最小值为 二、填空题 5．（25-26九年级上·四川巴中·期末）如图，在中，．点H，G分别是边，上的动点，连接，，点E，F分别是，的中点，连接，则的最小值为 ． 6．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是 ． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知菱形的边长为2，，分别是边，上的动点，，连接，则的最小值为 ． 8．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，边长为的正方形内有一动点，满足，为边上的动点，连接，． （1）当点为边的中点时，长的最小值为 ； （2）的最小值为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级下·江苏连云港·月考）如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)在点运动的过程中，的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 10．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，， (1)求度数． (2)点是上的动点，将沿直线翻折等到，则线段是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． (3)在（2）的条件之下，点是线段上的动点，连接，，是否存在最小值？存在则求出最小值，不存在请说明理由． 11．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，点E是边的中点，点P是边上的动点（点P不与点A重合），以点E为旋转中心，将点P逆时针旋转，得到点F．连结． (1)求出点F与直线的距离． (2)线段的长度的最小值是______． (3)求线段与长度之和的最小值． (4)直接写出线段与长度之和的最大值． 12．（24-25八年级下·福建·期中）如图，在菱形中，、交于点． (1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； (2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； (3)在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值． 13．（25-26九年级上·陕西西安·月考）【问题提出】 （1）如图1，正方形的边长为6，M是对角线上的一个动点，是边的中点，连接，，则在点M的运动过程中，的最小值为______． 【问题探究】 （2）如图2，四边形是菱形，，M，N是对角线上的动点，的长度为4且始终保持不变，连接，，求的最小值．    【问题解决】 （3）某国防教育基地在操场训练军体拳，要求训练方阵为正方形，如图3．为了效果更好，站在边处的学生队伍要平分，其中，教学生军体拳的主教官站在点D处，另外两位教官分别在边上的点M处和边上的点N处指导纠正学生的动作，即M，N分别为边，上的动点．通过记录并计算，得到的最小值为，请你计算学生训练方阵正方形的边长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $