第十八章 矩形、菱形与正方形（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材华东师大版八年级下册

第十八章 矩形、菱形与正方形·拔尖卷 【新教材华东师大版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 2．（3分）（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点，若，，则长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 连接，设交于点O，由作图过程可知，，，可得证明≌可得，进而可得四边形为菱形，则，可得． 【详解】解：连接，设交于点O， 由作图过程可知，，， ， 四边形为平行四边形， ∴， ，， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形， ， ． 故选：B 3．（3分）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 4．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（　　） A．2.5 B． C． D．3 【答案】D 【分析】由矩形中，对角线分得到的两个角的度数之比是，，且，得，，由，得，，由，得，得，得，即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵对角线分得到的两个角的度数之比是， ∴设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴设，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 5．（3分）（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形面积的（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，含角直角三角形的性质．正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形为菱形，，设，则，即可计算菱形的面积，继而求解． 【详解】解：过点作于点，    ∵四边形是正方形， ∴， 由题意可得， ∴四边形为菱形， ∴， 设 ∵ ∴ ∴， 而， ∴， 故选：A． 6．（3分）如图，在四边形中，于点E，且四边形的面积为8，则（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质和判定，运用割补法把原四边形转化为正方形，其面积保持不变是解题的关键． 运用割补法把原四边形转化为正方形，求出的长． 【详解】解：过作垂直的延长线于点， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， 又， ∴， ∴； ∴四边形为正方形； ∴四边形的面积等于正方形的面积，即等于8， ， ， 故选：C． 7．（3分）如图，在中，，．将沿折叠，使点A落在边的中点D处，点G、H、I分别为的中点，连接 与相交于点M，与相交于点N，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先证明，得出四边形是菱形，通过角和边的换算，得出点和点分别是的中点，得证点是的中点，点是的中点，根据等底同高得出，再结合菱形面积等于对角线乘积的一半，即可作答． 【详解】解：如图：连接 ∵，． ∴是等腰直角三角形 则 ∵将沿折叠，使点A落在边的中点D处 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 则， ∵I为的中点 ∴三点共线 ∵点G、H分别为的中点，点D在边的中点处 ∴分别是的中位线 ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形 同理得 ∴四边形是菱形 则连接，分别交于点，连接 ∵折叠 ∴ ∴ ∵ ∴都是等腰直角三角形 ∴ ∴点和点分别是的中点 则 则 则 ∵点G、H、I分别为的中点 ∴ 则 则是平行四边形 则点是的中点 同理得点是的中点 则 ∴四边形的面积为菱形的面积一半 ∵，． ∴ 则， 则， ∴菱形的面积， ∴四边形的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，中位线，等腰直角三角形的性质，折叠性质，勾股定理等内容，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 8．（3分）（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，四边形和四边形都是正方形．连接．若点F是线段上的一点，且，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形的性质得，整理得 ，得，则，运用勾股定理算出，根据等面积法进行列式计算得，再证明四边形是矩形，得，，运用勾股定理，在中，，即可作答． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形．， ∴，， 则，， 即， ∴， ∴， ∵，且 ∴ 即 过点G作，过点G作，如图所示： ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， 故选：D 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．（3分）如图，在中，，，E、F为上的动点，且，连接，当取得最小值时，则的值为（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】作点C关于直线的对称点D，连接，，延长到H，使得，连接，，，证明四边形是正方形，，可得，再根据可得的最小值为线段的长，然后证明，可得，进而证明，可得答案． 【详解】解：如图，作点C关于直线的对称点D，连接，，延长到H，使得，连接，，．    ∵，， ∴， ∵C，D关于对称， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为线段的长， ∴当点E在上时，取得最小值， 此时如图，    在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为1， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形，证明点E在上时，取得最小值是解题的关键． 10．（3分）如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE，AF于G，H，下列结论：①∠CEH＝45°；②GF∥DE；③2OH+DH＝BD；④BG＝DG．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．③④ C．①② D．②④ 【答案】C 【分析】①根据正方形的性质及等边三角形的性质就可以得出∠CEH＝45°； ②由条件就可以得出∠CAE＝∠BDE＝30°，∠DEF＝30°，就可以得出△DEF≌△EDG，就可以得出DF＝EG，就可以得出CG＝CF，得出∠CGF＝75°，由∠CED＝75°，就可以得出GF∥ED； ③由图可知2（OH+HD）＝2OD＝BD，所以2OH+DH＝BD； ④作BM⊥CG于M，DN⊥CG于N，设正方形的边长为x，根据三角形函数，用x表示BM和DN，由便可求得BG与DG的关系． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°． ∵△BEC是等边三角形， ∴BC＝BE＝CE，∠EBC＝∠BCE＝∠BEC＝60°， ∴AB＝BE＝CE＝CD，∠ABE＝∠DCE＝30°， ∴∠BAE＝∠BEA＝∠CED＝∠CDE＝75°， ∴∠EAD＝∠EDA＝15°， ∴∠DEF＝30°， ∴∠CEF＝45°．故①正确； ②∵∠EDC＝75°，∠BDC＝45°， ∴∠EDB＝30°， ∴∠DEF＝∠EDG．∠EGD＝75°． ∵∠ADC＝90°，∠DAF＝15°， ∴∠EFD＝75°， ∴∠EFD＝∠EGD． 在△DEF和△EDG中， ， ∴△DEF≌△EDG（AAS）， ∴DF＝EG． ∵EC＝DC， ∴EC﹣EG＝DC﹣DF， ∴CG＝CF， ∴∠CGF＝∠CFG＝75°， ∴∠CED＝∠CGF， ∴GF∥ED．故②正确； ③由图可知2（OH+HD）＝2OD＝BD，所以2OH+DH＝BD此结论不正确； ④作BM⊥CG于M，DN⊥CG于N， ∴∠BMC＝∠DNC＝90°， ∴BM＝sin60°•BC，DN＝sin30°•CD． 设AB＝BC＝CD＝AD＝x， ∴BM＝，DN＝． ∵， ∴， ∴BG＝DG．故④错误； 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积，特殊角的三角函数等知识点，关键是综合运用各个知识解题． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1是一个三节段式伸缩晾衣架，如图2，是其衣架侧面示意图．为衣架的墙体固定端，为固定支点，为滑动支点，四边形和四边形是平行四边形，且，点B在上滑动时，衣架外延钢体发生角度改变，其外延长度（点A和点C间的距离）也随之变化，形成衣架伸缩效果．当伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为． 如图3，当点B向点A移动时，外延长度为，则与的之间距离为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质等知识，掌握菱形的性质是解题关键．过点作于点，设，利用的长度不变，结合勾股定理求出，从而得到，当外延长度为时，如图，连接、交于点，过点作于点，证明出四边形是菱形，再利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可知，， 设， ， ， 当时，，此时， ， ， 解得：， ， 当外延长度为时，如图，连接、交于点，过点作于点，则， 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， ，，，， 在中，， ， ， ， ，即与的之间距离为， 故答案为：． 12．（3分）（24-25八年级下·四川眉山·期末）如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于 ． 【答案】 【分析】证四边形是菱形，得，连接，由三角形面积关系求出，得当最短时，有最小值，则当时，最短，即可得出答案． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，， ，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，， ， 连接，如图所示： ， ， 即， ， ， 当最短时，有最小值， 由垂线段最短可知：当时，最短， 当点与点重合时，有最小值，最小值， 故答案为：． 13．（3分）（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C为x轴正半轴上一动点，以，为边作矩形，点E为线段的延长线上一点，且，D为的中点，连接交于点F，连接，当三角形为等腰三角形时，点B的坐标为 ． 【答案】或 【分析】取的中点G，连接，则为的中位线，，，证明，推出，，分和两种情况，分别讨论即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，四边形为矩形， ，， 取的中点G，连接， 则， D为的中点，G为的中点， 为的中位线， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 由图可得，故分两种情况讨论： 当时，如图： 则， ， ； 当时，如图： 则， ， ； 综上可知，点B的坐标为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义等，注意分情况讨论是解题的关键． 14．（3分）（24-25九年级下·广东深圳·期中）如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为 ． 【答案】 【分析】取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q，根据正方形边长为6，得，， 则，，根据M、N分别是和的中点，得是的中位线，是的中位线， ，，，根据得，，即，，则四边形是矩形，即，，即四边形是正方形，根据，得，根据，得，根据四边形是正方形得，运用勾股定理即可得． 【详解】解：如图所示，取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q，    ∵正方形边长为6，， ∴，， ∴，， ∵M、N分别是和的中点， ∴， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵ ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴，   ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，O为对角线交点，且∠CAE=15°.则∠AEO的度数为 . 【答案】30° 【分析】根据∠BAD的平分线AE交BC于点E，可得∠BAE=45°，由AD∥BC，可得∠AEB=45°，然后由∠CAE=15°，可得∠BAC=60°，即△OAB是等边三角形，因此可得AB=BO=BE，可得 ∠BOE=75°，因此可得∠AEO=∠BEO-∠BEA=30°． 【详解】解∶∵四边形ABCD是矩形． ∴∠BAD=∠ABC=90°， AO=BO=BD=AC； ∵AE是∠BAD的角平分线； ∴∠BAE=45° ∵∠CAE=15° ∴∠BAC=60° ∴△AOB是等边三角形； ∴∠ABO=60°， ∴∠OBE=90°-60°=30°， ∵在Rt△ABE中，∠BAE=45°， ∴∠AEB=∠BAE=45°， ∴AB=BE， ∵△ABO是等边三角形， ∴AB= BO， ∴OB= BE， ∴∠BOE=∠BEO= ( 180°-30°) =75°， ∴∠AEO=∠BEO-∠AEB=75°-45°=30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形判定和性质等知识，熟练运用矩形的性质及等边三角形的判定及性质是解题的关键． 16．（3分）（24-25八年级下·浙江宁波·期中）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形，记的面积为，四边形的面积为．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质．先证明，可得，从而得到四边形是菱形，进而得到在同一直线上；在同一直线上；在同一直线上，再由，即可求解． 【详解】连接，如图所示： 依题意得，，， ， 四边形为正方形， ， 即， 在和中， ， ， 同理：， ， 四边形为菱形， ， 又， ，，在同一条直线上， ， ， 菱形为正方形， ， 同理：在同一条直线上，在同一条直线上，，，在同一条直线上， 设，则， ， ， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，在四边形中，对角线相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理的逆定理，等边对等角，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，则可证明四边形是平行四边形，再由勾股定理的逆定理可证明，则可证明四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则，进而求出，由矩形的性质得到，由等边对等角得到，则． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵，， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形 ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ． 18．（6分）（24-25八年级下·安徽安庆·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠：    问题解决： （1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ； 实践探究： （2）如图2，希望小组将矩形沿着（点，分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，求折痕的长． 【答案】（1）3，10（2） 【分析】本题主要考查了矩形和翻折的结合，利用勾股定理解决几何问题，菱形的判定和性质，利用菱形的面积求对角线的长度等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据翻折的性质得出相等的边长，假设，则，利用勾股定理列出方程求解即可得出结果； （2）连接，根据条件证明四边形为菱形，利用菱形的面积即可求出对角线的长度． 【详解】解：（1）由翻折的性质可得，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ,； ∴； 故答案为：3,10； （2）如图，连接， 由翻折的性质可得，，， ， ∴， ∴, ∴， ∴,且， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴为菱形， ∴，， 又， ∴点在同一条直线上， 同（1）可得，， ， 由够定理得， ， 解得． 19．（8分）（24-25八年级下·山东临沂·期末）问题情境： 如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 解决问题： (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图，若，，求的长； (3)如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析； (2)； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，旋转性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由旋转可知，，，然后由正方形的判定方法即可求解； （）由（）知，，然后由勾股定理和线段和差即可求解； （）过点作，垂足为，则，，然后证明，所以，又，，则，，从而可得． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由： 由旋转可知：，，， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：由（）知，， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的长为； （3）解：， 证明：如图，过点作，垂足为， 则，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（8分）（24-25八年级下·河北张家口·期末）情景： 现有一张锐角三角形纸片（如图1所示），，．嘉嘉经过一刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的平行四边形（如图2所示）． 发现： 如图2，________，________； 操作： 将图1的三角形纸片经过两刀裁剪，拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形，且使矩形的一条边落到上（可以与重合）． 探究： 通过计算确定矩形的周长． 【答案】发现：4，24；操作：见解析；探究：或 【分析】本题考查了矩形的性质和判定定理，三角形面积公式，正确理解裁剪拼接过程是解题关键． 发现：根据裁剪过程图形的面积不变，即可求解； 操作：方案一：先取边的中点D，Q，沿的方向剪，然后再点D沿垂直的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形；方案二：先取边的中点P，Q，沿的方向剪，然后再的中线的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形；方案三：分别在边的中点P，Q，沿垂直的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形； 探究：根据矩形的性质以及平行线间的距离解答即可． 【详解】解：发现：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴点A与点C，点D与点F，点E与点E是对应顶点， ∴， ； 故答案为：4；24 操作：如图所示 方案一：先取边的中点D，Q，沿的方向剪，然后再点D沿垂直的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形； 方案二：先取边的中点P，Q，沿的方向剪，然后再的中线的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形； 方案三：分别在边的中点P，Q，沿垂直的方向剪，然后拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形， 如图，方案一：过点A作于点M，交于点N，设交于点P， ∵，， ∴， ∴， 由发现得：四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 此时方案一：矩形的周长为； 同理方案二：矩形的周长为； 方案三：由操作方法得：， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 过点A作于点M，则， ∴矩形的周长． 综上所述，矩形的周长为或． 21．（10分）（24-25八年级下·北京·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图①中以已知线段为对角线画一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，该矩形的面积为_____． (2)在图②中以已知线段为对角线画一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上，该菱形的周长为_____． (3)在图③中画一个周长为的菱形（非正方形）． (4)在图④中画一个面积为8的正方形． 【答案】(1)画图见解析；8． (2)画图见解析；． (3)画图见解析； (4)画图见解析； 【分析】（1）结合矩形的判定与性质画图即可；利用矩形的面积公式计算即可． （2）结合菱形的判定与性质画图即可；利用勾股定理求出菱形的边长，进而可得答案． （3）结合菱形的判定与性质画图即可． （4）结合正方形的判定与性质画图即可． 【详解】（1）解：如图①所示． 该矩形的面积为． 故答案为：8． （2）解：如图②所示． 该菱形的边长为， 该菱形的周长为． 故答案为：． （3）解：如图③所示． （4）解：如图④所示． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定及性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．（10分）（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接． (1)当点与点重合时，的值为________． (2)直接写出的长（用含的代数式表示）； (3)当平分面积时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)12或 (4)2或或 【分析】（1）由题意可得，即可； （2）分点点出发沿运动和点出发沿运动两种情况讨论即可； （3）分两种情况，结合梯形的面积公式分别求出t的值即可． （4）分两种情况，结合矩形的性质、平行四边形的性质分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：点Q与点C重合时， 由题意得：， 解得：， 即点Q与点C重合时，t的值为6； （2）解：当点Q沿运动时，； 由题意得：； 当点Q沿运动时，， ∴， 即； （3）解：∵面积为， ∴梯形的面积为 分两种情况： 当点Q沿运动时，如图， ∴， 解得：； 当点Q沿运动时，如图， 同理：， 解得：， 此时，两点重合，两点重合； 综上所述，当平分面积时，t的值为12或； （4）解：分两种情况： 点Q沿运动时， 如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点Q沿运动时， 如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，当点Q在点H右侧时， 同理， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在点H左侧时，如图，则四边形是矩形，即， ∴， 解得：； 综上所述，当时，t的值为2或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型． 23．（12分）（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）综合与探究：如图，平面直角坐标系中，矩形的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线，点B的坐标为． (1)点A的坐标为： ，点B的坐标为： ． (2)如图1，把矩形沿直线对折使点C落在点A处，直线与、、的交点分别为D，F，E，求直线的解析式（问题（1）中的结论可直接使用） (3)若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中的x轴及x轴的下方，是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)能，当的坐标为或时，使得以、、、为顶点的四边形是菱形 【分析】（1）由矩形的性质及勾股定理求得的值，即可得结果； （2）根据矩形沿直线对折使点落在点处，证得四边形是菱形，得到，设，则，利用勾股定理在中：，即，解得：，从而确定，，利用待定系数法求直线的解析式，即可解答； （3）设，根据勾股定理可得，分三种情况： ①当时，②当时，③当时，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， 则， ，则， ，， 故答案为：，； （2）解：连接，， 矩形沿直线对折使点落在点处， 是的垂直平分线，，，则，， ，， ∴， ， ∴四边形是菱形， ， 设，则， 在中：， 即， 解得：， ，， ，， 设直线的解析式为， 将、坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为． （3）解：设， ，， ， ①当时， 即，解得：或（当时，点在轴上方，舍去） ， 由中点坐标可得：， 得， 即：； ②当时，， 解得：或 时，点与点重合，舍去）， ， 由中点坐标可得：， 得， 即：； ③当时，， 由勾股定理可得：，即，解得：， 此时点在轴上方，故不符合题意， 综上，当的坐标为或时，使得以、、、为顶点的四边形是菱形． 【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：折叠的性质，坐标与图形性质，勾股定理，矩形的性质，菱形的判定及性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握性质是解本题的关键． 24．（12分）（2025·陕西宝鸡·二模）【问题探究】 （1）如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为______； （2）如图，在菱形中，连接，点、分别是、边上的动点，连接，点、分别是、的中点，若，，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图，李叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点、分别为、边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）米 【分析】（1）可证得，从而， （2）连接，连接，交于，根据三角形中位线的性质得出，从而得出当时，最小，从而最小，根据可求得，进而得出结果； （3）取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，可证得 是矩形，从而，进而求得的值，可证得，从而，从而得出，作于，则最小值是的值，进一步得出结果． 【详解】（1）如下图， 四边形是矩形， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图， 连接，连接，交于， 点、分别是、的中点， ， 当时，最小，从而最小， 四边形是菱形， ，，， ， ， 由， ， ， ； （3）如图， 取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， 是矩形， ， ，， 米， ， ， ， ， 是的中点， ， ， 作于， 则最小值是的值， 米， 米， 米， 灌溉水渠总长度的最小值为：米． 【点睛】本题考查了正方形，菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 矩形、菱形与正方形·拔尖卷 【新教材华东师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点，若，，则长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 3．（3分）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（　　） A．2.5 B． C． D．3 5．（3分）（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形面积的（    ）    A． B． C． D． 6．（3分）如图，在四边形中，于点E，且四边形的面积为8，则（　　） A．2 B．3 C． D． 7．（3分）如图，在中，，．将沿折叠，使点A落在边的中点D处，点G、H、I分别为的中点，连接 与相交于点M，与相交于点N，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（3分）（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，四边形和四边形都是正方形．连接．若点F是线段上的一点，且，则（    ） A．5 B． C． D． 9．（3分）如图，在中，，，E、F为上的动点，且，连接，当取得最小值时，则的值为（    ）    A． B．1 C． D．2 10．（3分）如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE，AF于G，H，下列结论：①∠CEH＝45°；②GF∥DE；③2OH+DH＝BD；④BG＝DG．其中正确的结论是（　　） A．①③ B．③④ C．①② D．②④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1是一个三节段式伸缩晾衣架，如图2，是其衣架侧面示意图．为衣架的墙体固定端，为固定支点，为滑动支点，四边形和四边形是平行四边形，且，点B在上滑动时，衣架外延钢体发生角度改变，其外延长度（点A和点C间的距离）也随之变化，形成衣架伸缩效果．当伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为． 如图3，当点B向点A移动时，外延长度为，则与的之间距离为 ． 12．（3分）（24-25八年级下·四川眉山·期末）如图所示，四边形中，于点，，，点为线段上的一个动点过点分别作于点，作于点连接，在点运动过程中，的最小值等于 ． 13．（3分）（24-25八年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C为x轴正半轴上一动点，以，为边作矩形，点E为线段的延长线上一点，且，D为的中点，连接交于点F，连接，当三角形为等腰三角形时，点B的坐标为 ． 14．（3分）（24-25九年级下·广东深圳·期中）如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为 ． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，O为对角线交点，且∠CAE=15°.则∠AEO的度数为 . 16．（3分）（24-25八年级下·浙江宁波·期中）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形，记的面积为，四边形的面积为．若，则图中阴影部分的面积为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，在四边形中，对角线相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 18．（6分）（24-25八年级下·安徽安庆·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠：    问题解决： （1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ； 实践探究： （2）如图2，希望小组将矩形沿着（点，分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，求折痕的长． 19．（8分）（24-25八年级下·山东临沂·期末）问题情境： 如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 解决问题： (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图，若，，求的长； (3)如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 20．（8分）（24-25八年级下·河北张家口·期末）情景： 现有一张锐角三角形纸片（如图1所示），，．嘉嘉经过一刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的平行四边形（如图2所示）． 发现： 如图2，________，________； 操作： 将图1的三角形纸片经过两刀裁剪，拼成一个的无缝隙、无重叠的矩形，且使矩形的一条边落到上（可以与重合）． 探究： 通过计算确定矩形的周长． 21．（10分）（24-25八年级下·北京·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图①中以已知线段为对角线画一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，该矩形的面积为_____． (2)在图②中以已知线段为对角线画一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上，该菱形的周长为_____． (3)在图③中画一个周长为的菱形（非正方形）． (4)在图④中画一个面积为8的正方形． 22．（10分）（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，边上的高为12．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒10个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设运动的时间为（秒），连接． (1)当点与点重合时，的值为________． (2)直接写出的长（用含的代数式表示）； (3)当平分面积时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 23．（12分）（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）综合与探究：如图，平面直角坐标系中，矩形的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线，点B的坐标为． (1)点A的坐标为： ，点B的坐标为： ． (2)如图1，把矩形沿直线对折使点C落在点A处，直线与、、的交点分别为D，F，E，求直线的解析式（问题（1）中的结论可直接使用） (3)若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中的x轴及x轴的下方，是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（12分）（2025·陕西宝鸡·二模）【问题探究】 （1）如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为______； （2）如图，在菱形中，连接，点、分别是、边上的动点，连接，点、分别是、的中点，若，，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图，李叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点、分别为、边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $