精品解析：江苏无锡市部分校2025-2026学年七年级下学期5月阶段检测数学试题

七年级数学作业检查 （练习时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 1. 在下列各组运动项目的图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，左、右托盘中黑球的质量分别为，，白球的质量为，图中体现的数学原理可表示为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 计算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的最大整数解是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 6. 有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐是．”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿．若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完．设有牧童人，竹竿根．根据题意，列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 8. 如图，将绕点旋转得到，使边恰好经过点，若，则的度数为（） A. B. C. D. 9. 已知，表明：每天比上一天增长一点点，一年之后，所得终值大约是初值1的37.8倍！那么在理想状况下，两年增长的结果约等于（选最接近的数值）（ ） A. 75 B. 200 C. 1000 D. 1400 10. 小明在研究关于字母的代数式时发现，记代数式的值为，可通过与的关系对代数式进行分类，分类如下： 的一类式：对于的每一个取值，都有； 的二类式：对于的每一个取值，都有； 的三类式：既存在的值，使得，又存在的值，使得． 下列说法：①是的一类式；②是的三类式；③若关于的代数式与的和是的一类式，则，；④对于，，代数式既是的二类式，又是的三类式．其中正确的序号是（） A. ②③ B. ①④ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 11. 嫦娥六号携带由玄武岩磨粉、融化、经高科技拉成直径约为0.0000167米的丝线织布制作而成的五星红旗在月球背面冉冉升起，经受恶劣环境也能万年不朽，彰显大国实力，数据用科学记数法表示为________． 12. 若x+2y＝3，则的值为_________. 13. 如图，将正方形沿方向平移得到正方形（点、、、的对应点分别是点、、、），点、、、在一条直线上，已知正方形的边长为，则阴影部分的面积为__________． 14. 如图，分别以线段的端点，为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为，，点在射线上．若，，则_________°． 15. 已知，当满足______时，． 16. 如果不等式3x－m≤0有3个正整数解，则 m的取值范围是______． 17. 如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 18. 已知（、为正整数），__________．满足的正整数的值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程组或不等式： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．将平移，使点平移至点，点、的对应点分别是点、． （1）在图中请画出平移后得到的； （2）若连接、，则这两条线段之间的关系是_______； （3）四边形的面积为___________． （4）画出点关于直线的对称点． 23. 已知关于，的二元一次方程组（为常数）． （1）若，求的值； （2）满足，求符合条件的的最小整数值． 24. 种水果每袋5元，种水果每袋12元， （1）小华用120元买了、两种水果共17袋，求、两种水果分别买了多少袋． （2）若小华用125元购买、两种水果（两种都要买）恰好用完，则、两种水果各可以买多少袋？ 25. 在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： （1）已知关于，，的三元一次方程组，则_______； （2）已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； （3）已知关于，的方程组：，求，的值． 26. 在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：． （1）现有四个长与宽分别为、的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中阴影部分的面积，可以验证关于、的关系式：___________（用含、的代数式表示出来）； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，则的值为________； ②若满足，求的值为________． （3）如图3，长方形面积为60，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长； （4）如图4，四边形是正方形，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形．若长方形的面积为21，则阴影部分的面积为________． 27. 我们在七年级下册第9章学习了图形的变换，平移、轴对称和旋转是图形变换的基本形式．我们经常通过观察前后图形的关系，探求角的大小和线段的长短等问题． 某综合实践小组同学探究了下面几个问题： （1）如图a，和是两块完全一样的直角三角板，，，当沿射线的方向平移，在平移过程中，若和这两个角之间存在2倍的关系，请直接写出的度数． （2）是一张含的直角三角形纸片，，P为边上一定点，D为边上一动点，沿着折叠，点C落在点E处， ①如图b，若，请你帮小明求出的大小． ②聪明的小明发现：若，则存在异于图b的另一条折痕，请在图c中用无刻度直尺和圆规作出另一种情况的示意图，并求出此时的大小． （3）如图，在中，，，，，将绕点A顺时针旋转，点B、C的对应点分别是、，小组学生发现点和点都在以A为圆心的圆上运动，若点D为线段的中点，点E为线段上一动点．将绕点A旋转一周，线段的长度的范围为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学作业检查 （练习时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 1. 在下列各组运动项目的图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移，据此进行判断即可． 【详解】解：能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是选项C，选项A、B、D无法通过平移得到． 2. 如图，左、右托盘中黑球的质量分别为，，白球的质量为，图中体现的数学原理可表示为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【详解】解：由图可得：若，则． 3. 计算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，熟知积的乘方运算法则是解题的关键； 根据积的乘方法则求解即可. 【详解】解：； 故选：D 4. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键．根据平方差公式的结构特征即可判断． 【详解】解：A、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C、不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意； D、符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 不等式的最大整数解是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再在解集中找出满足条件的最大整数即可． 【详解】解：移项可得， 合并同类项得， 系数化为得， ∵小于等于的最大整数是 ∴不等式的最大整数解是． 6. 有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐是．”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿．若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完．设有牧童人，竹竿根．根据题意，列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设有牧童人，竹竿根，当每人分6根时，剩余14根，即；当每人分8根时，恰好用完，即．由此可列出方程组． 【详解】解：设有牧童人，竹竿根． 由题意得，， 故选：B． 7. 数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得，解一元一次不等式即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：∵数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧， ∴， 解得：， ∴x的值可以是， 故选：A． 8. 如图，将绕点旋转得到，使边恰好经过点，若，则的度数为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，从而得到对应边、对应角相等．利用得出为等腰三角形，结合，求出等腰三角形的顶角．由旋转角相等，，从而得到答案． 【详解】解：∵将绕点旋转得到， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 9. 已知，表明：每天比上一天增长一点点，一年之后，所得终值大约是初值1的37.8倍！那么在理想状况下，两年增长的结果约等于（选最接近的数值）（ ） A. 75 B. 200 C. 1000 D. 1400 【答案】D 【解析】 【分析】利用初中幂的乘方运算法则，将所求指数变形，代入已知条件计算即可得到结果，解题关键是观察得到，将所求式子转化为已知数的平方进行计算． 【详解】解：∵， ∴， 对比选项可知，1428.84最接近1400． 10. 小明在研究关于字母的代数式时发现，记代数式的值为，可通过与的关系对代数式进行分类，分类如下： 的一类式：对于的每一个取值，都有； 的二类式：对于的每一个取值，都有； 的三类式：既存在的值，使得，又存在的值，使得． 下列说法：①是的一类式；②是的三类式；③若关于的代数式与的和是的一类式，则，；④对于，，代数式既是的二类式，又是的三类式．其中正确的序号是（） A. ②③ B. ①④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】先明确三类代数式的定义，逐个验证四个说法的正误，最终得到正确选项，用到绝对值的性质和整式加法运算． 【详解】根据定义：对任意，恒有为的一类式； 恒有为的二类式； 既存在使，又存在使为的三类式. ①对于，对任意成立， 是的一类式，①正确. ②对于，，时，对任意成立， 是的二类式，不是三类式，②错误. ③两个代数式的和为：， 和是的一类式，则对任意，， 提取公因式得， ， 对任意成立，可得，即， 此时，解得或， ③错误. ④已知，，代数式：对来说，若， ， ，，整理得，与矛盾， 对所有都有，故是的二类式； 对来说，取，代入得，存在使； 取，代入得，存在使，故是的三类式； ④正确． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 11. 嫦娥六号携带由玄武岩磨粉、融化、经高科技拉成直径约为0.0000167米的丝线织布制作而成的五星红旗在月球背面冉冉升起，经受恶劣环境也能万年不朽，彰显大国实力，数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 若x+2y＝3，则的值为_________. 【答案】27 【解析】 【分析】先变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可． 【详解】解：∵x+2y=3， ∴3x•9y=3x•32y =3x+2y =33 =27， 故答案为：27． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，能灵活运用法则进行变形是解此题的关键． 13. 如图，将正方形沿方向平移得到正方形（点、、、的对应点分别是点、、、），点、、、在一条直线上，已知正方形的边长为，则阴影部分的面积为__________． 【答案】35 【解析】 【分析】先根据平移的性质可得，，求出的长，然后根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由平移可得，，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 14. 如图，分别以线段的端点，为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为，，点在射线上．若，，则_________°． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，根据题意可知，垂直平分线段，再根据垂直平分线的性质得出，再根据等腰三角形的性质可得，然后利用三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，垂直平分线段， ， ， ， ， 故答案为：20． 15. 已知，当满足______时，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式． 根据题意得到关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如果不等式3x－m≤0有3个正整数解，则 m的取值范围是______． 【答案】9≤m＜12. 【解析】 【分析】先解不等式，再结合不等式的正整数解可得关于m的不等式，解之可得． 【详解】解3x-m≤0得x≤， ∵不等式3x-m≤0有3个正整数解， ∴不等式的正整数解为1、2、3， ∴3≤＜4， 解得：9≤m＜12. 故答案为9≤m＜12. 【点睛】本题考查了不等式的正整数解，解题的关键是注意能根据整数解的具体数值，找出不等式解集的具体取值范围． 17. 如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度也最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上， ∴，， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度最小， 当时，， ∴，解得：， ∴， 即线段长度的最小值是． 18. 已知（、为正整数），__________．满足的正整数的值为__________． 【答案】 ①. 8 ②. 12 【解析】 【分析】第一空对等式变形，提取公因式，结合的质因数分解，利用的幂的性质确定的值，计算，第二空根据幂的增长特征，代入正整数验证得到的值． 【详解】解：对 移项得 提取公因式得 将分解质因数得 ． 因为是的正整数次幂，是奇数， 因此可得， ． 解得， 由得， 因此． 所以． 因为， 所以，即 对 ，代入正整数验证： 当时，， ， ，不成立． 当时，， ，等式成立． 当时，的增长速度远快于， 恒成立，因此只有符合要求． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方法则计算，再根据有理数加减法则计算即可； （2）先根据同底数幂的乘法、积的乘方法则计算，再根据整式的减法法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，有理数的混合运算，积的乘方，同底数幂的乘法，整式的混合运算等，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20. 解方程组或不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 得，， 得，代入①得， ， 解得； ∴该方程组的解为； 【小问2详解】 解： ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解：原式 ， 时，原式． 22. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．将平移，使点平移至点，点、的对应点分别是点、． （1）在图中请画出平移后得到的； （2）若连接、，则这两条线段之间的关系是_______； （3）四边形的面积为___________． （4）画出点关于直线的对称点． 【答案】（1）见解析 （2）平行且相等 （3）25 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）观察得点C平移到点D的平移规则：向右平移3个单位，向下平移2个单位， 按照同样规则平移点A得到对应点E，平移点B得到对应点F，顺次连接E、F、D，即得到平移后的； （2）根据平移的性质解答即可； （3）利用“割补法”进行求解即可； （4）观察网格，线段的走向是“向右6格，向上3格”，将从点D“向右移动3格，再向下移动6格”得到格点M，连接，此时，垂足为点N，观察网格，点D位于点N“向上2格，向左1格”的位置，则从点N“向下移动2格，向右移动1格”得到格点G，此时，则点G即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：根据平移的性质，平移后所有对应点的连线平行且相等，、都是平移的对应点连线， 因此，线段与之间的关系是平行且相等； 【小问3详解】 解： 因此，四边形的面积为25； 【小问4详解】 解：如图，点即为所求． 23. 已知关于，的二元一次方程组（为常数）． （1）若，求的值； （2）满足，求符合条件的的最小整数值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得：，再把代入即可求出的值； （2）由得：，结合可得，再解不等式即可得出结论． 【小问1详解】 解：， 得：， 又， 所以， 解得； 【小问2详解】 解：得：， 又， 所以，解得， 则的最小整数值为． 24. 种水果每袋5元，种水果每袋12元， （1）小华用120元买了、两种水果共17袋，求、两种水果分别买了多少袋． （2）若小华用125元购买、两种水果（两种都要买）恰好用完，则、两种水果各可以买多少袋？ 【答案】（1）买了种水果袋，种水果袋 （2）可以买种水果袋，种水果袋或买种水果袋，种水果袋 【解析】 【分析】（1）设买了种水果袋，种水果袋，再列二元一次方程组求解即可； （2）由题可知，再结合为正整数列举求解即可． 【小问1详解】 解：设买了种水果袋，种水果袋， ， 解得， 答：买了种水果袋，种水果袋； 【小问2详解】 解：由题可知，为正整数， 时，； 时，； 答：可以买种水果袋，种水果袋或买种水果袋，种水果袋． 25. 在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： （1）已知关于，，的三元一次方程组，则_______； （2）已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； （3）已知关于，的方程组：，求，的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）三个式子相加即可求解； （2）根据方程组的结构可得，再加减消元即可； （3）利用整体法结合加减消元即可． 【小问1详解】 解：， 得：， 解得； 【小问2详解】 解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， 且关于p，q的二元一次方程组为 ∴， 解得； 【小问3详解】 解：由题可得， 得：， 解得， 把代入，得， 解得， ，． 26. 在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：． （1）现有四个长与宽分别为、的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中阴影部分的面积，可以验证关于、的关系式：___________（用含、的代数式表示出来）； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，则的值为________； ②若满足，求的值为________． （3）如图3，长方形面积为60，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长； （4）如图4，四边形是正方形，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形．若长方形的面积为21，则阴影部分的面积为________． 【答案】（1） （2）①62；②5 （3）16 （4）40 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）根据图形得到阴影部分的边长为，大正方形的边长为，利用阴影部分的面积等于大正方形面积减去四个小长方形的面积进行求解即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为，根据题意易得到、，利用完全平方公式变形求出正方形的边长即可； （4）设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为，则、，，利用完全平方公式变形求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：阴影部分的边长为，大正方形的边长为， 则阴影部分的面积为：； 【小问2详解】 解：①； ②； 【小问3详解】 解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为， 四边形是正方形， ， ， ， ， 长方形面积为60， ， ， ， ， ， 正方形的边长为16； 【小问4详解】 解：设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为， 、， 长方形面积为， ， ， ， ， 阴影部分面积为． 27. 我们在七年级下册第9章学习了图形的变换，平移、轴对称和旋转是图形变换的基本形式．我们经常通过观察前后图形的关系，探求角的大小和线段的长短等问题． 某综合实践小组同学探究了下面几个问题： （1）如图a，和是两块完全一样的直角三角板，，，当沿射线的方向平移，在平移过程中，若和这两个角之间存在2倍的关系，请直接写出的度数． （2）是一张含的直角三角形纸片，，P为边上一定点，D为边上一动点，沿着折叠，点C落在点E处， ①如图b，若，请你帮小明求出的大小． ②聪明的小明发现：若，则存在异于图b的另一条折痕，请在图c中用无刻度直尺和圆规作出另一种情况的示意图，并求出此时的大小． （3）如图，在中，，，，，将绕点A顺时针旋转，点B、C的对应点分别是、，小组学生发现点和点都在以A为圆心的圆上运动，若点D为线段的中点，点E为线段上一动点．将绕点A旋转一周，线段的长度的范围为______． 【答案】（1）或 （2）①；②作图见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）连接，易证明，则，利用三角形内角和定理求出，分情况讨论：当或时，利用求解即可； （2）①延长交于点，利用平行线的性质求出的度数，根据折叠的性质得到、，求出的度数，从而求出的度数； ②由题意知，点E在下方，过点P作的垂线，以点P为圆心，为半径画弧与垂线交于点E，即，作的角平分线，与交于点D，连接，此时即为所求；利用平行线的性质和角平分线的定义求出的度数，再利用三角形内角和定理进行求解即可； （3）根据题意可知，当时，为最小值，当点与点重合时，有最大值，则点E在以点A为圆心，内半径为、外半径为8的圆环上运动，当D、A、E三点共线时，分情况讨论：若点A在点D、E之间，此时有最大值，若点D在点A、E之间，此时有最小值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：连接， 、， ， ， ， ， ， ， 当时，， 解得：， ， 当时，， 解得：， 综上所述，的度数为或； 【小问2详解】 解：①延长交于点， ， ， 由折叠的性质知，、， 在中，， ， ； ②如图，折痕即为所求， 由作图可知，、， 由①知，， ， ， ； 【小问3详解】 解：是的中点， ， 由旋转可知，、、， 过点作于点， ， ， 当点E与点P重合时，有最小值，即， 当点E与点重合时，有最大值，即， 根据题意得，点E在以点A为圆心，内半径为、外半径为8的圆环上运动， 当D、A、E三点共线时，有最大值或最小值， 如图，若点A在点D、E之间，此时有最大值， ， 的最大值为8， ； 若点D在点A、E之间，此时有最小值， ， 的最小值为， ， 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、折叠的性质、旋转的性质、平移的性质、角平分线的尺规作图，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $