专题04与三角形有关的边和角易错必刷专项训练(18大题型共计62道题)2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦三角形边与角的高频易错点，通过18类题型系统梳理概念识别、性质应用及计算技巧，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与识别|题型1-2（2类）|按定义分类识别，有序计数防遗漏|从三角形定义延伸至图形计数，构建概念认知基础| |重要线段|题型3-7（5类）|高的画法（含钝角三角形）、中线面积转化、网格割补法|以高/中线性质为核心，连接图形操作与面积计算| |角的性质|题型8-15（8类）|内角和证明（作平行线）、角平分线/折叠/外角的角度推导、直角三角形互余应用|从内角和定理出发，结合平分线、折叠等变换，形成角关系推理链| |三边关系|题型16-18（3类）|三边构成条件判断、第三边取值范围计算、等腰三角形分类讨论|通过不等式关系建立边的数量限制，关联实际应用场景|

专题04与三角形有关的边和角易错必刷专项训练 本专题汇总与三角形有关的边和角章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.三角形的识别与概念 题型02.三角形的个数问题 题型03.画三角形的高 题型04.与三角形高有关的计算 题型05.利用网格求三角形面积 题型06.由三角形中线求长度 题型07.由三角形中线求面积 题型08.三角形内角和定理的证明 题型09.与平行线有关的内角和问题 题型10.与角平分线有关的内角和问题 题型11.三角形折叠中的角度问题 题型12.三角形内角和定理的应用 题型13.直角三角形的两个锐角互余 题型14.锐角互余的三角形是直角三角形 题型15.三角形的外角定义及性质 题型16.构成三角形的条件 题型17.确定第三边的取值范围 题型18.三角形三边关系的应用 易错必刷题型01.三角形的识别与概念 典题特征：判断给定图形是否为三角形，按边/角对三角形进行分类，识别等腰、等边、锐角、直角、钝角三角形。 易错点：①忽略三角形“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成”的定义；②混淆锐角三角形（三个角均为锐角）和钝角三角形（有一个钝角）的判定条件。 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 2．如图，在直角三角形ABC中，BC边上有E，D，F三点，，，，垂足为F．以AD为中线的三角形是_______；以AE为角平分线的三角形是_______；以AF为高线的钝角三角形有_______个． 【答案】 3 【分析】本题考查的是三角形的中线、高、角平分线以及直角三角形的性质，正确认识三角形的中线、高、角平分线是解题的关键． 根据三角形的中线、高、角平分线的概念解答即可． 【详解】解：以为中线的三角形是；以为角平分线的三角形是；以为高线的钝角三角形有、、共3个， 故答案为：；；． 3．如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积问题，三角形面积与底和高的关系，利用等高的两个三角形，其面积比等于底边的比，即可求出的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵与等高，， ∴， ∵与等高，点是的五等分点， ∴， 故选：． 易错必刷题型02.三角形的个数问题 典题特征：在含多条线段的复杂图形中，按一定顺序数出所有三角形的数量。 易错点：①未按固定顺序（如按顶点、按边的方向）计数，导致重复或遗漏；②忽略由多条线段组合形成的小三角形。 4．如图，图中有_______个三角形． 【答案】6 【分析】直接根据三角形的定义即可得出答案． 【详解】解：图中有6个三角形，分别是． 5．如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 6．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【答案】 8 ，，， 和 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 易错必刷题型03.画三角形的高 典题特征：过三角形的顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，标注垂足和高。 易错点：①钝角三角形中，画钝角对边上的高时，未向对边延长线作垂线；②漏标垂直符号；③混淆高、中线、角平分线的画法。 7．如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____． 【答案】 【分析】此题考查了三角形高的概念．根据三角形高的概念求解即可． 【详解】解：∵交的延长线于点F， ∴中边上的高是． 故答案为：． 8．如图，在中，利用三角板（图中阴影所示）能直接画出边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高，根据此定义逐项判断即可． 【详解】解：A、三角板的直角边没有一条在直线上，不能直接画出边上的高，故此选项不符合题意； B、三角板的直角边有一条在直线上，且另一直角边经过点，能直接画出边上的高，故此选项符合题意； C、三角板的直角边没有一条在直线上，不能直接画出边上的高，故此选项不符合题意； D、三角板的直角边没有一条在直线上，不能直接画出边上的高，故此选项不符合题意； 9．如图，为的中线，为的中线． (1)在中作边上的高，垂足为； (2)若△的面积为，．   ①的面积为_________；   ②求中边上的高的长； (3)过点作，交于点，连结、且相交于点，若，，求．(用含、的代数式表示) 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题考查了画三角形的高，三角形的中线的性质； （1）根据题意画出垂线， （2）①三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求得的面积； ②由再求出三角形的面积，则得边上的高； ③由平行线可得，从而求得． 【详解】（1）如图，作垂足为， （2）①为的中线， ， 的面积为， 的面积为； ②为的中线， ， ， 的长； （3），为的中线， 是的中位线， 是的中线， ，， ， 又 易错必刷题型04.与三角形高有关的计算 典题特征：已知三角形的底和高求面积，或已知面积和底求高；结合直角三角形的两条直角边互为高进行计算。 易错点：①钝角三角形中，误将对边的长度当作高的长度；②计算面积时忘记乘以；③混淆不同底对应的高。 10．如图，于点C，于点D，，，，则点C到的距离是（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，则点C到的距离是． 11．如图，在中，为的中线，．若的面积为30，，则中边上的高是___ 【答案】 4 【分析】根据三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，再利用面积公式进行计算即可. 【详解】解：∵为的中线，的面积为30， ∴的面积是的面积的一半，为15， ∵， ∴， ∴的面积是的面积的，为， ∴中边上的高为. 12．如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（　　） A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6 【答案】A 【分析】如图：连接AF，根据△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等可得，进而得到，同理得出，进而得到即可解答． 【详解】解：如图：连接AF ∵BE=3，AE=6， ∴AB=9， ∵△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等， ∴，即 同理可得：，即 ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，正确作出辅助线、灵活运用等高的三角形的面积比等于对应边之比是解答本题的关键． 13．如图，的面积为14，，．求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，根据三角形中线求三角形的面积．根据，得出，从而求出，根据三角形中线求出，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：阴影部分的面积为． 易错必刷题型05.利用网格求三角形面积 典题特征：在方格纸中，用割补法或直接用底×高÷2计算三角形面积。 易错点：①割补时对图形的分割或补全方式错误，导致面积计算偏差；②数网格边长时出错，造成底或高的数值错误。 14．如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，与相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分的面积等于___． 【答案】4.5 【分析】本题主要考查三角形的面积，由网格图求解和的面积，再利用可求解． 【详解】解：由图可知：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4.5． 15．在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．以为腰可得出4个等腰直角三角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个． 【详解】解：如图， 这样的点共有6个． 故选：． 16．如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，的顶点A，，都在小正方形的格点上，请按下列要求画出所求线段及点，要求所画线段的端点和所画的点均在格点上． (1)画出要求的线段： ①在边上取一点，连接，使； ②画出边上的高线； (2)求的面积； (3)画出要求的点：在方格纸中取一点，使． 【答案】(1) 见解析见解析 (2)10 (3) 见解析 【分析】本题考查格点作图，利用网格求三角形面积，平行线的性质．掌握三角形的中线、高线的概率及性质是解题的关键． （1）①画出边上的中线即可；②过点A向的延长线作垂线，垂足为点E即可； （2）根据网格，利用割补法求解即可； （3）过点B作，直线与格线的交点是格点，即为所求的点F． 【详解】（1）解：如图所示：①线段即为所求；线段即为所求． ①∵点D是， ∴ 根据等底同高的两三角形面积相等得； ∵， ∴是边上的高线． （2）解：． （3）解：如图所示：点即为所求． ∵ ∴与的底边的高相等， ∴． 易错必刷题型06.由三角形中线求长度 典题特征：已知三角形的中线，求被中线分割的线段长度或三角形的周长。 易错点：①未掌握中线“平分对边”的性质，误将对边分成不相等的两段；②计算周长时错误包含中线的长度。 17．如图，在中，，，是边上的中线，与的周长的差是，则__________． 【答案】10 【分析】首先求出，然后根据“与的周长的差是”列方程求解． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴ ∵，与的周长的差是， ∴ ∴，即 ∴． 18．如图，的角平分线与中线交于点，对于下列结论：①是的角平分线；②是的中线；③；④．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题三角形的角平分线、中线的概念和性质，掌握三角形的角平分线、中线的概念是解题的关键． 根据三角形的角平分线、中线的概念判断即可． 【详解】解：∵的角平分线与中线交于点， ∴是的角平分线，，不是的中线， 故①③正确，符合题意；②错误，不符合题意； ∵不是的中线， ∴， 故④错误，不符合题意； 故选：B． 19．如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟记三角形的角平分线、中线、高的定义是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，进而求出； （2）根据三角形的中线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， 平分， ， ； （2）解：是的中线， ， ， ， 的周长比周长小， ， ， ， ． 易错必刷题型07.由三角形中线求面积 典题特征：利用中线将三角形分成两个面积相等的部分，求部分或整体的面积。 易错点：①误认为中线能将三角形分成周长相等的两部分；②未理解“等底同高的三角形面积相等”的原理，错误计算分割后的面积。 20．如图，中，是两条中线，，则________． 【答案】4 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积求出的面积，再证明是的中线，可得，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，是中线， ∴， ∵是的中线， ∴点是的中点， ∴是的中线， ∴． 21．如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，若的面积为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用点、、分别为中点的条件，逐步推导的面积，进而求出阴影部分的面积 【详解】解：点为的中点， ， 点为的中点， ， ， ， 点为的中点， ， 即图中阴影部分的面积为． 22．如图，的面积为，，，则的面积为_________． 【答案】132 【分析】证明，，，，设，则，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接， ∵，的面积为， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， ∴， ∴, ∴， 解得：， ∴. 23．设的面积为． (1)如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示） (2)如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示） (3)如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题是三角形的综合题，主要考查了面积及等积变换，利用三角形同高则面积比与底边关系分别分析得出是解题关键． （1）利用三角形同高等底面积相等，进而求出即可； （2）利用三角形同高不等底面积比为底边长的比，进而求出即可； （3）利用三角形面积之间关系得出其边长比，得出关于，的方程求出即可． 【详解】（1）如图, 连接， , ，， ， 同理可得出：， ， 故答案为: ； （2）如图，连接， ， 根据等高两三角形的面积比等于底之比， ， ， ， 同理可得出：， ∴； 故答案为: ； （3）如图，过点作于点， ， ， ，即， 同理 ， 设 ，， ，即； ，， ， 又 ， ， 故答案为: ． 易错必刷题型08.三角形内角和定理的证明 典题特征：通过作平行线，将三角形的三个内角转化为平角，证明内角和为180 易错点：①辅助线的作法表述不规范；②证明过程中未明确引用平行线的性质（如两直线平行，内错角相等），逻辑不严谨。 24．一个图形被信封遮住了一部分（如图），下面关于这个图形的说法，正确的是（     ）    A．一定是平行四边形 B．不可能是梯形 C．可能是等腰三角形 D．可能是锐角三角形 【答案】D 【分析】根据平行四边形、梯形、等腰三角形、锐角三角形的特点，结合所给图形逐项判断即可． 【详解】解：由图可知，角和角所对的边明显不平行，因此一定不是平行四边形，故A选项错误； 当这个图形为四边形且上下对边平行时，这个图形是梯形，故B选项错误； 当这个图形为三角形时，被遮住的角的度数为：，可知这个三角形不是等腰三角形，是一般的锐角三角形，故C选项错误，D选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查平面图形形状的识别，解题的关键是掌握常见平面几何图形的特点． 25．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 26．小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 【答案】；两直线平行，内错角相等 ；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的性质，牢记各平行线的性质定理是解题的关键．由，利用平行线的性质，可得出，，由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可得出． 【详解】解：因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，内错角相等 因为 所以理由：两直线平行，同位角相等 理由：两直线平行，同位角相等 因为 所以． 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，两直线平行，同位角相等，． 易错必刷题型09.与平行线有关的内角和问题 典题特征：结合平行线的性质，求三角形内或与三角形相关的角度。 易错点：①误用平行线的性质（如混淆同位角、内错角、同旁内角的关系）；②未结合三角形内角和定理进行角度推导。 27．将一个含角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中，若，则的度数是(    ) A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角和三角形内角和定理，由平行线的性质可得，根据邻补角求得，由三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故选：C． 28．如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案． 【详解】解：设， ∵将沿翻折， 使得点B落在 处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折，使得点C 落在处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 29．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如：，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，的“系数补角”是　　　；的“系数补角”是　　　； 在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点，请解答下面（2）（3）题； 【初步认识】 （2）如图1，点是直线内一点，连接，，若是的“系数补角”，求的大小； 【问题解决】 （3）如图2，连接,若点为直线右边平面内一动点（点不在直线上），与两个角的平分线交于点，若，是的“系数补角”，请直接写出的度数（用含和的代数式表示）． 【答案】（1）;（2）（3）或或 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、平行线的性质等知识. （1）根据“系数补角”的定义计算即可； （2）求出，过点作，根据平行线的性质计算即可； （3）分三种情况：当点在直线内部时，当点在直线下方时，当点在直线上方时；分别求解即可． 【详解】解：（1）， 的“系数补角”； 的“系数补角”； 故答案为：； （2）根据题意得， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， （3）如图，当点在直线内部时， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 如图，当点在直线下方时， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 如图，当点在直线上方时， 同理可得， ， 是的“系数补角”， ，即， ； 综上所述，的度数为或或． 易错必刷题型10.与角平分线有关的内角和问题 典题特征：已知三角形的内角或外角平分线，求相关角度的度数或角度之间的关系。 易错点：①计算角平分线分割后的角度时，未正确除以2；②混淆内角平分线和外角平分线的角度计算方法。 30．如图，在 中，是高，是角平分线， 则 的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得到的度数，则由角平分线的定义可得，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分 ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 31．如图，在中，，，分别平分和，且相交于F，，于点G，若，则______． 【答案】30 【分析】根据垂线定义求出，根据平行线的性质求出，从而求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和求出，根据角平分线定义求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 32．如图，已知是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出，然后由角平分线求出，然后由三角形外角的性质求出，进而求解即可； （2）首先利用三角形面积公式求出的面积，然后根据三角形中线的性质求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴的面积 ∵是的中点 ∴的面积的面积． 易错必刷题型11.三角形折叠中的角度问题 典题特征：三角形沿某条直线折叠后，求折叠前后对应角的度数或角度关系。 易错点：①未掌握折叠前后对应角相等的性质；②未结合三角形内角和或平角的定义进行角度推导。 33．如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用折叠的性质和三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】解：由折叠得，， 又， ， ， ． 34．在等腰中，，将按如图方式折叠，点均落在边上的点处，线段为折痕．若，则的度数为___________． 【答案】85 【分析】由折叠的性质可得，再由三角形内角和定理和平角的定义可推出． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴． 35．如图，在中，，，点D、E分别在的边上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．当的某条边与垂直时，________． 【答案】24或45 【分析】分三种情况：或或分别求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴． ①如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ； ∴①， 由折叠知， ∵， ∴ ，② ∴得：； ∴， 由折叠知， ∴ ； ②如图，当时， 则； ③如图，当时，不合题意； 综上可知，的度数为或． 36．把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，； （2）解：，理由如下： 如图： 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，． 易错必刷题型12.三角形内角和定理的应用 典题特征：利用三角形内角和为180，求三角形中未知角的度数，或判断三角形的形状。 易错点：①计算时角度和超过或不足180；②未结合三角形的分类标准（如直角三角形有一个角为90）判断形状。 37．将一块三角板和一块直尺按照如图所示的位置摆放，若，，则的度数_________． 【答案】 【分析】首先根据平行线的性质求得的度数，然后在中，利用内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， 在中， ． 38．如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记与相交于点M，根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，记与相交于点M， ∵， ∴． ∵， ∴． 39．在如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是________． 【答案】66° 【分析】通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质将已知角转化为与相关的角，再通过角度的和差计算得出结果． 【详解】解：过点作． ∵， ∴． 延长交于点，延长交于点． ∴在中，． ∴． 同理，在中，． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理．解题关键是通过作平行线构造拐点模型，将分散的角集中到三角形中进行计算． 40．如图，在三角形中，、分别是、边上的点，，连接，作平分，交于点．已知． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由已知的和邻补角利用同角的补角相等得到，从而判定；再结合的条件，分别运用两直线平行的性质，得到和，通过等量代换推出；最后利用平分得到，代换即可得； （2）代入第一问结论求，由且得，可得，最后在中用内角和定理即可算出． 【详解】（1）证明： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． .易错必刷题型13.直角三角形的两个锐角互余 典题特征：已知直角三角形的一个锐角，求另一个锐角的度数；利用互余关系进行角度推导。 易错点：①忽略直角三角形中直角为90，错误计算锐角的度数；②混淆“互余”（和为90）与“互补”（和为180）的概念。 41．如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据“两直线平行，同位角相等”得，再根据“直角三角形的两个锐角互余”得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 在中，， ∴． 42．如图，在中，，，为过点的一条直线，过点作于点，且，则的度数_______． 【答案】/度 【分析】先利用直角三角形内角和求出和，再通过角的和差关系求出，最后利用平角的定义求出． 【详解】解：在中，，， ， 于点，且， ， ， ． 43．已知在中，平分，． 【特例探究】 (1)如图（a），，垂足为，若，，则的度数为___________； 【一般推导】 (2)如图（b），点在线段上，过点作，垂足为．请写出与，之间的数量关系：___________ 【拓展应用】 (3)如图（c），在中，，垂足为分别平分和，过点作交延长线于点．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出，然后由角平分线求出，然后求出，进而求解即可； （2）首先由角平分线和三角形内角和定理得到，然后由三角形外角的性质得到，然后利用直角三角形两锐角互余求解； （3）设，得到，根据角平分线的定义得到，，表示出，得到，利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵平分， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； （3）解：设， ∵平分， ， ，， ∵， ∴， 、分别平分和， ，， ， ∴， ∵， ， ， ∴， ， ． 易错必刷题型14.锐角互余的三角形是直角三角形 典题特征：已知三角形中两个锐角互余，判断该三角形为直角三角形；利用该判定定理进行推理。 易错点：①未通过角度计算证明两个锐角互余，直接判定三角形为直角三角形；②混淆直角三角形的性质与判定。 44．在△ABC中，满足下列条件：①；②；③；④，能确定是直角三角形的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据三角形内角和以及题中各条件，求角度，若存在角度为时，则该条件符合题意，进而可得答案． 【详解】①∵； ∴， ∵， ∴， 则能确定是直角三角形，故本选项符合题意； ②∵， ∴， ∴， 则能确定是直角三角形，故本选项符合题意； ③∵， ∴最大角， 则不能确定是直角三角形，故本选项不符合题意； ③∵， ∴， ∴， 则能确定是直角三角形，故本选项符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系． 45．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 46．如图1，在中，，D是上一点，且；    (1)求证：； (2)如图2，若平分，交于点F，交于E．求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数；（用含的代数式表示） (4)如图3，若E为上一点，交于点F，，，，的面积分别为，且，则 ．（仅填结果） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)3 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可得，然后求出，从而得到，再根据垂直的定义证明即可 （2）根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余可得从而得到，再根据对顶角相等可得然后等量代换即可得证 （3）根据角平分线定义表示出，从而表示出，利用邻补角即可求出结果； （4）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出和，然后根据计算即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）平分， ， ， ， ， ； （3）平分， ， ， ， ， ， ； （4），， ， ，， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，有两个锐角互余的三角形是直角三角形，角平分线的定义，三角形外角性质，对顶角相等，邻补角的求解，利用等高的三角形的面积的比等于底边的比求出和是解题的关键． 易错必刷题型15.三角形的外角定义及性质 典题特征：识别三角形的外角，利用“外角等于不相邻的两个内角和”求角度。 易错点：①误将相邻的内角当作外角的组成部分；②未掌握外角大于任意一个不相邻内角的性质。 47．如图，直线，被直线所截，若，，，则________． 【答案】65 【分析】根据平行线的性质以及三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵直线、被直线所截，且， ∴， ∵，且， 则． 48．如图，在中，点是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角，解题的关键是掌握三角形的外角，即，根据，等量代换，即可． 【详解】解：∵，， ∴． 49．在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点，若直线垂直于的一边，写出的度数________． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论：当时，当于时，当时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：如图，当时， ，， ， 平分， ， ； 如图，当于时， ， ； 如图，当时， ，， ． 综上所述，的度数为或或． 50．如图1，直线与直线，直线分别交于点E，F，已知， (1)若，的平分线交于点P，则的度数为______； (2)如图2，点N，M分别是，的平分线上的点，连接，求的度数； (3)如图3，作直线直线，交直线于点K，点P是直线上异于点K的点，点Q是射线上一点，连接，．若，请用含的代数式表示与的度数之间所有可能存在的数量关系______． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义计算即可； （2）延长交于点，结合三角形的外角的性质解题即可； （3）分类讨论当点在点左侧和右侧时的情况，结合平行线的性质和三角形的外角的性质解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点， 由（1）知， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴； 如图，当点在点左侧，设， 若，则， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴； 如图，当点在点右侧，设， 同理可得，， ∵，， ∴ ， ∴； 综上所述，或． 易错必刷题型16.构成三角形的条件 典题特征：判断三条线段能否组成三角形；已知两边的长度，求第三边的取值范围。 易错点：①仅验证两条较短边的和是否大于最长边，未验证所有组合；②忽略第三边的取值范围需同时满足“两边之和大于第三边”和“两边之差小于第三边”。 51．以下列各线段长为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、， ∴长度为的线段能组成三角形，选项A符合题意； B、， ∴长度为的线段不能组成三角形，选项B不符合题意； C、 ， ∴长度为的线段不能组成三角形，选项 C不符合题意； D、 ， ∴长度为的线段不能组成三角形，选项D不符合题意． 52．已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 【答案】1 【分析】先写出从四条线段中任选三条的所有组合，再根据三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断组合是否符合要求，最后统计符合条件的组合个数即可． 【详解】从长度是、、、的线段中任选三条，共有以下种组合： ① ，，；② ，，；③ ，，；④ ，，． 根据三角形三边关系逐一判断： ① 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ② 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ③ 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ④ 因为 ，，，满足三角形任意两边之和大于第三边，能构成三角形． 综上，能构成三角形的组合只有个． 53．从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2017个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是． 54．三角形的三条边长都是整数，周长为，且有一条边长为4．这个三角形的最大边长可能是多少？请说明理由． 【答案】5或4 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，掌握相关知识是解决问题的关键．设这个三角形另两边为和，根据已知条件可以得到，分类讨论最大边长的情况，根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：设这个三角形另两边分别为和， 根据已知，得， ∴． 若最大边为6，则另一边为1，，不满足三角形三边关系定理； 若最大边为5，则另一边为2，满足三边关系定理，故最大边长可能是5； 若最大边长是4，则另一边长为3，满足三角形三边关系定理，故最大边长可能是4； 综上所述，最大边长可能是5或4． 易错必刷题型17.确定第三边的取值范围 典题特征：已知三角形的两边长，求第三边的整数取值范围或可能的长度。 易错点：①计算两边之差时未取绝对值，导致范围错误；②未注意题目中对第三边的限制条件（如整数、偶数等）。 55．由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中，那么c的长度可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用三角形三边关系定理，先求出第三边的取值范围，再匹配选项得到答案，用到的知识点：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：∵三角形三边满足：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，已知 ， ∴ 即 化简得 观察选项，只有在此范围内， 故选C． 56．若一个三角形三边的长分别为4，7，x，则x的值可以为____．（只需写出满足要求的一种情况即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】根据三角形的三边关系得出，即可求解． 【详解】解：依题意，． 解得：． ∴x的值可以为（答案不唯一）． 57．老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小木棍做出一个三角形木架，三根小木棍的长度分别为：5cm、9cm、10cm，要求只能对10cm的小木棍进行裁剪（裁剪后长度为整数）．你认为同学们最多能做出（   ）个不同的三角形木架． A．1 B．2 C．6 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，先通过三角形的三边关系求出第三边的长度范围，然后再根据第三边的长度为整数即可求解． 【详解】解：∵由题意已知三角形有两条边为、，设第三边长度为， ∴第三边的取值范围为：，即， 又∵第三条边从的小木棍中裁剪下来， ∴， 又∵裁剪后长度为整数， ∴的取值可以为：， ∴最多能做出6个不同的三角形木架． 故选：C． 58．如下图，在中，． (1)若的长是偶数，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)的长为4或6 (2) 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的内角和定理： （1）根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）平行，得到，根据平角和三角形的内角和定理，得到，进行求解即可． 【详解】（1）在中，， 所以，即：． 因为的长是偶数， 所以的长为4或6． （2）因为， 所以． 因为，， 所以， 所以． 易错必刷题型18.三角形三边关系的应用 典题特征：利用三边关系解决实际问题，如判断路径长短、求等腰三角形的周长。 易错点：①等腰三角形中，未分情况讨论腰和底的长度，导致漏解；②计算周长时未验证三边能否构成三角形。 59．如图，为了估计池塘岸边两点A，B之间的距离，小万同学在池塘的一侧选择一点，测得，，则A，B两点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系得出，根据的取值范围判断即可． 【详解】解： 根据三角形的三边关系定理得： ， 即：， ∴A、B的距离在和之间， ∴A、B之间的距离可能是． 60．已知，，分别是的三边长，化简：_____． 【答案】 【分析】先根据三角形的三边关系，化简绝对值，再进行整式的加减运算即可． 【详解】解：，，分别是的三边长， ，，， 即，，， ． 61．周长为的三角形中，最长边的取值范围是 (    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设三角形的三边分别为， ， ，其中为最长边，由三角形两边之和大于第三边得，由是最长边，得，即可得的取值范围． 【详解】解：设三角形的三边分别为， ， ，其中为最长边， ∵三角形两边之和大于第三边， ∴， ∵， ∴， 代入不等式得 ， 解得， ∵是三角形的最长边， ∴且， ∴， 即， 解得得， 当时，，此时三角形为等边三角形，满足最长边的限定条件， ∴最长边m的取值范围是． 故选：A． 62．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 【答案】(1)等边三角形 (2)11或12或13 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系结合c是整数即可求解； （3）根据三角形的三边关系得出，，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，的周长， 当时，的周长， 当时，的周长， ∴的周长是11或12或13． （3）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴，，， ∴原式 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04与三角形有关的边和角易错必刷专项训练 本专题汇总与三角形有关的边和角章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.三角形的识别与概念 题型02.三角形的个数问题 题型03.画三角形的高 题型04.与三角形高有关的计算 题型05.利用网格求三角形面积 题型06.由三角形中线求长度 题型07.由三角形中线求面积 题型08.三角形内角和定理的证明 题型09.与平行线有关的内角和问题 题型10.与角平分线有关的内角和问题 题型11.三角形折叠中的角度问题 题型12.三角形内角和定理的应用 题型13.直角三角形的两个锐角互余 题型14.锐角互余的三角形是直角三角形 题型15.三角形的外角定义及性质 题型16.构成三角形的条件 题型17.确定第三边的取值范围 题型18.三角形三边关系的应用 易错必刷题型01.三角形的识别与概念 典题特征：判断给定图形是否为三角形，按边/角对三角形进行分类，识别等腰、等边、锐角、直角、钝角三角形。 易错点：①忽略三角形“由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成”的定义；②混淆锐角三角形（三个角均为锐角）和钝角三角形（有一个钝角）的判定条件。 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 2．如图，在直角三角形ABC中，BC边上有E，D，F三点，，，，垂足为F．以AD为中线的三角形是_______；以AE为角平分线的三角形是_______；以AF为高线的钝角三角形有_______个． 3．如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 易错必刷题型02.三角形的个数问题 典题特征：在含多条线段的复杂图形中，按一定顺序数出所有三角形的数量。 易错点：①未按固定顺序（如按顶点、按边的方向）计数，导致重复或遗漏；②忽略由多条线段组合形成的小三角形。 4．如图，图中有_______个三角形． 5．如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 6．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 易错必刷题型03.画三角形的高 典题特征：过三角形的顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，标注垂足和高。 易错点：①钝角三角形中，画钝角对边上的高时，未向对边延长线作垂线；②漏标垂直符号；③混淆高、中线、角平分线的画法。 7．如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____． 8．如图，在中，利用三角板（图中阴影所示）能直接画出边上的高的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，为的中线，为的中线． (1)在中作边上的高，垂足为； (2)若△的面积为，．   ①的面积为_________；   ②求中边上的高的长； (3)过点作，交于点，连结、且相交于点，若，，求．(用含、的代数式表示) 易错必刷题型04.与三角形高有关的计算 典题特征：已知三角形的底和高求面积，或已知面积和底求高；结合直角三角形的两条直角边互为高进行计算。 易错点：①钝角三角形中，误将对边的长度当作高的长度；②计算面积时忘记乘以；③混淆不同底对应的高。 10．如图，于点C，于点D，，，，则点C到的距离是（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 11．如图，在中，为的中线，．若的面积为30，，则中边上的高是___ 12．如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（　　） A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6 13．如图，的面积为14，，．求阴影部分的面积． 易错必刷题型05.利用网格求三角形面积 典题特征：在方格纸中，用割补法或直接用底×高÷2计算三角形面积。 易错点：①割补时对图形的分割或补全方式错误，导致面积计算偏差；②数网格边长时出错，造成底或高的数值错误。 14．如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，与相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分的面积等于___． 15．在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 16．如图，在每个小正方形的边长都是1的方格纸中，的顶点A，，都在小正方形的格点上，请按下列要求画出所求线段及点，要求所画线段的端点和所画的点均在格点上． (1)画出要求的线段： ①在边上取一点，连接，使； ②画出边上的高线； (2)求的面积； (3)画出要求的点：在方格纸中取一点，使． 易错必刷题型06.由三角形中线求长度 典题特征：已知三角形的中线，求被中线分割的线段长度或三角形的周长。 易错点：①未掌握中线“平分对边”的性质，误将对边分成不相等的两段；②计算周长时错误包含中线的长度。 17．如图，在中，，，是边上的中线，与的周长的差是，则__________． 18．如图，的角平分线与中线交于点，对于下列结论：①是的角平分线；②是的中线；③；④．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 19．如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 易错必刷题型07.由三角形中线求面积 典题特征：利用中线将三角形分成两个面积相等的部分，求部分或整体的面积。 易错点：①误认为中线能将三角形分成周长相等的两部分；②未理解“等底同高的三角形面积相等”的原理，错误计算分割后的面积。 20．如图，中，是两条中线，，则________． 21．如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，若的面积为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 22．如图，的面积为，，，则的面积为_________． 23．设的面积为． (1)如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示） (2)如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示） (3)如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________． 易错必刷题型08.三角形内角和定理的证明 典题特征：通过作平行线，将三角形的三个内角转化为平角，证明内角和为180 易错点：①辅助线的作法表述不规范；②证明过程中未明确引用平行线的性质（如两直线平行，内错角相等），逻辑不严谨。 24．一个图形被信封遮住了一部分（如图），下面关于这个图形的说法，正确的是（     ）    A．一定是平行四边形 B．不可能是梯形 C．可能是等腰三角形 D．可能是锐角三角形 25．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 26．小刚同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程：在的边上任取一点，过点作交于点，作交于点以下是他的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由． 因为 所以 ______（理由：两直线平行同位角相等） （理由：______） 因为 所以 ______（理由：______） ______（理由：______） 因为 ______ 所以． 易错必刷题型09.与平行线有关的内角和问题 典题特征：结合平行线的性质，求三角形内或与三角形相关的角度。 易错点：①误用平行线的性质（如混淆同位角、内错角、同旁内角的关系）；②未结合三角形内角和定理进行角度推导。 27．将一个含角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中，若，则的度数是(    ) A．1 B． C． D． 28．如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则______． 29．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如：，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，的“系数补角”是　　　；的“系数补角”是　　　； 在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点，请解答下面（2）（3）题； 【初步认识】 （2）如图1，点是直线内一点，连接，，若是的“系数补角”，求的大小； 【问题解决】 （3）如图2，连接,若点为直线右边平面内一动点（点不在直线上），与两个角的平分线交于点，若，是的“系数补角”，请直接写出的度数（用含和的代数式表示）． 易错必刷题型10.与角平分线有关的内角和问题 典题特征：已知三角形的内角或外角平分线，求相关角度的度数或角度之间的关系。 易错点：①计算角平分线分割后的角度时，未正确除以2；②混淆内角平分线和外角平分线的角度计算方法。 30．如图，在 中，是高，是角平分线， 则 的度数为（  ） A． B． C． D． 31．如图，在中，，，分别平分和，且相交于F，，于点G，若，则______． 32．如图，已知是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 易错必刷题型11.三角形折叠中的角度问题 典题特征：三角形沿某条直线折叠后，求折叠前后对应角的度数或角度关系。 易错点：①未掌握折叠前后对应角相等的性质；②未结合三角形内角和或平角的定义进行角度推导。 33．如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，则（    ） A． B． C． D． 34．在等腰中，，将按如图方式折叠，点均落在边上的点处，线段为折痕．若，则的度数为___________． 35．如图，在中，，，点D、E分别在的边上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．当的某条边与垂直时，________． 36．把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 易错必刷题型12.三角形内角和定理的应用 典题特征：利用三角形内角和为180，求三角形中未知角的度数，或判断三角形的形状。 易错点：①计算时角度和超过或不足180；②未结合三角形的分类标准（如直角三角形有一个角为90）判断形状。 37．将一块三角板和一块直尺按照如图所示的位置摆放，若，，则的度数_________． 38．如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 39．在如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是________． 40．如图，在三角形中，、分别是、边上的点，，连接，作平分，交于点．已知． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． .易错必刷题型13.直角三角形的两个锐角互余 典题特征：已知直角三角形的一个锐角，求另一个锐角的度数；利用互余关系进行角度推导。 易错点：①忽略直角三角形中直角为90，错误计算锐角的度数；②混淆“互余”（和为90）与“互补”（和为180）的概念。 41．如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 42．如图，在中，，，为过点的一条直线，过点作于点，且，则的度数_______． 43．已知在中，平分，． 【特例探究】 (1)如图（a），，垂足为，若，，则的度数为___________； 【一般推导】 (2)如图（b），点在线段上，过点作，垂足为．请写出与，之间的数量关系：___________ 【拓展应用】 (3)如图（c），在中，，垂足为分别平分和，过点作交延长线于点．若，，求的度数． 易错必刷题型14.锐角互余的三角形是直角三角形 典题特征：已知三角形中两个锐角互余，判断该三角形为直角三角形；利用该判定定理进行推理。 易错点：①未通过角度计算证明两个锐角互余，直接判定三角形为直角三角形；②混淆直角三角形的性质与判定。 44．在△ABC中，满足下列条件：①；②；③；④，能确定是直角三角形的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 46．如图1，在中，，D是上一点，且；    (1)求证：； (2)如图2，若平分，交于点F，交于E．求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数；（用含的代数式表示） (4)如图3，若E为上一点，交于点F，，，，的面积分别为，且，则 ．（仅填结果） 易错必刷题型15.三角形的外角定义及性质 典题特征：识别三角形的外角，利用“外角等于不相邻的两个内角和”求角度。 易错点：①误将相邻的内角当作外角的组成部分；②未掌握外角大于任意一个不相邻内角的性质。 47．如图，直线，被直线所截，若，，，则________． 48．如图，在中，点是延长线上一点，是内部一条射线，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 49．在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点，若直线垂直于的一边，写出的度数________． 50．如图1，直线与直线，直线分别交于点E，F，已知， (1)若，的平分线交于点P，则的度数为______； (2)如图2，点N，M分别是，的平分线上的点，连接，求的度数； (3)如图3，作直线直线，交直线于点K，点P是直线上异于点K的点，点Q是射线上一点，连接，．若，请用含的代数式表示与的度数之间所有可能存在的数量关系______． 易错必刷题型16.构成三角形的条件 典题特征：判断三条线段能否组成三角形；已知两边的长度，求第三边的取值范围。 易错点：①仅验证两条较短边的和是否大于最长边，未验证所有组合；②忽略第三边的取值范围需同时满足“两边之和大于第三边”和“两边之差小于第三边”。 51．以下列各线段长为边，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 52．已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 53．从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是_____． 54．三角形的三条边长都是整数，周长为，且有一条边长为4．这个三角形的最大边长可能是多少？请说明理由． 易错必刷题型17.确定第三边的取值范围 典题特征：已知三角形的两边长，求第三边的整数取值范围或可能的长度。 易错点：①计算两边之差时未取绝对值，导致范围错误；②未注意题目中对第三边的限制条件（如整数、偶数等）。 55．由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中，那么c的长度可以是（　　） A． B． C． D． 56．若一个三角形三边的长分别为4，7，x，则x的值可以为____．（只需写出满足要求的一种情况即可） 57．老师布置了一份家庭作业：用老师给的三根小木棍做出一个三角形木架，三根小木棍的长度分别为：5cm、9cm、10cm，要求只能对10cm的小木棍进行裁剪（裁剪后长度为整数）．你认为同学们最多能做出（   ）个不同的三角形木架． A．1 B．2 C．6 D．10 58．如下图，在中，． (1)若的长是偶数，求的长； (2)若，求的度数． 易错必刷题型18.三角形三边关系的应用 典题特征：利用三边关系解决实际问题，如判断路径长短、求等腰三角形的周长。 易错点：①等腰三角形中，未分情况讨论腰和底的长度，导致漏解；②计算周长时未验证三边能否构成三角形。 59．如图，为了估计池塘岸边两点A，B之间的距离，小万同学在池塘的一侧选择一点，测得，，则A，B两点之间的距离可能是（   ） A． B． C． D． 60．已知，，分别是的三边长，化简：_____． 61．周长为的三角形中，最长边的取值范围是 (    ) A． B． C． D． 62．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $