专题05多边形内角和与外角和易错必刷题型专项训练(16大题型共计50道题)2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦多边形内角和与外角和高频易错点，通过16类题型系统梳理概念、性质及应用，提炼解题方法与避错策略，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与性质|16类题型|截角边数三种情况分析、内角和公式应用、复杂图形转化法|从多边形定义、分类到内角和/外角和公式推导，再到实际应用与综合问题|

专题05多边形内角和与外角和易错必刷题型专项训练 本专题汇总多边形内角和与外角和章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.多边形的概念与分类 题型02.多边形截角后的边数问题 题型03.多边形周长 题型04.网格中多边形面积比较 题型05.多边形对角线条数问题 题型06.对角线分成三角形个数问题 题型07.多边形内角和问题 题型08.多(少)算一个角问题 题型09.多边形截角后的内角和问题 题型10.复杂图形的内角和 题型11.正多边形的外角问题 题型12多边形外角和的实际应用. 题型13.多边形内角和与外角和综合 题型14.正多边形的内角问题 题型15.平面镶嵌 题型16.多边形内角和实际应用 易错必刷题型01.多边形的概念与分类 典题特征：判断图形是否为多边形、区分凸/凹多边形、正多边形的判定（边等+角等）。 易错点：①忽略“多边形是由线段首尾顺次连接且不相交的封闭图形”；②误将边等/角等单一条件当作正多边形判定依据 1．在下列图形中，不是多边形的是（    ） A． B． C． D． 2．若一个多边形的一条对角线将其分成两个四边形，则该多边形的边数是__________． 3．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错必刷题型02.多边形截角后的边数问题 典题特征：已知原多边形边数，求截去一个角后的可能边数。 易错点：漏考虑截线过顶点、过一个顶点、过两个顶点三种不同情况，导致边数判断不全。 4．下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是____． 6．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 易错必刷题型03.多边形周长 典题特征：结合正多边形边长求周长，或利用多边形边长关系求未知边长。 易错点：①忽略题目中“正多边形”的前提，误将所有边都当作相等；②计算时漏加边长。 7．【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 8．如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 9．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 易错必刷题型04.网格中多边形面积比较 典题特征：在方格纸中用割补法计算多边形面积并比较大小。 易错点：①割补时漏算/多算格子；②对“格点多边形面积公式（皮克定理）”应用错误。 10．如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的面积是________． 11．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 12．【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 易错必刷题型05.多边形对角线条数问题 典题特征：已知边数求对角线条数，或已知对角线条数求边数。 易错点：①记错公式 ；②计算时忘记除以2，重复计数对角线。 13．从七边形的一个顶点出发，可以画出的对角线条数为___________． 14．从n边形的一个顶点出发可以连接2022条对角线，则n的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 15．在正边形里面画一个小的正边形，用一些不相交的线段连接它们的顶点，得到的三角形总数记为．例如，根据图，有，则_____． 易错必刷题型06.对角线分成三角形个数问题 典题特征：已知边数，求从一个顶点引对角线分成的三角形个数。 易错点：混淆“从一个顶点引对角线”和“所有对角线”分成的三角形个数，错用公式 n 或 n-1 。 16．如图，从n边形的一个顶点引出的对角线把n边形分成________个三角形（用含n的代数式表示）． 17．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成个三角形，那么这个多边形是（   ）边形 A． B． C． D． 18．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形共有___________条对角线． 19．如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 易错必刷题型07.多边形内角和问题 典题特征：已知边数求内角和，或已知内角和求边数。 易错点：①记错公式 (n-2)×180；②计算时 n-2 部分出错。 20．若一个八边形每个内角都为，则的值是（   ） A．135 B．120 C．115 D．100 21．如图，，，，已知，则的度数为______． 22．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在中，将沿对折，点C落在处． (1)如果，且，求； (2)若，用含α的代数式表示． 易错必刷题型08.多(少)算一个角问题 典题特征：已知少算/多算一个内角后的内角和，求边数或这个内角的度数。 易错点：忽略“单个内角的范围 0 < 内角 < 180”，导致边数或角度数计算错误。 24．一个多边形多算一个内角后的和等于，则这个内角应等于________度． 25．小明计算一个多边形内角和时，少加了一个内角，求得其余内角的度数之和是，求少加的内角度数和这个多边形的边数． 26．小军求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到 (1)求少加的这个内角的度数． (2)通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 易错必刷题型09.多边形截角后的内角和问题 典题特征：已知原多边形边数，求截去一个角后的内角和。 易错点：未结合截角后边数的三种变化，直接用原边数计算内角和。 27．一个多边形截去一个角后，形成一个七边形，那么原多边形边数为（   ）． A．6 B．6或7 C．6或8 D．6或7或8 28．已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是_______边形． 29．如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°． (1)求六边形ABCDEF的内角和； (2)求∠BGD的度数． 易错必刷题型10.复杂图形的内角和 典题特征：求星形、多个多边形组合图形的内角和。 易错点：不会将复杂图形转化为熟悉的多边形（如三角形、四边形）来计算内角和。 30．如图，等于（    ） A． B． C． D． 31．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 32．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 易错必刷题型11.正多边形的外角问题 典题特征：已知正多边形的一个外角求边数，或已知边数求外角的度数。 易错点：①混淆外角和（固定 360）与内角和公式；②误将外角范围当作 0< 外角 < 180 以外的数值。 33．若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 34．如图是被撕掉一块的正多边形纸片，其中两条边的延长线交于点，且，则该正多边形的边数是________． 35．如图，小华在空旷的操场上向右行走米后，接着向左转，再向前行走米，再接着向左转，再向前行走米，…这样一直走下去．    (1)请你补画出小华第四次的行走路线示意图，并描述该次行走路线与首次行走路线的关系． (2)小华能回到原出发点吗？若能，求出小华第一次回到原出发点所走过的路程，若不能，请说明理由． 易错必刷题型12多边形外角和的实际应用. 典题特征：利用外角和解决行走路线、角度偏转等实际问题。 易错点：无法将实际问题中的偏转角度转化为多边形的外角。 36．“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案．若，则__________ 37．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 38．和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题． (1)嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大，”判断嘉嘉的说法是否正确？并说明理由； (2)设的边数为 ①若，求的值； ②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 易错必刷题型13.多边形内角和与外角和综合 典题特征：已知内角和与外角和的关系（如倍数、差值）求边数。 易错点：①混淆内角和与外角和的公式；②列方程时关系搞错。 39．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数为_________． 40．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（   ） A．内角和增加 B．内角和增加 C．外角和增加 D．外角和增加 41．已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和． (2)若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求的值． 易错必刷题型14.正多边形的内角问题 典题特征：已知正多边形边数求内角度数，或已知内角度数求边数。 易错点：①直接用 计算时出错；②误将内角当成外角计算。 42．如图为《北京2022年冬残奥会会徽》纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，则正八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 43．如图，已知正五边形的内角和为，，若，则_________． 44．如图，六边形ABCDEF的内角都相等． (1)若∠1＝60°，求∠ADC的度数； (2)AB与ED有怎样的位置关系？为什么？ 易错必刷题型15.平面镶嵌 典题特征：判断一种或多种正多边形能否镶嵌平面，或求镶嵌方案。 易错点：①忘记“拼接点处各角的和为 360 ”这一核心条件；②计算组合方案时遗漏情况。 45．下列正多边形的组合中，不能铺满地面的是（   ） A．正八边形和正方形 B．正五边形和正十边形 C．正六边形和正三角形 D．正十二边形和正三角形 46．如图，一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形地板铺满，则__________． 47．两个多边形，一个多边形记为A，另一个多边形记为B，多边形A的边数是多边形B的边数的2倍． (1)若多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍，求多边形A和多边形B的边数； (2)利用边长相等的正多边形A型瓷砖和正多边形B型瓷砖能够镶嵌（不重叠、无缝隙地密铺）地面，在一个顶点的周围有a块正多边形A型和b块正多边形B型瓷砖，求的值． 易错必刷题型16.多边形内角和实际应用 典题特征：利用内角和解决零件角度、图形拼接等实际问题。 易错点：①无法将实际图形抽象为多边形；②忽略题目中的隐藏条件（如直角、平角）。 48．如图，某小区花坛的形状是左右对称的六边形，其中，则的度数是（   ） A． B． C． D． 49．如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（   ） A． B． C． D． 50．【阅读材料】 【数学思考】 根据光的反射定律，结合“等角的余角相等”，上图中，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角对应相等．例如：在图1、图2中，设平面镜与平面镜的夹角，从点F射出一条光线，分别在点E，点G发生反射，则有，． (1)如图1，光线经过2次反射又回到了点F，入射光线与第2次反射光线的夹角为．若，则_______度； (2)如图2，光线经过2次反射，第2次反射光线为，请探索证明与α的数量关系，并直接写出当α为多少度时，； (3)如图3，有三块平面镜，入射光线与平面镜的夹角，已知入射光线从平面镜开始反射，经过n（n为正整数，）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数（可用含有m的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05多边形内角和与外角和易错必刷题型专项训练 本专题汇总多边形内角和与外角和章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.多边形的概念与分类 题型02.多边形截角后的边数问题 题型03.多边形周长 题型04.网格中多边形面积比较 题型05.多边形对角线条数问题 题型06.对角线分成三角形个数问题 题型07.多边形内角和问题 题型08.多(少)算一个角问题 题型09.多边形截角后的内角和问题 题型10.复杂图形的内角和 题型11.正多边形的外角问题 题型12多边形外角和的实际应用. 题型13.多边形内角和与外角和综合 题型14.正多边形的内角问题 题型15.平面镶嵌 题型16.多边形内角和实际应用 易错必刷题型01.多边形的概念与分类 典题特征：判断图形是否为多边形、区分凸/凹多边形、正多边形的判定（边等+角等）。 易错点：①忽略“多边形是由线段首尾顺次连接且不相交的封闭图形”；②误将边等/角等单一条件当作正多边形判定依据 1．在下列图形中，不是多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形，熟练掌握由条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键．根据多边形的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、该图形是由4条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； B、该图形是由3条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； C、该图形是由线段、曲线首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它不是多边形．故本选项符合题意； D、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意； 故选：C． 2．若一个多边形的一条对角线将其分成两个四边形，则该多边形的边数是__________． 【答案】六/ 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据一个多边形被一条对角线分成两个四边形，可得多边形的边数，可得答案． 【详解】解：两个四边形有一条公共边，得多边形边的数目是， 故答案为：六． 3．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 易错必刷题型02.多边形截角后的边数问题 典题特征：已知原多边形边数，求截去一个角后的可能边数。 易错点：漏考虑截线过顶点、过一个顶点、过两个顶点三种不同情况，导致边数判断不全。 4．下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体．根据正方体的截面形状判断即可． 【详解】解：正方体的截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形， ∴上列图形中，能通过切正方体得出来的共有：4个， 故选：D． 5．一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是____． 【答案】3或4或5 【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形． 故答案为：3或4或5． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况． 6．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 易错必刷题型03.多边形周长 典题特征：结合正多边形边长求周长，或利用多边形边长关系求未知边长。 易错点：①忽略题目中“正多边形”的前提，误将所有边都当作相等；②计算时漏加边长。 7．【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了周长的求解，原正方形边长为30厘米，剪去四个角的小正方形后，虽然原边长被截短，但新增了与原截短部分等长的边，故周长不变． 【详解】解：如图：    因为剪去一个小正方形后，剪掉了与的长度，但又多出了与的长度，并且， 同样在其它的三个角剪正方形也是这样的，所以它的周长与原来相比不变， 故选：B． 8．如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 【答案】96 【分析】本题考查了求周长，需合理分析图形，利用的是矩形的周长公式．题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可． 【详解】解：如图： 矩形的长为， ， ， ∴主板的周长为， 故答案为：96． 9．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形，多边形的内角与外角， （1）根据正多边形的周长为，边长为，求得边数为，于是得到； （2）根据多边形的外角和等于，求得边数为，根据正多边形的周长为，边长为，于是得到结论． 【详解】（1）解：正多边形的周长为，边长为， 边数为， 一个外角为， ； （2）一个外角为，＝， ， 正多边形的周长为，边长为， ． 易错必刷题型04.网格中多边形面积比较 典题特征：在方格纸中用割补法计算多边形面积并比较大小。 易错点：①割补时漏算/多算格子；②对“格点多边形面积公式（皮克定理）”应用错误。 10．如图，在的方格纸中，有一个正方形，这个正方形的面积是________． 【答案】5 【分析】本题考查了方格中图形面积的计算，掌握用总面积减去空白部分面积求目标图形面积是解题的关键． 先算出整个方格纸的面积，再直接计算正方形周围空白部分的面积，用总面积减去空白面积，就能得到正方形的面积． 【详解】解：方格纸总面积是 ： 观察图形，正方形周围有个直角三角形，每个三角形的两条直角边分别是和， 单个三角形面积，个三角形的总面积是： 正方形面积方格纸总面积空白面积是：． 故答案为：． 11．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 12．【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 【答案】(1)3；1；6； (2)①；②18 【分析】本题主要考查了新定义问题、平面直角坐标系中利用网格求图形面积、解二元一次方程组．求平面直角坐标系中图形面积时，常用的方法是割补法，即在图形外补出一个规则图形或者将所求图形分割成若干规则小图形． （1）利用网格即可求出四边形的面积S，根据图形数出内部的格点数N，边界上的格点数L即可． （2）①分别把，，和，，代入，建立健全二元一次方程组，即可求出，的值． ②先把a、b值代入，得，再把，代入求解即可． 【详解】（1）解：由图可得：， ， ； 故答案为：3；1；6． （2）解：①分别把，，和，，代入，得 ，解得：， ②由①知：， 当，时，则， 解得：． 易错必刷题型05.多边形对角线条数问题 典题特征：已知边数求对角线条数，或已知对角线条数求边数。 易错点：①记错公式 ；②计算时忘记除以2，重复计数对角线。 13．从七边形的一个顶点出发，可以画出的对角线条数为___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了多边形的对角线，理解对角线的定义是解决问题的关键． 根据多边形对角线的构成，从边形一个顶点出发，这个点本身及该点左右两侧相邻的两个点也无法连成对角线，从而得到从七边形的一个顶点出发可以画出对角线的条数为． 【详解】解：从七边形的一个顶点出发，可以画出的对角线条数为（条）， 故答案为： 14．从n边形的一个顶点出发可以连接2022条对角线，则n的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】从n边形的一个顶点出发可以引条对角线，据此建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴． 15．在正边形里面画一个小的正边形，用一些不相交的线段连接它们的顶点，得到的三角形总数记为．例如，根据图，有，则_____． 【答案】 【分析】结合图形分析每个三角形的特征，共可分为三类，与正边形有关，与正边形相关且在外部和在正边形内部，求和即可． 【详解】解：结合图可知，以正二千零二十六边形的边为边的三角形共有个，以正方形的边为边且向外的三角形一共有个，正方形内部的三角形共有个， ∴． 易错必刷题型06.对角线分成三角形个数问题 典题特征：已知边数，求从一个顶点引对角线分成的三角形个数。 易错点：混淆“从一个顶点引对角线”和“所有对角线”分成的三角形个数，错用公式 n 或 n-1 。 16．如图，从n边形的一个顶点引出的对角线把n边形分成________个三角形（用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了多边形对角线的概念，掌握过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成个三角形成为解题的关键． 根据从一个顶点出发的对角线除了和2边不能组成三角形外，其余都能组成三角形．故过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成个三角形． 【详解】解：过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成个三角形， 故答案为． 17．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成个三角形，那么这个多边形是（   ）边形 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的有关知识，根据从n边形的一个顶点出发作它的对角线，将n边形最多分成个三角形进行求解即可． 【详解】解：∵从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成个三角形， ∴这个多边形的边数为， 故选：B． 18．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形共有___________条对角线． 【答案】20 【分析】本题考查了多边形的性质． 过多边形一个顶点的所有对角线将多边形分成个三角形，据此求出边数n，再代入对角线公式计算． 【详解】解：设多边形的边数为n， 由题意得， 解得， 所以对角线总数为：． 故答案为：20． 19．如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【答案】(1) (2)122 (3) 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据找到的规律即可解题； （2）由（1）中的结论解题； （3）探究从边形的一个顶点可引出的对角线条数，进而解题． 【详解】（1）解：由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， ∴边形可以分割成个三角形， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴； （3）解：从边形的一个顶点可引出条对角线， ∴对角线的总数为条． 易错必刷题型07.多边形内角和问题 典题特征：已知边数求内角和，或已知内角和求边数。 易错点：①记错公式 (n-2)×180；②计算时 n-2 部分出错。 20．若一个八边形每个内角都为，则的值是（   ） A．135 B．120 C．115 D．100 【答案】A 【分析】先根据多边形内角和公式求出内角和，再结合题意“每个内角相等”，即可求出的值． 【详解】解：八边形的内角和为， 该八边形每个内角均为， ． 21．如图，，，，已知，则的度数为______． 【答案】/65度 【分析】根据平角定义可求出的度数，如图所示，过点作，可求出，由此可求，根据， ，可求出的度数，如图所示，过点作，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 如图所示，过点作，    ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 如图所示，过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴． 22．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点F作，得，得，；根据是，的角平分线，，，根据四边形内角和为，，即可求出的角度． 【详解】解：如图，过作， ∵， ， 的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， 可设，， ，， 在四边形中， ， 即，① 又∵， ，② 由①②可得，， 解得． 23．如图，在中，将沿对折，点C落在处． (1)如果，且，求； (2)若，用含α的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质（折叠前后对应角相等）及四边形内角和定理，解题的关键是利用折叠性质得到对应角相等，结合平角定义将、转化为四边形的内角，再通过内角和关系推导求解． （1）先由内角和求；再由折叠得、，结合平角定义得、；最后在四边形中，用四边形内角和为列等式求即可； （2）将（1）中替换为，同理推导与的关系． 【详解】（1）解：∵ 在中，，且，， ∴ ； ∵ 沿对折，点落在处， ∴ ，，且； ∵ （平角定义），， ∴ ； ∵ 四边形内角和为， ∴ ； 又∵ （平角定义）， ∴ （2）解：∵ 在中，，且， ∴ ； 由折叠性质得，，； ∵ 四边形内角和为， ∴ ； 代入，得； 化简得． 易错必刷题型08.多(少)算一个角问题 典题特征：已知少算/多算一个内角后的内角和，求边数或这个内角的度数。 易错点：忽略“单个内角的范围 0 < 内角 < 180”，导致边数或角度数计算错误。 24．一个多边形多算一个内角后的和等于，则这个内角应等于________度． 【答案】 【分析】设出多边形边数和所求内角度数，根据多边形内角和公式列出等式，结合n为正整数和多边形内角度数的取值范围，即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为，所求内角度数为， 根据多边形内角和公式可得：， 整理得：， 为正整数，且， 为的正整数倍， 计算得， ，满足，符合条件． 25．小明计算一个多边形内角和时，少加了一个内角，求得其余内角的度数之和是，求少加的内角度数和这个多边形的边数． 【答案】， 【分析】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．根据多边形内角和定理：（且为整数），可得：多边形的内角和一定是的倍数，而多边形的内角一定大于，并且小于，用除以，根据商和余数的情况，求出加的这个内角的度数，进而可求出这个多边形的边数． 【详解】解：， 少加的这个内角的度数是：． ∴这个多边形的边数是：． 答：这个内角的度数为，多边形的边数为14． 26．小军求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到 (1)求少加的这个内角的度数． (2)通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【答案】(1) (2)不是正多边形，计算见解析 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，牢记多边形内角和公式是解题的关键． （1）根据多边形的内角和是的整数倍求出少加的这个内角的度数； （2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则：， 解得：， ∵n为正整数， ∴， ∴， ∴少加的这个内角的度数为：； （2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为：， ∴它的边数应等于， 由（1）可知，这个多边形的边数为， ∴这个多边形不是正多边形． 易错必刷题型09.多边形截角后的内角和问题 典题特征：已知原多边形边数，求截去一个角后的内角和。 易错点：未结合截角后边数的三种变化，直接用原边数计算内角和。 27．一个多边形截去一个角后，形成一个七边形，那么原多边形边数为（   ）． A．6 B．6或7 C．6或8 D．6或7或8 【答案】D 【分析】本题主要考查了截一个多边形，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，据此画图利用数形结合的思想求解即可． 【详解】解：如图所示，六边形，七边形和八边形截去一个角后都可以形成七边形， ∴原多边形边数为6或7或8， 故选：D．    28．已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是_______边形． 【答案】五或六或七 【分析】首先求得内角和为的多边形的边数，再分三种情况考虑截角，即可得出答案． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数是， ， 解得：， 包装盒的底面是六边形， 如图1所示，截线不过顶点和对角线，则原来的多边形是五边形； 如图2所示，截线过一个顶点，则来的多边形是六边形； 如图3所示，截线过一条对角线，则来的多边形是七边形． 故答案为：五或六或七． 【点睛】本题考查多边形知识，注意截去一个角有三种情况需要考虑． 29．如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°． (1)求六边形ABCDEF的内角和； (2)求∠BGD的度数． 【答案】(1)720°； (2)110° 【分析】（1）直接运用多边形的内角和公式计算求解； （2）先求出∠GBC+∠C+∠CDG的度数，然后根据∠BGD＝360°﹣(∠GBC+∠C+∠CDG)进行求解． 【详解】（1）解：六边形ABCDEF的内角和为：180°×（6﹣2）＝720°． （2）解：∵六边形ABCDEF的内角和为720°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°， ∴∠GBC+∠C+∠CDG＝720°-470°＝250°， ∴∠BGD＝360°-（∠GBC+∠C+∠CDG）＝110°． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟练运用多边形的内角和公式和、整体代入的思想是解答本题的关键． 易错必刷题型10.复杂图形的内角和 典题特征：求星形、多个多边形组合图形的内角和。 易错点：不会将复杂图形转化为熟悉的多边形（如三角形、四边形）来计算内角和。 30．如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 31．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 32．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、角平分线的性质与三角形外角性质，掌握四边形内角和为，及利用角平分线、三角形外角性质转化角的关系是解题的关键． 先利用四边形内角和求出的度数，再得到其外角的度数；接着通过角平分线分别求出相关角的度数，最后利用三角形的外角性质计算的度数． 【详解】解：，， ， ． 平分， ． 平分， ， ． 易错必刷题型11.正多边形的外角问题 典题特征：已知正多边形的一个外角求边数，或已知边数求外角的度数。 易错点：①混淆外角和（固定 360）与内角和公式；②误将外角范围当作 0< 外角 < 180 以外的数值。 33．若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据任意多边形外角和为，结合四个外角的比例关系，设未知数求出各外角的度数，进而确定最大外角的度数． 【详解】解：设四个外角的度数分别为、、、． ∵任意四边形的外角和为， ∴． 解得， 即：． 最大的外角为． 逐一分析选项： A、，与计算结果一致，符合题意； B、，与计算结果不符，不符合题意； C、，与计算结果不符，不符合题意； D、，与计算结果不符，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的外角和性质，解题关键是利用多边形外角和为，结合比例关系列方程求解各外角的度数． 34．如图是被撕掉一块的正多边形纸片，其中两条边的延长线交于点，且，则该正多边形的边数是________． 【答案】6 【分析】如图，根据正多边形的每个内角相等可得，再结合题意可得，最后根据多边形的外角和为即可解答． 【详解】解：如图，∵这是被撕掉一块的正多边形纸片， ∴， ∵直线a、b的夹角为， ∴， ∴这个正多边形的边数为：． 35．如图，小华在空旷的操场上向右行走米后，接着向左转，再向前行走米，再接着向左转，再向前行走米，…这样一直走下去．    (1)请你补画出小华第四次的行走路线示意图，并描述该次行走路线与首次行走路线的关系． (2)小华能回到原出发点吗？若能，求出小华第一次回到原出发点所走过的路程，若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析，该次行走路线与首次行走路线平行 (2)能，小华第一次回到原出发点所走过的路程是米 【分析】（1）根据题意先画出示意图，然后判断出小华走六次得到的图形是正六边形，可得答案； （2）根据小华走六次得到的图形是正六边形进行计算即可． 【详解】（1）解：如图所示：    ∵，每次向前行走米， ∴小华走六次得到的图形是正六边形， ∴第四次行走的路线与首次行走路线平行； （2）能； ∵，每次向前行走米， ∴小华走六次得到的图形是正六边形， ∴他第一次回到出发点A时，一共走了米． 【点睛】本题主要考查的是正多边形的有关计算，掌握正多边形的性质是解题的关键． 易错必刷题型12多边形外角和的实际应用. 典题特征：利用外角和解决行走路线、角度偏转等实际问题。 易错点：无法将实际问题中的偏转角度转化为多边形的外角。 36．“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案．若，则__________ 【答案】 【分析】本题考查了多边形的外角，熟练掌握多边形的外角和是是解题的关键．根据多边形的外角和是和已知条件即可求出的度数． 【详解】解：根据多边形的外角和是得： ， 故答案为：． 37．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 38．和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题． (1)嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大，”判断嘉嘉的说法是否正确？并说明理由； (2)设的边数为 ①若，求的值； ②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 【答案】(1)嘉嘉的说法不正确，理由见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和问题； （1）根据多边形的外角和始终为，即可求解； （2）根据多边形内角和定理列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：嘉嘉的说法不正确； 理由：多边形的外角和始终为，与多边形的边数无关； （2）①， 解得， 即的值为； ②， 整理得， 解得． ∴无论取何值，的值始终不变． 易错必刷题型13.多边形内角和与外角和综合 典题特征：已知内角和与外角和的关系（如倍数、差值）求边数。 易错点：①混淆内角和与外角和的公式；②列方程时关系搞错。 39．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数为_________． 【答案】9 【分析】根据题意设边数为，根据多边形内角和定理及外角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得：， 化简得：， 解得：． 40．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（   ） A．内角和增加 B．内角和增加 C．外角和增加 D．外角和增加 【答案】A 【分析】根据边形内角和公式为，任意多边形外角和恒为是解题关键，计算边数增加1后内角和的变化即可判断选项． 【详解】解：设原多边形为边形， 边形内角和为，边数增加后变为边形， 新多边形内角和为， 内角和增加的度数为， 故A选项正确； 又任意多边形的外角和恒为，边数增加时外角和不变， B、C、D选项错误． 41．已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和． (2)若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多边形内角和公式及外角和，读懂题意，利用多边形内角和公式求角度、按照题意列方程求解即可得到答案，熟记多边形内角和公式及四边形外角和为是解决问题的关键． （1）根据多边形的内角和公式，代值求解即可得到答案； （2）根据多边形内角和公式及四边形外角和为，由题意列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：多边形的内角和公式为， ，这个多边形的内角和； （2）解：多边形的内角和公式为，四边形的外角和为， 由题意可得，解得． 易错必刷题型14.正多边形的内角问题 典题特征：已知正多边形边数求内角度数，或已知内角度数求边数。 易错点：①直接用 计算时出错；②误将内角当成外角计算。 42．如图为《北京2022年冬残奥会会徽》纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，则正八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：正八边形的内角和为． 43．如图，已知正五边形的内角和为，，若，则_________． 【答案】56 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，平行线的判定和性质．根据正多边形的性质，可得，过点B作，可得，即可求解． 【详解】解：∵正五边形的内角和为， ∴， 如图，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：56． 44．如图，六边形ABCDEF的内角都相等． (1)若∠1＝60°，求∠ADC的度数； (2)AB与ED有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1)60° (2)平行，理由见解析 【分析】（1）由六边形的内角和为，六边形的内角都相等得到每个内角的度数为120°，而∠1＝60°，根据四边形的内角和是360°，即可求解本题； （2）四边形ABCD的内角和为，∠B=∠C=∠CDE=120°，由此即可求出∠EDA=120°-∠CDA=∠1，即可得到平行． 【详解】（1）六边形的内角和为，六边形的内角都相等， 每个内角的度数为120°， ∵四边形ABCD的内角和为，∠B=∠C=120°，∠1=60°, ∴∠ADC=360°-∠B-∠C-∠1=60° ． （2）AB∥ED，理由如下： ∵四边形ABCD的内角和为，∠B=∠C=∠CDE=120°， ∴∠1+∠ADC=360°-∠B-∠C=120°， 又∵∠EDA+∠ADC=∠EDC=120°， ∴∠1=∠EDA， ． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质和平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行是解答此题的关键． 易错必刷题型15.平面镶嵌 典题特征：判断一种或多种正多边形能否镶嵌平面，或求镶嵌方案。 易错点：①忘记“拼接点处各角的和为 360 ”这一核心条件；②计算组合方案时遗漏情况。 45．下列正多边形的组合中，不能铺满地面的是（   ） A．正八边形和正方形 B．正五边形和正十边形 C．正六边形和正三角形 D．正十二边形和正三角形 【答案】B 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺），正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为，若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满，据此判断即可求解，掌握平面镶嵌（密铺）的定义是解题的关键． 【详解】解：、正八边形的每个内角是，正方形的每个内角是，由于，故能铺满，该选项不合题意； 、正五边形和正十边形内角分别为、，，但该组合不能铺满地面，该选项符合题意； 、正六边形和正三角形内角分别为、，由于，故能铺满，该选项不合题意； 、正十二边形和正三角形内角分别为、，由于，故能铺满，该选项不合题意； 故选：． 46．如图，一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形地板铺满，则__________． 【答案】8 【分析】本题考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况，体现了学数学用数学的思想，同时考查了多边形的内角和公式．根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出n的值． 【详解】解：正n边形的一个内角， 则， 解得， 故答案为：8． 47．两个多边形，一个多边形记为A，另一个多边形记为B，多边形A的边数是多边形B的边数的2倍． (1)若多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍，求多边形A和多边形B的边数； (2)利用边长相等的正多边形A型瓷砖和正多边形B型瓷砖能够镶嵌（不重叠、无缝隙地密铺）地面，在一个顶点的周围有a块正多边形A型和b块正多边形B型瓷砖，求的值． 【答案】(1)多边形A的边数是8，多边形B的边数是4 (2)3或4或5 【分析】本题考查了多边形内角和公式，正多边形的镶嵌，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键； （1）设多边形B的边数为n，多边形A的边数为，根据多边形内角和公式即可列方程求解； （2）根据平面图形能够密铺应具备的条件：如果正多边形的内角度数的整数倍是即可解答． 【详解】（1）解：设多边形B的边数为n，多边形A的边数为， 则， 解得：，． 则多边形A的边数是8，多边形B的边数是4． （2）多边形A的边数是多边形B的边数的2倍， 能够镶嵌的正多边形A和正多边形B只能是正六边形和正三角形组合， 或正八边形和正方形组合． 若是正六边形和正三角形组合，则，或，，则或5； 若是正八边形和正方形组合，则，，则． 所以，的值为3或4或5． 易错必刷题型16.多边形内角和实际应用 典题特征：利用内角和解决零件角度、图形拼接等实际问题。 易错点：①无法将实际图形抽象为多边形；②忽略题目中的隐藏条件（如直角、平角）。 48．如图，某小区花坛的形状是左右对称的六边形，其中，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，多边形的内角和，掌握轴对称图形的性质，多边形的内角和是解题的关键；由轴对称图形的性质得，，多边形的内角和得，即可求解． 【详解】解：花坛的形状是左右对称的六边形， ， ， 四边形的内角和为， ， ． 故选：C． 49．如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是四边形的内角和定理和平行线的性质，先求解，结合内角和定理求得，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：C 50．【阅读材料】 【数学思考】 根据光的反射定律，结合“等角的余角相等”，上图中，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角对应相等．例如：在图1、图2中，设平面镜与平面镜的夹角，从点F射出一条光线，分别在点E，点G发生反射，则有，． (1)如图1，光线经过2次反射又回到了点F，入射光线与第2次反射光线的夹角为．若，则_______度； (2)如图2，光线经过2次反射，第2次反射光线为，请探索证明与α的数量关系，并直接写出当α为多少度时，； (3)如图3，有三块平面镜，入射光线与平面镜的夹角，已知入射光线从平面镜开始反射，经过n（n为正整数，）次反射，当第n次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数（可用含有m的代数式表示）． 【答案】(1)40 (2)， (3)或 【分析】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、多边形内角和等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和平角的定义进行求解即可； （2）由三角形内角和定理求出，进一步得到，再求出即可得到答案； （3）分两种情况分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：40； （2）解：在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当时，即时，； （3）①当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如果在边反射后与平行，则，与题意不符， 则只能在边反射后与平行， 如图所示， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴； 综上可知，的度数为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $