题型6 阅读理解题&题型7 代数推理-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

题型六 阅读理解题 类型一新定义概念 技法点拨 【例1】(2025·广西)【平行六边形】如图1，在 (1)先由阅读材料给出一个新概念，涉及的 凸六边形ABCDEF中，满足AB∥DE,BC∥EF, 知识可能是以后要学到的数学新知识，也 CD∥FA,我们称这样的凸六边形叫做“平行六 有可能是其他学科的相关内容，然后利用 边形”，其中AB与DE,BC与EF,CD与FA叫 类型 所提供的新概念新知识解决所给问题； 做“主对边”；∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和 总结 ∠F叫做“主对角”；AD,BE,CF叫做“主对 (2)“12345”模型介绍：若ma= 2,tan B= 角线” (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判 3,则a+8=45°，且知二推三 断正误并在横线上填写“正确”或“错误”. (1)读懂题目提供的新概念与新知识，理解 猜想 判断正误 其本质； ①平行六边形的三组主对边分别相等 解题 (2)将新概念与新知识与已学知识联系起 ②平行六边形的三组主对角分别相等 步骤来，利用已学知识解决问题； ③平行六边形的三条主对角线互相平分 (3)理解示范例题所展示的解题方法，将方 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做 法运用到要解决的问题中 “菱六边形” (2)如图2，已知平行六边形OPORST满足 练①(2025·乐山)定义：在平面直角坐标系中， OP=PQ=QR=RS.求证：平行六边形OPORST 到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”. 是菱六边形 (1)下列三个函数的图象上存在“单位圆点” (3)如图3是一张边长为3,4,6的三角形纸 的是 (填序号) 片.剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为 菱六边形.请在剪裁掉的小三角形中，任选一 ①y=x+2:2y=1:3y=2+1. 个，求它的各边长 (2)若一次函数)+m的图象1存在“单 位圆点”，则m的取值范围为 6 练2(2025·河南)定义：有两个内角的差为90° 图 图2 图3 的三角形叫做“反直角三角形”.如图，在 △ABC中，AB=AC=5,BC=8,点P为边BC上 一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的 长为 220 类型二新定义运算 技法点拨 【例2】(2025·青岛)【定义新运算】 类型 新定义运算的实质是一种规定，规定某种 对正实数a,b,定义运算“⑧”，满足a⑧b= 总结 运算方式，然后按照规定去计算、求值 ab (1)明白这是一种特殊的运算，常用*， a+b' @,★，&，☆等来表示； 例如：当a>0时，(2a)②1=2a:12a (2)正确理解新定义运算的含义，严格按 2a+12a+11 解题 照计算顺序把它转化为一般的四则运算， (1)当a>0时，请计算：(2a)⑧(2a)= 技巧 然后进行计算； 【探究运算律】 (3)新定义的算式中，有括号的，要先算括 对正实数a,b,运算“☒”是否满足交换律a⑧ 号里面的 b=ba? a86=ab ba bb8a=6+na86=b⑧a, 练3(2024·宿迁)规定：对于任意实数a,b,c, ·.运算“⑧”满足交换律a⑧b=b⑧a. 有【a,b】★c=ac+b,其中等式右面是通常的乘 法和加法运算，如【2,3】★1=2×1+3=5.若关 (2)对正实数a,b,c,运算“⑧”是否满足结合 于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相 律(a⑧b)⑧c=a⑧(b⑧c)?请说明理由 等的实数根，则m的取值范围为 【应用新运算】 1 A.m<4 1 (3)如图，正方形ABCD是由四个全等的直角 B.m74 三角形和中间的小正方形EFGH拼成，AF=a, BF=b,且a>b.若正方形ABCD与正方形 C.m 4且m≠0 D.m<4且m≠0 EFGH的面积分别为26和16，则(2a)⑧b⑧ 练4(2025·泸州)对于任意实数a,b,定义新运 (2a)的值为 (a(a≥b), 算：a※b= 给出下列结论： -a(a<b), ①8※2=8； ②若x※3=6，则x=6; ③a※b=(-a)※(-b); ④若(2x-4)※2<5x,则x的取值范围为x心4 其中正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 练5(2025·内江)对于x,y定义了一种新运算 G,规定G(x,y)=x+3y.若关于a的不等式组 Ga,1-20)≥-2，恰好有3个整数解，则实数 G(-2a,1+4a)>P P的取值范围是 221 题型七 代数推理 【例】(2025·安徽)对于正整数n,根据n除以3 练2(2024·德阳)数学活动课 的余数，分以下三种情况得到另一个正整数 上，甲组同学给乙组同学出 m:若余数为0，则m=}:若余数为1，则m= 示了一个探究问题：把数字1 至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两 2n;若余数为2，则m=n+1.这种得到m的过 程称为对n进行一次“变换”.对所得的数m 个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值 再进行一次变换称为对进行二次变换，依 不等于1.经过探究后，乙组的小高同学填出 此类推.例如，正整数n=4,根据4除以3的余 了图中两个中心圆圈的数字a,b,你认为a可 数为1，由4×2=8知，对4进行一次变换得到 以是 .(填上一个数字即可) 的数为8：根据8除以3的余数为2，由8+1=9 练3(2025·北京)某企业研发并生产了一种新 知，对4进行二次变换得到的数为9：根据9 设备，计划分配给A,B,C,D四家经销商销售 除以3的余数为0，由9÷3=3知，对4进行三 当一家经销商将分配到的n台设备全部售出 次变换得到的数为3. 后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万 (1)对正整数15进行三次变换，得到的数为 元)与n的对应关系如下： (2)若对正整数n进行二次变换得到的数为 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 1,则所有满足条件的n的值之和为 40 60 技法点拨 30 55 75 90 100 105 代数推理对抽象思维能力要求较高，解答该类问题 20 40 60 70 80 90 要关注以下几点： D 14 38 62 86 110 134 (1)观察与归纳：通过观察具体数字、图形或实际问 (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销 题中的数量关系，发现蕴含的模式或规律； 商销售，且每家经销商至少分配到1台设备， (2)符号化表述：将发现的规律用字母、符号和数学 表达式表示出来，形成通用的公式或规则； 为使5台设备都售出后企业获得的总利润最 (3)推理与验证：①合情推理：通过归纳、类比等方 大，应向经销商 分配2台设备.（填 法提出猜想，并用实例验证其合理性；②演绎推理： “A”“B”“C”或“D”) 依据已知的数学规则（如运算律、法则、公式、定理 (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销 等)进行严谨证明，确保结论的普遍性和正确性. 商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出 练1①(2025·南通)在平面直角坐标系xOy中， 后，企业可获得的总利润的最大值为 五个点的坐标分别为A(-1,5),B(1,2), 万元 C(2,1),D(3,-1),E(5,5).若抛物线y= 练4(2025·宜宾)已知a1,02,a3,a4,a5是五个正 a(x-2)2+k(a>0)经过上述五个点中的三个 整数，去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有 点，则满足题意的a的值不可能为 五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45， 3 4 3 B. D. 9 c 4 46,47,48,则a1+a2+a3+a4+a5= 222则点0》.则=- 4 ∠JHL=∠JEK=a,∠EKJ=∠HKE, 5 六△EK△HKE,则EA4-5 KE HE5 4 设灯5则E=4a则点太个0，尽5n 在Rt△KEW中，KW+WE2=KE2, (5ai+1=(a 5w5 解得m= (负值舍去)，则点0，) 242 由点K,E的坐标，得直线KE的解析式为y= -1111' 联立上式和抛物线，的解析式，得x-2x-3=斤， 242 解得x9 =1舍去)，则点P9」 480 11,121/ 综上，点P的坐标为(3,0)或，12 9480 【练6】解：(1)抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点(-1,3)，且对 称轴为直线x=1, (6 a1解得a=, (b=-2, (a-b=3, .抛物线的函数解析式为y=x2-2x (2)当k=1时，直线的解析式为y=x-1, .当x=0时，y=-1,当x=2时，y=1, .D(0,-1),E(2,1). y=(x-h)2-1, .抛物线的顶点坐标在直线y=-1上移动. y=(x-h)2-1与线段DE有公共点， 六联立=(xh)-1,整理，得2-(2h+1)x+h=0, (y=x-1, 六当4=(2h+1)2-4h2=0,即A=-号时，满足题意，如图1 图1 图2 如图2，将)=(-6)2-1从6=开始向右移动，直至抛物 线与线段DE只有一个交点为E(2,1),此过程中y=(x h)2-1与线段DE均有公共点. 当y=(x-h)2-1过点E(2,1)时，(2-h)2-1=1, 解得h=2-√2或h=2+√2， 当-≤h≤2+2时，抛物线y=(x-h)2-1与线段DE有 4 公共点 (3)存在 y=x-k,.当y=0时，x=1,.C(1,0) ,·抛物线的对称轴为直线x=1, .点C在抛物线的对称轴上. ·PQ过点C,且与直线AB垂直， 直线P0的解析式为=之(：-，即y=名行 联立=-，整理，得x2-(k+2)x+k=0, y=x2-2x, x+xg=k+2,y+yg=kxa-k+kxg-k=k(x+xn)-2k=k2. M为AB的中点，M+2) 22 11 联立了云同理可得) y=x2-2x, 作MH⊥CT,NF⊥CT,如图3. .TC平分∠MTN, A .∴.∠NTF=∠MTH .∴.tan∠NTF=tan∠MTH. NF MH WN TFTH 1k+2 /B 1-1+ -1 2k2 设T(1,t),则 1 ,2 图3 2k2 -2 解得1=一 21 抛物线的对称辅上存在定点1，），使得心总是平 分∠MTV. 题型五几何最值问题 【例1】3+13【练1】D【例2】27【练2】C 【练3】【例3)2+4【练4到D【练5】20-2 【例4210-1【练0)2【练715【例51 【练8】10【例6】23【例7】80°【例8】65 【练9】C【练10】1 【例9】解：如图，(1)将点A向下平移 至点F,使AF的长等于河宽，将点B D F 向右平移至点G,使BG的长等于 D 河宽。 E (2)连接GF,与河岸相交于点E',D. (3)过点D作DD'⊥CD于点D,过点 E作EE'⊥CE于点E,则DD',EE即为两桥的位置， 【练11】(4,1)【例10】62cm【练12】23 【例11】42【练13】23【例12】52【练14】√37 题型六阅读理解题 【例1】(1)①错误②正确③错误 [提示]如图1，连接BE,CF,AD,BE,AD B 交于点0，由图可知， ①AB∥DE,只能知道△AOB∽△DOE,不 能得出AB=DE,其他对边同理，故平行 六边形的三组主对边分别相等是错 D 误的. 图1 ②AB∥DE,∠ABE=∠BED,同理可得∠CBE=∠BEF, :∠ABC=∠DEF,其他对角同理，故平行六边形的三组主 对角分别相等是正确的. ③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错 误的. (2)证明：如图2，过点Q作QH平行且等 于PO,连接OH,HS, 则四边形PQHO是平行四边形！ ..PQ//0H,PQ=OH. 在平行六边形OPORST中 .PO//RS,PO=RS, 图2 .QH LRS,.四边形QRSH为平行四边形， .QR∥HS,QR=HS. 在平行六边形OPORST中，PQST,QROT, ∴.OHST,HS0T, .四边形HST0为平行四边形，.HS=OT,OH=ST, ..QR=OT,PO=ST. .OP=PO=OR=RS,..PO=OR=RS=ST=OT=PO. ·.平行六边形OPORST是菱六边形. (3)解：设三角形纸片为 △ABC,裁剪后的纸片为菱六 4F 边形DEFCHK, .DE∥HG,HK∥EF,GF∥AB, H DE=EF=FG=HG=KH=DK, 图3 .△ADE△ABC,△BKH△BAC, DE AD AE KH BK ·BC-AB AC'ACAB DE=EF=FG=HG=KH=DK=x, 则之=D_AE x B跃 6=3=4’4=3, ,6=子，队 AD=1 3 4x. ,·AB=AD+DK+BK=3, 4 2++4=3,解得x=3, 12 D,45号令D=求其他三角形 的边均可) 【装1a酒2-sm 【练21曾支号 【例2】解：(1)a (2)对正实数a,b,c,运算“⑧”满足结合律(a⑧b)⑧c=a⑧ (b⑧c),理由如下： ab abc 左边：(a⑧b)⑧c=b 66·c a+b abe ab ath te ab+ac+bc ab+ac+be' a+b bc abe b+c b+c abc 右边：a☒(b☒c)=a☒ b+c bc ab+ac+bc ab+ac+bc a*bic b+c .左边=右边，.对正实数a,b,c,运算“⑧”满足结合律 (a⑧b)⑧c=a☒(b⑧c). 【练3】D【练4】B【练5】-17≤P<-7 题型七代数推理 【例】(1)2(2)11【练1】C【练2】1（或8） 【练3】(1)B(2)157【练4】58 题型八综合与实践 1解：(1)如图1，①圆弧上取一 点C,交界面与圆弧的交点为 P M,N,连接MC,NC; ②分别作MC,NC的中垂线，交 于点0，则点0为圆弧的圆心： ③连接OM,过点M作PM⊥ OM,则PM为圆O的切线，故 ∠PMN即为所求 (2)变强 图 (3)∠CAD=2∠BAC. 理由如下：如图2，连接OA, 则OA=OB, ..∠ABC=∠OAB. AD为切线，.OA⊥AD, .∠OAB+∠BAD=90°. .BC⊥AC 图2 ..∠ABC+∠BAC=90 .'∠ABC=∠OAB,∴.∠BAD=∠BAC, ..∠CAD=∠BAD+∠BAC=2∠BAC. (4):水滴弧的长度为1= 180·F-180”, :可以根据}的大小，进行判所，越大，水滴越趋近于球 形，疏水性越强.（答案不唯一） 8 2.解：(1)①90°②360°÷90°=4③360°÷135°= 3 ④不能 (2)8[提示]设AB切⊙0于点E,连接OE. AC,BD,如图1.则AC,BD交于点O,AC⊥BD OE⊥AB,OA=OB. E .AE=BE=OE=1,..AB=2. .正方形ABCD的周长为8. 图1 (3)设AB切⊙O于点G,连接OG,OA,OB,如 图2， 则0G1AB,0A=0BAG=4B :∠A0B=360 =60°， 图2 :∠A0G，∠A0B=30°，0A=2AG AG+0G2=0A2, 30c3 ·4G AB23 3 .正六边形的周长为43. (4)43963 3.解：(1)18x0=-x2+42x+100 (2):0=-x2+42x+100=-(x-21)2+541,-1<0, .当x=21时，wmx=541. 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541. (3)可开设7条安检通道.理由如下： 设开了m条安检通道， 则e=y-6mx=-x2+60x+100-6mx=-x2+6(10-m)x+100, ·.对称轴为直线x=3(10-m) :排队人数10分钟（包括10分钟）内减少， 0≤3(10-m)≤10，即2 sm≤10. 20 又：最多开通9条安检通道3≤m≤9 5