第1章 第3节 代数式及整式(含因式分解)-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

第三节 代数式及整式（含因式分解） 必备知识·夯根基。 [1.原价a的六五折表示为0.65a,原价a提高10%后再打九折表示为① 2.原量a的2倍多（或少）3表示为② 列代数式 3. 每天完成的工作量为a,则完成6的工作量所需时间为天 【温馨提示】多项式后面带单位时，要用括号括起来，如(x+y)人 代数式 '直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值 〔(1)观察已知条件和所求代数式的关系 代数式 (2)将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系，一般会用到提公因式法、 求值 整体代入法 平方差公式、完全平方公式 (3)将已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值 [定义：由数与字母的积表示的式子，单独一个数或一个字母也是单项式 单项式{ 系数：单项式中的数字因数 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和 系数广次数为3+47 代数式及整 整式的相 定义：几个单项式的和 关概念 多项式项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项 次数：多项式中次数最高项的次数 (含因式分解 整式：单项式和多项式统称为整式 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（所有的常数项都是同类项） 1.字母和字母的③ 不变 合并同类项{ (2.系数相加减作为新的系数，如x2y+2x2y=④ 加减运算 括号前是“+”，去括号时，括号内各项不变号： (实质：合 a+(b+c)=a⑤ b⑥ 并同类项)》 去括号法则括号前是“-”，去括号时，括号内每一项都变号： 整式的 a-(b+c)=a⑦ b⑧ 0 运算 简记为：“”变“+不变 [同底数幂相乘：am·a”=⑨ 同底数幂相除：a”÷a”=0 (a≠0) 幂的运算 幂的乘方：(am)"=① 积的乘方：(ab)”=② 10 单项式乘单项式：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的 不变，作为积的因式.如：3xy·4x2z=(3×4)x+2·y·z=12x3yz 单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 如：a(b+c)=④ 多项式乘多项式：用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加， 如：(a+b)(c+d)=⑤ 公式：6 乘法运算 平方差 整式的 公式 几何背景：a 运算 乘法公式 公式：⑦ 完全平 方公式 几何背景： 「单项式除以单项式：将系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式中含有的 代数式及整式（含因式分解 除法运算 字母，则连同它的指数作为商的因式.如：8xy2÷2y=B 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商⑨ 1.把一个多项式化成几个整式的积的形式 目的 2.必须分解到每一个多项式都不能再分解为止 公式：ma+mb+mc=① 系数：取各项系数的最大公约数 提公因式法 公因式 字母：取各项相同的字母或因式 的确定 基本方法 指数：取各项相同字母的最低次幂 [a"-b 分解因式 20 整式乘法 公式法 a2±2ab+b2= 分解因式 2 因式分解 整式乘法 【拓展】(1)十字相乘法（二次项系数为“1”）：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 如：x2+5x+6 =(x+2)(x+3) 13 (2)分组分解法：当项数多于三项时，例如a2-b+a-b,没有公因式，又不能直接利用公式 法分解时，可以利用分组分解法将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组，再提 公因式，即可达到因式分解的目的. 如：a2-b2+a-b=(a2-b2)+(a-b)=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1) 【温馨提示】因式分解与整式的乘法运算是互逆运算，可以用整式的乘法运算验证因式分解是否正确 11 核心考点·分类练。 考点一代数式及其求值 9.（2024·山东)下列运算正确的是 类型①列代数式 A.a4+a3=a7 1.(2024·广安)下列对代数式-3x的意义表述 B.(a-1)2=a2-1 正确的是 ( C.(a3b)2=a3b2 A.-3与x的和 D.a(2a+1)=2a2+a B.-3与x的差 10.(2024·泰安)下列运算正确的是() C.-3与x的积 A.2x2y-3xy2=-x2y D.-3与x的商 B.4x8y2÷2x2y2=2x4 2.(2025·内蒙古)冰糖葫芦是我国传统小吃 C.(x-y)(-x-y)=x2-y2 若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫 D.(x2y3)2=x4y6 芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小 11.（2025·天津)计算3x-x-5x的结果为 串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示 为 考点四因式分解 12.（2025·烟台)因式分解：2x2-12xy+ 18y2= 13.(2024·山东)因式分解：x2y+2xy= 类型②代数式求值 3.(2025·威海)若2x-3y=2,则6y-4x+1= 14.(2024·东营)因式分解：2a3-8a= 4.(2025·苏州)若y=x+1,则代数式2y-2x+3 15.（2024·淄博)若多项式4x2-mxy+9y2能用 的值为 完全平方公式因式分解，则m的值是 考点二整式的有关概念 5.(2025·长春)写出ab的一个同类项： 考点五整式的化简及求值 16.(2024·济宁)先化简，再求值： 6.（2024·泰安)单项式-3ab2的次数是 x(y-4x)+(2x+y)(2x-y),其中x=2=2 7.（2025·成都)多项式4x2+1加上一个单项式 后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单 项式可以是 (填一个即可) 考点三整式的运算 8.(2025·山东)已知a≠0，则下列运算正确的 是 A.-2a+3a=5a B.(-2a3)2=4a6 C.a2-a-a Da6÷a2=a3 12 17.(2025·潍坊)先化简，再求值：x(5x-8y）-19.(2025·河南)观察2x,4x2,6x3,8x4,…,根据 4(x-y)2,其中x,y满足x+2y=0. 这些式子的变化规律，可得第n个式子 为 类型②图形规律探索 20.(2024·济宁)如图，用大小相等的小正方形 按照一定规律拼正方形.第一幅图有1个正 方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有 14个正方形…按照此规律，第六幅图中正 方形的个数为 考点六规律探索 类型①数式规律探索 18.(2023·聊城)如图，图中数字是从1开始按 第一幅图第二幅图第三幅图 第四幅图 箭头方向排列的有序数阵.从3开始，把位于 A.90 B.91 C.92 D.93 同一列且在拐角处的两个数字提取出来组 21.（2024·泰安)如图所示，是用图形“0”和 成有序数对：(3,5)；(7,10)；(13,17)；(21， “O”按一定规律摆成的“小屋子” 26);(31,37);;如果单把每个数对中的第 一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就 O O OO 00 会发现其中的规律.请写出第n个数对： 品 OO 0O 0O o000 00000 OOOO OO 00 ○ 00o 0000 00000 37 36 (1) (2) (3) (4) (5) 212019181 22765163 个“小 2 4 15 3 按照此规律继续摆下去，第 811 24923143 屋子”中图形“O”个数是图形“O”个数的 251011121332 262728293031 3倍 当堂达标检测 1.（2025·威海)下列运算正确的是 )3.(2025·烟台)下列计算正确的是 ( A.b3+b2=b5 B.(-2b2)3=-666 A.2x2+x3=3x B.2x2·x3=2x a b=b C.2x3÷(-x2)=2x D.(2x2)3=2x6 C.b÷ D.(-b)3÷(-b2)=b b a 4.(2025·广安)一种商品每件标价为a元，按 2.(2023·济宁)下列各式从左到右的变形，因 标价的8折出售，则每件商品的售价是 式分解正确的是 ( 元 A.(a+3)2=a2+6a+9 5.因式分解： B.a2-4a+4=a(a-4)+4 (1)(2025·兰州)2x2+4x+2= C.5ax2-5ay2=5a(x+y）(x-y） (2)(2025·聊城模拟)a2(a-b)+b2(b D.a2-2a-8=(a-2)(a+4) a)= 13 6.(2025·扬州)若a2-2b+1=0,则代数式10.(2025·泰安一模)化简并求值：[(x+2y）· 2a2-46+3的值是 (x-2y)-（x-2y)2]÷(-2y）,其中x=-1, 7.(2025·绥化)观察如图，图1有2个三角形 记作a,=2;图2有3个三角形，记作a,=3;图 3有6个三角形，记作a3=6;图4有11个三 角形，记作a4=11;按此方法继续下去，则an= ·(结果用含n的代数式表示) △A△△△△哈会A△会公会A △△△ 图1图2 图3 图4 8.(2025·浙江)【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详 解九章算法》，书中记载的二项和的乘方 (a+b)”展开式的系数规律如图所示，其中 “三乘”对应的展开式： (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 【应用体验】 已知(x+2)4=x4+mx3+24x2+32x+16,则m的 值为 左 11.已知a=2+√5，b=2-5,求代数式a2b+ab2 O 的值 平 eo 立 O目目O 乘四⑧四已 果O国⊕⊕国O 桑⊙因周①用因日 9.(2025·湖南)先化简，再求值：(x+2)(x-2)+ x(1-x),其中x=6. 请完成“复习作业本”P5~P6 14复习 人第一部分考点全面梳理 第一章数与式 第一节实数及其运算 必备知识·夯根基 ①无限不循环小数②0③支出10元④实数⑤-a ⑥距离⑦大⑧-4⑨00相等①对称②1 B±1④1⑤1×10361×104⑦1×10880.432 ⑧大①>①绝对值②减去②1)雪-27 8 a 3 9 3⑤相反数色}©片®包1月 42a-b 436-a 核心考点·分类练 1.C2.C3.B4.B5.B6.A7.C8.A9.5.635×10 10.B11.A12.A13.B14.215.216.1-22 17解：原式=写×3+1=1+1=2 18解：原式=25-1+2-3-2x√3 2 =23-1+2-/5-3 =1. 19.解：原式=10-3-1=6. 当堂达标检测 1.D2.C3.B4.C5.A6.37.28.①③ 9解，原式=名1 20 0,解：原式=23+1+w3-2x)=23+1+3-1=33 第二节二次根式 必备知识·夯根基 ①被开方数大于或等于零②分母③开得尽方④被开方数 50①2国≥⑨≥国瓜卫，日 核心考点·分类练 1.D2.x≥13.x>14.C5.B6.237.D8.D9.1 10.-2√311.312.60 13.解：√⑧+√50-(5)0 √2 _32+55-1=8-1=7. √2 14.解：原式=9-2√2+22-2=7. 15.B16.417.2(或3) 当堂达标检测 1.B2.C3.A4.C5.x>3且x≠20256.2 学案 6 .6 7.635/6+35 8.解：(1)原式=6-√/16+4=6-4+4=6. (2)原式=25-√3=√3. (3)原式45-0-25+5-2+8 5-1 =√/5-1-25+√5-2+8=5. 第三节代数式及整式（含因式分解） 必备知识·夯根基 ①0.9(1+10%)a②2a+3(或2a-3)③指数④3x2y⑤+ ⑥+⑦-⑧-⑨am+m0am-①amn2a"b”①B指数 ④ab+ac⑤ac+ad+bc+bd6(a+b)(a-b)=a2-b2 ⑦(a±b)2=a2±2ab+b284xy9相加②①m(a+b+c) ①(a+b)(a-b)2(a±b)2 核心考点·分类练 1.C2.5m+3n3.-34.55.7ab(答案不唯一）6.3 7.4x(答案不唯一)8.B9.D10.D11.-3x 12.2(x-3y)213.xy(x+2)14.2a(a+2)(a-2)15.±12 16.解：x(y-4x)+(2x+y)(2x-y) =xy-4x2+4x2-y2=xy-y2, 当x= 2y2时，原式 2×2-22=1-4=-3. 17.解：x(5x-8y)-4(x-y)2 =5x2-8xy-4(x2-2xy+y2) =5x2-8xy-4x2+8xy-4y2 =x2-4y2. x+2y=0,.x2-4y2=(x+2y)(x-2y)=0×(x-2y）=0. 18.(n2+n+1,n2+2n+2)19.2nx"20.B21.12 当堂达标检测 1.D2.C3.B4.0.8a5.(1)2(x+1)2(2)(a-b)2(a+b) 6.17.n2-2n+38.8 9.解：(x+2)(x-2)+x(1-x) =x2-4+x-x2=x-4. 当x=6时，原式=6-4=2. 10.解：原式=[x2-4y2-(x2-4xy+4y2)]÷(-2y) =(x2-4y2-x2+4xy-4y2)÷(-2y) =(-8y2+4xy)÷(-2y）=4y-2x. 当x=-1y=-2 原式=4()2(-1)-6+2=4 3 11.解：a=2+5,b=2-√5 .∴.a2b+ab2=ab(a+b) =(2+√/5)(2-√5)(2+√5+2-5) =(4-5)×4 =-1×4=-4. 第四节分式 必备知识·夯根基 ①B≠0②A=0且B≠0③公因式④不等于零的整式 50±6 6名陆超始og· bd 6 c bc Q⑦a" b