题型5 几何最值问题-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

题型五几 类型一利用三边关系求最值 【例1】(2025·自贡)如图，在 平面直角坐标系xOy中， Rt△ABC的顶点C,A分别在 x轴，y轴正半轴上，∠ACB= 90°，∠BAC=30°，BC=2.以 BC为边作等边△BCD,连接OD,则OD的最 大值为 技法点拨 1.点A,B,C不共线 如图，已知点A、点B是平面内固定的 背景 两点，AB=m,点C是同一平面内一动 展示 点且BC=n(m>n) C 图示 B 连接AC,BC,在△ABC中，根据三边关系， 结论 有AB-BC<AC<AB+BC,即m-n<AC<m+n 2.点A,B,C共线 如图，已知点A、点B是乎面内固定的 背景 两点，AB=m,点C是同一平面内一动 展示 点且BC=n(m>n) 图示 A CB A B C ①点C在线段AB上，AC有最小值为 AB-BC,即m-n; 结论 ②点C在线段AB的延长线上，AC有最 大值为AB+BC,即m+n 练1冂(2023·聊城)如图，已知等腰直角△ABC, ∠ACB=90°，AB=√2，点C是矩形ECGF与 △ABC的公共顶点，且CE=1,CG=3;点D是 CB延长线上一点，且CD=2.连接BG,DF,在 矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的 214 何最值问题 过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段 DF对应的长度分别为m和，则”的值为 A.2 B.3 C./10 D.√13 Y个，3y=x+4 B 练1图 例2图 类型二利用路径法求最值 考法①利用垂线段最短求最值 【例2】(2024·凉山州)如图，⊙M的圆心为 M(4,0),半径为2，P是直线y=x+4上的一个 动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q,则PQ 的最小值为 技法点拨 1.点到直线的所有线段中，垂线段最短 如图，已知直线l外一定点A和直线1上 问题 一动点B,求A,B之间距离的最小值 通常过点A作直线I的垂线AB,利用垂线 思路 段最短解决问题，即连接直线外一点和直 线上各点的所有线段中，垂线段最短 图示 B'BB 2.垂线段最短+角平分线 点P是∠ABC的平分线上一动点，在BC 问题 上找一点M,要使CP+PM的值最小 设法将CP,PM转化在同一条直线上，利用 思路 角平分线性质结合垂线段最短求解即可 图示 练2(2024·泰安)如图，菱形ABCD中，∠B= 60°，点E是AB边上的点，AE=4,BE=8,点F 是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶 点，∠EFG为30°角的直角三角形，连接AG 当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小 值是 A.2 B.43-2C.23 D.4 B D 练2图 练3图 练3(2025·苏州)如图，在△ABC中，AC=3, BC=2,∠C=60°，D是线段BC上一点（不与端 点B,C重合)，连接AD,以AD为边，在AD的 右侧作等边三角形ADE,线段DE与线段AC交 于点F,则线段CF长度的最大值为 考法②利用隐形圆求最值 【例3】(2025·宜宾)如 图，在Rt△ABC中， D ∠ABC=90°，BC=6, 将射线CA绕点C顺 B 时针旋转90°到CA1,在射线CA1上取一点D, 连接AD,使得△ACD的面积为24，连接BD, 则BD的最大值是 技法点拨 1.点圆最值 平面内两定点O,D,动点E到定点O的距 问题离相等，若OD=d,⊙0的半径为r,求DE 的最大值或最小值 作法 以点0为圆心，OE长为半径作⊙0，连接 OD,直线OD交⊙0于点E 0 作图 D E E\DO 续表 当点D在⊙O外时，DE的最大值为d+r, DE的最小值为d-r 当点D在⊙0上时，DE的最大值为2r,DE 结论 的最小值为0 当点D在⊙0内时，DE的最大值为d+r, DE的最小值为r-d 2.线圆最值 若0H=d,⊙0的半径为r,在⊙0上找一 问题点P,使得点P到直线l的距离PH有最大 值和最小值 过点0作OH⊥1，垂足为H,交⊙0于点P, 作法 或反向延长交于点P 作图 当直线l与⊙O相离时，PH的最大值为d+ r,最小值为d-r 当直线1与⊙0相切时，PH的最大值为 结论 2r,最小值为0 当直线1与⊙0相交时，PH的最大值为d+ r,最小值为r-d 练4(2025·自贡)如图，正方形 0 ABCD边长为6，以对角线BD为 斜边作Rt△BED,∠E=90°，点F 在DE上，连接BF.若2BE=3DF,则BF的最 小值为 A.6 B.62-√5 C.35 D.45-22 练5如图，在矩形ABCD中，A D AB=4,AD=6,点E是AB边 ENB以 的中点，点F是BC边上的动 B 215 点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F, 连接B'D,则B'D的最小值是 考法③瓜豆模型 【例4】(2023·宜宾)如图，M是正方形ABCD 边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP, 线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段 BQ,连接MQ.若AB=4,MP=1,则MQ的最小 值为 技法点拨 ①一个点随另一个点的运动而运动，前者称 为从动点，后者称为主动点，从动点的轨迹与 主动点的轨迹始终一致（如都为直线或圆 特 形)； 征 ②主动点、从动点与定点连线的夹角是定值 (∠PAQ是定值)； ③主动点、从动点到定点的距离之比是定值 (AP:AQ是定值). 图 B 直线轨迹 圆轨迹 ①P,Q两点轨迹所 ①主、从动点与定点 在直线的夹角等于 连线的夹角等于两圆 ∠PAQ或∠PAQ的 心与定点连线的夹 补角； 角：∠PAQ=∠OAM; ②P,Q两点轨迹长 ②主、从动点与定点 度之比等于AP:AQ 的距离之比等于两圆 (由△ABC∽△AMN 心到定点的距离之 及△ABP∽△AMQ, 比，也等于两圆半径 可得AP:AQ=AB: 之比，即AP:AQ= AM=BC:MN) AO AM=OP MQ. 216 练6（宜宾中考）如图，⊙0的直径AB=4,P为⊙0 上的动点，连接AP,Q为AP的中点，若点P在圆 上运动一周，则点Q经过的路径长是 练6图 练7图 练7如图，在□ABCD中，AB=6,AD=8,∠B= 60°.动点M,N分别在边AB,AD上，且AM= AN,以MN为边作等边△MNP,使点P始终在 口ABCD的内部或边上.当△MWP的面积最大 时，DN的长为 类型三利用转化法求最值 【例5】如图，在平面直角坐标y 系中，Rt△OAB的直角顶点 A在x轴上，OA=4,AB=3, 动点M从点A出发，以每秒O 1个单位长度的速度，沿A0向终点0移动； 同时点N从点0出发，以每秒1.25个单位长 度的速度，沿OB向终点B移动.当两个动点 移动了x秒(0<x<4)时，△OMN的最大面 积为 技法点拨 1.在某些几何综合题中，通过利用锐角三角函数或 相似三角形等知识构建线段间的二次函数关系， 从而利用二次函数的最值求解有关几何线段或 面积的最值问题！ 2.利用全等或对称的性质进行相等线段的转换，再利 用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”求最值】 练8如图，在Rt△ACB中， ∠ACB=90°，AB=10,点 E,F是线段AB上的动 点，且满足AE=BF,连接CE和CF,则CE+CF 的最小值为 类型四“将军饮马”问题 【例6】(2025·绥化)如 图，在菱形ABCD中， AB=4,对角线BD=43, 点P是边CD的中点，点 M是对角线BD上的一个动点，连接PM,CM, 则PM+CM的最小值是 技法点拨 “一线两点”型 两个定点A,B,点P在直线1上运动，何 特点 时PA+PB最小 A B 示例 .B A A+ 思路 作点A关于直线I的对称点A',连接A'B 结论与直线l交于点P,此时PA+PB最小 【例7】(2024·绥化)如图，已 知∠AOB=50°，点P为 ∠AOB内部一点，点M为射 线OA、点N为射线OB上的O1 两个动点，当△PMW的周长最小时，则 ∠MPN= 技法点拨 “一点两线”型 一个定点C,点P在射线OA上运动，点Q在 特点 射线OB上运动，何时△CPQ的周长最小 示例 Cw 分别作点C关于射线OA和射线OB的对 思路 称点C'和C",连接C'C"与射线OA和射线 结论 OB交于点P和点Q,此时△CPQ的周长 最小 【例8】如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=6, AE=4,AF=2,G,H分别是边BC,CD上的动点， 则四边形EFGH周长的最小值为 技法点拨 “两点两线”型 两个定点A,B,点P在射线OC上运动，点 特点 Q在射线OD上运动，何时四边形APQB的 周长最小 A、C 示例 B 作点A关于射线OC的对称点A',作点B 思路 关于射线OD的对称点B',连接A'B',与射 结论 线OC和射线OD交于点P和Q,此时四边 形APQB的周长最小 练9（聊城中考）如图，在Rt△ABO中，∠OBA= 0心，A4),点C在边AB上.且治-写点D 为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P 在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的 点P的坐标为 A.(2,2) B(c(8》 D.(3,3) 6 D B Q C 练9图 练10图 回（泰安中考）如图，∠BAC=15°，M为AC上 一点，AM=2,点P是AB上的一动点，PQ⊥ AC,垂足为点Q,则PM+PQ的最小值 为 217 类型五“造桥选址”问题 【例9】如图所示，某条护城河在C,C'处直角转 弯，河宽相同，从A处到达B处，须经过两座 桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两 座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使 从A到B的路程最短，请确定两座桥的位置， 技法点拨 “造桥选址”的根本是通过平移变换，按与河岸垂直 的方向平移桥，使除桥外的其他路径平移后在一条 直线上，具体如下表所示 问题 作法 图例 A 将点A向下平 m 移至点A',使 N B AA'的长等于直 A 已知两点A,B, 线m,n之间的 直线m∥n,在 距离，连接A'B, 直线m,n上分 交直线n于点 AM+MN BN 别取点M,N, N,过点N作 的最小值为 使MN⊥m,且 MN⊥m,交直线 A'B+MN的值 m于点M,连 AM+MN BN 接AM 的值最小 练11(2024·新疆)如图，抛物线 y-4+6与)轴交丁点4， 与x轴交于点B,线段CD在抛 物线的对称轴上移动（点C在 点D下方)，且CD=3.当AD+BC的值最小 时，点C的坐标为 218 类型六“费马点”问题 【例10】（淄博中考）两张宽为3cm的纸条交叉 重叠成四边形ABCD,如图所示.若∠a=30°， 则对角线BD上的动点P到A,B,C三点距离 之和的最小值是 技法点拨 【问题背景】“费马点”一就是到三角形三个顶点 的距离之和最小的点，“费马点”问题在中考考查时 主要隐藏在求PA+PB+PC的最小值问题中，通常 将某三角形绕点旋转一定的角度，从而将三条线段 转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决 问题， 【模型分析】对于一个各角不超过120°的三角形， “费马点”是对各边的张角都是120°的点，对于有 一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的 顶点，使费马点P到△ABC三个顶点的距离之和 PA+PB+PC最小，这就是所谓的“费马”问题， 如图，将△APC绕点A逆时针旋转60°到△AP'C', 则可以构造出等边三角形APP',从而得到AP= PP',CP=C'P',所以将PA+PB+PC的值转化为 PP'+PB+P'C'的值，则线段BC的长即为所求的最 小值. 练2若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB= ∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的 费马点.若点P为锐角△ABC的费马点，且 ∠ABC=60°，PA=3,PC=4,则PB的值 为 类型七“胡不归”问题 【例11】（鄂尔多斯中考）如图，在△ABC中， AB=AC=4,∠CAB=30°，AD⊥BC,垂足为D,P 为线段AD上的一动点，连接PB,PC,则PA+ 2PB的最小值为 技法点拨 已知点A为直线l上一定点，点B为直线U 问题 外一定点，点P为直线L上一动点，求kAP+ 描述 BP(0<k<1)的最小值 图形 展示 一找：找含系数k的线段AP; 二构造：构造以线段AP为斜边的直角三 角形 ①以定点A为顶点作∠NAP,使sin 解题 ∠NAP=k; 思路 ②过动点P作垂线，构造Rt△APE; 三转化：化折为直，将kAP转化为PE; 四求解：使得kAP+BP=PE+BP,利用“垂线 段最短”转化为求BF的长 练13（锦州中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，∠ABC=30°，AC=4,按下列步骤作图： ①在AC和AB上分别截取AD,AE,使AD= AE:②分别以点D和点E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在∠BMC 点M;③作射线AM交BC于点F.若点P是线 段AF上的一个动点，连接CP,则CP+。AP的 ● 最小值是 练13图 例12图 类型八“阿氏圆”问题 【例12】(2025·黑龙江)如图，已知△ABC中， ∠ACB=90°，AC=7,BC=9,点M是△ABC内 部一点，连接AM,BM,CM,若CM=3,则AM+ 3BM的最小值为 技法点拨 如图，⊙0的半径为r,点A,B都在⊙O 问题 外，P为⊙0上一动点，连接PA,PB,求 描述 PA+kPB的最小值 图形 展示 模型 特点 0B6 找：找含系数k的线段PB； 二取：在OB上找一点C,使0C=k: 解题 思路 三转化：化折为直，kPB转化为PC; 四求解：使得PA+PB=PA+PC,利用“两 点之间线段最短”转化为求AC的长 练4如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4, CA=6,⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接 P,BP,则AP+D的最小值为 219则点0》.则=- 4 ∠JHL=∠JEK=a,∠EKJ=∠HKE, 5 六△EK△HKE,则EA4-5 KE HE5 4 设灯5则E=4a则点太个0，尽5n 在Rt△KEW中，KW+WE2=KE2, (5ai+1=(a 5w5 解得m= (负值舍去)，则点0，) 242 由点K,E的坐标，得直线KE的解析式为y= -1111' 联立上式和抛物线，的解析式，得x-2x-3=斤， 242 解得x9 =1舍去)，则点P9」 480 11,121/ 综上，点P的坐标为(3,0)或，12 9480 【练6】解：(1)抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点(-1,3)，且对 称轴为直线x=1, (6 a1解得a=, (b=-2, (a-b=3, .抛物线的函数解析式为y=x2-2x (2)当k=1时，直线的解析式为y=x-1, .当x=0时，y=-1,当x=2时，y=1, .D(0,-1),E(2,1). y=(x-h)2-1, .抛物线的顶点坐标在直线y=-1上移动. y=(x-h)2-1与线段DE有公共点， 六联立=(xh)-1,整理，得2-(2h+1)x+h=0, (y=x-1, 六当4=(2h+1)2-4h2=0,即A=-号时，满足题意，如图1 图1 图2 如图2，将)=(-6)2-1从6=开始向右移动，直至抛物 线与线段DE只有一个交点为E(2,1),此过程中y=(x h)2-1与线段DE均有公共点. 当y=(x-h)2-1过点E(2,1)时，(2-h)2-1=1, 解得h=2-√2或h=2+√2， 当-≤h≤2+2时，抛物线y=(x-h)2-1与线段DE有 4 公共点 (3)存在 y=x-k,.当y=0时，x=1,.C(1,0) ,·抛物线的对称轴为直线x=1, .点C在抛物线的对称轴上. ·PQ过点C,且与直线AB垂直， 直线P0的解析式为=之(：-，即y=名行 联立=-，整理，得x2-(k+2)x+k=0, y=x2-2x, x+xg=k+2,y+yg=kxa-k+kxg-k=k(x+xn)-2k=k2. M为AB的中点，M+2) 22 11 联立了云同理可得) y=x2-2x, 作MH⊥CT,NF⊥CT,如图3. .TC平分∠MTN, A .∴.∠NTF=∠MTH .∴.tan∠NTF=tan∠MTH. NF MH WN TFTH 1k+2 /B 1-1+ -1 2k2 设T(1,t),则 1 ,2 图3 2k2 -2 解得1=一 21 抛物线的对称辅上存在定点1，），使得心总是平 分∠MTV. 题型五几何最值问题 【例1】3+13【练1】D【例2】27【练2】C 【练3】【例3)2+4【练4到D【练5】20-2 【例4210-1【练0)2【练715【例51 【练8】10【例6】23【例7】80°【例8】65 【练9】C【练10】1 【例9】解：如图，(1)将点A向下平移 至点F,使AF的长等于河宽，将点B D F 向右平移至点G,使BG的长等于 D 河宽。 E (2)连接GF,与河岸相交于点E',D. (3)过点D作DD'⊥CD于点D,过点 E作EE'⊥CE于点E,则DD',EE即为两桥的位置， 【练11】(4,1)【例10】62cm【练12】23 【例11】42【练13】23【例12】52【练14】√37 题型六阅读理解题 【例1】(1)①错误②正确③错误 [提示]如图1，连接BE,CF,AD,BE,AD B 交于点0，由图可知， ①AB∥DE,只能知道△AOB∽△DOE,不 能得出AB=DE,其他对边同理，故平行 六边形的三组主对边分别相等是错 D 误的. 图1 ②AB∥DE,∠ABE=∠BED,同理可得∠CBE=∠BEF, :∠ABC=∠DEF,其他对角同理，故平行六边形的三组主 对角分别相等是正确的. ③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错 误的.