第4章 微专题5 全等三角形的常考模型-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

微专题五 全等 模型一平移模型 模型 展示 公公 B C(E)F B E C F B CE F 模型 沿某一直线()平移，其中一个三角形可与另一 特点 个三角形完全重合 解题(1)加（减）共线部分，得对应边相等； 思路 (2)利用平行线性质找对应角相等 结论 △ABC≌△DEF 针对训练 1.(2025·苏州)如图，C是线段AB的中点， ∠A=∠ECB,CD∥BE. (1)求证：△DAC≌△ECB. (2)连接DE,若AB=16,求DE的长. D 2.(2025·淄博博山区二模)如图，点A,D,B,E在 同一条直线上，AD=BE,AC=DF,BC=EF (1)求证：△ABC≌△DEF. (2)若∠A=55°，∠E=45°，求∠F的度数 D B 98 角形的常考模型 模型二轴对称模型 有公共边 D 模型 有公共顶点 展示 模型将所给图形沿某条直线折叠，直线两边的部分 特点能完全重合 (1)找公共边、中点、相等的边、线段的和差、等 解题腰三角形等条件得到对应边相等； 思路(2)找公共角、垂直、对顶角、角的和差、等腰三 角形的底角等条件得到对应角相等 结论关于对称轴对称的三角形全等 针对训练 3.如图，点E在AB上，AC= AD,请你添加一个条件，使 图中存在全等三角形.添 加条件为 4.(2025·自贡)如图，∠ABE=∠BAF,CE=CF 求证：AE=BF 5.风筝起源于中国，至今已有2300多年的历 史，如图，在小明设计的“风筝”图案中，已知 AB=AD,∠B=∠D,∠BAE=∠DAC.求证： AC=AE. 模型三“手拉手”模型 模型展示 B (1)△ABC和△ADE是共顶点的等腰三 模型特点 角形； (2)绕共顶点A旋转 (1)先确定共顶，点； (2)再根据顶角及旋转角确定一组角 解题思路 相等； (3)再找等角的两边对应相等 (1)△ABD≌△ACE(SAS); (2)两条拉手线BD,CE所在直线的夹角 结论 与∠BAC相等或互补 简记：双等腰，共顶角，绕共顶点旋转得 全等 针对训练 6.（2025·凉山州)如图，AB=AC,AE=AD,点E 在BD上，∠EAD=∠BAC,∠BDC=56°，则 ∠ABC的度数为 A.56° B.60° C.62° D.64° 第6题图 第7题图 7.如图，等边三角形ACD和等边三角形BCE有 一个公共顶点C,直线AE与BD交于点F,直 线AE与CD交于点G,直线CE与BD交于点 H,连接GH.下列结论：①AE=DB;②△BHC≌ △EGC;③∠DFA=60°；④△HGC为等边三角 形.其中正确的结论有 (填序号) 8.如图，△ACD和△ABE均为等腰直角三角形，其 中AC=AD=2,AB=AE=25,∠BAE=∠DAC= 90°，点B在CD的延长线上，连接CE. (1)求△ABC的面积. (2)求tan∠CBE的值. B 99 模型四“一线三等角”模型 同侧 三等 模型 角 一线三垂直 展示 异侧 一线 三等 角 一线：经过三个等角顶点的直线 模型 三等角：∠1=∠2=∠3 特点 AP=BD(或AC=BP或CP=PD) (1)先找平角180°； 解题 (2)再找内角和180°： 思路 (3)结合条件中的等角，得到另一组等角 结论 △APC≌△BDP(无线段相等时，则△APC∽△BDP) 针对训练 9.如图，在△ABC中，∠A=50°， ∠B=∠C,点D,E,F分别在边 BC,CA,AB上，且满足BF=CD, BD=CE,∠BFD=30°，则 ∠FDE的度数为 A.75° B.80° C.65 D.95° 10.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB= 90°，CB=CA,直线ED经过点C,过点A作 AD⊥ED于点D,过点B作BE⊥ED于点E. 求证：DE=AD+BE. 100 11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点 E是∠ACB内部一点，连接CE,作AD⊥CE, BE⊥CE,垂足分别为点D,E. (1)求证：DE=AD-BE. (2)若BE=5,DE=7,求△ACD的周长 D,∴.∠ABD=∠FBD=20 (AB=FB. 在△ABD和△FBD中， ∠ABD=∠FBD. BD=BD .△ABD≌△FBD(SAS), ∴.∠ADB=∠FDB,AD=DF 又：AD=ED,∠ADB=∠EDC, ∴.FD=ED,∠ADB=∠FDB=∠CDE=180°-100°-20°=60°， .∠FDC=180°-∠ADB-∠FDB=60°=∠EDC. ED=FD. 在△CDE和△CDF中， ∠CDE=∠CDF, CD=CD ·.△CDE≌△CDF(SAS), .CE=CF,..BC=BF+CF=AB+CE. 【例4】解：如图，过点P作PC∥OB,交OA于点C,作PE⊥OA 于点E, ∴.∠ECP=∠A0B=30°，PE=PD=4, ∴.PC=2PE=8. :PC∥OB,OP平分LAOB .∠COP=∠DOP=∠CPO .∴.OC=PC=8. 在Rt△EPC中，由勾股定理 得CE=√PC2-PE=√82-4=43 .·∠OEP=∠ODP=90°，∠EOP=∠DOP,OP=OP, .△EOP≌△DOP(AAS), .OD=0E=0C+CE=8+43. 7383 第三节全等三角形 必备知识·夯根基 ①相等②相等③相等④相等⑤等角⑥ASA ⑦AAS⑧AAS 核心考点·分类练 1.C2.(1,4)3.D4.AD=CE(答案不唯一) 5.证明：(1)，∠BAD=∠EAC, ∴.∠BAD-∠CAD=∠EAC-∠CAD, ∴.∠BAC=∠EAD. 在△ABC与△AED中， (AB=AE, ∠BAC=∠EAD,∴.△ABC≌△AED(SAS) AC=AD」 (2).·△ABC≌△AED,∴.∠ACB=∠ADE. ,AC=AD,∴.∠ACD=∠ADC ·.∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC, ∠BCD=∠EDC. 6.解：① AB=CD 证明：在△ABF和△CDE中，{AF=CE, BF=DE .·.△ABF≌△CDE(SSS), ∴.∠AFB=∠CED,·.∠AFE=∠CEF,.AF∥CE. 又.AF=CE,.四边形AECF是平行四边形， .AE//CF. (或②) 证明：在△ABF和△CDE中， (AB=CD. ∠BAF=∠DCE,.△ABF≌△CDE(SAS), AF=CE」 .∠AFB=∠CED,.∠AFE=∠CEF,.AF∥CE. 又.AF=CE,.四边形AECF是平行四边形， ∴.AECF 当堂达标检测 1.B2.C3.C4.AD=CF(答案不唯-)5.100 6.证明：在△ABE和△DCE中， (AE=DE, ∠AEB=∠DEC BE=CE, .△ABE≌△DCE(SAS),∴.AB=DC 7.(1)证明：.ABDE,.∠B=∠E. 'AC=DF,∠A=∠D,∴.△ABC≌△DEF(AAS) (2)解：△ABC≌△DEF, .BC=EF,..BF+FC=CE+FC. BF=4,FC=3,3+4=CE+3,.CE=4, ∴.BE=BF+FC+CE=4+3+4=11. 微专题五全等三角形的常考模型 1.(1)证明：.C是线段AB的中点， .AC=CB-2AB. CD∥BE,.∠DCA=∠B. (∠A=∠ECB, 在△DAC和△ECB中，AC=CB, (∠DCA=∠B, ∴.△DAC≌△ECB(ASA). (2)解：AB=16,BC=2AB=8 .△DAC≌△ECB,.CD=BE. 又.·CD∥BE,.四边形BCDE是平行四边形， .∴.DE=BC=8. 2.(1)证明：.·AD=BE ∴·AD+BD=BE+BD,即AB=DE (AB=DE. 在△ABC和△DEF中，{AC=DF, BC=EF, .△ABC≌△DEF(SSS). (2)解：.∠A=55°，∠E=45°， 由(1)可知△ABC≌△DEF ..∠A=∠FDE=55°， .∴.∠F=180°-（∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°）=80°. 3.CE=DE(答案不唯一) 4.证明：.·∠ABE=∠BAF,∴.AC=BC 又：∠ACE=∠BCF,CE=CF, .△ACE≌△BCF(SAS),.AE=BF 5.证明：.·∠BAE=∠DAC, ∴.∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC,即∠BAC=∠DAE. 在△BAC和△DAE中， I∠B=∠D, AB=AD, .∴.△BAC≌△DAE(ASA),∴.AC=AE. (∠BAC=∠DAE, 6.C7.①③ 8.解：(1)如图，过点A作AF⊥BC于点F .·△ACD是等腰直角三角形，AC=2, B .AF=AC·sin45°=√2. 在Rt△ABF中，.AB=2W5,AF=√2 .BF=AB2-AF=√(25)2-(2)2=32. △ACD为等腰直角三角形，AF⊥CD, ..CF=DF=AF=√2，∴.BC=BF+CF=4W2, 六Sac=2BC·AF=2x42xW2=4. (2).·△ABE,△ADC为等腰直角三角形，∠BAE=∠DAC= 90°，AB=AE,AD=AC, .∴.∠BAD+∠DAE=90°，∠DAE+∠CAE=90°， ∴.∠BAD=∠CAE. (AB=AE. 在△BAD和△EAC中， ∠BAD=∠EAC, AD=AC, △BAD≌△EAC(SAS),∴.BD=EC,∠ABD=∠AEC .∠1=∠2，且∠ABD+∠1+∠BAE=180°， ∠AEC+∠2+∠BCE=180°，.∴∠BCE=∠BAE=90°， BD=BC-CD=BC-2CF=22, CE=2/2.tanL CBE=CE_221 BC422 9.C 10.证明：∠ACB=90°，.∠ACD+∠BCE=90°. .·AD⊥ED,BE⊥ED,∴.∠ADC=∠CEB=90°， .∴.∠ACD+∠CAD=90°，∴.∠CAD=∠BCE. 在△BEC和△CDA中， ∠BCE=∠CAD, ∠CEB=∠ADC,∴.△BEC≌△CDA(AAS), CB=AC, .BE=CD,CE=AD,.'.DE=CE+CD=AD+BE. 11.(1)证明：BE⊥CE,AD⊥CE,.∠E=∠ADC=90°， .∴.∠EBC+∠BCE=90° :∠ACB=90°，∴.∠BCE+∠ACD=90°， ∴.∠EBC=∠DCA. (∠E=∠ADC, 在△BCE和△CAD中，{∠EBC=∠DCA, BC=CA, .∴.△BCE≌△CAD(AAS),∴，BE=CD,CE=AD, ∴.DE=CE-CD=AD-BE. (2)解：BE=5,DE=7,由(I)得△BCE≌△CAD, ∴.DC=BE=5,∴.CE=AD=CD+DE=5+7=12. 在Rt△ACD中，AC=√DC2+AD2=√52+122=13， .△ACD的周长为5+12+13=30 第四节等腰三角形与直角三角形 必备知识·夯根基 ①相等②顶角的平分线③底边上的中线④底边上的高线 ⑤- ⑥两条⑦2h⑧60°⑨三国三条边①60 了 4 390°④斜边的一半⑤斜边的一半⑥a2+b2=c2 D直角Ba2+b2=29互余0-半①2b245° 8直角（或90°）②445°5直角②6两直角边 重难突破·提能力 【例1】(1)20°或80°(2)14或16(3)36 (4)①等边三角形3②3√/3③3√3④27 【例211)150(2)30165(3)105(416 3 30 核心考点·分类练 1.B2.63.24.B5.∠BCE=∠B(答案不唯一) 6.证明：.·△ABC是等边三角形 ..AB=BC,∠ABD=∠C=60 又.BD=CE,.△ABD≌△BCE(SAS), ∴.AD=BE. 7D&2+/3 2 9.11,60.6110.B11.B12.3 当堂达标检测 1.C2.D3.1004.45.12 6(1)解：方法一：∴AB=AC,D是BC边上的中点， .AD⊥BC,∠BAD=∠CAD, .∠ADC=90°，.∠CAD=90°-36°=54°， .∠BAD=54°. 方法二：·AB=AC,D是BC边上的中点， ∴.∠ABD=∠C=36°，AD⊥BC .∠BAD=90°-36°=54 (2)证明：：BE平分∠ABC,.∠ABE=∠CBE. .·EF∥BC,∴.∠FEB=∠CBE .∠FBE=∠FEB,∴.FB=FE 7.解：(1)∠ABC=90°，∠ACB=30°， ..∠BAC=60°. 'AD是∠BAC的平分线， .∠DAC=∠DAB=7∠BAC=30 .∠ADC=∠DAB+∠ABC=120 (2)由作图，知MN是线段CD的垂直平分线」 DE=CE=CD,4FED=90 .∠DAC=∠C=30°，.AD=CD. .·∠ABC=90°，∠DAB=30°， ..AD=AB c0s30 -=25,BD=AD-2CD-DE. 2 .∠ADB=∠FDE,∠ABD=∠FED=90°， ..△ADB≌△FDE(ASA), ..DF=AD=23. 微专题六中点问题常见辅助线的作法 【例1】11.4 2.解：如图，过点D作DGAB交BC于点G. 点F为DE的中点，DGAB, .BE=BG. .BF为△EGD的中位线、 .DG=2BF=6. .·D为AC的中点，DG∥AB, .BG=CG. .DG为△ABC的中位线， ∴.AB=2DG=12, .AF=AB-BF=12-3=9. 3.解：如图，延长GE交AB于点O,过点P作 PH⊥OE于点H,则PH∥AB,OB=1. P是AE的中点，.OH=HE, .PH是△AOE的中位线 .1 PH=20A=2X(3-1)=1 .·Rt△AOE中，∠OAE=45° .△AOE是等腰直角三角形，即0A=OE=2. 8