题型4 函数综合题-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

题型四 函数综合题 类型一函数性质综合题 (3)双曲线y=-8关于)轴对称的图象为y, 【例1】(2025·北京)在平面直角坐标系x0y 直接写出射线OA绕点0旋转90°后与y'的交 中，抛物线y=x2+bx+c(a≠0)经过点0和点 点坐标 A(3,3a) (1)求c的值，并用含a的式子表示b. (2)过点P(t,0)作x轴的垂线，交抛物线于点 M,交直线y=ax于点N. ①若a=1,t=4,求MN的长 ②已知在点P从点0运动到点B(2a,0)的过 程中，MW的长随OP的长的增大而增大，求a 的取值范围！ 练2(2025·浙江)已知抛物线y=x2-ax+5 （a为常数)经过点(1,0) (1)求a的值 (2)过点A(0,t)与x轴平行的直线交抛物线 于B,C两点，且B为线段AC的中点，求t 的值 (3)设m<3<n,抛物线的一段y=x2-ax+5 (m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l, 技法点拨 12之间.若直线l1,2之间的距离为16，求n-m 该类问题侧重于一次函数、反比例函数与二次函数 的最大值 的图象与性质的应用，特别是增减性，常涉及二次 函数与方程（组）、不等式（组）之间的关系，解决问 题时要关注代数推理与数形结合思想的运用」 练1(2025·自贡)如图，正比例函数y=x与反 比例函数y=8的图象交于点A(-2,),点B 是线段OA上异于端点的一点，过点B作y轴 的垂线，交反比例函数的图象于点D. (1)求k的值 (2)若BD=2,求点B的坐标. 207 类型二线段、周长问题 (2)斜线段的最值问题 【例2】(2024·临夏州)在平面直角坐标系中， 可过线段端点分别作x轴、y轴的垂线构造直角 抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0), 三角形，利用勾股定理、三角函数或相似转化求 解，将斜线段转化为水平或垂直线段，再利用二 B(3,0)两点，与y轴交于点C,作直线BC 次函数的性质求最值， (1)求抛物线的解析式， 2.求线段比值最值问题 (2)如图1，点P是线段BC上方的抛物线上 找出含有比值线段的两个相似三角形，利用相似的性 一动点，过点P作PQ⊥BC,垂足为Q,请问线 质将线段比值进行转化，再利用二次函数性质求解。 段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大 3.求线段和、差的最值或周长的最值问题 值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由. (1)两条线段和的最值问题 (3)如图2，点M是直线BC上一动点，过点M 解决这类问题最基本的定理就是“两点之间，线段 最短”，解决这类问题的方法是：作其中一个定点关 作线段MN∥OC(点N在直线BC下方)，已知 于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，所 MN=2,若线段MN与抛物线有交点，请直接 连线段与已知直线的交点即为所求的点.其变形问 写出点M的横坐标x,的取值范围. 题有三角形周长最小或四边形周长最小等， (2)两条线段差的最值问题 解决这类问题最基本的定理就是“三角形任意两 边之差小于第三边”，解决这类问题的方法是：求 解时，先根据原理确定线段差取最值时的图形， 再根据已知条件求解 练3(2024·宜宾)如图，抛物线y=x2+bx+c与 x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点 C(0,-4),其顶点为D. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标 (2)在y轴上是否存在一点M,使得△BDM的 周长最小.若存在，求出点M的坐标；若不存 在，请说明理由 (3)若点E在以点P(3,0)为圆心，1为半径的 ⊙P上，连接AE,以AE为边在AE的下方作等 边三角形AEF,连接BF.求BF的取值范围 技法点拔 1.单线段最值问题 (1)平行于坐标轴的线段最值的解题步骤 ①设：设二次函数图象上点的横坐标，并用横坐 标表示点的纵坐标； ②求：求直线的解析式，并用①中的横坐标表示 直线上点的纵坐标； ③作差：用两点的纵坐标之差的绝对值表示线段 的长（如MN=lyM-ywI); ④求最值：利用二次函数的性质求最值 208 类型三面积问题 技法点拨 1.三角形面积 【例3】(2024·济南)在平面直角坐标系x0y (1)直接公式法：如图，有一边平行于坐标轴或在 中，抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A(0,2), B(2,2),顶点为D;抛物线C2:y=x2-2mx+ 坐标轴上，直接使用三角形的面积公式S=。AB·h 2 m2-m+2(m≠1)，顶点为Q. 求解」 (1)求抛物线C,的解析式及顶，点D的坐标. (2)如图1，连接AD,点E是抛物线C,对称轴 右侧图象上一点，点F是抛物线C2上一点， 若四边形ADFE是面积为12的平行四边形， 求m的值， (2)转换法：适用于三角形的三边都不在坐标轴 (3)如图2，连接BD,DQ,点M是抛物线C,对 上（或都不平行于坐标轴）. 称轴左侧图象上的动点（不与点A重合），过 ①分制法（又称“铅垂法”）：如图1，Sac=2 l·h, 点M作MN∥DQ交x轴于点N,连接BN,DN, 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半； 求△BDN面积的最小值 h垂 水平宽 0 图1 图2 ②补全法：如图2，SABc=S△HCD-S△ABD-S△BD 图1 图2 (3)平行线法：如图，将直线BC分别上下平移 OC个单位长度，与抛物线的交点为P1,P2,P3, P4,则S△BCcn=S△BCn,=S△Br,=S△BP,=S△0Bc 2.三角形面积最值 (1)利用二次函数性质求最大值：设动点P的横 坐标为m,用含m的代数式表示出三角形的面 积，利用二次函数性质求解。 (2)定底平行线法：如图，当 点P在抛物线BC段上运动 时，平移直线BC,使其与抛 物线只有一个交点P,此时 △BCP的面积最大. 209 练4(2025·苏州)如图，二次函数y=-x2+2x+3 类型四存在性问题 的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B的 【例4】(2024·达州)如图1，抛物线y=ax2+ 左侧)，与y轴交于点C,作直线BC,M(m, kx-3与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与 y1),W(m+2,y2)为二次函数y=-x2+2x+3图 y轴交于点C,点D是抛物线的顶点！ 象上两点 (1)求抛物线的解析式 (1)求直线BC对应函数的解析式， (2)如图2，连接AC,DC,直线AC交抛物线的 (2)试判断是否存在实数m使得y,+2y2=10. 对称轴于点M,若点P是直线AC上方抛物线 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 上一点，且SAPMGT=2 SADNG,求点P的坐标 (3)已知P是二次函数y=-x2+2x+3图象上 (3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方 一点（不与点M,N重合），且点P的横坐标为 的一动点，是否存在以点N,A,C为顶点的三 1-m,作△MNP.若直线BC与线段MN,MP分 角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足 别交于点D,E,且△MDE与△MNP的面积比 条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由， 为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值. D D 图1 图2 备用图 210 技法点拨) 方法二：几何法 1.等腰三角形存在性问题(已知线段AB，在平面内 作垂线，构造一线三垂直模型，用勾股定理或相 找一点P，使得 △ABP 为等腰三角形) 似建立等量关系， (1)确定点的位置 .......................... ....... 【例5】(2025·资阳)如图，在平面直角坐标系 B 中，抛物线与x轴相交于A，B两点(点A在点 A A B的左边)，与y轴相交于点 C( (0，-3)，且抛 物线的顶点坐标为(1，-4). ①以AB为腰：点P在分别以A，B为圆心 AB 长 (1)求抛物线的解析式. 为半径的圆上，直线AB上的点除外； (2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点 ② AB为底：点P在AB的垂直平分线l上，直 D(0，-1)， ，连接 BC，DP 相交于点E，连接PB. 线AB上的点除外 若 △CDE 与 △PBE 的面积相等，求点P的 (2)求点P坐标的方法 坐标. 方法一：代数法 (3)M，N是抛物线上的两个动点，分别过点 分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB， M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为G，H. BP，AP 的长度，由 ①AB=AP，②AB=BP，③BP= 是否存在点M，N，使得以M，N，G，H为顶点的 AP分别列方程解出坐标. 方法二：几何法 四边形是正方形?若存在，求该正方形的边 作等腰三角形底边上的高，用勾股定理或相似建 长；若不存在，说明理由 立等量关系. y y 2.直角三角形存在性问题(已知线段 AB， ，在平面内 $$\overline { A }$$ 找一点P，使得 △ABP 为直角三角形) E (1)确定点的位置 p C C ①以点A为直角顶点 AB为直角边，点P在过点A 备用图 且与AB垂直的直线 $$l _ { 1 }$$ 上(点P不与点A重合)； ②以点B为直角顶点， ，AB 为直角边，点P在过点B 且与AB垂直的直线 $$l _ { 2 }$$ 上(点P不与点B重合)； ③以点P为直角顶点，AB为斜边，点P在以AB 为直径的圆上(点P不与点A，B 重合). $$l _ { 1 } ；$$ $$： l _ { 2 }$$ .B B A A (2)求点P坐标的方法 方法一：代数法 分别表示出点A，B，P的坐标，再根据勾股定理 表示出线段 AB，BP，AP 的长度，由 $$\textcircled 1 B P ^ { 2 } = A B ^ { 2 } +$$ $$A P ^ { 2 } ， \textcircled 2 A P ^ { 2 } = A B ^ { 2 } + B P ^ { 2 } ， \textcircled 3 A B ^ { 2 } = B P ^ { 2 } + A P ^ { 2 }$$ 分别列 方程解出坐标. ....................... 211 技法点拨 (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动 1.平行四边形存在性 点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D,在 (1)坐标平移法：通过点的平移，求坐标， y轴上是否存在点E,使得以B,C,D,E为顶 (2)中点坐标公式法：平面直角坐标系中，以点 点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的 A,B,C,D为顶点的平行四边形坐标满足： 边长；若不存在，说明理由 XA+XC=XB+XD ①AC为对角线， YA+yc=YR+yD; xA+xB=xc十XD, ②AB为对角线， （yA+yB=yc+yD; XA+XD=XC+XB, ③AD为对角线， yA+yp=Yc+yB- 2.菱形存在性 先平行四边形，再菱形，设点的坐标，根据平行四 边形存在性要求列出方程组，再结合邻边相等列 方程组，如菱形ABCD的顶点坐标满足： XA+XC=XB+xD, ya+yc=yg+yD, (xxB)2+(y-y8)2=(xc-xg)2+(yc-y8)2, 代入点的坐标解方程即可. 3.矩形存在性 先平行四边形，再矩形，设点的坐标，根据平行四 边形存在性要求列出方程组，再结合对角线相等 列方程组，如矩形ABCD的顶点坐标满足： xA+xC=XB+XD yA+Yc=YR+Yp, (x-xc)2+(ya-ye)2=(x8-xp)2+(yB-yp)2, 类型五角度问题 代入点的坐标解方程即可. 【例6】(2024·烟台)如图，抛物线y1=ax2+bx+c 4.正方形存在性 (a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 (1)在菱形的基础上满足有一个角是直角或对角 C,OC=0A,AB=4,对称轴为直线1：x=-1,将 线相等即可】 抛物线y1绕点0旋转180°后得到新抛物线 (2)在矩形的基础上满足邻边相等或对角线垂直即可. y2,抛物线y2与y轴交于点D,顶点为E,对称 练5(2024·泸州)如图，在平面直角坐标系x0y 轴为直线l2 中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(3,0), (1)分别求抛物线y,和y2的解析式 与y轴交于点B,且关于直线x=1对称， (2)如图1，点F的坐标为(-6,0)，动点M在 (1)求该抛物线的解析式 直线L,上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于 (2)当-1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤ 点N,连接FM,DN.求FM+MN+DN的最 2t-1,求t的值 小值. 212 (3)如图2，点H的坐标为(0，-2)，动点P在 练6(2025·成都)如图，在平面直角坐标系x0 抛物线y,上，试探究是否存在点P,使∠PEH= 中，抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点(-1,3)，且 2∠DHE?若存在，请直接写出所有符合条件 对称轴为直线x=1,直线y=kx-k与抛物线交 的点P的坐标；若不存在，请说明理由 于A,B两点，与x轴交于点C (1)求抛物线的函数解析式， (2)当k=1时，直线AB与y轴交于点D,与直 线x=2交于点E.若抛物线y=(x-h)2-1与 线段DE有公共点，求h的取值范围. (3)过点C与AB垂直的直线交抛物线于P,Q 图 图2 两点，M,N分别是AB,PQ的中点.试探究：当 k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点 T,使得TC总是平分∠MTN?若存在，求出点 T的坐标；若不存在，请说明理由 备用图 技法点拨) 1.若所求角度为非特殊角，可通过相关角的和差关 系将所求角度转化为特殊角，再结合锐角三角函 数求解。 2.若探究角度之间的等量关系，常考虑将角放在直 角三角形中，通过解直角三角形求解， 3.若探究角度和为90°，一般可先画出符合条件的 圆，通过圆的基本性质将角度进行转化即可. 4.若两角相等，可考虑构造角平分线，结合角平分 线解析式求解 5.若两角存在倍分关系，可考虑构造垂直平分线， 结合垂直平分线解析式求解， 6.若一个角等于另一个角加上45°，可考虑构造平 行线，结合平行线解析式求解 213M,在PA,上截取A,N=A,M,连接A,N, ∠PA1A2+∠PAA2=180°，∠PA1A2+∠A2A,M=180°， .∠A2A1M=∠A2A3P. 四边形A1A,A3A4是正方形， .A,A2=A2A3,∠A1A2A3=90°， .△A,A,M≌△A,A,N(SAS) ∠AA2M=∠A,AN,MA2=A2N,∠M=∠A,NA3=90°， ∴.∠MA2N=∠A1A2A,=90°， ∴.∠M=∠MA2N=∠A2NP=90°， .四边形A,MPN为正方形， ∴.A2P=V2PM=√2(PA1+A,N),AP=√2PN, ..2A,P=2(PA+A:N+PN)=2(PA,+PA,), ..2A,P=PA,+PA.. (2)正五边形的一个内角的度数为5-2)×180 =108 5 如图1，在射线PA3上截取A,Q=PA,连接 0 AQ,过点A2作A,T⊥PQ于点T 同理可得△QAA2≌△PA,A2(SAS), ∴.∠A,A2P=∠A3A2Q,A,P=A2Q, .∠PAQ=∠A1A,A3=108°， LP%,7}4PL0=5 图， .·PA1=11,PA3=49, .'..PQ=PA3+A;Q=PA,+PA,=60, m=2P0=30P%=5408 PT 30 ≈37.0. (3)PA,+PA,=2PA,.sin 72 [提示]如图2，在射线PA3上截取AQ=PA1,连接AQ,过 点A,作A,T⊥PQ于点T 同理可得∠PA2Q=∠A,A,A3= Q A (10-2)×180°=144°，PA,=A,Q, 10 A ∠PM,7=2∠PM,0=72, 图2 PT PA=sin 729 PQ=PA+AQ-PA+PA.PT-PQPA+PA). 1 PT 2(PA,+PA) 1 PA:=sin 726 sin 729 即PA,+PA3=2PA2·sin72. 题型四数综合题 【例1】解：(1)将点O(0,0)的坐标代入y=ax2+bx+c(a≠0)， 可得c=0, .该抛物线的解析式为y=ax2+bx. 将点A(3,3a)的坐标代入y=ax2+bx(a≠0)， 可得3a=9a+3b,解得b=-2a. (2)①若a=1,则该抛物线及直线解析式分别为y=x2-2x,y=x, 当t=4时，点P(4,0),如图1. PM⊥x轴，∴.xw=xw=4. 将x=4代入y=x2-2x,可得y=42-2×4=8, 即M(4,8). 将x=4代入y=x,可得y=4,即N(4,4), .MN=8-4=4. 图1 ②在点P从点0运动到点B(2a,0)的过程中， PM⊥x轴，P(t,0),.xw=xw=t 将x=t代入y=ax2-2ax,可得y=at2-2at,即M(t,at2-2at). 将x=1代入y=ax,可得y=at,即N(t,at), .MN=I at2-2at-atl lat2-3atl. 令MW=0,即at2-3at=0,解得t=0或1=3. 若a>0,则2a>0,即点B在y轴右侧，如 图2. 当0<t≤3时，有MW=-a2+3al,其图象开 口向下，对称轴为直线1=2 若MN的长随OP的长的增大而增大，即 3 MW的长随t的增大而增大，则2a≤ 2 图2 解得a≤0a≤ 3 当>3时，有MW=a2-3a,其图象开口向上，对称轴为直线 1-子，不符合题意： 若a<0,则2a<0,即点B在y轴左侧， 如图3. 当t<0时，有MW=-at2+3al,其图象 开口向上，对将错为直线1= 若MW的长随OP的长的增大而增 大，即MN的长随t的减小而增大， 图3 则2a≤子，解得0≤子<0 综上所述，a的取值范用是a≤且a0 【练1)解：(1)点A(-2,a)在反比例函数y=-8的图 象上， ∴a=4,即A(-2,4) 将A(-2,4)的坐标代入正比例函数y=kx中，得-2h=4, 解得k=-2. (2)点B在直线y=-2x上，∴.设B(m,-2m)(-2<m<0). 过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D, BD=2,m-4-2,整理得m-2m-4=0 m 解得m=1-√5或m=1+√5（不符合题意舍去）， ∴.B(1-√5，-2+25). (3)(4,2)或(-4，-2) 【练2】解：(1)把(1,0)代入y=x2-ax+5,得1-a+5=0, 解得a=6. (2)由(1)知二次函数的解析式为y=x2-6x+5, 对称辅为直线3 点A(0,t)在y轴上，过点A(0,t)与x轴平行的直线交抛 物线于B,C两点， ∴B,C两点关于对称轴对称，B,C两点的纵坐标均为1 又，B为线段AC的中点， xB+xc 3 .Xc=2x8,∴. 2=2=3=2 将x=2代人y=x2-6x+5,得y=2-6×2+5=-3,.t=-3. (3)y=x2-6x+5=(x-3)2-4, .抛物线的顶点坐标为(3，-4) :抛物线的一段y=x2-ax+5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴 平行的直线l,l2之间，且m<3<n, ·.下方的线不能在顶点(3，-4)上方. 又：直线11,2之间的距离为16，为定值 :当一条直线恰好经过抛物线的顶点(3，-4)时，n-m最 大，此时另一条直线的解析式为y=16-4=12,如图. y 13 0 5 4 3 2 4-3-2-102345678910x -2 -3 -5 当x2-6x+5=12时，解得x1=7,x2=-1,即n=7,m=-1, .n-m的最大值为7-(-1)=8. 【例2】解：(1)：抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0), B(3,0)两点， (c-b=1,解得 b=2, (c+3b=9, c=3, 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. (2)存在.如图，过点P作PW⊥AB于点N, 交BC于点M. B(3,0),C(0,3), ∴.直线BC的解析式为y=-x+3. ,'0B=0C,∠B0C=90°，∴.∠CB0=45 :∠MNB=90°，∴.∠PMQ=∠NMB=45° PQ⊥BC,.△PQM是等腰直角三角形，.PM=√2PQ, .PM的值最大时，PQ的值最大 设P(m,-m2+2m+3),则M(m,-m+3)， ..PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m. -1<0, C当m=)时，PM的值最大，PM的最大值为-9+99 424 :0的最大值=号pPw=9此时P(台，） (3)3万≤w≤0或3≤，≤3计2 3+/17 2 【练3】解：(1)把A(-1,0),C(0,-4)的坐标分别代人y=x2+ bxc,得-c=0,解得=-3， c=-4」 c=-4, ·抛物线的解析式为y=x2-3x-4 =-34》 抛物线顶点D的坐标为(？，) (2)在y轴上存在一点M,使得△BDM的周 长最小作n(,) 关于y轴的对称点 ( ,连接BD'交y轴于点M,如 图1. DT D 在y=x2-3x-4中，令y=0,得0=x2-3x-4, 图1 解得x=4或x=-1,B(4,0), .BD= (5 4 ∴.要使△BDM的周长最小，只需DM+BM最小 ·.·DM=D'M,.DM+BM=D'M+BM, ∴.当B,M,D'三点共线时，DM+BM最小，最小值为BD'的 长，此时△BDM的周长也最小 由以40心个-}-空），得省战0的解折试为)空智 2550 令=0.得y=00,9) 50 (3)以AP为边，在AP下方作等边三角形 APQ,连接PE,QF,BQ,如图2. 由A(-1,0),P(3,0),△APQ是等边三角 B 形，可得点Q的坐标为(1，-25). :△AEF,△APQ是等边三角形， ∴AE=AF,AP=AQ,∠EAF=∠PAQ=60°， .∠EAP=∠FAQ, D ∴△EAP≌△FAQ(SAS),∴.PE=QF=1, 图2 ∴点F的轨迹是以Q(1,-23)为圆心，1为半径的圆. B(4,0),.BQ=√21. 当F在线段QB上时，BF最小，此时BF=BQ-QF=√2I-1: 当Q在线段BF上时，BF最大，此时BF=BQ+QF=√2T+1, ∴.BF的取值范围是√2I-1≤BF≤√2I+1. 【例3】解：(1)抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,2),B(2,2), c=2, (4+2b+c=2, 化2 ∴.抛物线C,的解析式为y=x2-2x+2, 顶点D的坐标为(1,1). (2)如图1，连接DE,过点E作EG小y轴， 交AD的延长线于点G,过点D作DHL EG,垂足为H,与y轴交于点，设点E的 横坐标为t,则E(t,-2t+2). 设直线AD的解析式为y=kx+p,将A(O, 2),D(1,1)的坐标分别代入， 得P=2,解得1， H H (k+p=1, p=2, ∴直线AD的解析式为y=-x+2, 图1 则G(t,2-t),.EG=2-t. 1 口ADFE的面积为12，SaDe=2SaAF=6, 1 SAADE=SAAGE-SA0G=EG H'D=6. H'D=1,.EG=12,∴.t2-t=12, 解得1=4,62=-3（舍去），.E(4,10) 由四边形ADFE为平行四边形，A(0,2),D(1,1),可知点E先 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到 点F, .F(5,9) 将F(5,9)的坐标代入y=x2-2mx+m2-m+2(m≠1)， 得m2-11m+18=0,解得m1=2,m2=9. (3)如图2，过点M作MP⊥x轴，垂 足为P,过点D作DK轴，过点QM 作QK∥x轴，与DK交于点K,设 M(h,h2-2h+2),h<1且h≠0，N(n,0). y=x2-2x+m2-m+2=(x-m)2- m+2, D .抛物线C2的顶点Q(m,2-m), o .DK=11-(2-m)1=1m-1|, K KO=Im-11, 图2 .DK=KQ,∠DQK=45° .:MN∥DQ,KQNP,易得∠MNP=∠DQK=45°， ∠NMP=45°， ∴.NP=MP,∴n-h=h2-2h+2,∴.n=h2-h+2, n=h-】）+7,当h=)时，n有最小值，为n=4, 2 点N的横坐标最小值为子，此时点N到直线BD的距离 最近，△BDN的面积最小，最近距离即边BD上的高，为4× 7 272 28 △0v面积的是小值8m-宁232=名 【练4】解：(1).二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于 A,B两点，与y轴交于点C, .令x=0,则y=3,点C的坐标为(0,3) 令y=0,则-x2+2x+3=0, 解得x=-1或x=3,.点B的坐标为(3,0). 设直线BC对应函数的解析式为y=kx+b(k≠0)， 将B(3,0),C(0,3)的坐标分别代入，得=3， 3k+b=0 解得：，直线BC对应函数的解析式为)三*+3 (2)不存在实数m使得y,+2y2=10. 理由如下：方法一：·M(m,y),N(m+2,y2)为二次函数y= -x2+2x+3图象上两点， ∴.y1=-m2+2m+3,y2=-(m+2)2+2(m+2)+3=-m2-2m+3, .y,+2y2=-m2+2m+3+2(-m2-2m+3)=-3m2-2m+9= :-30当m=号时+3，有最大值器 <10不存在实数m使得y+2,=10 28 方法二：由方法一，得y1+2y2=-3m2-2m+9, .当y1+2y2=10时，-3m2-2m+9=10, 即3m2+2m+1=0. △=4-12=-8<0，.方程没有实数根， ·.不存在实数m使得y,+2y2=10. _1-w5 3)m=1+3或m=1 【例4】解：(1)抛物线y=ax2+kx-3与x轴交于点A(-3,0) 和点B(1,0), 800释得2： a+h-3=0, .抛物线的解析式为y=x2+2x-3. (2)由y=x2+2x-3,当x=0时，y=-3,则C(0,-3) y=x2+2x-3=(x+1)2-4, .顶点D(-1,-4),对称轴为直线x=-1. 设直线AC的解析式为y=k1x+b,把A(-3,0),C(0,-3)的 坐标分别代人，得弘，=0解得- (b=-3, (b1=-3, .直线AC的解析式为y=-x-3. 当x=-1时，y=-2,则M(-1,-2), ∴.MC=√(-1-0)2+(-2+3)2=√2，MD=-2-(-4)=2, CD=√(0+1)2+(-3+4)7=2 .MD2=MC2+CD2,.△MCD是等腰直角三角形， 1 ÷Same=25amc=2X2·CD2=2 如图所示，连接BC,MB,设MD交x轴于点 E,则ME=EB=2, ,△MBE是等腰直角三角形， ∴.∠BME=45°，BM=22. 又∠DMC=45°，.BM⊥AC, .GM 1×/2×22=2, 点P与点B重合时符合题意，P(1,0). 如图所示，过点B作BP∥AC交抛物线于点P. 设直线BP的解析式为y=-x+m,将B(1,0)的坐标代入，得 0=-1+m,解得m=1, ∴直线BP的解析式为y=-x+1, 联解5支0（含去， y=x2+2x-3,1 .P(-4,5) 综上所述，点P的坐标为(1,0)或(-4,5). (3)存在.点N的坐标为(-1，√14)或(-1，-√14)或(-1， -1)或(-1，/17-3). 【例5】解：(1)：抛物线的顶点坐标为(1，-4)， .设y=a(x-1)2-4. 把C(0,-3)的坐标代入，得-3=a-4,解得a=1, .抛物线的解析式为y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3 (2)设P(t,t2-21-3),连接OP,BD,如图1. SACDE=SAPBE, ∴.S△GDE+S四边形B0DE=S△PBE+S网边形BOB, 即S△BCO=S四边形BODP=S△POB+S△PD, 令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3, .A(-1,0),B(3,0), 图1 .1×3x3=×3×(-+2+3)+21xf 2 解得4=0合去)4=子P仔，9》) (3)满足条件的点M,N存在 ①若点M,N分别在直线BC的两侧， 不妨令点M在直线BC上方，点N在直线 BC下方，如图2， 可知∠MGH=90° 则∠MGN=∠MGH+∠HGN>90°，不符合 题意. ②若点M,N在直线BC的下方， 图2 2 不妨设点M在点H的下方，如图3. .B(3,0),C(0,-3), .直线BC的解析式为y=x-3,连接MH, GW,则△MGW是等腰直角三角形，∠HGN= 45° A B .GN⊥y轴，MH⊥x轴. 设点M的坐标为(m,m2-2m-3),其中0< m<3 M 则点H的坐标为(m,m-3) 图3 根据正方形的性质，得点N的坐标为仁m+5m,m-m-6 2 2 将点V的坐标代入抛物线解析式y=x2-2x-3=(x-3)(x+ 1), 1m-m-6 2 即(m2-5m+6)(m2-5m-2)=2(m2-m-6) 化简得(m-2)(m-3)(m2-5m-2)=2(m-3)(m+2) 0<m<3.(m-2)(m2-5m-2)=2(m+2), 整理得m2-7m+6=0,解得m1=1,m2=6(舍去)， 此时MH=2,正方形边长为2」 ③若点M,N在直线BC的上方， 不妨设点M在点H上方，如图4. 设点M(m,m2-2m-3)）」 其中m<0或m>3, 根据正方形的性质，得点V的坐标 为仁m+5mm2-m-6 H 2,2 ACB 将点N的坐标代入抛物线的解析式 y=x2-2x-3=(x-3)(x+1), 图4 同理可得m,=1(舍去)，m2=6, 此时MH=18,正方形的边长为92 综上所述，正方形的边长为√2或92， 【练5】解：(1)抛物线经过A(3,0),对称轴为直线x=1,则抛 物线和x轴的另外一个交点为(-1,0)， 则抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)=ax2+bx+3,解得a=-1, 则抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. (2)由题意，得-1≤x≤t, 当-1<1<1时， x=-1时，y=-x2+2x+3=0,取得最小值 则x=t时，21-1=-2+21+3， 解得t=-2或2，均不符合题意： 当1≤<3时，则y在抛物线的顶点处取得最大值， ·抛物线的顶点坐标为(1,4) 即2t-1=4,解得t=2.5. (3)存在.由抛物线的解析式知，点B(0,3), ①如图，当BC为菱形对角线时，对应 菱形为菱形BDCE',则BD=CD. E 由点A,B的坐标，得直线AB的解析 式为y=-x+3. 设点C(x,-x2+2x+3),点D(x,-x+ 3), 则CD=-x2+2x+3-(-x+3)=-x2+3x,0 BD=√2x,BC=√x2+(-x2+2x), .-x2+3x=√2x,解得x=3-√2或x=0(舍去)， 则BD=√2x=32-2,即菱形的边长为3√2-2， ②如图，当BD为菱形的对角线时，对应菱形为菱形BCDE, 则CD=BC,.-x2+3x=√x2+(-x2+2x)7, 解得x=2或x=0(舍去)， 则CD=-x2+3x=-22+3×2=2,即菱形的边长为2 综上，菱形的边长为32-2或2. 【例6】解：(1)设点A,B的坐标分别为(t,0),(t+4,0), 则-1=24+4)，解得1=-3， 即点A,B的坐标分别为(-3,0)，(1,0). 0C=0A,则点C(0,3), 则抛物线y,的解析式为y,=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3), 则-3a=3,则a=-1,则y1=-x2-2x+3. 根据图形的对称性，得y2=x2-2x-3. (2)方法一：作点D关于1，的对称 点D'(2,-3),将点F向右平移 2个单位长度(MN=2)得点F F'(-4,0),连接D'F'交直线12于 点N,如图1. D .∵F'FMN,FF'=MN .四边形FF'NM是平行四边形， 图1 则FM=F'N, 则FM+MN+DW=F'N+ND'+MN=F'D'+2=√(2+4)2+32+ 2=35+2为最小. 方法二：连接DM y轴垂直平分线段MN,∴.DM=DN .当F,M,D三点共线时，FM+DN=FM+DM的值最小，最小 值为√0F+0D2=35, .FM+MN+WD的最小值为35+2. (3)存在.所有符合条件的点P的坐标为(3,0) 或（品 [提示]由抛物线y2的解析式知，点D(0,-3)、点E(1,-4), 由点H,E的坐标，得直线HE的解析式为y=-2x-2, 当点P(P')在BE的右侧时，如图2. ,∠PEH=2∠DHE,则EP'和HE关于对称轴I,对称， 则直线EP'的解析式为y=2(x-1)-4, 联立上式和抛物线y2的解析式，得2(x-1)-4=x2-2x-3, 解得x=1(舍去)或x=3,即点P'(3,0). 当点P在BE的左侧时，见图2右侧放大图，设直线PE交 y轴于点K 图2 设∠PEH=2∠DHE=2a. 过点E(1,-4)作∠PEH的平分线EJ交HD于点J, 作HE的中垂线L,交HD于点J,交HE于点L,过点E作 EW⊥HD于点W,则∠JHL=∠JEH=∠JEK=a. 由点H,E的坐标，得直线HE的解析式为y=-2x-2, 则点分 直线儿的解析式为y()-3=星 3 则点0》.则=- 4 ∠JHL=∠JEK=a,∠EKJ=∠HKE, 5 六△EK△HKE,则EA4-5 KE HE5 4 设灯5则E=4a则点太个0，尽5n 在Rt△KEW中，KW+WE2=KE2, (5ai+1=(a 5w5 解得m= (负值舍去)，则点0，) 242 由点K,E的坐标，得直线KE的解析式为y= -1111' 联立上式和抛物线，的解析式，得x-2x-3=斤， 242 解得x9 =1舍去)，则点P9」 480 11,121/ 综上，点P的坐标为(3,0)或，12 9480 【练6】解：(1)抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点(-1,3)，且对 称轴为直线x=1, (6 a1解得a=, (b=-2, (a-b=3, .抛物线的函数解析式为y=x2-2x (2)当k=1时，直线的解析式为y=x-1, .当x=0时，y=-1,当x=2时，y=1, .D(0,-1),E(2,1). y=(x-h)2-1, .抛物线的顶点坐标在直线y=-1上移动. y=(x-h)2-1与线段DE有公共点， 六联立=(xh)-1,整理，得2-(2h+1)x+h=0, (y=x-1, 六当4=(2h+1)2-4h2=0,即A=-号时，满足题意，如图1 图1 图2 如图2，将)=(-6)2-1从6=开始向右移动，直至抛物 线与线段DE只有一个交点为E(2,1),此过程中y=(x h)2-1与线段DE均有公共点. 当y=(x-h)2-1过点E(2,1)时，(2-h)2-1=1, 解得h=2-√2或h=2+√2， 当-≤h≤2+2时，抛物线y=(x-h)2-1与线段DE有 4 公共点 (3)存在 y=x-k,.当y=0时，x=1,.C(1,0) ,·抛物线的对称轴为直线x=1, .点C在抛物线的对称轴上. ·PQ过点C,且与直线AB垂直， 直线P0的解析式为=之(：-，即y=名行 联立=-，整理，得x2-(k+2)x+k=0, y=x2-2x, x+xg=k+2,y+yg=kxa-k+kxg-k=k(x+xn)-2k=k2. M为AB的中点，M+2) 22 11 联立了云同理可得) y=x2-2x, 作MH⊥CT,NF⊥CT,如图3. .TC平分∠MTN, A .∴.∠NTF=∠MTH .∴.tan∠NTF=tan∠MTH. NF MH WN TFTH 1k+2 /B 1-1+ -1 2k2 设T(1,t),则 1 ,2 图3 2k2 -2 解得1=一 21 抛物线的对称辅上存在定点1，），使得心总是平 分∠MTV. 题型五几何最值问题 【例1】3+13【练1】D【例2】27【练2】C 【练3】【例3)2+4【练4到D【练5】20-2 【例4210-1【练0)2【练715【例51 【练8】10【例6】23【例7】80°【例8】65 【练9】C【练10】1 【例9】解：如图，(1)将点A向下平移 至点F,使AF的长等于河宽，将点B D F 向右平移至点G,使BG的长等于 D 河宽。 E (2)连接GF,与河岸相交于点E',D. (3)过点D作DD'⊥CD于点D,过点 E作EE'⊥CE于点E,则DD',EE即为两桥的位置， 【练11】(4,1)【例10】62cm【练12】23 【例11】42【练13】23【例12】52【练14】√37 题型六阅读理解题 【例1】(1)①错误②正确③错误 [提示]如图1，连接BE,CF,AD,BE,AD B 交于点0，由图可知， ①AB∥DE,只能知道△AOB∽△DOE,不 能得出AB=DE,其他对边同理，故平行 六边形的三组主对边分别相等是错 D 误的. 图1 ②AB∥DE,∠ABE=∠BED,同理可得∠CBE=∠BEF, :∠ABC=∠DEF,其他对角同理，故平行六边形的三组主 对角分别相等是正确的. ③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错 误的.