第4章 微专题4 角平分线问题常见辅助线的作法-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

微专题四 角平分线问题常见辅助线的作法 作法一遇角平分线上一点，向边作垂线 作法二遇角平分线的垂线，联想“三线合一” 如图，点P是∠MON的平分线上一，点，PA⊥ 如图，点P是∠MON的平分线上一，点，AP⊥OP 条件 条件 OM于点A 于点P 作PB⊥ON M 延长AP,交 A 示例 ON于点B 示例 于点B p B N 0 B N Rt△BOP≌Rt△AOP,△AOB是等腰三角形，OP 结论PB=PA,Rt△AOP≌Rt△BOP 结论 垂直平分AB 【例1】如图，在四边形ABCD中，∠A=90°， 【例2】如图，在△ABC中，AC AD=3,BC=5,对角线BD平分∠ABC,求 BC,∠ACB=90°，D是AC上一 △BCD的面积. 点，连接BD,过点A作 D cl AE⊥BD,交BD的延长线于点E.若BD平分 ∠ABC,BD=6,则AE= 针对训练 3.如图，点M是△ABC的边BC 的中点，AN平分∠BAC,BN⊥ AN于点N.若AB=10,MN= M 针对训练 3,则AC的长是 1.如图，在△ABC中，AD是 A.12 B.14 C.16 D.18 ∠BAC的平分线，DE⊥AB于 4.如图，△ABC的面积为6，AP垂直∠ABC的平 点E,∠B=30°，∠C=45°，BE=23,则CD的 分线BP于点P,求△PBC的面积 长是 A.1 B.22 C.√3 D.2 2.如图，已知∠1=∠2，P为射线BN上一点， PF⊥BC于点F,PA=PC: (1)求证：∠PCB+∠BAP=180°， (2)若BC=12,AB=6,PA=5,求BP的长 93 作法三遇到角平分线作翻折，构造全等三角形 作法四作平行线，构造等腰三角形 如图，点P是∠MON的平分线上一点，点A是 情形1： 条件 射线OM上任意一点 条件如图，点P是∠AOB的平分线上一，点 M 在ON上截取 M 示例 OB=OA,连接PB 过点P作 、P 示例 PQ∥OB 0/ 0 N 0 B N 交0A于点Q 结论 △BOP≌△AOP B 结论 PQ=0Q,△P0Q是等腰三角形 【例3】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD, 情形2： ∠D=)∠B,MB=4,BC=2,求AD的长 如图，OC是∠AOB的平分线，点D是OA上的 条件 一点 过点D作 示例 C ED∥CO D 交BO的延 B 长线于，点EEǒ B 结论OE=OD,△EOD是等腰三角形 【例4】如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分 针对训练 线上一点，PD⊥OB,垂足为点D,且PD=4,求 5.如图，在△ABD中，点E在边BD OD的长. 上，AE平分∠BAD,∠BAD= A 45°，AB=AD,AC=BC=3,则BD D 的长为 6.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°， BD平分∠ABC交AC于点D,延长BD至点 E,使ED=AD,连接CE.求证：BC=AB+CE 针对训练 7.如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于 点D,DE⊥AC于点E,F为BC上一点.若 DF=AD,AC∥DF,SAACD-SACDF=6,则△ADE 的面积为 D B 第7题图 第8题图 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5, BC=3,∠ABC的平分线BD交AC于点D,则 BD的长为 94方法二：作点K关于直线BC的对称点 G,连接KC交BC于点H,如图3， 此时∠CBK=∠CBG, ∴.∠CBG+∠AC0=45. K(0,-1),C(0,-3),∴.CK=2. C(P ·.·∠BC0=45°. ..△CHK为等腰直角三角形， 图3 .H(1,-2),.G(2,-3). 点G(2,-3)也在抛物线上， 点P与点G重合，即P(2,-3) 综上，点P的坐标（号母）支(2，-3》 第四章 图形的初步认识与三角形 第一节线段、角、相交线与平行线 必备知识·夯根基 ①确定②线段3线段④】⑤AB⑥AC⑦AB 2 ⑧60'⑨90°0相等①180°②相等3相等 ④距离相等5∠4M6相等⑦∠2、∠48180°19∠5 ①∠5①∠5②2一3垂线段24相等5距离相等 20一2⑦互相平行28相等29平行30互补 核心考点·分类练 1.B2.A3.14.C5.B6.A7.C8.B9.310.A 11.A12.B13.C14.B15.AC16.D 17.-31(答案不唯一） 当堂达标检测 1.B2.C3.B4C5.B6.两点之间，线段最短 7.(1)直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c a2+b2=c2真 (2)是真 8.证明：.ABCD,∴.∠1=∠ACD. ∠1=∠2，.∠2=∠ACD,.AE∥DF 第二节三角形的基本概念及性质 必备知识·夯根基 ①大于②小于③180°④360°⑤∠B⑥∠A⑦∠B ⑧90°⑨2BC·AD0DC①BCE2SABD1C BBAC 1 重雅突破·提能力 【例】(1)55(2)4020(3)2(4)8(5)1261 (64(7)FG/AcFG=24C6 核心考点·分类练 1.B2.2(答案不唯一)3.B4.B5.B6.C7.C 当堂达标检测 1.C2.D3.B4.A5.B6.2 7.解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°， ∴.∠ABC=90°-∠A=50°，.∠CBD=130°. BE是∠CBD的平分线， LCBE=7LCBD=65 (2),∠ACB=90°，∠CBE=65°， .∴.∠CEB=90°-65°=25°. .DFBE,∴.∠F=∠CEB=25°. 微专题四角平分线问题常见辅助线的作法 【例1】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E. BD平分∠ABC,DE⊥BC,∠A=90°， ∴.DE=DA=3, 5 六Sam=2×5x3=2 1.B 2.(1)证明：如图，过点P作PE⊥AB交BA的 延长线于点E. .∠1=∠2，PE⊥AB,PF⊥BC ∴.PE=PF 在R△APE和R△CPF中，{PE=PF, (PA=PC. .Rt△APE≌Rt△CPF(HL), ∴.∠PAE=∠PCF ∠PAE+∠PAB=180°， ..∠PCB+∠BAP=180 (2)解：由(1)，知Rt△APE≌Rt△CPF, ∴.AE=CF,易得△BPE≌△BPF,.BE=BF, ∴AB+AE=BC-CF 巴BC=12,AB=6,-AE=2×(12-6)=3, ∴.BE=AB+AE=6+3=9. 在Rt△PAE中，PE=√PA2-AE=√52-32=4， 在Rt△PBE中，BP=√BE+PE=√⑨+4=√7. 【例2】33.C 4.解：如图，延长AP交BC于点E. :AP垂直∠ABC的平分线BP于点P, ∴.∠ABP=∠EBP, ∠APB=∠EPB=90°. 在△ABP和△EBP中， I∠ABP=∠EBP BP=BP (∠APB=∠EPB .△ABP≌△EBP(ASA), AP=PE,SAP=SAP=E △APC和△EPC等底同高，.S△APe=S△cPs=2S△AcE, 1 六S△pc=SanE+Sacg=2Sac=2×6=3. 【例3】解：如图，在AD上取一点E,使得AE=AB,连接CE. AC平分∠BAD,.∠BAC=∠EAC. 又·AC=AC, ,∴.△BAC≌△EAC(SAS), .∴.∠B=∠AEC,BC=EC. 1 LD=2 ZAEC,LD=LECD, ∴.CE=DE,.BC=DE .AD=AE+DE=AB+BC=4+2=6. 5.32 6.证明：如图所示，在BC上取一点F使得 BF=AB,连接DF. .·BD平分∠ABC,∠ABC=40°， ,∴.∠ABD=∠FBD=20 (AB=FB. 在△ABD和△FBD中， ∠ABD=∠FBD. BD=BD .△ABD≌△FBD(SAS), ∴.∠ADB=∠FDB,AD=DF 又：AD=ED,∠ADB=∠EDC, ∴.FD=ED,∠ADB=∠FDB=∠CDE=180°-100°-20°=60°， .∠FDC=180°-∠ADB-∠FDB=60°=∠EDC. ED=FD. 在△CDE和△CDF中， ∠CDE=∠CDF, CD=CD ·.△CDE≌△CDF(SAS), .CE=CF,..BC=BF+CF=AB+CE. 【例4】解：如图，过点P作PC∥OB,交OA于点C,作PE⊥OA 于点E, ∴.∠ECP=∠A0B=30°，PE=PD=4, ∴.PC=2PE=8. :PC∥OB,OP平分LAOB .∠COP=∠DOP=∠CPO .∴.OC=PC=8. 在Rt△EPC中，由勾股定理 得CE=√PC2-PE=√82-4=43 .·∠OEP=∠ODP=90°，∠EOP=∠DOP,OP=OP, .△EOP≌△DOP(AAS), .OD=0E=0C+CE=8+43. 7383 第三节全等三角形 必备知识·夯根基 ①相等②相等③相等④相等⑤等角⑥ASA ⑦AAS⑧AAS 核心考点·分类练 1.C2.(1,4)3.D4.AD=CE(答案不唯一) 5.证明：(1)，∠BAD=∠EAC, ∴.∠BAD-∠CAD=∠EAC-∠CAD, ∴.∠BAC=∠EAD. 在△ABC与△AED中， (AB=AE, ∠BAC=∠EAD,∴.△ABC≌△AED(SAS) AC=AD」 (2).·△ABC≌△AED,∴.∠ACB=∠ADE. ,AC=AD,∴.∠ACD=∠ADC ·.∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC, ∠BCD=∠EDC. 6.解：① AB=CD 证明：在△ABF和△CDE中，{AF=CE, BF=DE .·.△ABF≌△CDE(SSS), ∴.∠AFB=∠CED,·.∠AFE=∠CEF,.AF∥CE. 又.AF=CE,.四边形AECF是平行四边形， .AE//CF. (或②) 证明：在△ABF和△CDE中， (AB=CD. ∠BAF=∠DCE,.△ABF≌△CDE(SAS), AF=CE」 .∠AFB=∠CED,.∠AFE=∠CEF,.AF∥CE. 又.AF=CE,.四边形AECF是平行四边形， ∴.AECF 当堂达标检测 1.B2.C3.C4.AD=CF(答案不唯-)5.100 6.证明：在△ABE和△DCE中， (AE=DE, ∠AEB=∠DEC BE=CE, .△ABE≌△DCE(SAS),∴.AB=DC 7.(1)证明：.ABDE,.∠B=∠E. 'AC=DF,∠A=∠D,∴.△ABC≌△DEF(AAS) (2)解：△ABC≌△DEF, .BC=EF,..BF+FC=CE+FC. BF=4,FC=3,3+4=CE+3,.CE=4, ∴.BE=BF+FC+CE=4+3+4=11. 微专题五全等三角形的常考模型 1.(1)证明：.C是线段AB的中点， .AC=CB-2AB. CD∥BE,.∠DCA=∠B. (∠A=∠ECB, 在△DAC和△ECB中，AC=CB, (∠DCA=∠B, ∴.△DAC≌△ECB(ASA). (2)解：AB=16,BC=2AB=8 .△DAC≌△ECB,.CD=BE. 又.·CD∥BE,.四边形BCDE是平行四边形， .∴.DE=BC=8. 2.(1)证明：.·AD=BE ∴·AD+BD=BE+BD,即AB=DE (AB=DE. 在△ABC和△DEF中，{AC=DF, BC=EF, .△ABC≌△DEF(SSS). (2)解：.∠A=55°，∠E=45°， 由(1)可知△ABC≌△DEF ..∠A=∠FDE=55°， .∴.∠F=180°-（∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°）=80°. 3.CE=DE(答案不唯一) 4.证明：.·∠ABE=∠BAF,∴.AC=BC 又：∠ACE=∠BCF,CE=CF, .△ACE≌△BCF(SAS),.AE=BF 5.证明：.·∠BAE=∠DAC, ∴.∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC,即∠BAC=∠DAE. 在△BAC和△DAE中， I∠B=∠D, AB=AD, .∴.△BAC≌△DAE(ASA),∴.AC=AE. (∠BAC=∠DAE, 6.C7.①③ 8.解：(1)如图，过点A作AF⊥BC于点F .·△ACD是等腰直角三角形，AC=2, B .AF=AC·sin45°=√2. 在Rt△ABF中，.AB=2W5,AF=√2