题型2 圆的综合题-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

题型二 圆的综合题 类型一与切线有关的证明及计算 (1)求证：CD是⊙0的切线 【例1】(2024·威海)如图，已知AB是⊙0的直 (2)若四边形ABC0是平行四边形，EF=3,求 径，点C,D在⊙O上，且BC=CD.点E是线段 CD的长 AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD 于点F.∠FEG的平分线EH交射线AC于点 H,H=45° (1)求证：EF是⊙O的切线 (2)若BE=2,CE=4,求AF的长 B E G 练2(2025·德阳)在⊙0中直径AB与弦CD交 于点E,AC=2BD,连接AD,过点B作⊙0的 切线与AD的延长线相交于点F,CD的延长 线与BF的延长线相交于点G (1)若∠AFB=70°，求∠G的度数， 技法点拨 (2)连接C0,AC,再连接D0并延长交AC于 证明某条直线是圆的切线的方法 点M. 当切点已知时，常连接圆心与切点，证所连半径与 ①证明：DM⊥AC. 直线垂直 ②若CD·AF=16,求⊙0的直径 (1)当图中有90°角时，①利用等角代换得垂直： ②利用平行线得垂直；③利用三角形全等证得 垂直， (2)当图中没有90°角时，需要构造：①若图中有已 知直径，则利用直径所对的圆周角是90°构造直角； ②若图中有等腰三角形，则利用等腰三角形“三线 合一”的性质构造直角， 练①(2025·武威)如图，四边形ABC0的顶点 A,B,C在⊙0上，∠BAO=∠BCO,直径BE与 弦AC相交于点F,点D是EB延长线上的 点，∠BCD=∠AOB, 2 198 类型二与锐角三角函数结合 (3)求cos∠OFP的值， 【例2】(2024·潍坊)如图，已知△ABC内接于 ⊙O,AB是⊙0的直径，∠BAC的平分线交 ⊙O于点D,过点D作DE⊥AC,交AC的延长 线于点E,连接BD,CD (1)求证：DE是⊙0的切线. (2)若B=1,m∠AD=},求⊙0的直径 类型三与阴影面积结合 【例3】(2024·齐齐哈尔)如图，△ABC内接于 ⊙O,AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D,将 △CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB, 点D的对应点为E,延长EC交BA的延长线 于点F 技法点拨 （1)求证：CF是⊙O的切线. (1)在圆中求角度或证明角相等时，常常利用切线 的性质，构造直角三角形，由两锐角和等于90°进行 (2)若m∠0FB-40=8,求图中阴影都分 角度转化求解。 的面积. (2)在圆中求线段长度时，①当解决有关切线的问 题时，一定会存在直角三角形，故运用勾股定理是 求长度最常用的方法，另外注意，直径所对的圆周 角是直角也是构造直角三角形的常用方法；②在圆 的综合题中，当含有直角三角形或已知条件为三角 函数值时，常利用直角三角形的边角关系求出相关 线段长，有时需运用同弧所对圆周角相等进行角之 间的转化求解. 练3(2025·内蒙古)如图，AB是⊙0的直径， 半径OC⊥AB,垂足为O,OC=2,P是BA延长 线上一点，连接CP,交⊙0O于点D,连接AD, 技法点拨 ∠OCP=60°.过点P作⊙0的切线，切点为E, 求阴影面积时，通常化不规则图形为规则图形，根 交CO的延长线于点F 据图形的特点利用平移、旋转、割补等方法将不规 (1)求CD的长. 则图形的面积转化为规则图形（如三角形、矩形、扇 形等)面积的和或差进行求解。 (2)求∠DAB的度数. 199 练4(2024·乐山)如图，⊙0是△ABC的外接 技法点拨 圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交 1.圆内相似三角形的解题思路 (1)利用平行得到两个三角形相似，常见的基本 BA的延长线于点D,点E为CB上一点，且 图形为“A”型与“X”型 AC-CE. (2)寻找或构造有公共角的两个相似三角形，基 (1)求证：DCAE. 本图形如图。 (2)若EF垂直平分OB,DA=3,求阴影部分的 h 面积 2.圆内证明相似三角形的基本方法 (1)证两组角分别相等，常利用圆的有关性质， D (2)在有公共角的前提下，证两组边成比例. 练5(2024·盐城)如图，点C在以AB为直径的 ⊙0上，过点C作⊙0的切线l,过点A作 AD⊥I,垂足为D,连接AC,BC (1)求证：△ABC∽△ACD (2)若AC=5,CD=4,求⊙0的半径. 类型四与相似三角形结合 【例4】(2025·遂宁)如图，AB是⊙0的直径，C 是⊙O上的一点，连接AC,BC,延长AB至点 D,连接CD,使∠BCD=∠A. (1)求证：CD是⊙O的切线 (2)E是AC的中点，连接BE,交AC于点F, 过点E作EH⊥AB交⊙O于点H,交AB于点 G,连接BH.若BD=2,CD=4,求BF·BH 的值 2008.解：(1)10072 (2)1000x32+20 520. 100 答：估计成绩超过3分的学生人数为520， (3)样本的中位数为4分，说明至少一半学生的成绩达到或 超过4分，（答案不唯一，合理即可) 第二节概率 必备知识·夯根基 ①1②0③m ④p 核心考点·分类练 1LB2B3B4C5B6B7号 8A9. 3 10.解：画树状图如图 开始 第一次 生 净 第二次旦净丑生净丑生旦丑生旦净 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽取 到的两张卡片中有“生”的结果数有6种， ·抽取到的两张卡片中有“生”的概率是6-】 122 11.解：(1)由统计数据，可得甲社团满分10分的有3人：乙社 团7分的有12人. 补全条形统计图如图。 甲、乙两社团成绩条形统计图 人数/人1 14 口甲社团 品 口乙社团 10成绩/分 (2)乙 (3)记男生为甲，两个女生分别为乙、丙，画树状图如图. 开始 丙 甲 丙 甲 共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和 一名女生的结果有4种 ·所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 42 63 当堂达标检测 1.D2.C3.B4.C5.C6.157. 8解，)} (2)画树状图如图所示. 开始 小明 小红 和 343454 5 6 3 由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中两次摸到的 数字之和大于4的结果有3种，两次摸到的数字之和小于4 的结果有3种， :小明获胜的概率为。-}小红获胜的概率为了1 93 ·小明和小红获胜的概率相同， 该游戏对双方公平 人第二部分重难题型突破 题型一 规律探索题 【例1】452 子女会 1 2 2 【练1】C【练2】n2×(n+1)-(n+1)=(n+1)2×(n-1) 【例3】C【练3】D【练4】8【例4】C 2025 【练513或243)【例51c【练6)(5 【例11，-1)【练1A(练81(227，》 题型二圆的综合题 【例1】(1)证明：如图，连接0C, 则∠OAC=∠OCA. F 又BC=CD,BC=CD D/ ∴，∠DAC=∠CAB= 2∠DAB, 1 ∴.∠DAC=∠OCA, .OCAD,.∠OCE=∠F. EH平分∠FEG,.LFEG=2LHEG, ∴.∠F-LFEG-LFAE=2∠HEG-2LCAB =2(∠HEG-∠CAB)=2∠H=2×45°=90°， ∴.∠OCE=∠F=90°，即0C⊥EF. 又OC是⊙0的半径，.EF是⊙0的切线。 (2)解：设⊙0的半径为r,则OE=0B+BE=r+2. ∠0CE=90°，0C+CE2=0E2,即r2+42=(r+2)2, 解得r=3, .EA=AB+BE=2r+2=8,0E=5. 又.OC∥AD,.△ECO∽△EFA, 8A不，解得A=24 ·服-架即8 【练1】(1)证明：.OA=OC=0B, .∠OAB=LOBA,∠OBC=∠OCB. ,·∠BAO=∠BCO,∴.∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB, .∠AOB=∠COB,.AB=BC. 如图，连接CE, .·BE是⊙O的直径 .∠0CE+∠0CB=90 ,OE=OC,∴.∠E=∠OCE. 0 ∠E= 1 ∠BOC= 1 ∠AOB, 2 1 ∠BCD=2∠AOB, ∴.∠BCD=∠ECO, ..∠DC0=∠BCD+∠BC0=90°，即OC⊥DC. 又0C是⊙0的半径，.CD是⊙0的切线. (2)解：OA=0C,□ABC0是菱形， BC-OG=OB.ACL0B.OF-208-0 .△OBC是等边三角形， ∠B0C=60°，∠E= -∠B0C=30° 2 .EF=3,∴.0F=1,0E=2,∴.0C=2. .∠D0C=60°，..CD=OC·tan60°=2×√3=23 【练2】(1)解：AB是⊙0的直径，BG是⊙0的切线 .∠ABF=90°. :∠AFB=70°，∴.∠BAF=20 AC=2BD,.∠ADC=2LBAF=40°， .∴.∠GDF=∠ADC=40°， ∴.∠G=∠AFB-∠GDF=70°-40°=30°. (2)①证明：AC=2BD,.∠ADC=2∠BAD. .OA=OD,.∠OAD=∠AD0, .'.∠ADC=2∠AD0,∴.∠ODC=∠ODA .OC=OD,∴.∠OCD=∠ODC,.∠OCD=∠OAD 又.·OC=OA,∴.∠OCA=∠OAC,.∠CAD=∠ACD 又.MD=MD,.△CMD≌△AMD(AAS), ∠AMD=∠CMD=18 2 -=90°，DM LAC. ②解：如图，连接BD. .·AB是⊙O的直径 .∠ADB=90°，.∠ADB=∠ABF. 又.·∠BAD=∠BAD ∴.△ABD∽△AFB, AD AB 六AB-AFAB=AD·AE 由①知∠CAD=∠ACD .AD=CD,∴.AB2=CD·AF CD·AF=16,∴.AB=4,即⊙0的直径为4. 【例2】(1)证明：如图，连接0D. AD平分∠BAC,∠BAD=∠EAD. .OA=OD,∴，∠OAD=∠ODA, .∴.∠ODA=∠EAD,.∴.AE∥OD .DE⊥AE,∴.∠E=90°， .∠ODE=180°-∠E=90°， 即OD⊥DE, OD是⊙0的半径，.DE是⊙0的切线。 (2)解：AB是⊙0的直径，.∠ADB=90°， .∠DAB+∠ABD=90°， 即∠DAB+∠ABC+∠DBC=90° .·∠EAD+∠ADE=90°， .∠EAD+∠ADC+∠CDE=90°. .∴.∠DAB+∠ABC+∠DBC=∠EAD+∠ADC+∠CDE. .·∠DAB=∠EAD,∠ABC=∠ADC,∴.∠DBC=∠CDE. .·∠DBC=∠CAD,∠DCB=∠BAD,∠CAD=∠BAD, .∴.∠CDE=∠DBC=∠DCB=∠BAD, 1 .∴.BD=CD,sin∠CDE=sin∠BAD= 3 在Rt△CDE中 CD=sin∠CDE= CE 1 3 ∴.CD=3CE=3×1=3,∴.BD=3. 在Rt△ABD中，的=S 1 =sin∠BAD=3, .AB=3BD=3×3=9,即⊙0的直径为9 3 【练3】解：(1)如图，连接0D.:0C=0D,∠0D=60°， ,△0CD是等边三角形，.∠C0D=60°. 0C=2, C⑦的长=60m×22 180=3m (2)0C⊥AB,,∠A0C=90°， .∠A0D=∠A0C-∠C0D=30. OD=0A. ∠DAB=∠AD0=)×(180°-30)=759 (3)如图，连接0E.:PE与⊙0相切于点E, .半径0E⊥PE,∠PE0=∠P0F=90°， .∴.∠POE+∠OPE=∠OFP+∠OPF,∴.∠POE=∠OFP. 在RA0PG中，tamC=tam60=C-g23 ∴.P0=23 在Rt△OEP中，.OE=OC=2, cos∠P0E=0E2月 P02W33cos∠0FP=cos∠P0E= 3 【例3】(1)证明：如图，连接0C ,CD⊥AB,.∠BDC=90°. .OC=OB,.∠OCB=∠OBC. 由翻折，得∠EBC=∠DBC,∠E= ∠BDC=90°， ∴.∠OCB=∠CBE,.OCBE ∴，∠OCF=∠E=90°，即OC⊥CF. 又：OC是⊙0的半径，.CF是⊙0的切线。 (2)解：sin L CFB=-2 2∠CFB=459 ∠0CF=90°，∴.∠C0F=∠CF0=45°， cFe0c-号0=4 :∠CD0=90°，∴.∠OCD=∠C0D=45°， .cD=oD= 0C=22, 2 45×π×421 ,S阴影=S第形A0c-S△cOD= ×2√2×2W2=2m-4. 360 2 【练4】(1)证明：如图1，连接0C. CD为⊙O的切线， D ■ .∴.∠0CD=90°， 即∠DCA+∠OCA=90° 又AB为直径， 图1 .∠ACB=90°，即∠1+∠0CA=90°， .∠DCA=∠1. 0C=0B,.∠1=∠2 AC=CE,.∠2=∠3， ∠DCA=∠3，∴.DC∥AE. (2)解：如图2，连接OE,BE, EF垂直平分OB,.OE=BE. 又·OE=OB ·△OEB为等边三角形， ∴.∠B0E=60°，∠A0E=120 图2 OA=0E,∴.∠0AE=∠OEA=30. .DCAE,.∴.∠D=∠OAE=30°. 又：∠0CD=90°，.∠D0C=60. 5 OA=0C,.△AOC为等边三角形， .∠OCA=60°，OA=OC=AC, .∠DCA=30°，.∠D=∠DCA, .DA=AC=OA=OC=0E=3. 在R△0FPE中，EF=0B·sim∠FOE=OE·im60=3 2 F2A0·EF=93 4 又，S第形A0E= 120m×32 3T, 360 93 S阴影=S刚形0B-S△01B=3T- 4 93 即阴影部分的面积为3π- 4 【例4】(1)证明：如图，连接0C. AB是直径，∴.∠ACB=90°， 即∠1+∠2=90°. .OA=OC,.∠A=∠1 ∠BCD=∠A,∴∠BCD=∠1， .∠BCD+∠2=90°， 即∠OCD=90°，∴.OC⊥CD. :0C是⊙0的半径，.CD是⊙0的切线 (2)解：如图，连接EC. :∠BCD=∠A,∠D=∠D,∴.△BCD∽△CAD, CD BC BD AD AC CD 4BC_2 :BD=2.CD=4,AD-AC4 六AD=8 AC=2AB=AD-BD=8-2=6. BC 1 设BC=a,则AC=2a, 在Rt△ABC中，AC+BC=AB2,.(2a)2+a2=62, aBC=6/5 ..a= 5 E是AC的中点，.AE=EC,.∠3=∠4 又，∠CEB=∠A,.△CEB∽△FAB, BEC即BE·BF=AB·BC .·EH⊥AB,∴.AB垂直平分EH, .BE=BH,.BE·BF=BH·BF=AB·BC, 65_365 .BF·BH=6× 5 51 【练5】(1)证明：连接0C,如图所示. CD是⊙O的切线，点C在以AB为直 径的⊙0上 ·.∠OCD=∠OCA+LACD=90°，∠ACB= ∠OCA+∠OCB=90°， .∠ACD=∠OCB. OC=OB,∠0BC=∠OCB, .∴.∠ACD=∠ABC. ,AD⊥1，∴.∠ADC=90 .∠ADC=∠ACB,∴.△ABC∽△ACD. (2)解：AC=5,CD=4,AD=√52-4=3. 由(1)知△ABC△ACD, g-AC,即45。 25 AC AD' 即5F3心AB= ⊙0的半径为252 25 32 6 3 题型三几何动态探究题 【例1】解：()由题意，得PD=1,40=12=号 .在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm, AB=√6+82=10(cm). 由平移的性质，得∠E=90°，CE=6cm,DE=8cm,CD= 10cm,AB∥CD. :H为DE的中点，EH=DH=)DE=4cm ABCD,DF⊥AB,∴.DF⊥CD,即∠FDC=90°. .HP//DF, ∴.∠HPD=∠FDC=90°，.∠HPD=∠E=90°， 份侣即子-8部得=9 16 (2)当5<1<10时，点Q在线段CE上，作QM⊥CD于点M, 作HN⊥CD于点N,如图1. :PD=t,AQ=54 6 cQ=g-6,c=10-4 .∠CMQ=∠E=90°， B 图 ·sin∠0cM=2y-DE即oM 8 CO CD' 6 人6 10 0m=24_24 255 同理LN票即学总N号0 DH CD' A0-g60=12-g 5 S△P0H=S△cDE-S△Pc-S△PpH-S△BOn -122-6+24, 25 2-6+24(5<<10). ..S= 2 (3)存在.由题意，得LHQP≠90° 当∠QPH=90°时，如图2，作HG⊥CD于点G,QK⊥CD交 DC延长线于点K, 同理，H=12。 m,c-5cm PG=16 34 5-1 CG=CD-DG= 5 cm. K 在m△C0K中，60=6号， 图2 ,·∠DCE=∠KCQ, ∴.sin∠DCE=sin∠KCQ,cos∠DCE=cos∠KCQ, 8QK 6 CK .10 69而6g 6 队-6K0n40=餐会 525 .·∠HGP=∠K=∠QPH=90°， ∴.∠QPK=90°-∠HPG=∠PHG,∴.△QPK△PHG,