第6章 微专题11 圆中常见辅助线的作法-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

微专题十一 圆中 作法一连半径→构造等腰三角形 图示 B 辅助线 连接圆心和弦的两个端点作圆的半径 关系式 ∠OAB=∠OBA 针对训练 1.(2023·巴中)如图，⊙0是△ABC的外接圆， 若∠C=25°，则∠BA0= A.25° B.50° C.60° D.65° 第1题图 第2题图 2.如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙0的弦，AB, CD的延长线交于点E.已知AB=2DE,∠E= 25°，则∠AOC的度数为 3.如图，在⊙0中，弦AB=4,C是 优弧AB上一点（不与A,B重 合)，cosC=3 ,则©0的半径 为 作法二与垂径定理有关的辅助线 0 图示 图1 图2 图1：过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成 直角三角形； 辅助线 图2：连接弧的中点与圆心，再连接半径构成 直角三角形 关系式AC=BC:OB2=OC2+BC2 常见辅助线的作法 针对训练 4.如图，在半径为6的⊙0中，劣弧AB的度数 是120°，则弦AB的长是 .0 5.已知⊙0的直径为10cm,AB,CD是⊙0的两 条弦，AB∥CD,AB=8cm,CD=6cm,则AB与 CD之间的距离为 cm. 6.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于 点E,∠CEA=30°，OE=4,DE=5√3，求弦CD 及⊙0的半径 作法三与圆周角定理及其推论有关的辅助线 图2 图示 --0 图3 图4 157 续表 图1：连接弦，作圆心角所对应的圆周角； 图2：连接弦，作同孤所对的圆周角； 辅助线 图3：连接弦，作直径所对的圆周角； 图4：连接90°的圆周角的两边与圆的交，点， 得到直径 1 图1：∠C= ∠AOB; 关系式 图2：∠ACB=∠ADB; 图3、图4：∠C=90°，AB2=AC2+BC2 针对训练 7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4, ∠ABC=∠DAC,则AC的长为 ( A.2√2 B.2 C.4 D.42 D 第7题图 第8题图 8.如图，AB为⊙0的直径，△ACD是⊙O的内接 三角形，∠BAD=3∠C,则∠C的度数为() A.20° B.22.5° C.25° D.30° 9.如图，△ABC是⊙0的内接三角 形，若∠BAC=45°，BC=5,则⊙0 的直径为 0 A.5 B.52 C.53 D.10 作法四与切线有关的辅助线 情形1与切线的性质有关的辅助线 图示 B 图1 图2 图1：连接切点与圆心构造直角； 辅助线 图2：连接切点与直径两端点、切点与圆心， 构造两个直角 158 针对训练 10.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AB 上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点 D.若AE=5,AC=4,则BE的长为 11.如图，△ABC是⊙0的内接三角形，∠ACB= 45°，∠A0C=150°，过点C作⊙0的切线交 AB的延长线于点D.求证：CD=CB. 情形2与切线的判定有关的辅助线 方法① 公共点未知，作垂直，证半径 图示 已知OA平分∠BAC,OC⊥AC, 问题 证明OB=OC 辅助线 自圆心作垂线 方法 通过角平分线的性质、三角形全等等方法 解读 证明垂线段等于半径 针对训练 12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD是 ∠ABC的平分线，以点D为圆心，DA为半径 作⊙D.求证：BC是⊙D的切线 方法②公共点已知，连半径，证垂直 图示 图2 图3 图4 图1：已知线段或角相等，证明∠CAE+ ∠BAC=90°； 图2：已知AC⊥BC,OA平分∠COD,证明 问题 △AOC≌△AOD: 图3：已知BC⊥AC,证明OE∥AC; 图4：已知OA=OB,AC=BC,证明OC⊥AB 图1：连圆心与圆上的点； 辅助线 图2、图3、图4：连圆心与切，点 图1：利用等角代换来证垂直； 图2：通过证明切线所在的三角形与含90° 角的三角形全等或相似来证垂直； 方法 图3：有与要证的切线垂直的直线，则证明 解读 半径与这条直线平行； 图4：通过圆心到切点的连线为所在等腰三 角形的中线或角平分线，根据“三线合一” 的性质证明 针对训练 13.如图，AB是⊙0的直径，AD是弦，延长AD至 C,使AD=DC,连接BC,过点D作DE⊥BC于 点E.求证：直线DE是⊙O的切线 0 14.如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，以OA为 半径作⊙0，A0的延长线与⊙0交于点C,D 为⊙O上一点，且OB∥CD,连接BD.求证： BD是⊙O的切线 作法五与三角形内切圆有关的辅助线 常作的辅助线： (1)连接内心和三角形的顶点，构造角平分线； (2)过内心作三角形边的垂线，构造直角三角形 或利用角平分线的性质定理求解 针对训练 15.如图，边长为23的等边三角形ABC的内切 圆的半径为 () A.1 B.3 C.2 D.23 159核心考点·分类练 1.C2.108或363.C4.w55.70 6.(1)证明：由题意，得OD=OB=OE, .∴∠ODB=∠OBD. AB=AC,∴.∠C=∠OBD ∴.∠ODB=∠C,∴.OD∥AC. ,以点O为圆心，OB长为半径的半圆与AC相切于点E, .∴.OE⊥AC,.∠DOE=∠AE0=90°， .OD⊥OE. （2)解：.'AB=BC,AB=AC,∴.AB=AC=BC, .△ABC是等边三角形，∠A=60° ·OE⊥AC,OD=OB=OE=N3, AE=0E==1,40=0E=5=2, tanA√3 sin A 3 2 .∴.AC=AB=A0+OB=2+√3， ∴，EC=AC-AE=2+√/3-1=1+√/3， 因边形0DCB的面积为2(0D+BC)×0B=(5+1+ x号 7.(1)证明：AD⊥OB,.∠DAC+∠ACD=90° .OA=OC,∴.∠OAC=∠OCA. .·AC是∠BAD的平分线，.∠DAC=∠BAC, .∠BAC+∠OAC=∠DAC+∠OCA=90°，即AB⊥OA. 又：0A为⊙0的半径，.AB为⊙0的切线。 (2)解：：⊙0的半径为2.04=0C=2. :∠AOB=45°，AB⊥OA,.△OAB是等腰直角三角形， .OB=N20A=2W2,.CB=0B-0C=22-2. 8.(1)证明：如图1，连接A0并延长交⊙O于点E,连接BE. ·BD=AB,∴.∠D=∠BAD ∴.∠ABC=∠D+∠DAB=2∠D 又，·∠ABC=2∠C, .∠D=∠C,∴.∠BAD=∠C. AB=AB,.∠C=LE, 图1 .∴.∠BAD=∠E. :AE是⊙0的直径， ∴.∠ABE=90°，∴.∠BAE+∠E=90° ∴.∠BAD+∠BAE=90°，即AD⊥AE. AE是⊙O的直径，.AD是⊙O的切线。 (2)解：∠D=∠D,∠DAB=∠C, AD DB △DAB△DCA,CDDM ∠D=∠C,.AD=AC=8. 85 叉DB=AB=5,5+BC8,解得BC=39 如图2，过点A作AF上DC于 点F AD=AC 1 DF=FC=2(DB+BC)= ） 图2 v-F-√-(-4 2 24 AF 5 3 .'sin D= AD 85 又.∠E=∠D,∠ABE=90°，∴.sinE=sinD, EmD了500的半径为 AB AB 5 25 .AE= 6 9.D10.C 当堂达标检测 1.D2.D3.C4.205.60° 6.(1)证明：如图，连接0B. .·PA是⊙O的切线， .∠0AP=∠1+∠3=90 .·DF⊥AB,DE⊥BP, ∴.∠ADF=∠BED=90° ·.·BE=AD,BD=AF, ∴.Rt△DEB≌Rt△FDA(HL), ..∠3=∠4. .0A=0B,∴.∠1=∠2，∴，∠1+∠3=∠2+∠4=90°， ∴.∠OBP=∠2+∠4=90°，即OB⊥BP. OB是⊙0的半径，.PB是⊙0的切线. (2解：0BLB即，∠0P=0mC化8股子 设0B=2x,则OC=3x,OA=2x, .BC=/OC2-0B2=√5x. PB是⊙0的切线，PA是⊙0的切线，，PB=PA=4. sin C=AP=2.4 2 PG34/5,解得=25 5 00的半径为25×2=45 5 微专题十一圆中常见辅助线的作法 1.D2.75°3.44.635.1或7 6.解：如图，过点0作OM⊥CD于点M,连 CA 接OD. .·∠CEA=30°，∴.∠OEM=∠CEA=30° 在Rt△OEM中，OE=4, 3 .0M三20E=2,EM=0E·cos30°=4X 23. .DE=5√3，.DM=DE-EM=33. 0M过圆心，OM⊥CD,CD=2DM=63. .·OM=2,DM=33, 在Rt△DOM中， 0D=√0M+DM=√22+(33)2=√31， .弦CD的长为63，⊙0的半径为√31. 7.A8B9.B10.3 11.证明：连接OB,如图， 则∠AOB=2∠ACB=90°. 0 ,OA=OB,,∠0AB=∠OBA=45°， ∴.∠OBD=180°-∠OBA=135° .∠A0C=150°， .∴.∠BOC=∠AOC-∠A0B=60° CD是⊙0的切线，.OC⊥CD, 8 .∴.∠D=360°-∠0BD-∠B0C-∠0CD=360°-135°- 60°-90°=75. .·∠BOC=60°，∴.∠CAB= 2∠B0C=30, .∴.∠CBD=∠CAB+∠ACB=30°+45°=75°， .∴.∠CBD=∠D,∴.CD=CB 12.证明：如图，过点D作DF⊥BC于点 F.又∠BAD=90°，BD是∠ABC的平 分线， .AD=DF,.DF是⊙D的半径. 又DF⊥BC,∴.BC是⊙D的切线. 13.证明：连接0D,如图. AD=DC.OA=OB .OD是△ABC的中位线， .OD∥BC. 又DE⊥BC,.DE⊥OD. 又OD是⊙0的半径， ∴.直线DE是⊙O的切线 14.证明：连接OD,如图..OC=OD, .∴.∠DCO=∠CDO. OB//CD, .∴.∠AOB=∠DCO,∠DOB=∠CDO, ∴.∠AOB=∠DOB 又OA=OD,OB=OB .△AOB≌△DOB(SAS), .∠OAB=∠ODB=90°，.BD1OD. 又OD是⊙O的半径，.BD是⊙O的切线 15.A 第三节与圆有关的计算 必备知识·夯根基 ①360 360 ⑤mr2⑥2mr n ⑧h2⑨弧长 核心考点·分类练 1.D2.D3.A4.C5.33-m6 16m-85 3 7.(1)证明：连接BG,如图1. 根据作图，可知AD=AE,BG=BE=BF 又，AB=BC,.CF=AE=AD. BC=2AD,.'.BF=BE=AD=AE=CF. .·AD//BC, .四边形ABFD是平行四边形， .∴.∠BFD=∠DAB=60°. BG=BF,.△BFG是等边三角形，.GF=BF, ,∴.GF=BF=FC. .G在以BC为直径的圆上，.∠BCC=90. BG为EF所在圆的半径， .CG为EF所在圆的切线。 (2)解：如图2，过点D作DH⊥AB于 点H. 由图可得 S阴影=SBARFD一S第形EAD一S销形EBG一S△BFG: .·AB=BC=2AD=2, 图2 2 .·.AD=BE=GF=1. 在Rt△AHD中，：AD=1,∠DAB=60°， 六DH=AD·sin∠DAB=1X22, √3√3 √3 SBABFD=AB·DH=2 2 =3. se=6,m=子1x5-日 241 由题易知扇形EAD和扇形EBG全等， .S扇形ED=S期形EBG 60m·AD260×mx12_T 360 360 6 S阴影=3-T-π333行 66443 8.C9.8π10.402 当堂达标检测 1.C2.A3.D4.C5.15m6.40m 7.(1)证明：连接0D,如图. ∠A=∠B=30°， ∴.∠B0D=2∠A=60° ∴.∠ODB=180°-∠B-∠B0D=90° OD是⊙0的半径，且BD⊥OD, .直线BD是⊙O的切线 (2)解：∠0DB=90°，∠B=30°，0D=0C, .0B=20D=20C. BC=0B-OC=20C-0C=0C.BC=2...0C=2. 又∠00-wa02- 微专题十二阴影部分面积的求法 4 【例1】C1.。π【例2】A2.B3.D【例3】B4.B 5A【例4B6D7B&石【例54存-7 3 9.(2m-23)10.13m-24 微专题十三隐形圆的构造 【例1】B1.B2.4 3.解：由斜边上的中线等于斜边的一半，可知OP=1m,动点P 到定点0的距离始终等于1m,满足圆的定义，故点P的运 动轨迹是圆弧。图心角为90，轨迹长度为9心-三m。 【例216245 24 5.解：.∠PEC=∠PDC=90°， .四边形PDCE对角互补， P,D,C,E四点共圆. 如图，∠E0D=2∠ECD=120°，要使得DE 最小，则需使圆的半径最小，故直径PCB 最小 当CP⊥AB时，PC最短为3√3 则DE=30D=5C 9 2CP=2 【例3】C6.√/10-17.2+23 9