题型1 规律探索题-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

第二部分 重难题型突破 题型一规律探索题 类型一数式规律 3.利用数阵规律探究某个数字的位置或某个位置 考法①数字规律 的数字时，需分析数阵中的数字排列方式： 【例1】(2024·潍坊)将连续的正整数排成如图 (1)分析确认每行、每列数据的个数. (2)找出相邻数据的变化特点，并且观察某行或 所示的数表，记aw为数表中第i行第j列位 某列数据具有的某些特别的性质（如完全平方 置的数字，如a1.2=4,a3.2)=8,a5.4=22.若 数、正整数等) a(m.m)=2024,则m= ,n= 4.对于“杨辉三角”型规律探索题，常涉及的规律： 4→5 16→17 (1)每个数等于它上方两数之和 2→3 6 15 18 (2)第n行数字之和为2- 98←-7 14 19 (3)(a+b)"的展开式中的各项系数依次对应杨辉 10→11一→12→13 20 三角的第(n+1)行中的每一项， 25←-24-23←-22-21 26→27-→28→29→ 练刀(2024·德阳)将一组数2,2，√6,2√2， 【例2】(2025·成都)分子为1的真分数叫作 √10,23，…，√2n,按以下方式进行排列： “单位分数”，也叫“埃及分数”.古埃及人在分 第一行 数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分 第二行 26 数之和，如；品将品拆分成皮两个单位 第三行 22√1023 分数相加的形式为 ；一般地，对于任 则第八行左起第1个数是 意奇数(>2)，将2拆分成两个不同单位分 A.72 B.82 C.√58 D.47 练2(2024·宁夏)观察下列等式： 数相加的形式为 第1个：1×2-2=22×0； 技法点拨 第2个：4×3-3=32×1； 1.解决该类问题的一般步骤与方法： 第3个：9×4-4=42×2； (1)对每个数或式子标上序数， 第4个：16×5-5=52×3； (2)找相应序数与对应数字或式子之间的联系. (3)根据规律找出第n个数或式子并验证正 按照以上规律，第n个等式为 确性。 考法② 循环规律 2.在求多个分数的和时，常考虑拆项相消法： 【例3】已知a1为实数，规定运算：a2=1- 1 11 (1) n(n+1)nn+l (2) k 11 dn- n(ntk)n ntk 述规定，当a1=3时，a225的值等于( 1 (3) n(n+k) c D.2 3 195 技法点拨 个图中圆点的个数是 1.对于循环型的数字规律探索题： 。。。 (1)先找出循环周期n. ① ② ③ ④ (2)用N(设问中给出的第N次变化)除以n,当 A.32 B.28 C.24 D.20 商b余m(0≤m<n)时，第N次变化对应的数即为一 个循环变化中第m次变化后对应的数， 技法点拨 2.常见的数列： 解决图形个数变化规律探索题的一般步骤 (1)正整数数列的和：l+2++n=n(n+1 1.标序号：记每个（组）图形的序号为“1,2,3，…，n” -(n≥1 2.数图形个数：对应的图形个数用a1,a2,a3,…,a 且n为整数)； 表示。 (2)奇数数列：1,3,5,7,9，…，2n-1(n≥1且n为 3.观察：确定a1,2,a3,…,an与序号n之间的关系 整数)；偶数数列：0,2,4,6,8，…，2n(n≥0且n (1)图形个数与图形序号是倍数或平方关系. 为整数)； (2)图形个数与图形序号关系不明确时，按照以 (3)正整数平方的数列：1,4,9,16，…，n2(n≥1 下步骤找寻关系： 且n为整数)； 步骤一，列表表示an-an-1的值； (4)正整数平方加1的数列：2,5,10,17，…，n2+1 步骤二，将所列等式左右相加，得到(a2-a1)+ (n≥l且n为整数)； (a3-a2)+…+(an-an-l)=an-a1的值； (5)正整数平方减1的数列：0,3,8,15，…，n2-1 步骤三，表示出an (n≥1且n为整数). 4.验证：代入序号检验所得式子是否正确 练3(2024·扬州)1202年数学家斐波那契在 练5(2025·青海)如图是谢尔宾斯基地毯图案 《计算之书》中记载了一列数：1,1,2,3,5，…， 的形成过程.按此规律下去，第⑥个图形中黑 这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都 色三角形的个数是 等于它的前面两个数之和，则在这一列数的 前2024个数中，奇数的个数为 A.676 B.674 C.1348 D.1350 考法②图形成倍递变 练4观察下列等式：7°=1,7=7,7=49,73= 【例5】(2022·烟台)如图，正方形ABCD的边长 343,74=2401,7=16807,…,根据其中的规 为1，以AC为边作第2个正方形ACEF,再以 律可得7°+7+7+…+7225的结果的个位数 CF为边作第3个正方形FCGH,…,按照这样的 字是 规律作下去，第6个正方形的边长为（) 类型二图形变化规律 考法①图形累加 【例4】(2025·重庆)按如图所示的规律拼图 案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中 有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个 A.(22)5 B.(22)6 图中有16个圆点…按照这一规律，则第⑥ C.(2) D.(√2)6 196 技法点拨 技法点拨 点的坐标周期变化规律题的一般解题思路 已知一个几何图形的边长（周长或面积），通过一定 (1)先观察点坐标（图形）变化的规律，找出循环 变换确定第M次变换后的图形的边长（周长或面 次的变换次数，记为n. 积)，通过计算得到第一次变换后、第二次变换后、 (2)用m÷n=w…q(0≤q<n),则第m次变换后的 第三次变换后、第四次变换后图形的边长（周长或 点坐标（图形）就是第一个循环中第9次变换后的 面积)，求出相邻两次变换后图形的边长（周长或面 点坐标（图形）或存在一定的倍分关系， 积)的比值（或倍分），并用含比值（或倍分）和次数 (3)根据题意找出第q次变换后对应的点坐标（图形）， 的代数式表示结果，归纳出每次变换后的图形的边 即可推断出第m次变换后对应的点坐标（图形）. 长（周长或面积）与序数n之间的关系式，并验证. 练7(2025·内江)对于正整数x,规定函数 练6(2025·自贡)如图，在△ABC中，AC=BC, 3x+1(x为奇数)， CD⊥AB于点D,AB=DC=2.以B为圆心，DB f(x)= 2(x为偶数). 在平面直角坐标系 的长为半径画弧，交BC于点E,以C为圆心， CE,的长为半径画弧，交CD于点D,过点D 中，将点(m,n)中的m,n分别按照上述规定 作D,F,⊥DC,交AC于点F,;再以F,为圆心， 同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中 F,D1的长为半径画弧，交AC于点F2,以C为 m,n均为正整数).例如，点(8,5)经过第1次 运算得到点(4,16)，经过第2次运算得到点 圆心，CF,的长为半径画弧，交DC于点D2,过 (2,8),经过第3次运算得到点(1,4)，经过有 点D2作D2E2⊥DC,交BC于点E2;又以E2为 限次运算后，必进入循环圈.按上述规定，将 圆心…重复以上操作，则D22sF2s的 点(2,1)经过第2025次运算后得到的点是 长为 () A.(2,1)B.(4,2)C.(1,2)D.(1,4) 练8(2025·达州)定义：在平面直角坐标系中， 一个图形向右平移“个单位长度，再绕原点 按顺时针方向旋转0角度，这样的图形运动叫 E 作图形的y(a,0)变换.现将一个斜边为1的 练6图 例6图 等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角 坐标系中，△ABC经Y(1,180°)变换后得 类型三坐标变化规律 △AB,C1为第一次变换，△AB,C1经y(2, 【例6】(2025·山东)取直线y=-x上一点 180)变换后得△A,B,C2为第二次变换… A1(x1,y1),①过点A1作x轴的垂线，交y=于 经y(n,180)变换后得△A.B.C,则点C22s 的坐标是 点A(x2,y2):②过点A,作y轴的垂线，交y=-x 于点A,(x,y3)…如此循环进行下去.按照 C平移 B 上面的操作，若点A,的坐标为(1，-1)，则点 41OAB,12 A2o25的坐标是 旋转 1978.解：(1)10072 (2)1000x32+20 520. 100 答：估计成绩超过3分的学生人数为520， (3)样本的中位数为4分，说明至少一半学生的成绩达到或 超过4分，（答案不唯一，合理即可) 第二节概率 必备知识·夯根基 ①1②0③m ④p 核心考点·分类练 1LB2B3B4C5B6B7号 8A9. 3 10.解：画树状图如图 开始 第一次 生 净 第二次旦净丑生净丑生旦丑生旦净 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽取 到的两张卡片中有“生”的结果数有6种， ·抽取到的两张卡片中有“生”的概率是6-】 122 11.解：(1)由统计数据，可得甲社团满分10分的有3人：乙社 团7分的有12人. 补全条形统计图如图。 甲、乙两社团成绩条形统计图 人数/人1 14 口甲社团 品 口乙社团 10成绩/分 (2)乙 (3)记男生为甲，两个女生分别为乙、丙，画树状图如图. 开始 丙 甲 丙 甲 共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和 一名女生的结果有4种 ·所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 42 63 当堂达标检测 1.D2.C3.B4.C5.C6.157. 8解，)} (2)画树状图如图所示. 开始 小明 小红 和 343454 5 6 3 由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中两次摸到的 数字之和大于4的结果有3种，两次摸到的数字之和小于4 的结果有3种， :小明获胜的概率为。-}小红获胜的概率为了1 93 ·小明和小红获胜的概率相同， 该游戏对双方公平 人第二部分重难题型突破 题型一 规律探索题 【例1】452 子女会 1 2 2 【练1】C【练2】n2×(n+1)-(n+1)=(n+1)2×(n-1) 【例3】C【练3】D【练4】8【例4】C 2025 【练513或243)【例51c【练6)(5 【例11，-1)【练1A(练81(227，》 题型二圆的综合题 【例1】(1)证明：如图，连接0C, 则∠OAC=∠OCA. F 又BC=CD,BC=CD D/ ∴，∠DAC=∠CAB= 2∠DAB, 1 ∴.∠DAC=∠OCA, .OCAD,.∠OCE=∠F. EH平分∠FEG,.LFEG=2LHEG, ∴.∠F-LFEG-LFAE=2∠HEG-2LCAB =2(∠HEG-∠CAB)=2∠H=2×45°=90°， ∴.∠OCE=∠F=90°，即0C⊥EF. 又OC是⊙0的半径，.EF是⊙0的切线。 (2)解：设⊙0的半径为r,则OE=0B+BE=r+2. ∠0CE=90°，0C+CE2=0E2,即r2+42=(r+2)2, 解得r=3, .EA=AB+BE=2r+2=8,0E=5. 又.OC∥AD,.△ECO∽△EFA, 8A不，解得A=24 ·服-架即8 【练1】(1)证明：.OA=OC=0B, .∠OAB=LOBA,∠OBC=∠OCB. ,·∠BAO=∠BCO,∴.∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB, .∠AOB=∠COB,.AB=BC. 如图，连接CE, .·BE是⊙O的直径 .∠0CE+∠0CB=90 ,OE=OC,∴.∠E=∠OCE. 0 ∠E= 1 ∠BOC= 1 ∠AOB, 2 1 ∠BCD=2∠AOB, ∴.∠BCD=∠ECO, ..∠DC0=∠BCD+∠BC0=90°，即OC⊥DC. 又0C是⊙0的半径，.CD是⊙0的切线. (2)解：OA=0C,□ABC0是菱形，