第8章 第2节 概率-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

第二节概 率 。必备知识·夯根基。 事件类型 定义 概率 必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件 ① 事件的分类 不可能事件 在一定条件下，必然不会发生的事件 ② 随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 0~1之间 概率的意义：概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定 会发生，只是认为事件发生的可能性大，不要忘了事件本身是随机事件，在一定条件下，可能 发生也可能不发生 1.直接公式法：如果一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中 的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=③ 2.列表法：当一次试验涉及两步计算，并且可能出现的结果数目较多时，可采用列表法不重不漏地列 出所有可能的结果，再根据P(4)=m计算概率 概 3.画树状图法：当一次试验要涉及两步或两步以上的计算时，通常采用画树状图法来表示所有可能的 率 结果，再根据P(A)=m计算概率 4.几何概型的概率公式：P(A)= 构成事件A的区域面积（或长度、角度、时间） 全部结果所构成的区域面积（或长度、角度、时间） 概率的 计算 5.用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m稳定于某个常数p附近， 那么事件A发生的概率P(A)=④ 【温馨提示】 区别 联系 有限次试验中，某事件出 频率 在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频 现的次数是真实存在的 率会稳定在某个常数附近，这时可以用这个 常数来粗略估计该事件的概率，但不能说这 在某一试验中，某一事件 概率 个常数就是概率 发生的可能性是估计值 概率的应用一判断游戏公平性：判断游戏公平性时需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，若概 率相等，则游戏公平，否则游戏不公平 191 核心考点·分类练。 考点一事件的分类 2 .2 B.a D. 3 1.(2025·武汉)掷两个质地均匀的小正方体 小正方体的六个面上分别标有1到6的数字 5.(2025·苏州)一只不透明的袋子中，装有 下列事件是必然事件的是 3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相 ( A.向上两面的数字和为5 同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的 B.向上两面的数字和大于1 概率为？，则红球的个数为 5 C.向上两面的数字和大于12 D.向上两面的数字和为偶数 A.1 B.2 2.(2025·湖北)在下列事件中，不可能事件是 C.3 D.4 ( 6.(2024·威海)如图，在扇形A0B中，∠AOB= A.投掷一枚硬币，正面向上 90°，点C是AO的中点.过点C作CE⊥AO交 B.从只有红球的袋子中摸出黄球 AB于点E,过点E作ED⊥OB,垂足为点D.在 C.任意画一个圆，它是轴对称图形 扇形内随机选取一点P,则点P落在阴影部分 D.射击运动员射击一次，命中靶心 的概率是 ( ) 考点二用频率估计概率 2 3.(2025·贵州)某学习小组抛掷一枚质地不均 B. D. 3 3 匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同 学们获得的试验数据整理如表： 红 白/ 抛掷 20 /60 100120 140 160 500100020005000 白 白 次数n “正面 D 第6题图 第7题图 朝上”的 12 62 88 275 55011002750 次数m 7.（2024·济南)如图是一个可以自由转动的转 “正面 盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停 朝上”的 0.600.630.580.520.540.550.550.550.550.55 止时，指针落在红色区域的概率为 频率 类型②两步概率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为 8.(2025·山东)某班学生到山东省博物馆参加 ( 研学活动.博物馆为同学们准备了以镇馆之 A.0.52 B.0.55 C.0.58 D.0.63 宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的 考点三简单事件概率计算 三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一 类型①一步概率 个作为纪念品.若抽到每一款的可能性相等， 4.(2025·深圳)某校进行《九章算术》，《周髀算 则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率 经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文 是 ( 本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到 2 A. B. G、1 D. 《九章算术》的概率为 9 192 9.(2025·威海)一个不透明的袋子中装有2个 ②乙社团的平均成绩为 绿球、1个白球，每个球除颜色外都相同.小明 6x8+7×12+8×6+9x10+10x4=7.75(分). 同学从袋中随机摸出1个球（不放回）后，小 8+12+6+10+4 华同学再从袋中随机摸出1个球.两人摸到不 ③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的 同颜色球的概率是 统计图： 10.(2025·青岛)京剧以其独特的艺术魅力和 甲、乙两社团成绩条形统计图 人数人1 深厚的文化底蕴闻名于世，京剧的角色有 口甲社团 口乙社团 生、旦、净、丑等.现有4张不透明卡片，正面 分别印有“生”“旦”“净”“丑”四种角色的卡 通人物，卡片除正面图案外其余都相同.将 2 10成绩/分 这4张卡片背面朝上洗匀，先随机抽取一张， 根据以上信息，解决下列问题： 再从剩下的3张中随机抽取一张.利用画树状 (1)将条形统计图补充完整 图或列表的方法表示所有可能出现的结果， (2)成绩为8分的学生在 社团的排 并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率 名更靠前（填“甲”或“乙”） (3)已知甲社团的满分学生中有两名女生， 现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参加 甲骨学发展史宣讲活动.请用树状图或表格 求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女 生的概率 考点四统计与概率的综合 11.(2025·烟台)2025年4月19日，烟台市民 文化艺术季启幕.某校带领甲、乙两个社团 参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文 化穿越千年的不朽魅力.活动结束后，两个 社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展 史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、 整理、分析，信息如下： ①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6,6,6,6,7,7,7,7,6,7,7,6,7,8,8,8,8,9,8, 8,9,9,9,8,8,9,9,9,7,9,6,9,9,10,8,8,9, 9,10,10. 193 当堂达标检测 1.(2025·湖南)某校开展了五类社团活动：舞6在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽 20个，这些球除颜色外都相同.小明通过多次 取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社 试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左 团活动的概率是 ( 右，则袋子中黄球的个数可能是 7.(2025·山西)如图是创新小组设计的一款小 B 5 程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次 2.(2024·山东)某校课外活动期间开展跳绳、 按钮，“©”就从一个格子向左或向右随机移动 踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各 到相邻的一个格子.当“©”位于格子A时，小 自任选其中一项参加，则他们选择同一项活 明连续点击两次按钮，“©”回到格子A的概率 是 动的概率是 A.g C.3 D. 3 E〉〈D》 A 〈B 3.(2025·福建)在分别写有-1,1,2的三张卡 8.(2024·青岛)学校拟举办庆祝“建国75周年” 片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上 文艺汇演，每班选派一名志愿者.九年级一班 的数恰好互为相反数的概率是 ( 的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做 B.g c 2 D. “摸牌”游戏，获胜者参加.规则如下：将牌面数 3 字分别为1,2,3的三张纸牌（除牌面数字外，其 4.(2025·潍坊)如图，小莹对三 余都相同)背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明 个相连的方格进行涂色.在给 先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗 每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机 匀，小红再从中随机摸出一张.若两次摸到的 选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同 数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红 的概率是 ( 胜；若和等于4，则重复上述过程 (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到 .3 C. D 4 “1”的概率是 5.(2024·徐州)如图，将一枚飞 (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游 镖任意投掷到正方形镖盘AB 戏对双方是否公平. CD内，若飞锤落在镖盘内各 点的机会相等，则飞镖落在阴 B 影区域的概率为 3 √2 A. 3 2 0.2 请完成“复习作业本”P71~P72 1948.解：(1)10072 (2)1000x32+20 520. 100 答：估计成绩超过3分的学生人数为520， (3)样本的中位数为4分，说明至少一半学生的成绩达到或 超过4分，（答案不唯一，合理即可) 第二节概率 必备知识·夯根基 ①1②0③m ④p 核心考点·分类练 1LB2B3B4C5B6B7号 8A9. 3 10.解：画树状图如图 开始 第一次 生 净 第二次旦净丑生净丑生旦丑生旦净 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽取 到的两张卡片中有“生”的结果数有6种， ·抽取到的两张卡片中有“生”的概率是6-】 122 11.解：(1)由统计数据，可得甲社团满分10分的有3人：乙社 团7分的有12人. 补全条形统计图如图。 甲、乙两社团成绩条形统计图 人数/人1 14 口甲社团 品 口乙社团 10成绩/分 (2)乙 (3)记男生为甲，两个女生分别为乙、丙，画树状图如图. 开始 丙 甲 丙 甲 共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和 一名女生的结果有4种 ·所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 42 63 当堂达标检测 1.D2.C3.B4.C5.C6.157. 8解，)} (2)画树状图如图所示. 开始 小明 小红 和 343454 5 6 3 由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中两次摸到的 数字之和大于4的结果有3种，两次摸到的数字之和小于4 的结果有3种， :小明获胜的概率为。-}小红获胜的概率为了1 93 ·小明和小红获胜的概率相同， 该游戏对双方公平 人第二部分重难题型突破 题型一 规律探索题 【例1】452 子女会 1 2 2 【练1】C【练2】n2×(n+1)-(n+1)=(n+1)2×(n-1) 【例3】C【练3】D【练4】8【例4】C 2025 【练513或243)【例51c【练6)(5 【例11，-1)【练1A(练81(227，》 题型二圆的综合题 【例1】(1)证明：如图，连接0C, 则∠OAC=∠OCA. F 又BC=CD,BC=CD D/ ∴，∠DAC=∠CAB= 2∠DAB, 1 ∴.∠DAC=∠OCA, .OCAD,.∠OCE=∠F. EH平分∠FEG,.LFEG=2LHEG, ∴.∠F-LFEG-LFAE=2∠HEG-2LCAB =2(∠HEG-∠CAB)=2∠H=2×45°=90°， ∴.∠OCE=∠F=90°，即0C⊥EF. 又OC是⊙0的半径，.EF是⊙0的切线。 (2)解：设⊙0的半径为r,则OE=0B+BE=r+2. ∠0CE=90°，0C+CE2=0E2,即r2+42=(r+2)2, 解得r=3, .EA=AB+BE=2r+2=8,0E=5. 又.OC∥AD,.△ECO∽△EFA, 8A不，解得A=24 ·服-架即8 【练1】(1)证明：.OA=OC=0B, .∠OAB=LOBA,∠OBC=∠OCB. ,·∠BAO=∠BCO,∴.∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB, .∠AOB=∠COB,.AB=BC. 如图，连接CE, .·BE是⊙O的直径 .∠0CE+∠0CB=90 ,OE=OC,∴.∠E=∠OCE. 0 ∠E= 1 ∠BOC= 1 ∠AOB, 2 1 ∠BCD=2∠AOB, ∴.∠BCD=∠ECO, ..∠DC0=∠BCD+∠BC0=90°，即OC⊥DC. 又0C是⊙0的半径，.CD是⊙0的切线. (2)解：OA=0C,□ABC0是菱形，