第6章 微专题13 隐形圆的构造-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

微专题十三 隐形圆的构造 模型一定点定长模型 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中，定点称为圆心，定长称 模型依据 为半径 模型 条件 结论 已知平面内一定点A和一动 动，点B在以点A为圆心，AB长为 ,点B,AB长度固定 半径的圆上 衍生模型 点B,C,D在以，点A为圆心，AB 已知AB=AC=AD (AC或AD)长为半径的圆上 作法 找定点，寻定长，现“圆”形 【例1】如图，已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC, ∠BAC=44°，则∠CAD的度数为 () B∠ 3.如图，长2m的梯子AB竖直放在墙角，在沿 着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子 A.68° B.88° AB的中点P的移动轨迹长度是多少？ C.90° D.112° 【作图提示】定点是点A,定长是AB(AC或 AD)的长，找出圆心点A和半径AB(AC或 AD),作圆即可. 针对训练 1.如图，四边形ABCD中，DC∥AB,BC=1,AB= AC=AD=2,则BD的长为 () D A.√14 B.√15 C.32 D.23 2.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E是 BC边上的动点（不与B,C重合），连接DE,作 点C关于DE的对称点C',则BC的最小值为 166 模型二四点共圆模型 圆内接四边形的性质： 模型依据 (1)圆内接四边形的对角互补； (2)圆内接四边形的任意一个角的外角都等于它的内对角 模型 四边形ABCD中， 衍生模型 四边形ABCD中， △ABC和△ABD中， △ABC和△ABD中， 条件 ∠A+∠C=∠B+ ∠B=∠D=90° ∠C=∠D=90° ∠C=∠D ∠D=180° 点A,B,C,D在以AC 点A,B,C,D在同一 点A,B,C,D在以AB 点A,B,C,D在同一个 结论 为直径的圆上 个圆上 为直径的圆上 圆上 作法 对角互补四边形，见顶点，找互补，想底边，定圆心，现“圆”形 【例2】如图，在△ABC和△ACD中，∠ABC= 5.如图，等边三角形ABC中，AB=6,P为AB上 ∠ADC=45°，AC=6,则AD的最大值 动点，PD⊥BC于点D,PE⊥AC于点E,求 为 DE的最小值. 【作图提示】定角为45°，定长为6，∠ABC= ∠ADC,A,B,C,D四点共圆. 针对训练 4.如图，AD,BE,CF是△ABC的三条高，若AB= 6,BC=5,EF=3,则线段BE的长为 167 模型三定弦定角模型 圆周角定理：一条孤所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 推论：①同孤或等孤所对的圆周角相等； 模型依据 ②半圆（或直径）所对的圆周角是90°； ③90°的圆周角所对的弦是直径 模型 条件 结论 已知△ABC,点C是动点，∠ACB为定 1 (1)∠ACB= 角，且∠ACB为锐角，AB是一条定 2 ∠AOB; 线段 (2)点C在优孤AB上（点A,B除外） 已知△ABC,点C是动，点，∠ACB为 衍生模型 (1)∠ACB=180° 定角，且∠ACB为钝角，AB是一条定 2∠A0B: 线段 (2)点C在劣弧AB上（点A,B除外）》 已知△ABC,∠ACB=90° 点C在以AB为直径的圆上 (1)见定角，找对边（定长），想周角，转心角，现“圆”形； 作法 (2)见直角，找斜边（定长），想直径，定外心，现“圆”形 【例3】如图，△ABC为等边三角形，AB=2.若点 针对训练 P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP, 6.如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=2,BC=3, 则线段PB长度的最小值为 点P是△ABC内部的一个动点，且满足 ∠PAB=∠PBC,则线段PC长度的最小值为 A.1.5 B.√3 c23 D.2 7.如图，边长为2的等边三角形ABC的顶点B 【作图提示】定角是∠APC,定弦是AC,圆周角 在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A 是∠APC,圆心是AC,PC的垂直平分线的交 在射线OD上移动，则顶点C到原点O的最大 点，确定圆心画圆 距离为 168.∴.∠D=360°-∠0BD-∠B0C-∠0CD=360°-135°- 60°-90°=75. .·∠BOC=60°，∴.∠CAB= 2∠B0C=30, .∴.∠CBD=∠CAB+∠ACB=30°+45°=75°， .∴.∠CBD=∠D,∴.CD=CB 12.证明：如图，过点D作DF⊥BC于点 F.又∠BAD=90°，BD是∠ABC的平 分线， .AD=DF,.DF是⊙D的半径. 又DF⊥BC,∴.BC是⊙D的切线. 13.证明：连接0D,如图. AD=DC.OA=OB .OD是△ABC的中位线， .OD∥BC. 又DE⊥BC,.DE⊥OD. 又OD是⊙0的半径， ∴.直线DE是⊙O的切线 14.证明：连接OD,如图..OC=OD, .∴.∠DCO=∠CDO. OB//CD, .∴.∠AOB=∠DCO,∠DOB=∠CDO, ∴.∠AOB=∠DOB 又OA=OD,OB=OB .△AOB≌△DOB(SAS), .∠OAB=∠ODB=90°，.BD1OD. 又OD是⊙O的半径，.BD是⊙O的切线 15.A 第三节与圆有关的计算 必备知识·夯根基 ①360 360 ⑤mr2⑥2mr n ⑧h2⑨弧长 核心考点·分类练 1.D2.D3.A4.C5.33-m6 16m-85 3 7.(1)证明：连接BG,如图1. 根据作图，可知AD=AE,BG=BE=BF 又，AB=BC,.CF=AE=AD. BC=2AD,.'.BF=BE=AD=AE=CF. .·AD//BC, .四边形ABFD是平行四边形， .∴.∠BFD=∠DAB=60°. BG=BF,.△BFG是等边三角形，.GF=BF, ,∴.GF=BF=FC. .G在以BC为直径的圆上，.∠BCC=90. BG为EF所在圆的半径， .CG为EF所在圆的切线。 (2)解：如图2，过点D作DH⊥AB于 点H. 由图可得 S阴影=SBARFD一S第形EAD一S销形EBG一S△BFG: .·AB=BC=2AD=2, 图2 2 .·.AD=BE=GF=1. 在Rt△AHD中，：AD=1,∠DAB=60°， 六DH=AD·sin∠DAB=1X22, √3√3 √3 SBABFD=AB·DH=2 2 =3. se=6,m=子1x5-日 241 由题易知扇形EAD和扇形EBG全等， .S扇形ED=S期形EBG 60m·AD260×mx12_T 360 360 6 S阴影=3-T-π333行 66443 8.C9.8π10.402 当堂达标检测 1.C2.A3.D4.C5.15m6.40m 7.(1)证明：连接0D,如图. ∠A=∠B=30°， ∴.∠B0D=2∠A=60° ∴.∠ODB=180°-∠B-∠B0D=90° OD是⊙0的半径，且BD⊥OD, .直线BD是⊙O的切线 (2)解：∠0DB=90°，∠B=30°，0D=0C, .0B=20D=20C. BC=0B-OC=20C-0C=0C.BC=2...0C=2. 又∠00-wa02- 微专题十二阴影部分面积的求法 4 【例1】C1.。π【例2】A2.B3.D【例3】B4.B 5A【例4B6D7B&石【例54存-7 3 9.(2m-23)10.13m-24 微专题十三隐形圆的构造 【例1】B1.B2.4 3.解：由斜边上的中线等于斜边的一半，可知OP=1m,动点P 到定点0的距离始终等于1m,满足圆的定义，故点P的运 动轨迹是圆弧。图心角为90，轨迹长度为9心-三m。 【例216245 24 5.解：.∠PEC=∠PDC=90°， .四边形PDCE对角互补， P,D,C,E四点共圆. 如图，∠E0D=2∠ECD=120°，要使得DE 最小，则需使圆的半径最小，故直径PCB 最小 当CP⊥AB时，PC最短为3√3 则DE=30D=5C 9 2CP=2 【例3】C6.√/10-17.2+23 9