第6章 第1节 圆的基本性质-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

第六章 圆 。知识体系·巧构建。 有关概念 对称性 特性 旋转不变性 点在圆内 圆的有 点与圆的 弧、弦、圆心角的关系 关概念 位置关系 点在圆上 与性质 点在圆外 圆周角定理及其推论 与圆有 圆 关的位 垂径定理及其推论 置关系 相交 切线的性质、判定 正多边形和圆 与圆有 直线与圆的 相切 切线长定理 弧长及扇形面积公式 关的计 位置关系 算 三角形的内切圆 (圆锥的相关计算 相离 第一节 圆的基本性质 必备知识·夯根基⊙ 在一个平面内，一条线段（半径）绕着它固定的一个端点（圆心）旋转一周，另 圆的概念 个端点所形成的图形叫做圆 (两种) 圆是到定点（圆心）的距离① 定长（半径）的所有点组成的图形 弦 连接圆上任意两点的② 叫做弦 直径 直径是经过圆心的弦，是圆内最③ 的弦 圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有优弧、劣弧、④ 圆 之分 弧 圆的有关概 同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做⑤ 念与性质 质 等圆 能够重合的两个圆叫做等圆 圆心角 顶点在⑥ 且两边都和圆相交的角叫做圆心角 圆周角 顶点在⑦ 上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 圆是轴对称图形，经过⑧ 的直线都是它的对称轴 圆的 圆是中心对称图形，对称中心为圆心 性质 圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合（圆的旋转不变性） 148 定理：垂直于弦的直径⑨ 弦，并且0 弦所对的两条弧 推论：平分弦（不是直径）的直径① 于弦，并且② 弦所对的两 条弧 垂径定理 【温馨提示】根据圆的对称性，如图1所示，在以下五个结论中： 及其推论 ①AC=BC;②AD=DB;③AE=BE;④AB⊥CD:⑤CD是直径.只要满足 D 图1 其中的两个结论，另外三个结论一定成立，即知二推三，若由③⑤推其 他3个结论应满足AB不是直径 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑧ 所对的弦④ 〔1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角⑤ ,所对的弦 弦、弧、圆 6 心角的关系推论2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角⑦ 所对的优 弧与劣弧分别⑧ 3.圆心角的度数与它所对弧的度数相等 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑨ 1.同弧或等弧所对的圆周角0 推论 (2.半圆（或直径）所对的圆周角是① ,90°的圆周角所对的弦是②2 的基 圆周角定理 圆周角定理的推论 圆周角定理 图形 及其推论 表示 结论 ∠APB=3 ∠AOB ∠1②④ ∠2 ∠ACB=②5 【温馨提示】(1)一条弦对着两条弧，其中一条弧所对的圆周角与另一条弧所对的圆周角互补 (2)一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角 [定义：经过三角形各顶点的圆 三角形的圆心O:外心（三角形外接圆圆心或三角形三条边的6 的交点) 外接圆 性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 角度关系：如图2，∠B0C=2∠A,∠B0C=360°-2∠A 图2 图3 圆内接四边1.圆内接四边形的对角⑦ 如图3，∠B+∠D=8 形的性质 (2.圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角，如图3，∠DCE=四 (拓展) 149 重难突破·提能力© 重难点圆的基本性质 【例】（一图多变）AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P,连接AC,AD O(P 图2 图4 (1)如图1，若点0与点P重合，AC=2AD,则∠CAD= C三 ,∠COB= (2)如图2，连接OD,若AC=CD,∠D0B=64°，则∠C= ,∠CAB= (3)如图3，若点P是弦CD的中点，连接OC,若∠ACD=60°，OC=5,则∠DAB= ,∠COP= BP= (4)如图4，点E是劣弧AC上一点，点D是优弧ADC的中点，连接AE,CE.若∠AEC=120°，AC= 6,则∠D= .AD= 核心考点·分类练⊙ 考点一圆的有关概念 达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD, 1.(2024·连云港)如图，将一根木棒的一端固 垂足为点E,CE=1寸，AB=10寸，则直径CD 定在O点，另一端绑一重物.将此重物拉到A 的长度为 寸 点后放开，让此重物由A点摆动到B点.则此 重物移动路径的形状为 A.倾斜直线 B.抛物线 C.圆弧 D.水平直线 第3题图 第4题图 4.(2024·北京)如图，⊙0的直径AB平分弦CD 0 M (不是直径).若∠D=35°，则∠C= 考点三圆周角定理及其推论 第1题图 第2题图 2.(常州中考)如图，AB是⊙0的弦，点C是优 5.（2024·泰安)如图，AB是⊙0的直径，C,D 弧AB上的动点(C不与A,B重合)，CH⊥AB, 是⊙O上两点，BA平分∠CBD,若∠AOD= 垂足为H,点M是BC的中点.若⊙O的半径 50°，则∠A的度数为 () 是3，则MH长的最大值是 A.65° B.55° D.75 ) C.50° D A.3 B.4 C.5 D.6 考点二垂径定理及其推论 3.(2023·东营)“圆材埋壁”是我国古代数学名 著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋 第5题图 第6题图 在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长 6.(2025·山西)如图，AB为⊙0的直径，点C, 一尺.问：径几何？”转化为现在的数学语言表 D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD, 150 CD.若AC=BC,则∠D的度数为 考点四圆内接四边形 A.30° B.45° 8.(2024·济宁)如图，分别延长圆内接四边形 C.60° D.75 ABCD的两组对边，延长线相交于点E,F.若 7.(2024·山东)如图，△ABC是⊙0的内接三 ∠E=5441',∠F=4319',则∠A的度数为 角形，若OA∥CB,∠ACB=25°，则∠CAB= A.42° B.4120' C.41° D.40°20' 9.（2024·滨州)如图，四边形 ABCD内接于⊙O,若四边形 0 OABC是菱形，则∠D= B 第7题图 第8题图 当堂达标检测。 1(2024·云南)如图，CD是⊙0的直径，点A, 5.(2025·陕西)如图，AB为⊙0的直径，BC=BD! B在⊙0上.若AC=BC,∠A0C=36°，则∠D= ∠CDB=24°，则∠ACD的度数为 A.9° B.18° C.36° D.45° M 第5题图 第6题图 B 6.如图，点A,B,C,D在圆上，AB=8,BC=6,AC= B 第1题图 第2题图 10,CD=4,则AD= 2.(2025·湖北)如图，△ABC内接于⊙0， ∠BAC=30°.分别以点A和点B为圆心，大于 7.如图，在半径为13的⊙0中， 2B的长为半径作弧，两弧交于M,N两点，作直 弦AB与CD交于点E,∠DEB= 0 75°，AB=6,AE=1,则CD的长 线MN交AC于点D,连接BD并延长交⊙O于点 是 E,连接OA,OE,则∠AOE的度数是 ( A.30°B.50° 8.(2025·广西)如图，已知AB是⊙0的直径， C.60° D.75 3.如图，四边形ABCD是⊙O的内 点C,D在⊙0上，∠ABC=65°，BC=CD 接四边形，BE是⊙O的直径，连 (1)求证：△B0C≌△D0C. 接AE.若∠BCD=2∠BAD,则 (2)求∠ABD的度数 ∠DAE的度数是 ( A.30° B.35 C.45 D.60° 4.(2025·长沙)如图，AB为⊙0 的弦，OC⊥AB于点C,连接OA, OB,若AB=OA,AC=3,则OA的 长为 请完成“复习作业本”P58~P59 151微专题十“十字架”模型 13102.3g 2 3.(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ABC=∠C=90°，∴.∠BAE+∠AEB=90 :AE⊥BF,∴.∠CBF+∠AEB=90°，.∠BAE=∠CBF ∠BAE=∠CBF, 在△ABE与△BCF中，{AB=BC, (∠ABE=∠C=90°， ∴.△ABE≌△BCF(ASA),∴.AE=BF. (2)解：.AE⊥BF,∴.∠BGE=∠ABE=90° 又∠BEG=∠AEB,∴△BGE∽△ABE, 、BE_GE,即BE2=GE·AE. AE BE' 设GE=x,则AE=AG+GE=2+x,.(3)2=x(2+x), 解得x1=1,x2=-3(不合题意，舍去)， GE=1,AE=3,AB=√AE-BE=√32-(3)2=√6， 正方形的边长为6. 4c55 6.(1)1 (2)证明：如图，过点A作AM∥EF交BC于点M,过点D作 DNGH交AB于点N. A D ,四边形ABCD是矩形 ∴.ADBC,ABCD, 四边形AEFM和四边形DHGY均为合市 平行四边形， ∴.DN=GH,AM=EF 易得∠BAM=∠ADN,∠ABM=∠DAN=90°， AM AB EF AB △BMM∽△ADN,.DN-DA CH DA (3)解：由矩形的性质，得∠A=90°，AD=BC=3. 由勾股定理，得BD=√AB2+AD=√/22+32=√13. 由(2)可得EF=AB即EF-2 BD AD' 33, 解得：2即折案的长为2 3 第六章圆 第一节圆的基本性质 必备知识·夯根基 ①等于②线段③长④半圆⑤等弧⑥圆心⑦圆 ⑧圆心⑨平分0平分①垂直②平分3相等 ④相等⑤相等6相等⑦相等⑧相等四一半 ☒相等④直角②直径②3？刚=雪90 6垂直平分线②7互补28180°②四∠A 重难突破·提能力 【例】(1)90°30°60°(2)58°29 (3)30°60°2.5(4)60°6 核心考点·分类练 1.C2.A3.264.555.A6.B7.40°8.C9.60 当堂达标检测 1.B2.C3.A4.65.66°6.2/217.211 2 8.(1)证明：.·⊙0的半径为OD,OB,OC,0A, ..0A=OB=OD=OC. .OC=OC,BC=CD,.∴△BOC≌△DOC(SSS) (2)解：.·OC=OB,.∠OCB=∠ABC=65°， .∠C0B=180°-65×2=50°. .·△BOC≌△DOC,.∠DOC=∠COB=50° .∠D0B=100°. :OD=OB,△DOB是等腰三角形， ∠ABD=∠0DB=180°-∠D0B=40 2 第二节与圆有关的位置关系 必备知识·夯根基 ①>②=③<④>⑤=⑥<⑦垂直⑧PB 9∠BP0D号 ①三条边 重难突破·提能力 【例1】证明：连接0C, OA=OB,CA=CB. ,△AB0为等腰三角形， ..OC⊥AB. 又：点C是⊙0上的一点， 0C是⊙0的半径， ,AB是⊙O的切线。 变式证明：如图，过点0作0E1 AC,垂足为点E,连接OD,OA. ·⊙O与AB相切于点D .∴.OD⊥AB. 又.·△ABC为等腰三角形，O是底边 BC的中点， ,.AO是∠BAC的平分线 ∴.0E=0D,即0E是⊙0的半径， AC是⊙0的切线。 【例2】解：如图，连接0C. BECD,∴.∠1=∠D=30°. AB为⊙0的直径，.∠E=90°， ∠EAB=180°-∠1-∠E=60° ··CD是⊙O的切线， .∴.OC1CD,即∠0CD=90° .∠2=180°-∠0CD-∠D=60°， 1 ∠3=2∠2=30， .∴∠CAE=∠EAB-∠3=60°-30°=30° 变式解：如图，连接AD. ·:AE为⊙0的直径，AC为⊙0的 切线， .∴.∠ABE=∠EAC=90°， ∴.∠1+∠2=90°，∠3+∠C=90. AB=AC,∴∠1=∠C,.∠2=∠3. …DE=DE,.∠2=∠4，∠4=∠3， .'DA=DF=3. ∠4+∠CAD=90°，∴.∠CAD=∠C, ..DC=DA=3,∠CAD=∠1， .BC=BF+DF+CD=8. 又∠C=∠C,.△ABC∽△DAC, :.AC-BC,即AC-8 ·DCAC'3AC ..AC=26(负值舍去)，AB=AC=26,