第5章 第4节 正方形-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

第四节 正方形 必备知识·夯根基。 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的① 叫做正方形 〔1.边：四条边都相等，对边平行 2.角：四个角都是直角 性质 对角线互相② 且相等 3.对角线 每条对角线③ 组对角 4.对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，有④ 条对称轴 1.有一组邻边相等的⑤ 是正方形 2.对角线互相⑥ 的矩形是正方形 判定 3.对角线⑦ 的菱形是正方形 4.有一个角是⑧ 的菱形是正方形 面积：S=⑨ (a表示正方形边长)-4C(支0（在正方形CD中，用对角线计算） 三个角是直角的四边形 矩形 个角是直角 1邻边相等 形 对角线相等 平行四边形与特殊 两组对边 有一个角是直角 四边形 分别平行 平行 且一组邻边相等 四边形之间的关系 四边形 对角线相等 正方形 一组对边平行且 且互相垂直 相等、两组对边 分别相等、对角 对角线 线互相平分 互相垂直 组邻边相 对角线相等 个角是直角 四条边都相等的四边形 菱形 1.定义：依次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做中点四边形 2.常见结论： 任意 对角线相等 对角线垂直 对角线垂直且 原图形 矩形 菱形 正方形 四边形 的四边形 的四边形 相等的四边形 点四边形 中点四边 平行 菱形 矩形正方形 菱形 矩形 正方形 形的形状 四边形 【温馨提示】特殊四边形中，依次连接各边中点得到的四边形，周长等于原图形两条对角线之和， 面积等于原图形面积的一半 142 。重难突破·提能力⊙ 重难点一正方形的性质 【例1】（一图多变）如图，在正方形ABCD中，连接BD,点E是BD上的点，连接AE. ☒☒ 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，若BE=BC,则∠AEB的度数为 (2)如图2，若AE⊥BD,AE=3,则正方形ABCD的周长为 ,面积为 (3)如图3，连接AC交BD于点O,若点E是OD的中点，AB=4,则AE的长为 (4)如图4，连接AC交BD于点0，延长AE交CD于点F,若AE平分∠C4D,则 DE 重难点二特殊四边形的判定 【例2】（多维设问）如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O. D (1)请添加一个条件： 使口ABCD是矩形.（写出一个即可） (2)请添加一个条件： 使口ABCD是菱形.（写出一个即可） (3)请添加条件： 使口ABCD是正方形.（写出一个即可） 。核心考点·分类练。 考点一正方形的性质与计算 2.(2023·青岛)如图，在正方形ABCD中，点E, 1.（2024·烟台)如图，在正方形ABCD中，点E, F分别是AB,CD的中点，AF,DE相交于点M, F分别为对角线BD,AC的三等分点，连接AE G为BC上一点，点N为EG的中点.若BG= 并延长交CD于点G,连接EF,FG,若∠AGF= 3,CG=1,则线段MW的长度为 a,则∠FAG用含a的代数式表示为( A.45- 90°-a B. A.5 2 45°+a 13 C. D. C.2 D 2 2 2 143 3.(2023·枣庄)如图，在正方形ABCD中，对角 (2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角” 线AC与BD相交于点O,E为BC上一点， ∠BAE的度数 CE=7,F为DE的中点，若△CEF的周长为 32,则0F的长为 E 4.(2025·济南)如图，已知正方形ABCD中，点 E在边AD上，点F在边BC上，将ABCD沿 EF折叠，设点A的对应点为G,点B的对应点 为H,若点G在边CD上，CG=4,EF=43,则 AB= 考点二正方形的判定 B F H 6.(2024·东营)如图，四边形ABCD是平行四 5.(2025·浙江)【问题背景】 边形，从①AC=BD,②AC⊥BD,③AB=BC,这 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 三个条件中任意选取两个，能使口ABCD是正 ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在 方形的概率为 () 对角线BD上. 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成， 请写出△ABE≌△CBE的证明过程. A. 2 3 、I c写 5 D 6 7.(2024·龙东)已知菱形ABCD中对角线AC, BD相交于点O,添加条件 可使菱 形ABCD成为正方形 144 。当堂达标检测 1.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件5.(2024·福建)如图，正方形ABCD的面积为 便得到正方形：a.两组对边分别相等；b.一组 4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点， 对边平行且相等；c.一组邻边相等；d.一个角 则四边形EFGH的面积为 是直角.顺次添加的条件：①a→c→d,②b→d 6.如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB= c,③abc,则正确的是 90°，将Rt△ABE绕点A逆时针方向旋转90° 添加条件 得到△ADF,DF的延长线交BE于点H. (1)试判定四边形AFHE的形状，并说明 四边形 正方形 理由 A.①② B.仅③ C.仅① D.②③ (2)已知BH=7,BC=13,求DH的长， 2.(2025·泸州)如图，在边长为2的正方形 D ABCD中，E为AB的中点，F为CE上的点，且 DF=DC,则AF的长为 4.210 2wW10 B. 9 4√10 10 C. D. 15 9 0 B 第2题图 第3题图 3.(2024·兰州)如图，四边形ABCD为正方形， △ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F,若 AD=4,则EF= 4.(2025·北京)如图，在正方形ABCD中，点E在 边CD上，CF⊥BE,垂足为F.若AB=1,∠EBC= 30°，则△ABF的面积为 B F 第4题图 第5题图 请完成“复习作业本”P56~P57 145.ACL BD.BO=DO.AO=CO=2. 在Rt△AOB中，由勾股定理， 得B0=√AB2-A0=√42-22=23，BD=2B0=43, 六Sa边形m=2AC·BD=2×4x4,3=8,5, 【解题依据】菱形的对角线互相垂直且平分 (3)解：△BMP为等腰三角形.理由如下： .·四边形ABCD为菱形，BD为对角线，·.∠ABD=∠CBD. .PM∥AB,.∠ABD=∠BPM,∴.∠CBD=∠BPM, ∴△BMP为等腰三角形. 【解题依据】有两个角相等的三角形是等腰三角形 (4)解：如图2所示，过点P作PF⊥BC于点F. :四边形ABCD是菱形，∠ABC=6O°， .AB BC=CD AD 4,LABD ∠CBD=30°. .PM∥AB, .∠ABD=∠BPM=∠CBD=30°， BM ∠PMF=∠ABC=60°， 图2 .PM=BM=1. .PF⊥BC,∴.∠PFM=∠PFC=90°， .∴.∠MPF=30°，∴.MF -PM-2PF 1 3 2 、FC=BC-BM-MF=41-2 15 2, =√7. (5)解：如图3，作点M关于BD的对 称点M',连接PM',则PM=PM' 由菱形的性质，得点M'在AB上 .PM+PC=PM'+PC≥CM',当且仅当M'K CMW⊥AB时，CM取得最小值.作B M CM"⊥AB,在Rt△BCM"中、 图3 .·∠ABC=60°，BC=4,∴.CM"=BC·sin∠ABC=4×sin60°= 23,·.PM+PC的最小值为2√3. 核心考点·分类练 1.A2./103.96 4.证明：四边形ABCD是菱形，.AD=CD. ·AE⊥CD,CF⊥AD,.∠AED=∠CFD=90 :∠D=∠D,.△AED≌△CFD(AAS), .DE=DF. .AD-DF=CD-DE,..AF=CE. 5.AB=BC(答案不唯一) 6.证明：AB=5,0A=4,0B=3,且32+42=52， 0B2+0A2=AB2,.∠A0B=90°， ∴.AC⊥BD,☐ABCD是菱形. 7.(1)证明：AB∥CD,∴.∠ABF=∠CDE. AF⊥AB,CE⊥CD,∴.∠BAF=∠DCE=90° ·.·BE=EF=FD,.BE+EF=FD+EF,即BF=DE. 在△ABF和△CDE中. I∠ABF=∠CDE ∠BAF=∠DCE=90°，∴.△ABF≌△CDE(AAS) BF=DE (2)解：四边形AECF是菱形.理由 如下：如图所示，连接AE,CF :∠ABD=30°，AB∥CD .∴.∠CDB=∠ABD=30° ,BE=EF,∠BAF=90° ,AE是Rt△ABF斜边BF上的 中线， 2 在Rt△ABF中，∠ABF=30°， ·AF= 2 BF.AE=AF=2BF. 同理.c8=0P=e BF=DE,.'.AE=AF=CE=CF, .四边形AECF是菱形. 当堂达标检测 1.A2.C3.D4.ADBC(答案不唯一）5.57°6.15 7.证明：.四边形ABCD是菱形，.AB=BC .AE=CF,..AB-AE=BC-CF,..BE=BF. ∠B=∠B,∴.△ABF≌△CBE(SAS),∴.AF=CE. 第四节正方形 必备知识·夯根基 ①平行四边形②垂直平分③平分④四⑤矩形 ⑥垂直⑦相等⑧直角（或90）⑨a2 重难突破·提能力 【例1】(1)67.5°(2)12218(3)10(4)2 【例2】(1)∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠ADC=90°或 ∠BAD=90°或AC=BD或AO=B0或CO=DO或AO=DO或 BO=CO (2)AC⊥BD或AB=BC或AB=AD或AD=CD或BC=CD (3)AB=BC且∠ABC=90°或BC=CD且∠BCD=90°或CD= DA且∠ADC=90°或DA=AB且∠DAB=90°或AC⊥BD且 AC=BD(答案不唯一) 核心考点·分类练 1.B2B3.2 7 4.2+25 5.(1)证明：.四边形ABCD是正方形， ..AB=CB,∠ABD=∠CBD. 又：BE=BE,∴△ABE≌△CBE(SAS). (2)解：，四边形ABCD是正方形， .∠BAD=90°，∠ADB=45. .DE=DA,∴.∠DAE=∠DEA. .∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°， .∠DAE=∠DEA=67.5°， ..∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5 6.A7.AC=BD(答案不唯一) 当堂达标检测 1A2B324令52 6.解：(1)四边形AFHE是正方形，理由如下： 由旋转的性质，得EA=FA,∠EAF=90°，∠AFD=∠E=90°， .∠AFH=90°，.四边形AFHE是矩形 :EA=FA,∴.四边形AFHE是正方形. (2)如图，连接BD,由四边形AFHE是 D 正方形，可知DH⊥BE. .·四边形ABCD为正方形 .CD=CB,∠DCB=90°， .在等腰直角三角形BCD中， 由勾股定理，得 BD2=2BC2=2×132=338. 在Rt△BDH中，由勾股定理，得 D㎡=BD2-BH=338-7=289, ∴.DH=17.