第5章 第3节 菱形-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

第三节 菱 形 。必备知识·夯根基。 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 1.边：对边平行，四条边都① 2.角：对角② 性质 3.对角线：两条对角线互相垂直且③ ,并且每一条对角线④ 一组对角 4.对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形，有⑤ 条对称轴，对称中心是两条对角线的交点 菱 周长：C=4a(a为边长) 形 面积S= 2mn(m,n分别表示两条对角线的长) 1.有一组邻边⑥ 的平行四边形是菱形 菱形 判定2.对角线⑦ 的平行四边形是菱形 3.四条边都⑧ 的四边形是菱形 四边形 菱形 重难突破·提能力 重难点菱形的性质与判定 【例】（多维设问）如图，在口ABCD中，∠ABC= ●解题依据 60°，AB=BC=4,点M在BC边上，过点M作 (1)此问用到的判定依据是 PM∥AB交对角线BD于点P,连接PC. (1)求证：四边形ABCD是菱形 (2)此问用到的性质依据是 (2)求BD的长及四边形ABCD的面积. (3)判断△BMP的形状，并说明理由. (3)此问用到的判定依据是 (4)当BM=1时，求PC的长 (5)求PM+PC的最小值. 139 核心考点·分类练 考点一菱形的性质与计算 考点二菱形的判定 1.（2024·济宁)如图，菱形 5.(2025·龙东)如图，在平行 ABCD的对角线AC,BD相 四边形ABCD中，对角线AC, A 交于点O,E是AB的中点， BD相交于点O,请添加一个 连接OE.若OE=3,则菱形 条件 使平行四边 B 的边长为 形ABCD为菱形 A.6 B.8 C.10 D.12 6.(2025·长春)如图，口ABCD的对角线AC,BD 2.(2024·青岛)如图，菱形ABCD中，BC=10, 相交于点0，AB=5,0A=4,0B=3.求证： 面积为60，对角线AC与BD相交于点O,过点 口ABCD是菱形 A作AE⊥BC,交边BC于点E,连接EO,则 EO= E( 第2题图 第3题图 3.（2024·淄博)如图，在边长为10的菱形 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E在 7.(2025·遂宁)如图，在四边形ABCD中，AB∥ BC的延长线上，OE与CD相交于点F.若 CD,点E,F在对角线BD上，BE=EF=FD,且 0F_5 ∠1CD=2∠0BC,FEG,则菱形ABCD的面 AF⊥AB,CE⊥CD. (1)求证：△ABF≌△CDE. 积为 (2)连接AE,CF,若∠ABD=30°，请判断四边 4.（2024·济南)如图，在菱形ABCD中，AE⊥ 形AECF的形状，并说明理由， CD,垂足为E,CF⊥AD,垂足为F.求证： AF=CE. 140 当堂达标检测 1.(2025·泸州)矩形具有而菱形不具有的性质5.(2024·上海)在菱形ABCD中，∠ABC=66°， 是 ( 则∠BAC= A.对角线相等 6.(2025·云南)如图，四边形ABCD是菱形，对角 B.对角线互相平分 线AC,BD相交于点O.若AC=6,BD=5,则菱 C.对角线互相垂直 形ABCD的面积是 D.对角相等 2.(2025·湖南)如图，在四边形ABCD中，对角 线AC与BD互相垂直平分，AB=3,则四边形 ABCD的周长为 7.(2025·泸州)如图，在菱形ABCD中，E,F分 别是边AB,BC上的点，且AE=CF.求证： AF=CE. D A.6 B.9 C.12 D.18 3.(2025·内江)按如下步骤作四边形ABCD: (1)画∠EAF; (2)以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分 别交AE,AF于点B,D: (3)分别以点B和点D为圆心，1个单位长为 半径画弧，两弧交于点C; (4)连接BC,DC,BD. 若∠A=40°，则∠BDC的度数是 E B A.64° B.66° C.68° D.70° 4.(齐齐哈尔中考)如图，在四边形ABCD中， AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件： 使四边形ABCD成为菱形 请完成“复习作业本”P54~P55 141(2)解：SABE=2,BE=EF,.SAAEF=S△ABE=2. .·四边形AECF是平行四边形. Sacm=25aEr=25a4m=2×2=1. 当堂达标检测 1.B2.D3.C4.105.12 6.证明：.EFAC,∴.∠EDC+∠C=180° 又.·∠EDC=∠CBE, .∴.∠CBE+∠C=180°，∴.BECD. EDBC,∴.四边形BCDE是平行四边形 第二节矩形 必备知识·夯根基 ①相等②直角③相等④两⑤直角⑥相等⑦直角 重难突破·提能力 【例】(1)证明：∠AOD=∠OAB+∠OBA,∠AOD=2∠OAB, ∴.∠OAB=∠OBA,∴.OA=OB. 四边形ABCD为平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD, .AC=BD,∴.四边形ABCD为矩形 (2)5 (3)解：在矩形ABCD中，OA=OC,EF⊥AC, ∴.AE=CE. .·AE:DE=13:5, .设AE=13k,DE=5k,则CE=AE=13k 在Rt△CDE中，CE2=DE2+CD2,即(13k)2=(5k)2+122, 解得k=1(负值舍去)，.AE=13k=13. 在矩形ABCD中，.·AD∥BC, ∴.∠CAE=∠ACF,∠AEO=∠CFO. 又OA=OC,∴△OAE≌△OCF(AAS), .CF=AE=13. (4)解：方法一：在Rt△CDE和Rt△COE中，2’ .Rt△CDE≌Rt△COE(HL),∴.OC=CD, 又.在矩形ABCD中，OC=OD. .△0CD为等边三角形，.·.∠C0D=60° 方法二：·OE=DE,E0⊥OC,ED⊥CD, ∴.CE平分∠DCO,即∠DCE=∠ECO. 又.·AE=CE,.∠EAC=∠ECO, .∴.∠DCE=∠ECO=∠EAC=30° .∠COD=2∠EAC=60°. (5)①证明：由(3)知AE=EC=CF :EP⊥EF,EF⊥AC,.EP∥AC, PC_AE_FC,即PCFC ·DC-AD-BC'DC BC 又：∠PCF=∠DCB=90°， .△PCF∽△DCB,∴.∠PFC=∠DBC,.PFBD ②解：·PFBD,PE∥AC,.∠EPF=∠COD ,·AE=CE,AO=D0 ∴.∠CED=2∠CAD,∠COD=2∠CAD, ∴.∠EPF=∠COD=∠CED. 由△AOE≌△COF,得OE=OF 又.·OE=PE,∴.tan∠EPF=2=tan∠CED. 设DE=k,则CD=2k,CE=5k=AE, ,AD√5k+k5+1 CD 2k 2 核心考点·分类练 1D2B3.V224Π5.(1)5(2) 6.解：四边形EFGH是矩形.理由如下： 由折叠的性质可知，∠AFE=∠EFK,∠BFG=∠KFG. .∠AFB=180°，.2∠EFK+2∠KFG=180°， ∴.∠EFK+∠KFG=90°，即∠EFG=90°. 同理，可得∠FGH=∠EHG=90°， .四边形EFGH是矩形 7.(1)证明：.·BG∥AF, .∠AFE=∠BGE,∠FAE=∠GBE. E为AB的中点，EA=EB ∴.△AEF≌△BEG(AAS). (2)解：四边形AGBF为矩形.证明如下： △AEF≌△BEG,.EF=EG. .·EA=EB,.四边形AGBF为平行四边形 :四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD, EF=EG,EF=、FG, .AB=FG,·.四边形AGBF为矩形 当堂达标检测 1.D2.C3.C4.C5.5 6.(1)证明：：四边形ABCD为矩形， .AB=CD,∠B=∠C=90° I∠BAE=∠CDF, 在△ABE和△DCF中，{AB=CD, （∠B=∠C=90°， .△ABE≌△DCF(ASA). (2)解：由(1)知，△ABE≌△DCF ..AE=DF=13. .AB=12,∠B=90°，.BE=/AE2-AB2=5. 7.(1)证明：.0是AC的中点，∴.OA=OC. :OD=OB,.四边形ABCD是平行四边形 又：∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形 (2)解：：2-L1=B0+0C+BC-(B0+AB+A0),A0=0C, ..l2-l=BC-AB=b-a=2. .:四边形ABCD是矩形，.AB=CD=a,AD=BC=b, ∴.a+a+b+b=28,∴.a+b=14, -a=2,解得a=6, :a+b=14, b=8. .∠ABC=90°，∴.AC=a2+b2=10 第三节菱形 必备知识·夯根基 ①相等②相等③平分④平分⑤两⑥相等 ⑦互相垂直⑧相等 重难突破·提能力 【例】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形且AB=BC, 四边形ABCD是菱形. 【解题依据】有一组邻边相等的平行四边形是菱形 (2)解：连接AC交BD于点O,如图1. ·:∠ABC=60°且AB=BC=4, ,△ABC是等边三角形， .∴.AC=AB=4 ·:四边形ABCD是菱形， .ACL BD.BO=DO.AO=CO=2. 在Rt△AOB中，由勾股定理， 得B0=√AB2-A0=√42-22=23，BD=2B0=43, 六Sa边形m=2AC·BD=2×4x4,3=8,5, 【解题依据】菱形的对角线互相垂直且平分 (3)解：△BMP为等腰三角形.理由如下： .·四边形ABCD为菱形，BD为对角线，·.∠ABD=∠CBD. .PM∥AB,.∠ABD=∠BPM,∴.∠CBD=∠BPM, ∴△BMP为等腰三角形. 【解题依据】有两个角相等的三角形是等腰三角形 (4)解：如图2所示，过点P作PF⊥BC于点F. :四边形ABCD是菱形，∠ABC=6O°， .AB BC=CD AD 4,LABD ∠CBD=30°. .PM∥AB, .∠ABD=∠BPM=∠CBD=30°， BM ∠PMF=∠ABC=60°， 图2 .PM=BM=1. .PF⊥BC,∴.∠PFM=∠PFC=90°， .∴.∠MPF=30°，∴.MF -PM-2PF 1 3 2 、FC=BC-BM-MF=41-2 15 2, =√7. (5)解：如图3，作点M关于BD的对 称点M',连接PM',则PM=PM' 由菱形的性质，得点M'在AB上 .PM+PC=PM'+PC≥CM',当且仅当M'K CMW⊥AB时，CM取得最小值.作B M CM"⊥AB,在Rt△BCM"中、 图3 .·∠ABC=60°，BC=4,∴.CM"=BC·sin∠ABC=4×sin60°= 23,·.PM+PC的最小值为2√3. 核心考点·分类练 1.A2./103.96 4.证明：四边形ABCD是菱形，.AD=CD. ·AE⊥CD,CF⊥AD,.∠AED=∠CFD=90 :∠D=∠D,.△AED≌△CFD(AAS), .DE=DF. .AD-DF=CD-DE,..AF=CE. 5.AB=BC(答案不唯一) 6.证明：AB=5,0A=4,0B=3,且32+42=52， 0B2+0A2=AB2,.∠A0B=90°， ∴.AC⊥BD,☐ABCD是菱形. 7.(1)证明：AB∥CD,∴.∠ABF=∠CDE. AF⊥AB,CE⊥CD,∴.∠BAF=∠DCE=90° ·.·BE=EF=FD,.BE+EF=FD+EF,即BF=DE. 在△ABF和△CDE中. I∠ABF=∠CDE ∠BAF=∠DCE=90°，∴.△ABF≌△CDE(AAS) BF=DE (2)解：四边形AECF是菱形.理由 如下：如图所示，连接AE,CF :∠ABD=30°，AB∥CD .∴.∠CDB=∠ABD=30° ,BE=EF,∠BAF=90° ,AE是Rt△ABF斜边BF上的 中线， 2 在Rt△ABF中，∠ABF=30°， ·AF= 2 BF.AE=AF=2BF. 同理.c8=0P=e BF=DE,.'.AE=AF=CE=CF, .四边形AECF是菱形. 当堂达标检测 1.A2.C3.D4.ADBC(答案不唯一）5.57°6.15 7.证明：.四边形ABCD是菱形，.AB=BC .AE=CF,..AB-AE=BC-CF,..BE=BF. ∠B=∠B,∴.△ABF≌△CBE(SAS),∴.AF=CE. 第四节正方形 必备知识·夯根基 ①平行四边形②垂直平分③平分④四⑤矩形 ⑥垂直⑦相等⑧直角（或90）⑨a2 重难突破·提能力 【例1】(1)67.5°(2)12218(3)10(4)2 【例2】(1)∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠ADC=90°或 ∠BAD=90°或AC=BD或AO=B0或CO=DO或AO=DO或 BO=CO (2)AC⊥BD或AB=BC或AB=AD或AD=CD或BC=CD (3)AB=BC且∠ABC=90°或BC=CD且∠BCD=90°或CD= DA且∠ADC=90°或DA=AB且∠DAB=90°或AC⊥BD且 AC=BD(答案不唯一) 核心考点·分类练 1.B2B3.2 7 4.2+25 5.(1)证明：.四边形ABCD是正方形， ..AB=CB,∠ABD=∠CBD. 又：BE=BE,∴△ABE≌△CBE(SAS). (2)解：，四边形ABCD是正方形， .∠BAD=90°，∠ADB=45. .DE=DA,∴.∠DAE=∠DEA. .∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°， .∠DAE=∠DEA=67.5°， ..∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5 6.A7.AC=BD(答案不唯一) 当堂达标检测 1A2B324令52 6.解：(1)四边形AFHE是正方形，理由如下： 由旋转的性质，得EA=FA,∠EAF=90°，∠AFD=∠E=90°， .∠AFH=90°，.四边形AFHE是矩形 :EA=FA,∴.四边形AFHE是正方形. (2)如图，连接BD,由四边形AFHE是 D 正方形，可知DH⊥BE. .·四边形ABCD为正方形 .CD=CB,∠DCB=90°， .在等腰直角三角形BCD中， 由勾股定理，得 BD2=2BC2=2×132=338. 在Rt△BDH中，由勾股定理，得 D㎡=BD2-BH=338-7=289, ∴.DH=17.