第4章 微专题9 解直角三角形实际应用常考模型-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

在R△ECD中，：an∠3= CD 9_19-2x 六105x-15,解得x=5,DB=19-2x5=9(米). 答：博学楼DE的高度为9米 8.解：(1)如图，过点B作BE⊥AC于点E.设BE=x. 依题意，得∠EBC=53°，∠EBD=45°，AE D C ∴.∠C=90°-∠EBC=37°，ED=x, .∴.EC=ED+DC=x+5. BE 4 在Rt△BCE中，：EC= tan C tan37°0.75-3x, 4 3x=x+5,解得x=15 ∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里。 (2)在Rt△ABE中，.：∠ABE=14°，BE=15, .∴.AE=BEtan14°≈15×0.25=3.75， ..AC=AE+DE+DC=3.75+15+5=23.75 23.75÷10=2.375时=142.5分， 从14：30经过142.5分是16：52：30， 在17：30之前能到达， ,不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A 9.解：(1).·⊙0分别与AC,AD相切于点B,D 六∠0BA=90°，∠0AB=∠0AD= 2 ∠CAD=30°. (2).:钢柱的底面圆半径为1cm,.BC=OB=1cm. ∠0AB=30°，∠0BA=90°，.AB= m. .AC=BC+AB=(1+√3)cm, 同理A'C'=(1+√3)cm, .∴.l=7.52-2(1+√3)≈2.06(cm). 1.9<2.06<2.1,∴.该部件l的长度符合要求 (3)能，将圆柱换成正方体 [提示]如图.设正方体的棱长为a, 用游标卡尺测量出CF的长度y, ∴.BC=BD=a. .:∠CAD=60°， .AB=-BD_3a lan60°3，AC=a+ 3a 3 9） 2(3+√3)a 3 10.解：(1)如图，过点B作BH⊥AP于点H. .'AB=60米，∠PAB=79°，sin79°≈0.98， c0s79°≈0.19， .AH=AB·c0s79°≈60×0.19=11.4（米）， HE BH=AB·sin79°≈60x0.98=58.8(米). .∵∠PAB=79°，∠PBA=64°， .∠APB=180°-79°-64°=37°， ,∴.tan∠APB=tan37° 05. m-g度4（米） .∴.AP=AH+PH≈11.4+78.4=89.8（米）， 即A,P两点间的距离为89.8米. (2)② 2 当堂达标检测 1.A2.D3.A4.D5.153m6.(63+6) 7.解：由题意，得∠CAB=∠ACD=90°，∠ABC=30°，∠CDA= 63.4°，CD=60米. 在Rt△ACD中，AC=CD·tan63.4°≈120米. 在R△ABC中，AB=,AC =1203≈207.6米 tan30° 答：校园西门A与东门B之间的距离约为207.6米 8.解：如图，过点C作CG⊥AB于点G,过点D作DH⊥AB于点 H,则四边形CDHG是矩形， .GH=CD=10 m,CG=DH. B ∠1=45°，.CG=AG. 设CG=AG=DH=xm. 在Rt△BCG中，.∠2=52°， .BG=CG·tan52°≈1.3xm. 在Rt△BDH中，：∠3=65°， .BH=DH.tan65°≈2.lxm, H .GH=BH-BG=2.1x-1.3x=10, A ..x=12.5, ..AB=BG+AG=1.3×12.5+12.5≈29(m). 答：大楼的高度AB约为29m. 微专题九解直角三角形实际应用常考模型 1.解：设AD=xm, .AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC=90 在Rt△ABD中，∠ABD=45°， AD tan∠ABD tan45o=m. .BD= 在Rt△ACD中，∠ACD=30°， AD an∠ACD tan30=V3xm .CD=- BC=BD+CD=80 m, .x+3x=80,解得x=40√3-40 .AD=(403-40)m. 答：桥塔AD的高度为(403-40)m. 2.解：如图，过点D作DE⊥BC于点E, 则四边形ADEF是矩形. AD =3:4 在Rt△DEC中，CD=20m, B FE ∠C=18°， .DE=CD·sinC=20×sin18°≈20x0.31=6.2(m), .AF=DE≈6.2m. BF4在R△ABF中， AF 3 A8=VaFr8p-4P=}62-10m. 答：斜坡AB的长约为10m. 3.(153+15)4.27 5.解：(1)如图1所示，过点C作CH⊥AD于点H,则∠DHC=90° 由题意，得∠DCH=30°，∠AED=75°，∠DAE=90°， ∴.∠CDH=180°-∠DCH-∠DHC=60°，∠ADE=180°- ∠AED-∠DAE=15°、 .∠CDE=∠CDH-∠ADE=45. 3 D 0 H 30d 75230 759 30° 图1 图2 (2)如图2所示，过点E作ET⊥CD于点T,则∠ETD= ∠ET℃=90°， .∴.∠DET=90°-∠EDT=45° ∴.∠CET=180°-∠AED-∠DET-∠BEC=30°」 在R△BCE中，CE=,BC=18 s1n∠BEC sin30-36(m）, 在Rt△CTE中，CT=CE·sin∠CET=36sin30°=18(m), ET=CE·cos∠CET=36·cos30°=18√3(m). 在Rt△DET中，DT ET183 tan EDT-tan 45=18/3(m), .∴.CD=CT+DT=(18+183)m. 在Rt△DCH中，DH=CD·sin∠DCH=(18+183)·sin30°= (9+93)m. ·.·CH⊥AD,AD⊥AB,BC⊥AB .四边形ABCH是矩形，.AH=BC=18m, .AD=AH+DH=(27+9W3)m. 答：建筑物AD的高度为(27+93)m. 6.解：(1).·BE=15m,EG=6m,∴.BG=BE+EG=21m 在Rt△ABG中，∠ABG=90°，∠AGB=30°， AB=BG·tan30°=21x 3 =7√3≈12.1(m), .楼AB的高度约为12.1m (2)在Rt△FEG中，∠FEG=90°，∠FGE=30°， 3 六EF=BG·tan30°=6x3=25(m). 在Rt△FEH中，∠FEH=90°，∠FHE=60°， .∴.AE=EF_2W3=2(m), tan60°√5 .∴.HC=HE+EC=2+14=16(m). 在Rt△DCH中，∠DCH=90°，∠DHC=60°， .∴.DC=HC·tan60°=16√3≈27.7(m). .楼CD的高度约为27.7m. 第五章四边形 第一节多边形与平行四边形 必备知识·夯根基 ①(n-2)·180°②360°③360 ④中心对称⑤轴对称 ⑥两条对角线的交点⑦相等⑧相等⑨互相平分 0平行且相等 重难突破·提能力 【例1】证明：在口ABCD中，O为对角线的交点， .OB=OD,AD∥BC, .∴.∠OED=∠OFB,∠ODE=∠OBF. 在△OED和△OFB中， (∠OED=∠OFB, ∠ODE=∠OBF,∴.△OED≌△OFB(AAS),∴.OE=OF OD=OB, 2 变式1(1)24(2)24 变式2解：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AD=BC,OA=OC. EF⊥AC,.AE=CE ·:△BEC的周长是10 .BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10. .□ABCD的周长为2×(BC+AB)=20. 【例2】证明：四边形ABCD是平行四边形 .AD∥BC,AD=BC. AE=CF..'.AD-AE=BC-CF..'.DE=BF. .DEBF,.四边形BEDF是平行四边形 变式解：四边形BEDF是平行四边形.理由如下： 方法一：.·四边形ABCD是平行四边形 ,∴.AB=CD,AD∥BC,∴.∠AEB=∠CBE. BE平分∠ABC,.∠ABE=∠CBE, ∴.∠ABE=∠AEB,∴.AB=AE. 同理可得CF=CD. .'AB=CD,∴.CF=AE,∴.BF=DE. 又，BFDE,.四边形BEDF是平行四边形. 方法二：.·四边形ABCD是平行四边形. ..AD∥BC,∠ABC=∠ADC,.·.∠EDF=∠CFD .·BE平分∠ABC,DF平分∠ADC. ·CBE=L )∠ABC,∠ADF=1∠ADC, ..∠CBE=∠ADF=∠CFD,.BEDF. .DEBF,.四边形BEDF是平行四边形 方法三：四边形ABCD是平行四边形， .∴.AD∥BC,∠ADC=∠ABC, .∠DEB+∠EBF=180°，∠EDF+∠BFD=180° BE平分∠ABC,DF平分∠ADC, ∴.∠EBF=∠EDF,∴.∠DEB=∠BFD .四边形BEDF是平行四边形. 核心考点·分类练 1.B2.A3.B4.50°5.B6.C7.28.24 9.解：四边形ABCD是平行四边形， .BC∥AD,BC=AD=5,.∠D=∠FCE. E是CD的中点，∴DE=CE. 在△ADE和△FCE中 ∠D=∠FCE, DE=CE. .△ADE≌△FCE(ASA), (∠AED=∠FEC, .FC=AD=5,.BF=BC+FC=5+5=10. 10.D11.AD∥BC(答案不唯一) 12.解：(1)选择①，证明如下..·∠B=∠AED,.BCDE. .AB∥CD,·.四边形BCDE为平行四边形 选择②，证明如下.·AE=BE,AE=CD,·.BE=CD. .·AB∥CD,∴.四边形BCDE为平行四边形 (2)由(1)可知四边形BCDE为平行四边形， ∴.DE=BC=10. .·AD⊥AB,∴.∠A=90° 由勾股定理，得AE=/DE2-AD2=/10-82=6. 即线段AE的长为6. 13.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.0A=OC,OB=0D BE=FD...OB-BE=OD-FD...OE=OF. 又.OA=OC, .四边形AECF是平行四边形微专题九解直角三角形实际应用常考模型 模型一“背靠背”型 特点 两个直角三角形有一条公共的直角边，另两条直角边在公共边两侧 模型图示 等量关系：CD为公共边，AD+BD=AB D 若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD,构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是 解题思路 解题的关键 过点C作CH∥AB,过，点A作AH⊥CH于点H, 得Rt△BCD,Rt△ACD,矩形CHAD,CH=DA, C(E CD=HA,BD+HC=AB 图形演变 B 连接CE,DF,得Rt△ACD,Rt△BEF, 矩形CDFE,CD=EF,CE=DF, 将△BEF沿直 AD+CE+BF=AB 线AB方向平移A 针对训练 1.(2025·内江)在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔AD的高度（如图 甲).他们设计了如下方案：如图乙，点B,D,C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A 的仰角（∠ABD)为45°，在C处测得桥塔顶部A的仰角（∠ACD)为30°，又测得BC=80m,AD⊥ BC,垂足为D,求桥塔AD的高度（结果保留根号）. 2.为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD,斜面坡度i=3:4 是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD的长度为20m,∠C=18°，求斜坡AB 的长.（结果精确到1m.参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） =3:4 129 模型二“母子”型 特点 两个直角三角形有一条公共的直角边，另两条直角边在公共边同侧且共线 模型图示 等量关系：BC为公共边，DC+AD=AC 11X2 D 若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC,构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边 解题思路 BC是解题的关键 当，点D在△ABC 内部时 过点D作DE⊥AC,DF⊥BC,得Rt△ABC, Rt△DBF,Rt△DME,矩形DFCE,DE=FC DF=EC,BF+DE=BC,AE+DF=AC 图形演变1 过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于，点E,过点 M DA作AF∥BC,交ED的延长线于点F,得Rt△ABC, Rt△DBE,Rt△BCM,矩形ACEF,AF=CE, 当，点D在△ABCB E AC=FE.BC+AF=BE 外部时 当点E在CB的 E 延长线上时 得Rt△ABC,Rt△DEC,∠C为公共角 A B 图形演变2 得Rt△ABC,Rt△DEC,∠C为公共角 当点E在线 D 段CB上时 过点A作BC的平行线与BD的延长线交于 点F,过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点 C G,得Rt△ABC,Rt△BDC,Rt△ADF, Rt△BFG,矩形AFGC,AC=FG,AF=GC G AD+DC=FG,BC+AF=BG 针对训练 3.(2025·达州改编)为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利 C 用无人机指引工作人员清理湖中垃圾.已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所 乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处， 30450 测得无人机的仰角为45°，则无人机离湖面的高度为 米（结果不取近似值） 4.(2024·山西改编)如图，点A是某纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面 令y 的距离.航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点 4 C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水 C D 平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米.已知图中 各点均在同一竖直平面内，E,A,B三点在同一直线上.请根据上述数据，计算纪念M 碑顶部点A到地面的距离AB的长为米.（结果精确到1米.参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33) 130 模型三“拥抱”型 特点 两个直角三角形有一条公共的直角边，另两条直角边在公共边同侧且不共线 D 模型图示 等量关系：在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC 解题思路 分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键 0 D将△DEF沿 D BC方向平移 A 当点F与点A C重合时 图形演变 B F C B C(F)E B(F) C(E 得Rt△ABC,Rt△DEF, 得Rt△ABC,Rt△DEF, BF+FC+CE=BE BC+EF=BE 针对训练 5.(2025·泸州)如图，在水平地面上有两座建筑物AD,BC,其中BC=18m.从A,B之间的E点(A, E,B在同一水平线上)测得D点，C点的仰角分别为75°和30°，从C点测得D点的仰角为30°， (1)求∠CDE的度数. (2)求建筑物AD的高度.（计算过程和结果中的数据不取近似值） 30C 75230 B 6.如图，小明和小亮周末到某广场测量两栋楼AB和CD的高度，小明将木杆EF放在楼AB和CD之 间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G处(A,F,G三点在一条直线上)，测得楼AB顶部的仰角 ∠AGB=30°，再将测角仪放在H处(D,F,H三点在一条直线上)，测得楼CD顶部的仰角∠DHC= 60°，同时测得BE=15m,CE=14m,EG=6m.(点A,B,C,D,E,F,G,H均在同一平面内，结果精 确到0.1米，3≈1.732) (1)求楼AB的高度. (2)求楼CD的高度. HE 131