第4章 第7节 锐角三角函数及其应用-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

第七节 锐角三角函数及其应用 。必备知识·夯根基。 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A为△ABC中的一锐角，则有 锐角三 ∠A的正弦：simA=乙A的对边 斜边 ① 角函数 ∠A的余弦：cosA= ∠A的邻边 -② 的定义 斜边 ∠A的正切：tanA= ∠A的对边=③ 图1 ∠A的邻边 30° 45° 60% 三角板记忆法 三角函数 特殊角 1 sin a ② ④ 2 2 2 601 的三角 B40°C 3 2 1 3 函数值 cos a 2 2 2 451 tan a ⑤ ⑥ ⑦ B45°」 1 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90 锐角三角函数及其应 1.三边关系（勾股定理）：a+⑧ c3 2.两锐角关系：∠A+⑨ =90° B D 边角关系3.边角关系：sin A=cosB=“ -cos A=10 b h 图2 解直角 tanA=① tan B= a 三角形 261 1 4.面积关系：S△ABc 1.已知斜边和一个锐角，求其他边和角 2.已知一直角边和一个锐角，求其他边和角 基本类型 3.已知斜边和一直角边，求其他边和角 4.已知两条直角边，求其他边和角 1.仰角、俯角：如图3，图中仰角是② 俯角是B 北 铅 ,视线 45°30% h 锐角三角函数 垂 -…水平线 O 线 、视线 60°B 东 的实际应用 图3 图4 图5 2.坡度（坡比）、坡角：如图4，坡角为④ ,坡度（坡比）i=tana=⑤ 3.方向角：如图5，A点位于0点的北偏东30°方向，B点位于0点的⑥ 方向，C点位 于0点的⑦ 方向 123 核心考点·分类练。 考点一锐角三角函数及解直角三角形 (3)已知∠，∠B,∠0都是锐角，tana= 3’ 1.(2025·广西)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= 7,AC=3,则sinB= tanB=7,∠a+∠B=∠0，求tan6的值， 4、> ·10 B 3 1 C. 10 0.1 (提示：在正方形网格中画出求解过程的图 形，并直接写出答案) 2.(2025·天津)tan45°-√2cos45°的值等于 A.0 B.1 C.1 2 D.1-√2 3.（2024·临夏州)如图，在 △ABC中，AB=AC=5,sinB= 5,则BC的长是 4 A.3 B.6 C.8 D.9 4.(2025·威海)问题提出 考点二锐角三角函数的实际应用 已知∠a&,∠B都是锐角，tana三)，anB三3 类型①坡度、坡角问题 5.(2025·资阳)如图，已知水平地面AM上方有 求∠a+∠B的度数 一个水平的平台BN,该平台上有一个竖直的 问题解决 建筑物CD.在A处测得建筑物顶端C的仰角 (1)如图，小亮同学在边长为1的正方形网格 为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB 中画出∠BAD和∠CAD,请你按照这个思路求 ∠α+∠B的度数.（点A,B,C,D都在格点上) 的坡度i=1:3,AB=10√10米，CD⊥BD.(点 A,B,C,D在同一竖直平面内) (1)求平台BN的高度. (2)求建筑物的高度（即CD的长）： 备用图 i=1:3 B /60 A30 备用图 策略迁移 (2)已知∠a,∠B都是锐角，tan= 3,tan B= 则La+Lg= 3 124 类型②仰角、俯角问题 5J22° 6.(2025·湖北)如图，甲、乙两栋楼相距30m 从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°，A到 厚德楼 地面的距离为18m,求乙楼的高.（参考数据： 博学 tan35°≈0.7) 142 B 18 30m 类型③方向角问题 8.(2025·烟台)【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在 烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解 渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展 了实践探究活动： 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的 7.(2025·青岛)学校综合实践小组测量博学楼 速度向码头A航行，小组同学收集到以下 的高度.如图，点A,B,C,D,E在同一平面内， 信息： 点B,C,D在同一水平线上，一组成员从19米 码头A在灯塔B北偏西14°方向 高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯 14:30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方 位置 角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底 向的C处 信息 部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测 15:00时，渔船航行至灯塔B东北方向的 得博学楼顶部E的仰角为42°，求博学楼DE D处 8,c0s22°≈15 3 的高度.（参考数据：sin22°≈ 天气 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头 16 预警 A附近海域将出现浓雾天气，请注意防范 tan22°≈2 sin420≈27 0c0s42°≈ 3 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短 tan42°≈ 9 10 距离 125 (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件 能否在浓雾到来前到达码头A.(参考数据： 合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合.示意图 sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 如图4，⊙0分别与AC,AD相切于点B,D.用 sin14°≈0.24，c0s14°≈0.97，tan14°≈0.25) 游标卡尺测量出CC的长度y. 码头 北 D 北 →东 烟台山灯塔 图3 图4 【问题解决】 已知∠CAD=∠C'A'D'=60°，L的长度要求是 1.9cm~2.1cm. (1)求∠BAO的度数 (2)已知钢柱的底面圆半径为1cm,现测得 y=7.52cm.根据以上信息，通过计算说明该 部件1的长度是否符合要求.（参考数据：√3≈ 1.73) 【结果反思】 (3)本次实践过程借助圆柱将不可测量的长 度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他 几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说 类型④其他问题 明理由。 9.(2025·山东)【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启 了小行星伴飞取样探测的新篇章.某校航天 兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型， 其中某个部件使用3D打印完成，如图1。 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直 接测量，需要设计一个可以得到的长度的方 案，以检测该部件中（的长度是否符合要求。 10.（2024·山东)【实践课题】测量湖边观测点 A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离 正面 图1 图2 【方案设计】 A 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法， 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况， 的钢柱（圆柱） 在岸边选取合适的点B.测量A,B两点间的 126 距离以及∠PAB和∠PBA,测量三次取平均 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出 值，得到数据：AB=60米，∠PAB=79°， 了另一种方案： ∠PBA=64°.画出示意图，如图1 如图2，选择合适的点D,E,F, (问题解决】(1)计算A,P两点间的距离 使得A,D,E在同一条直线上， (参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98， 且AD=DE,∠DEF=∠DAP,当 cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75) F,D,P在同一条直线上时，只需 测量EF即可. 图2 (2)乙小组的方案用到了 (填写正确答案的序号) 图1 ①解直角三角形 ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对 于实际测量，要根据现场地形状况选择可实 施的方案 。当堂达标检测。 1.(2024·天津)√2c0s45°-1的值等于( 的值为 A.0 B.1 D.√2-1 2V2 A B.3 ② C. 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12,∠A= 3 4 D写 45°，则BC的长为 5.(2025·绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水 A.12 B.122C.6 D.62 坡AB的斜面坡度i=1:√2（斜面坡度是指坡 3.(2024·淄博)如图，在综合与实践活动课上， 面的铅直高度BC与水平宽度AC的比)，堤坝 小强先测得教学楼在水平地面上的影长BC 高BC=15m,则迎水坡面AB的长度 为35m,又在点C处测得该楼的顶端A的仰 是 角是29°.则用科学计算器计算教学楼高度的 按键顺序正确的是 ( 6.(眉山中考)一渔船在海上A处测得灯塔C在 00 它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行 C 12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏 A.3⑤×tan2⑨= 东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则 B.3⑤atan2⑨= 渔船与灯塔C的最短距离是 海里 C.35☒sin2⑨=☐ D.3⑤☒co32⑨= 4.（2025·深圳)如图为人行天桥的示意图，若 60 高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA 127 7.（2025·成都)在综合与实践活动中，某学习8.(2025·威海)小明同学计划测量小河对面一 小组用无人机测量校园西门A与东门B之间 幢大楼的高度AB.测量方案如图所示：先从自 的距离.如图，无人机从西门A处垂直上升至 家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角 C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后 ∠2的度数，大楼底部点A的俯角∠1的度 沿AB方向飞行60米到达D处，在D处测得 数.然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部 西门A的俯角为63.4°.求校园西门A与东门 点B的仰角∠3的度数.若∠1=45°，∠2= B之间的距离.（结果精确到0.1米；参考数 52°，∠3=65°，CD=10m,求大楼的高度AB. 据：sin63.4°≈0.89，c0s63.4°≈0.45， (精确到1m)参考数据：sin52°≈0.8， tan63.4°≈2.00，√3≈1.73) cos52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9， c634D c0s65°≈0.4，tan65°≈2.1 309 D A 请完成“复习作业本”P48~P49 128BE= 3AB=23,DF= 3 CD= 4√3 3 83 ∴.AE=2BE=43,CF=2DF= 3 .·∠AEP=∠CFP=∠APC=120°， .∴.∠EAP+∠APE=∠APE+∠CPF=60°， .∠EAP=∠CPF, △EPA∽△FCP,PFFC AE EP 设EP=x,则PF=a 103 3x, 43 x2- /10W3 - x+32=0. 10W585 3 a-- 3 3 点P有且只有1个点符合要求，…△=0， 4×1×32=0. 10√3 .'a>0,.a= +82 3 第七节锐角三角函数及其应用 必备知识·夯根基 ⑥1⑦3⑧b b ⑨LB国nB①geL1B∠2La6 6南偏东60°⑦北偏西45°（或西北） 核心考点·分类练 1.B2.A3.B 4.解：(1)如图1，连接BC 由题意，知∠BAD=∠a,LCAD=∠B. .·AB=BC=/12+22=√5」 AC=+32=√10， .AB2+BC2=AC2, 图1 .∠ABC=90°，△ABC是等腰直角三角形， .∴.∠BAC=45°，.∴.∠a+∠B=45° (2)90[提示]如图2， 由题意知，iana=tam∠BAD=2 3 3 tan B=tanL DAC=2 ·.AB=AC=√22+32=√13， C BC=√12+5=√26 图2 .AB2+AC-=BC2 ∠BAC=90°，△ABC是等腰直角三角形， .∠N+∠B=∠BAD+∠DAC=∠BAC=90° (3)如图3. 图3 2 由题意知，ma=an∠GDH={,mB=an∠HDF- 1 7 ..∠a=∠GDH,∠B=∠HDF. .·∠ax+∠B=∠0，∴.∠0=∠GDH+∠HDF=∠GDF DG=√/22+6=210，GF=√12+32=√/10， DF=√J1+77=52, .DG2+GF2=DF2,.△DGF是直角三角形， GF√101 .'.tanO=tan∠GDF= DG2√/102 5.解：(1)如图，过点B作BE⊥AM于点E, 由斜坡B的城度为1：，得能；AB=3配 在Rt△ABE中，AB2=BE+AE,即(10√10)2=BE2+(3BE)2, 解得BE=10. 答：平台BN的高度为10米. B608 is1:3 4∠30 E (2)如图，延长CD交AM于点F,则CF⊥AM, .四边形BEFD为矩形，∴.DF=BE=10米，BD=EF. 设CD=x米，则CF=(x+10)米， 在Rt△ACF中，∠CAF=30°， tam∠cAf-CE3+10 AF心3=AF,Af=3(x+10)米 在Rt△CBD中，∠CBD=60°. tan∠CBD3r米，EF= ·.BD= 3x米 由(1)可知AE=3BE=30米， 5(410)-=0,解得=158-15 答：建筑物的高度为(153-15)米. 6.解：由题意，知AC⊥BC. 在Rt△ABC中，∠BAC=35°，AC=30m, .BC=AC·tan35°≈30×0.7=21(m),21+18=39(m). 答：乙楼的高为39m. 7.解：如图，过点E作EF⊥AB于点F 22° 2 德下 博学楼 ○3 B 42°D 由题意，得∠1=∠2=22°，∠3=42°，BC=15米，AB=19米. .·∠D=∠EFB=∠B=90°， .四边形FBDE是矩形，.FB=DE,EF=BD, 在Rt△AFE中，：tan∠2= AFAF 2 EF·EF5· .设AF=2x米，则EF=5x米， ∴.CD=BD-BC=EF-BC=(5x-15)米，BF=ED=AB-AF= (19-2x)米. 在R△ECD中，：an∠3= CD 9_19-2x 六105x-15,解得x=5,DB=19-2x5=9(米). 答：博学楼DE的高度为9米 8.解：(1)如图，过点B作BE⊥AC于点E.设BE=x. 依题意，得∠EBC=53°，∠EBD=45°，AE D C ∴.∠C=90°-∠EBC=37°，ED=x, .∴.EC=ED+DC=x+5. BE 4 在Rt△BCE中，：EC= tan C tan37°0.75-3x, 4 3x=x+5,解得x=15 ∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里。 (2)在Rt△ABE中，.：∠ABE=14°，BE=15, .∴.AE=BEtan14°≈15×0.25=3.75， ..AC=AE+DE+DC=3.75+15+5=23.75 23.75÷10=2.375时=142.5分， 从14：30经过142.5分是16：52：30， 在17：30之前能到达， ,不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A 9.解：(1).·⊙0分别与AC,AD相切于点B,D 六∠0BA=90°，∠0AB=∠0AD= 2 ∠CAD=30°. (2).:钢柱的底面圆半径为1cm,.BC=OB=1cm. ∠0AB=30°，∠0BA=90°，.AB= m. .AC=BC+AB=(1+√3)cm, 同理A'C'=(1+√3)cm, .∴.l=7.52-2(1+√3)≈2.06(cm). 1.9<2.06<2.1,∴.该部件l的长度符合要求 (3)能，将圆柱换成正方体 [提示]如图.设正方体的棱长为a, 用游标卡尺测量出CF的长度y, ∴.BC=BD=a. .:∠CAD=60°， .AB=-BD_3a lan60°3，AC=a+ 3a 3 9） 2(3+√3)a 3 10.解：(1)如图，过点B作BH⊥AP于点H. .'AB=60米，∠PAB=79°，sin79°≈0.98， c0s79°≈0.19， .AH=AB·c0s79°≈60×0.19=11.4（米）， HE BH=AB·sin79°≈60x0.98=58.8(米). .∵∠PAB=79°，∠PBA=64°， .∠APB=180°-79°-64°=37°， ,∴.tan∠APB=tan37° 05. m-g度4（米） .∴.AP=AH+PH≈11.4+78.4=89.8（米）， 即A,P两点间的距离为89.8米. (2)② 2 当堂达标检测 1.A2.D3.A4.D5.153m6.(63+6) 7.解：由题意，得∠CAB=∠ACD=90°，∠ABC=30°，∠CDA= 63.4°，CD=60米. 在Rt△ACD中，AC=CD·tan63.4°≈120米. 在R△ABC中，AB=,AC =1203≈207.6米 tan30° 答：校园西门A与东门B之间的距离约为207.6米 8.解：如图，过点C作CG⊥AB于点G,过点D作DH⊥AB于点 H,则四边形CDHG是矩形， .GH=CD=10 m,CG=DH. B ∠1=45°，.CG=AG. 设CG=AG=DH=xm. 在Rt△BCG中，.∠2=52°， .BG=CG·tan52°≈1.3xm. 在Rt△BDH中，：∠3=65°， .BH=DH.tan65°≈2.lxm, H .GH=BH-BG=2.1x-1.3x=10, A ..x=12.5, ..AB=BG+AG=1.3×12.5+12.5≈29(m). 答：大楼的高度AB约为29m. 微专题九解直角三角形实际应用常考模型 1.解：设AD=xm, .AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC=90 在Rt△ABD中，∠ABD=45°， AD tan∠ABD tan45o=m. .BD= 在Rt△ACD中，∠ACD=30°， AD an∠ACD tan30=V3xm .CD=- BC=BD+CD=80 m, .x+3x=80,解得x=40√3-40 .AD=(403-40)m. 答：桥塔AD的高度为(403-40)m. 2.解：如图，过点D作DE⊥BC于点E, 则四边形ADEF是矩形. AD =3:4 在Rt△DEC中，CD=20m, B FE ∠C=18°， .DE=CD·sinC=20×sin18°≈20x0.31=6.2(m), .AF=DE≈6.2m. BF4在R△ABF中， AF 3 A8=VaFr8p-4P=}62-10m. 答：斜坡AB的长约为10m. 3.(153+15)4.27 5.解：(1)如图1所示，过点C作CH⊥AD于点H,则∠DHC=90° 由题意，得∠DCH=30°，∠AED=75°，∠DAE=90°， ∴.∠CDH=180°-∠DCH-∠DHC=60°，∠ADE=180°- ∠AED-∠DAE=15°、 .∠CDE=∠CDH-∠ADE=45. 3