第4章 微专题8 相似三角形中的常考模型-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

微专题八相似三角形中的常考模型 模型一“A”字型 模型依据 相似三角形的判定定理（有两个角对应相等或两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似） B 衍生模型 “A”字型的变形 条件：DEBC 条件：∠AED=∠B或1DAB 条件：∠D=∠B,∠DAB=∠CAE AC AB 结论：△AED△ABC 结论：△AED∽△ACB 结论：△AED∽△ABC 特征 “A”字型图形的两个三角形有一个“公共角” 证明过程 再找一对相等的角或夹这个公共角的两边对应成比例，就可证明这两个三角形相似 针对训练 3.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC 1.(2025·云南)如图，在△ABC 上，连接DE. 中，已知D,E分别是AB,AC边 (1)若AD·AB=AE·AC.求证：△ADE D 上的点，且DBaC名0}则 △ACB. (2)若AB=8,AC=6,AD=3,直接写出：当 DE三 AE= 时，△ADE与△ACB相似： BC B c 0.5 2.如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E,BD⊥AC于 点D,连接ED.求证：△ADE∽△ABC. 118 模型二“8”字型 模型依据 相似三角形的判定定理（有两个角对应相等或两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似） 衍生模型 D “8”字型的变形 条件：AB∥CD 条件：∠C=∠B或∠A=∠D 条件：∠B=∠C 结论：△AOB∽△DOC 结论：△AOB∽△DOC 结论：△ABF∽△ACE,△BEG∽△CFG 特征 两个三角形有一个公共顶点，且夹这个角的两边互为延长线 证明过程 再证另一组对应角相等或夹这个角的两边对应成比例 针对训练 5.如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 4.如图，点D,C分别在AB,AE上，BC交DE于 相交于点O,AC=4,BD=8,点E在边AD上， 点F,∠ADE=∠ACB,BD=8,CE=4,CF=2. AE=了4D,连接BE交AC于点M (1)求证：△BDF∽△ECF (1)求AM的长， (2)求DF的长. (2)求tan∠MBO的值： 模型三“母子”型 模型依据 相似三角形的判定定理（有两个角对应相等或两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似） 衍生模型 “双垂线”型 “母子”型的变形 △ABC∽△ACD或 △ABC∽△ACD或 △BCD∽△BAC或 △ABC∽△EBA △BCD∽△BAC △ACD∽△CBD 特征 “母子”型图形（通常有一个公共顶点），由于小三角形包含在大三角形中，故称为“母子”型 证明过程 再找一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例 119 针对训练 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB 6.如图，在△ABC中，∠ABD=∠C.若AB=4, 上.具2 AD=2,则DC边的长是 (1)求证：△ACD△ABC. D (2)已知AD=3,BD=2,求CD的长. A.2 B.4 C.6 D.8 7.如图，已知等腰三角形ADC中，AD=AC,B是线 段DC上的一点，连接AB,且有AB=DB. (1)求证：△ADB∽△CDA, (2)若DB=2,BC=3,求AD的值. 模型四“手拉手”型 模型依据 相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似） (1)△ADE∽△ABC,△ADB∽△AEC; 衍生模型 (2)两条拉手线BD,CE交于点F,则∠BFC=∠BAC 非等腰：AB≠AC,AD≠AE 特征 共项点：线段AB,AC,AD,AE交于点A 项角相等：∠BAC=∠DAE 证明过程 根据旋转角转换及线段成比例证明三角形相似 针对训练 : A.5:3 9.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED= B.4:3 90°，∠ABC=∠ADE,连接BD,CE,若AC: C.5:2 BC=3:4,则BD:CE为 (） D.2:√3 120 10.如图，在△OAB和△OCD中，∠AOB=11.完成下列各题： ∠C0D=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接 (1)问题背景：如图1，已知△ABC∽△ADE, AC,连接BD并延长，分别交AO于点E,交 求证：△ABD∽△ACE. AC于点M. (2)尝试应用：如图2，在△ABC和△ADE中， (1)》求S的值 ∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=60°， (2)求证：AM⊥BM. AC与DE相交于点F,点D在BC边上，DF F1 等求品的直 23 图1 图2 模型五“一线三等角”型 模型依据 相似三角形的判定定理（有两个角对应相等的两个三角形相似）》 D 衍生模型 人aa E E B D △DBE∽△ECF △ABD∽△DCE △ABC∽△CED △ACP∽△BPD (1)三，点在一条直线上，且这条线上有三个角相等； 特征 (2)一般会有两个三角形的“一组对应角相等” 证明过程 利用三角形外角性质得出这两个三角形的另外一组对应角也相等 针对训练 (2)若AB=6,CD=2BD,求CF的长 12.如图，D是等边三角形ABC的边BC上一点， 连接AD,以AD为边作等边三角形ADE,DE 与AC交于点F (1)求证：△ABD∽△DCF. 121 13.如图，在等边三角形ABC中，P是边BC上的14.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD=5,AB= 动点（点P不与端点重合），作∠DPE=60°， DC=2,P为AD上一点，且满足∠BPC=∠A. PE交边AC于点E,PD交边AB于点D. (I)求证：△APB△DCP. (1)求证：△BPD△CEP. (2)求AP的长. (2)已知AB=10,BD=3,CP:BP=1:4,求 CE的长 模型六“三垂直”型 模型依据 相似三角形的判定定理（有两个角对应相等的两个三角形相似） 衍生模型 B F “一线三直角”的特殊情况 △ABG∽△FCD,△EFG∽△CFD, △EBF∽△FCG △ABE∽△ECD △EFG∽△BAG 特征 在一条直线上，有三个直角 证明过程 根据“等角的余角相等”得到另外一组对应角相等 针对训练 16.如图，点P是线段BD上的一个动点，∠B= ∠D=90°，AB=6,CD=4,BD=a. 15.如图，正方形ABCD的边长等于√3，点P是 BC边上的一个动点，∠APB,∠APC的平分 (1)当∠APC=90°，a=14时，求BP的长 线PE,PF分别交AB,CD于E,F两点，连 (2)当∠APC=120时，点P有且只有一个点 接EF. 符合要求，求a的值 (1)求证：△BEP∽△CPF. (2)当∠PAB=30°时，求△PEF的面积 122(2)如图2中，△ABC即为所求 (3)如图3中，△ABC即为所求. 5.解：如图，点P即为所求. D 0 6.解：作∠DAB的平分线AM,以E为顶点，ED为一边作 ∠DEN=∠C,EN交AM于点P,如图. 微专题七根据作图痕迹计算或证明 1.A2.A3.A4.C5.12 6.解：(1)由题意，知AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD. ,CD∥AB,∴.∠ADC=∠BAD .∴.∠ADC=∠CAD,.CA=CD AC=4,.CD=4. (2)由题意，知PQ垂直平分AC,∴.FA=FC. :∠BAC=60°，.△ACF为等边三角形， ∴.AF=AC=4. AC=2AB=4,.AB=2, .∴.BF=AF-AB=4-2=2. 由(1)知，CD=4,CD∥AB, ∴.∠BFG=∠DCG,∠FBG=∠CDG. △mGa0c85-子号 7.(1)SSS全等三角形的对应角相等 「提示1根据作图，可得AO=BO, ∠BP0=90°，∴.∠AP0=180°-90°=90°， ..∠BPO=∠APO. 在Rt△AOP与Rt△BOP中， (OP=OP,:.Rt△AOP≌R△BOP(HL), (A0=B0, .∠AOP=∠BOP,.OP平分LAOB. (2)证明：.∠AED=∠AOB, .∴.ED∥OB,.∴.∠EPO=∠BOP. ·EP=EO,∴.∠EPO=∠EOP ·.∠BOP=∠EOP,.OP平分∠AOB 第六节图形的相似（含位似） 必备知识·夯根基 ①k②行③号④华6院⑥成比制⑦相等 d ⑧成比例⑨相似比O相似比的平方①相等②成比例 B相似比①4相似比的平方⑤两角6夹角 ⑦对应成比例⑧对应成比例 核心考点·分类练 1B2 3.B4.B5.∠ADE=∠C(答案不唯一) 62号7B818.29B10（10,2) 24 2 当堂达标检测 1.B2A3.449520 6.解：(1)如图，点D即为所求.由图可得点D的坐标 为(-2，-1). ↑y (2)如图，△A,B,C,即为所求。 7.证明：·BE=3,EC=6,.BC=9 :四边形ABCD是正方形， ..AB=CB=9,∠B=∠C=90°. AR9=3 WE3 AB BE ·EC6=2'CF=2ECCF 又.·∠B=∠C=90°，.△ABE∽△ECF. 微专题八相似三角形中的常考模型 1.A 2.证明：BD⊥AC,CE⊥AB,.∠ADB=∠AEC=90° 又∠A=∠A,△ABD∽△ACE, 、ADAg即AD-Ag ·AEAC'ABAC 又.∠A=∠A,△ADE∽△ABC. 3()证明AD·AB=AE·ACCE 又.·∠A=∠A,∴.△ADE∽△ACB. (2)4或9 [提示]若△ADE一△ACB,则P-4E,即3_AE AC AB' 68AE=4: 若△ADB一△ABC,则DS即3-4E AB AC' 86A=9 综上，当AE=4或？时，△MADE与△4CB相似 4.(1)证明：：∠ADE=∠ACB,.∠BDF=∠ECF 又.·∠BFD=∠EFC,.△BDF∽△ECF (2)解：：△BDF∽△ECF,DF:CF=BD:EC,即DF:2= 8:4,.DF=4. 5.解：(1)四边形ABCD是菱形，.AD∥BC,AD=BC, AM AE ·△AEM∽△CBM,.CMBC AE=3 AD,..AE=BC Ci写Aw=号cM=4Ac-=1 AM AE 1 (2)四边形ABCD是菱形， 。AC=2,B0=。BD=4,A0 ..∠BOM=90° 由(1)知AM=1,.OM=1, ∴.tan∠MB0= OM 1 BO 4 6.C 7.(1)证明：AD=AC,.∠D=∠C. ,AB=DB,∴.∠D=∠DAB,.∠DAB=∠C 又.：∠D=∠D,∴.△ADB∽△CDA AD DB (2)解：由(I),知△ADB△CDA,CDDA DB=2,BC=3,.CD=5, .AD2=DB·CD=2×5=10. .AD=√I0(负值已舍去) 8(①证明：化-AG,2A=LA,心△4CD一△AB0 (2)解：：△ACD△ABC,∴∠ACD=∠B. ∠ACB=90°，∠A+∠B=90°， ∴.∠A+∠ACD=90°， .∠ADC=90°，∴.∠ADC=∠BDC. 又：∠ACD=∠B,.△ACD∽△CBD, ·品品即品受m-6(灸配合去 9.A 10.(1)解：.∠A0B=∠C0D=90° ∴.∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD. ,:∠OAB=∠OCD=30°，∠AOB=∠COD=90°， ODOB√3 .∴.tan∠OCD=tan∠OAB= OC OA 3' 0C0A3,点△40C∞△B0D, 6803 (2)证明：由(1)，知△AOC∽△BOD,∴.∠CAO=∠DBO. .·∠MEA=∠OEB,.∠AMB=∠AOB=90°， .AM⊥BM 11.(1)证明：△ABC∽△ADE, AB AC ,∠BAC=∠DAE, AD AE ∴.∠BAD=∠CAE AB AD ACAE△ABD△ACE (2)解：如图，连接EC .:∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC= ∠ADE=60°， .△ABC∽△ADE,AE=√3AD 由(1)知△ABD∽△ACE, 侣 =√3，∠ACE=∠ABC=∠ADE=60°， AE AD ·ECBD .·∠AFD=∠EFC,∴.△ADF∽△ECF, DF AD DF 23 DF AD 23 CF CE CF3·CFCE3, AD_AE=2. AD=2N3 CEAE=3AD=2CE,BD-EC 12.(1)证明：：△ABC和△ADE是等边三角形， ∴.∠B=∠C=∠ADE=60°. .:∠ADC=∠ADE+∠FDC=∠B+∠DAB, .∠DAB=∠FDC,.△ABD∽△DCF. (2)解：AB=6,CD=2BD,..BD=2,CD=4. 由(1D知△ABD△DCP,7CCP,即6=2 4CF' 解得CF=4 3 13.(1)证明：△ABC是等边三角形，.∠B=∠C=60°， .∠BDP=180°-∠B-∠BPD=120°-∠BPD. .·∠DPE=60°， .∠CPE=180°-∠DPE-∠BPD=120°-∠BPD, .∠BDP=∠CPE,.△BPD∽△CEP. (2)解：AB=10,CP:BP=1:4,.BC=10, Bm8C-=x10=8,CP=B=写×10=2 BP BD △BPD∽△CEP,CECP .CE-BP.CP_8x2_16 BD -33 14.(1)证明：在梯形ABCD中，AB=DC,.∠A=∠D. .∠ABP=180°-∠A-∠APB, ∠DPC=180°-∠BPC-∠APB,∠A=∠BPC, .∴.∠ABP=∠DPC,.△APB∽△DCP (2)解：由(1)，知△APB∽△DCP, 8C识得P1或-4 故AP的长为1或4. 15.(1)证明：四边形ABCD为正方形，.∠B=∠C=90° PE平分∠APB,PF平分∠APC, ∠APE=∠APB,∠APF=号∠AC. ∠APE+∠APF=2(∠APB+∠APC)=90°， ∴.∠EPF=90°， .∠EPB+∠BEP=∠EPB+∠FPC=90°， .∠BEP=∠CPF. 又.：∠B=∠C=90°，.△BEP∽△CPF. (2)解：∠PAB=30°，.∠BPA=60°，∴.∠BPE=30. 在Rt△ABP中，∠PAB=30°，AB=√3， .BP=1,PC=√3-1. 在Rt△BPE中，∠BPE=30°，BP=1, 3,EP23 BE= 3 由(1)，知△BEP△CPF, 323 BE EP 即33 CPPF5-1PF心PF=25-2, m-Epf-228-2》-2-2 1 3 16.解：(1).∠B=∠D=90°，∠APC=90°， ∴.∠A+∠APB=∠CPD+∠APB=90°， .∠A=∠CPD,△ABP∽△PDC, 肥品4 44P解得BP=2或P=12 故BP的长为2或12. (2)如图，作∠AEP=∠CFP=120°， .∴.∠AEB=∠CFD=60°. .AB=6,CD=4, BE= 3AB=23,DF= 3 CD= 4√3 3 83 ∴.AE=2BE=43,CF=2DF= 3 .·∠AEP=∠CFP=∠APC=120°， .∴.∠EAP+∠APE=∠APE+∠CPF=60°， .∠EAP=∠CPF, △EPA∽△FCP,PFFC AE EP 设EP=x,则PF=a 103 3x, 43 x2- /10W3 - x+32=0. 10W585 3 a-- 3 3 点P有且只有1个点符合要求，…△=0， 4×1×32=0. 10√3 .'a>0,.a= +82 3 第七节锐角三角函数及其应用 必备知识·夯根基 ⑥1⑦3⑧b b ⑨LB国nB①geL1B∠2La6 6南偏东60°⑦北偏西45°（或西北） 核心考点·分类练 1.B2.A3.B 4.解：(1)如图1，连接BC 由题意，知∠BAD=∠a,LCAD=∠B. .·AB=BC=/12+22=√5」 AC=+32=√10， .AB2+BC2=AC2, 图1 .∠ABC=90°，△ABC是等腰直角三角形， .∴.∠BAC=45°，.∴.∠a+∠B=45° (2)90[提示]如图2， 由题意知，iana=tam∠BAD=2 3 3 tan B=tanL DAC=2 ·.AB=AC=√22+32=√13， C BC=√12+5=√26 图2 .AB2+AC-=BC2 ∠BAC=90°，△ABC是等腰直角三角形， .∠N+∠B=∠BAD+∠DAC=∠BAC=90° (3)如图3. 图3 2 由题意知，ma=an∠GDH={,mB=an∠HDF- 1 7 ..∠a=∠GDH,∠B=∠HDF. .·∠ax+∠B=∠0，∴.∠0=∠GDH+∠HDF=∠GDF DG=√/22+6=210，GF=√12+32=√/10， DF=√J1+77=52, .DG2+GF2=DF2,.△DGF是直角三角形， GF√101 .'.tanO=tan∠GDF= DG2√/102 5.解：(1)如图，过点B作BE⊥AM于点E, 由斜坡B的城度为1：，得能；AB=3配 在Rt△ABE中，AB2=BE+AE,即(10√10)2=BE2+(3BE)2, 解得BE=10. 答：平台BN的高度为10米. B608 is1:3 4∠30 E (2)如图，延长CD交AM于点F,则CF⊥AM, .四边形BEFD为矩形，∴.DF=BE=10米，BD=EF. 设CD=x米，则CF=(x+10)米， 在Rt△ACF中，∠CAF=30°， tam∠cAf-CE3+10 AF心3=AF,Af=3(x+10)米 在Rt△CBD中，∠CBD=60°. tan∠CBD3r米，EF= ·.BD= 3x米 由(1)可知AE=3BE=30米， 5(410)-=0,解得=158-15 答：建筑物的高度为(153-15)米. 6.解：由题意，知AC⊥BC. 在Rt△ABC中，∠BAC=35°，AC=30m, .BC=AC·tan35°≈30×0.7=21(m),21+18=39(m). 答：乙楼的高为39m. 7.解：如图，过点E作EF⊥AB于点F 22° 2 德下 博学楼 ○3 B 42°D 由题意，得∠1=∠2=22°，∠3=42°，BC=15米，AB=19米. .·∠D=∠EFB=∠B=90°， .四边形FBDE是矩形，.FB=DE,EF=BD, 在Rt△AFE中，：tan∠2= AFAF 2 EF·EF5· .设AF=2x米，则EF=5x米， ∴.CD=BD-BC=EF-BC=(5x-15)米，BF=ED=AB-AF= (19-2x)米.