第4章 第5节 尺规作图-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

第五节 尺规作图 。必备知识·夯根基 类型 步骤 图示 原理 作一条线段 (1)作射线OP 圆弧上的点到圆心的 等于已知 (2)以点0为圆心，① 为半径作弧，交 距离等于半径 线段 OP于点A,OA即为所求线段 (1)以点0为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ∠α的两边于点P,Q g (2)作射线0'A 三边分别相等的两个 作一个角等 (3)以点0为圆心，OP长为半径画弧，交0'A于 三角形全等；全等三 于已知角 点M N B 角形的对应角相等； (已知∠a) (4)以点M为圆心，② 长为半径画弧，交 两点确定一条直线 01 步骤(3)中的弧于点N (5)过点N作射线O'B,∠AO'B即为所求角 (1)以点0为圆心，适当长为半径画弧，分别交 三边分别相等的两个 OA,OB于点N,M 作一个已知 三角形全等：全等三 (2)分别以点M,N为圆心，大于③ 的长 角的平分线 角形的对应角相等； 为半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点P 0 两点确定一条直线 规 (3)作射线OP,OP即为所求角的平分线 (1)分别以A,B为圆心，大于④ 的长为半 M 到线段两端点的距离 作线段的垂 径，在AB两侧画弧，两弧分别交于点M,N 相等的点在这条线段 直平分线 (2)过点M,N作直线，MN即为所求线段的垂直 的垂直平分线上；两 平分线 ∠N 点确定一条直线 (1)以点0为圆心，适当长为半径在点0两侧画 点在 弧，交直线1于A,B两点 木M 等腰三角形“三线合 直线 (2)分别以点A,B为圆心，大于⑤ 的长 01 ”;两点确定一条 过一 上 为半径在直线1上方画弧，交点为M B 直线 点作 (3)过点M,0作直线，M0即为所求垂线 已知 直线 (1)在直线1另一侧取点M 圆弧上的点到圆心的 的垂 (2)以点P为圆心，⑥ 长为半径画弧，交 距离等于半径；到线 点在 线 直线1于A,B两点 段两端点的距离相等 直线 外 (3)分别以点A,B为圆心，大于⑦ 的长 的点在这条线段的垂 为半径画弧，交点M同侧于点N 直平分线上；两点确 (4)过点P,N作直线，PN即为所求垂线 定一条直线 注意：把限定用没有刻度的直尺和圆规画图称为尺规作图 109 核心考点·分类练⊙ 考点一尺规作图 (2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F, 1.(2024·烟台)某班开展“用直尺和圆规作角平 AB=1,BC=2,求AF的长， 分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其 中射线OP为∠AOB的平分线的有 ( D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2024·山东)如图，已知∠MAN,以点A为圆 心，以适当长为半径作弧，分别与AM,AN相交 于点B,C;分别以B,C为圆心，以大于2BC的 长为半径作弧，两弧在∠MAW内部相交于点 考点二无刻度直尺作图 P,作射线AP.分别以A,B为圆心，以大于2AB 5.(2024·滨州)如图，在边长为1的正方形网 格中，点A,B均在格点上 的长为半径作弧，两弧相交于点D,E,作直线 DE分别与AB,AP相交于点F,Q.若AB=4, ∠PQE=67.5°，则F到AN的距离为 B (1)AB的长为 (2)请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格 中，画出以AB为边的矩形ABCD,使其面积为 3.(2025·青岛)已知：如图，D是∠AOB内部 一点 ,并简要说明点C,D的位置是如何找到的 2 求作：等腰△COE,使点C,E分别在射线OA, (不用证明)： OB上，且底边CE经过点D. 6.（2025·江西)如图，在6×5的正方形网格中， 点A,B,C均在格点上，请仅用无刻度直尺按 下列要求完成作图.（保留作图痕迹) (1)在图1中作出BC的中点. 。D (2)在图2中作出△ABC的重心 0 4.(2025·烟台)如图，BD是矩形ABCD的对角 线，请按以下要求解决问题： (1)利用尺规作△BED,使△BED与△BCD关于 直线BD成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）. 图1 图2 110 。当堂达标检测 1.(2024·河北)观察图中尺规作图的痕迹，可4.(2025·长春)图1、图2、图3均是4×3的网 得线段BD一定是△ABC的 格，其中每个小方格都是边长相等的正方形， 其顶点称为格点.只用无刻度的直尺，分别在 给定的网格中按下列要求作△ABC,使△ABC 的顶点均在格点上。 (1)在图1中，△ABC是面积最大的等腰三角形 A.角平分线 B.高线 (2)在图2中，△ABC是面积最大的直角三角形 C.中位线 D.中线 (3)在图3中，△ABC是面积最大的等腰直角 2.(2025·吉林)如图，在△ABC中，∠B=45°， 三角形 ∠A>∠ACB>∠B,尺规作图操作如下：(1)以 点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 BA,BC于点M,N;(2)以点C为圆心，BN长 为半径画弧，交边CB于点N':再以点N'为圆 图1 图2 图3 心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆 5.(2025·陕西)如图，已知∠A0B=50°，点C在 心的弧相交于三角形内部的点M';(3)过点 边OA上.请用尺规作图法，在∠AOB的内部 M'画射线CM'交边AB于点D.下列结论错误 求作一点P,使得∠AOP=25°，且CP∥OB.(保 的为 留作图痕迹，不写作法) INN' A.∠B=∠DCB B.∠BDC=90° C.DB=DC D.AD+DC=BC 3.(2025·湖南)如图，在△ABC中，BC=6,点E 6.(2024·青岛)已知：如图，四边形ABCD,E为 是AC的中点，分别以点A,B为圆心，以大于 DC边上一点. 。AB的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,直 求作：四边形内一点P,使EP∥BC,且点P到 AB,AD的距离相等。 线MN交AB于点D,连接DE,则DE的长是 ↓M 请完成“复习作业本”P44~P45 111同理△PHE中，HE=PH=1,∴.HG=HE+EG=1+1=2, .在Rt△PHG中，PG=√PH+HG=√+2=5. 【例2】54.√万 5.证明：如图，取AC的中点N,连接MW,DN. 点M为BC的中点， ,MN为△ABC的中位线， N,且MN=号a, .∴.∠B=∠NMC. 又：∠B=2∠C,∠NMC=2∠C, ..∠NMC=∠MDN+∠MND=2∠C. 又：DN为Rt△ADC斜边上的中线， .DN=NC-AN-AC, .∠MDN=∠C,.∠MND=∠C=∠MDN, 1 DM=MN DM=2AB..AB=2DM. 【例346c7号 【例4】证明：如图，延长AD至点H,使DH=AD,连接BH. :AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD. 又·∠ADC=∠HDB,AD=HD. .△ADC≌△HDB(SAS), .AC=BH,∠CAD=∠H. .·AE=EF,∴.∠EAF=∠AFE. ,·∠AFE=∠BFH,∴.∠H=∠BFH .∴.BF=BH..BF=AC. 8.解：如图，延长FE至点G,使得EG=EF,连接AG. 设正方形ABCD的边长为1，CF=x,则G BF=1-x. 点E是AB的中点， AE-BE=号 在△AEG和△BEF中， (AE=BE, ∠AEG=∠BEF,.∴.△AEG≌△BEF(SAS), EG=EF, ∴，AG=BF=1-x,∠EAG=∠EBF=∠BAD=90°， ∴D,A,G三点共线 ∠EFD=∠ADF,.GF=GD=1-x+1=2-x, B=cF=I-号 2 在Rt△BEF中，由勾股定理，得BF2+BE2=EF2, 解得x=3或x=1(舍去)，“CF=3 CF 1 在Rt△DFC中，tan∠CDF= DC 3 9.证明：如图，延长AF至点G,使得FG=AF 连接CG. ·点F是BC的中点，.BF=CF 又.AF=GF,∠AFB=∠GFC, B ∴.△ABF≌△GCF(SAS),∴.∠B=∠BCG. .·在□ABCD中，AB∥CD, .∠B+∠BCD=180°， .∠BCG+∠BCD=180°， .E,C,G三点共线 .·AE⊥CD且F为AG的中点， EF为Rt△AEG斜边上的中线，，AF=EF 第五节尺规作图 必备知识·夯根基 ①.②P0③2Mm④2B⑤24B⑥PW⑦2d 核心考点·分类练 1.D2.√2 3.解：如图，等腰△COE即为所作 A D 0 E B 4.解：(1)如图，△BED即为所求作的三角形 E (2)如图，：四边形ABCD是矩形， .AD=BC=2,AB=CD=1,AD∥BC,∠A=90°， .∠ADB=∠CBD. 由轴对称的性质，得∠EBD=∠CBD, .∠FBD=∠FDB,.FB=FD. 设AF=x,则DF=BF=2-x,.12+x2=(2-x)2, 解得=子AP= 4 5.解：(1)13 (2)取点E,F,得到正方形ABEF,AF交格线于点D,BE交 格线于点C,连接DC,得到矩形ABCD,即为所求. 6.解：(1)如图1，点D即为所求 (2)如图2，分别取BC,AC的中点D,E,连接AD,BE相交于 点O,则点O即为所求 图1 图2 当堂达标检测 1.B2.D3.3 4.解：(1)如图1中，△ABC即为所求. A B CC 图1 图2 图3 (2)如图2中，△ABC即为所求 (3)如图3中，△ABC即为所求. 5.解：如图，点P即为所求. D 0 6.解：作∠DAB的平分线AM,以E为顶点，ED为一边作 ∠DEN=∠C,EN交AM于点P,如图. 微专题七根据作图痕迹计算或证明 1.A2.A3.A4.C5.12 6.解：(1)由题意，知AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD. ,CD∥AB,∴.∠ADC=∠BAD .∴.∠ADC=∠CAD,.CA=CD AC=4,.CD=4. (2)由题意，知PQ垂直平分AC,∴.FA=FC. :∠BAC=60°，.△ACF为等边三角形， ∴.AF=AC=4. AC=2AB=4,.AB=2, .∴.BF=AF-AB=4-2=2. 由(1)知，CD=4,CD∥AB, ∴.∠BFG=∠DCG,∠FBG=∠CDG. △mGa0c85-子号 7.(1)SSS全等三角形的对应角相等 「提示1根据作图，可得AO=BO, ∠BP0=90°，∴.∠AP0=180°-90°=90°， ..∠BPO=∠APO. 在Rt△AOP与Rt△BOP中， (OP=OP,:.Rt△AOP≌R△BOP(HL), (A0=B0, .∠AOP=∠BOP,.OP平分LAOB. (2)证明：.∠AED=∠AOB, .∴.ED∥OB,.∴.∠EPO=∠BOP. ·EP=EO,∴.∠EPO=∠EOP ·.∠BOP=∠EOP,.OP平分∠AOB 第六节图形的相似（含位似） 必备知识·夯根基 ①k②行③号④华6院⑥成比制⑦相等 d ⑧成比例⑨相似比O相似比的平方①相等②成比例 B相似比①4相似比的平方⑤两角6夹角 ⑦对应成比例⑧对应成比例 核心考点·分类练 1B2 3.B4.B5.∠ADE=∠C(答案不唯一) 62号7B818.29B10（10,2) 24 2 当堂达标检测 1.B2A3.449520 6.解：(1)如图，点D即为所求.由图可得点D的坐标 为(-2，-1). ↑y (2)如图，△A,B,C,即为所求。 7.证明：·BE=3,EC=6,.BC=9 :四边形ABCD是正方形， ..AB=CB=9,∠B=∠C=90°. AR9=3 WE3 AB BE ·EC6=2'CF=2ECCF 又.·∠B=∠C=90°，.△ABE∽△ECF. 微专题八相似三角形中的常考模型 1.A 2.证明：BD⊥AC,CE⊥AB,.∠ADB=∠AEC=90° 又∠A=∠A,△ABD∽△ACE, 、ADAg即AD-Ag ·AEAC'ABAC 又.∠A=∠A,△ADE∽△ABC. 3()证明AD·AB=AE·ACCE 又.·∠A=∠A,∴.△ADE∽△ACB. (2)4或9 [提示]若△ADE一△ACB,则P-4E,即3_AE AC AB' 68AE=4: 若△ADB一△ABC,则DS即3-4E AB AC' 86A=9 综上，当AE=4或？时，△MADE与△4CB相似 4.(1)证明：：∠ADE=∠ACB,.∠BDF=∠ECF 又.·∠BFD=∠EFC,.△BDF∽△ECF (2)解：：△BDF∽△ECF,DF:CF=BD:EC,即DF:2= 8:4,.DF=4. 5.解：(1)四边形ABCD是菱形，.AD∥BC,AD=BC, AM AE ·△AEM∽△CBM,.CMBC AE=3 AD,..AE=BC Ci写Aw=号cM=4Ac-=1 AM AE 1 (2)四边形ABCD是菱形， 。AC=2,B0=。BD=4,A0 ..∠BOM=90°