第4章 第4节 等腰三角形与直角三角形-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

第四节 等腰三角形与直角三角形 。必备知识·夯根基。 〔1.两腰相等，两底角① (简述“等边对等角”) 2.等腰三角形的② 、③ 、④ 互相重合（简记为“三线合一”） 性质 等腰三角形是轴对称图形，有⑤ 条对称轴，对称轴是顶角的平分线（底边 上的中线、底边上的高)所在的直线 1.有⑥ 边相等的三角形是等腰三角形（定义） 等腰三角形判定 (如图1) 2.有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） B 面积：S=⑦ (其中a是底边长，h是底边上的高) 图1 【温馨提示】(1)等腰三角形没有明确各边（角）时，注意分类讨论：边有腰底之分，角有顶角、 底角之分 (2)三角形高的问题，要考虑高在三角形内部和在三角形外部两种情况 [1.具有等腰三角形的所有性质 2.三边相等 性质3.三个内角都相等，且每一个角都等于⑧ 等腰三 4.等边三角形是轴对称图形，有⑨ 条对称轴，对称轴是每一个角的平分线（每一 等边三角形 条边上的中线、每一条边上的高)所在的直线 [1.⑩ 都相等的三角形是等边三角形（定义） (如图2) 直 判定{2.三个角都相等的三角形是等边三角形 三角形 3.有一个角等于四 的等腰三角形是等边三角形 图2 面积：S= 2h=② a2(a是三角形任意一边长，h是任意一边上的高) [1.两锐角之和等于B 2.斜边上的中线等于④ 性质3.30°角所对的直角边等于⑤ b D h 4.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c, 图3 那么6 直角三角形 [1.有一个角为① 的三角形是直角三角形（定义） (如图3) 2.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足8 那么这个三角形是 直角三角形 判定 3.有两个角四 的三角形是直角三角形 4.一条边上的中线等于这条边的 的三角形是直角三角形（注意：解答题不能 直接使用)》 面积：S 2h=四 (a,b分别为两条直角边的长，c为斜边长，h为斜边AB上的高) 101 1.具有直角三角形的所有性质 性质2.两直角边相等，即AC=BC 腰 3.两锐角相等且都等于2 角 等腰直角 〔1.顶角为3 的等腰三角形是等腰直角三角形 与 三角形 2.有两个角为④ 的三角形是等腰直角三角形 直 判定 角 (如图4) 3.有一个角为45的② 三角形是等腰直角三角形 4.26 相等的直角三角形是等腰直角三角形 图4 面积：S= 1 202 12=2 2 ch= h(a为直角边的长，c为斜边长，h为斜边AB上的高) 2 重难突破·提能力。 重难点一等腰（边）三角形的性质与判定 【例1】（多维设问）在△ABC中，AC=BC,请解决下列问题 (1)若△ABC的一个外角为100°，则它的顶角度数是 (2)若△ABC的两边长分别为4,6，则△ABC的周长为 (3)如图1，AD平分∠CAB,交BC于点D.若AD=AB,则∠DAB的度数为 图1 图2 图3 (4)若∠B=60°，AB=6. ①△ABC的形状为 ,此时△ABC有 条对称轴 ②如图2，AD是BC边的中线，延长AB至点G,使得BG=BD,连接DG,则DG的长为 ③如图3，F为BC边上任意一点，过点F分别作FE⊥AB,FD LAC,垂足分别为E,D,则FE+FD= ④如图4，若AF⊥BC,点D在边AC上，且AD=2,点M是AF上一个动点，连接MD,MC,则DM+ MC的最小值为 重难点二直角三角形的性质与判定 【例2】（多维设问）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,AC=17,延长CB至点D,连接AD. (1)BC= △ABC的面积为 (2)如图1，若∠D=60°，则∠DAB= ,AD的长为 D B 图1 图2 图3 (3)如图2，取AD的中点E,连接BE,若DB=6,则AD= BE= (4)如图3，作AC的垂直平分线FG,连接AF,则BF= 102 。核心考点·分类练© 考点一等腰三角形的判定与性质 6.(2024·宜宾)如图，点D,E分别是等边三角 1.(2025·扬州)在如图的房屋人字梁架中， 形ABC边BC,AC上的点，且BD=CE,BE与 AB=AC,点D在BC上，下列条件不能说明 AD交于点F.求证：AD=BE. AD⊥BC的是 A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.BD=CD D.AD平分∠BAC 2.(2024·镇江)若等腰三角形的两边长分别为 6和2，则第三边长为 3.(2024·重庆B)如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若 BC=2,则AD的长度为 考点三勾股定理及其逆定理 D 7.(2023·菏泽)若△ABC的三边长a,b,c满足 (a-b)2+√/2a-b-3+1c-3√21=0，则△ABC是 考点二等边三角形的判定与性质 () 4.(2024·泰安)如图，直线l∥m,等边三角形 A.等腰三角形 ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上， B.直角三角形 若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是 C.锐角三角形 E D.等腰直角三角形 8.(2025·威海)把一张矩形纸片按照如图1所 D m 示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个 A.45° B.39° C.29° D.21 直角三角形可拼成如图2或图3所示的正方 5.(2025·资阳)如图，在四边形ABCD中，∠A= 形.若矩形纸片的长为m,宽为n,四边形 ∠B,点E在线段AB上，CE∥DA.若使△BCE EFGH的面积等于四边形ABCD面积的2倍， 成为等边三角形，可增加的一个条件是 则 H ☒1 图2 图3 103 9.(2025·扬州)清代扬州数学家罗士琳痴迷于11.（2025·安徽)如图，在△ABC中，∠A= 勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士 120°，AB=AC,边AC的中点为D,边BC上的 琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的 点E满足ED⊥AC.若DE=√3，则AC的长是 生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域 () 的贡献由此法则写出了下列几组勾股数：①3， 4,5;②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41…根 据上述规律，写出第⑤组勾股数为 A.43 B.6 C.23 D.3 考点四直角三角形的性质与判定 12.(2025·南充)如图，∠A0B=90°，在射线0B 10.(2025·德阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 上取一点C,以点O为圆心，OC长为半径画 90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF 弧；再以点C为圆心，OC长为半径画弧，两 处，使EF恰好过边AB的中点D,连接CD, 弧在∠AOB的内部相交于点D,连接并延长 若CD=1,则GE= CD交射线OA于点E.设OC=1,则OE的长 是 A.3 B.2 C.1 D. 2 当堂达标检测 1.(江西中考)如图，平面镜MN放置在水平地3.(2024·湖南)若一个等腰三角形的一个底角 面CD上，墙面PD⊥CD于点D,一束光线AO 为40°，则它的顶角的度数是 度 照射到镜面MN上，反射光线为OB,点B在 4.(2025·福建)某房梁如图所示，立柱AD⊥BC, PD上，若∠AOC=35°，则∠OBD的度数为 E,F分别是斜梁AB,AC的中点.若AB=AC= ( 8m,则DE的长为 m. C M O N A.35° B.45° C.55 D.65° 5.如图，AD⊥AB,BC⊥AB,AB=20,AD=8,BC= 2.下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形 12,E为AB上一点，且DE=CE,则AE的长为 的是 ( A.∠A=∠B=∠C B.AB=AC,∠B=60° C.∠A=60°，∠B=60° D.AB=AC,且∠B=∠C 104 6.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC边上的中7.(2025·山东)在Rt△ABC中，∠ABC=90°， 点，连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过 ∠ACB=30°，∠BAC的平分线AD交BC于点 点E作EFBC交AB于点F D.如图1. (1)若∠C=36°，求∠BAD的度数 (1)求∠ADC的度数. (2)求证：FB=FE. (2)已知AB=3,分别以C,D为圆心，以大于 ?的长为半径作弧，两弧相交于海 作直线MW交BC于点E,交AD的延长线于 点F.如图2，求DF的长， 图1 图2 请完成“复习作业本”P42~P43 105.BF=AB2-AF=√(25)2-(2)2=32. △ACD为等腰直角三角形，AF⊥CD, ..CF=DF=AF=√2，∴.BC=BF+CF=4W2, 六Sac=2BC·AF=2x42xW2=4. (2).·△ABE,△ADC为等腰直角三角形，∠BAE=∠DAC= 90°，AB=AE,AD=AC, .∴.∠BAD+∠DAE=90°，∠DAE+∠CAE=90°， ∴.∠BAD=∠CAE. (AB=AE. 在△BAD和△EAC中， ∠BAD=∠EAC, AD=AC, △BAD≌△EAC(SAS),∴.BD=EC,∠ABD=∠AEC .∠1=∠2，且∠ABD+∠1+∠BAE=180°， ∠AEC+∠2+∠BCE=180°，.∴∠BCE=∠BAE=90°， BD=BC-CD=BC-2CF=22, CE=2/2.tanL CBE=CE_221 BC422 9.C 10.证明：∠ACB=90°，.∠ACD+∠BCE=90°. .·AD⊥ED,BE⊥ED,∴.∠ADC=∠CEB=90°， .∴.∠ACD+∠CAD=90°，∴.∠CAD=∠BCE. 在△BEC和△CDA中， ∠BCE=∠CAD, ∠CEB=∠ADC,∴.△BEC≌△CDA(AAS), CB=AC, .BE=CD,CE=AD,.'.DE=CE+CD=AD+BE. 11.(1)证明：BE⊥CE,AD⊥CE,.∠E=∠ADC=90°， .∴.∠EBC+∠BCE=90° :∠ACB=90°，∴.∠BCE+∠ACD=90°， ∴.∠EBC=∠DCA. (∠E=∠ADC, 在△BCE和△CAD中，{∠EBC=∠DCA, BC=CA, .∴.△BCE≌△CAD(AAS),∴，BE=CD,CE=AD, ∴.DE=CE-CD=AD-BE. (2)解：BE=5,DE=7,由(I)得△BCE≌△CAD, ∴.DC=BE=5,∴.CE=AD=CD+DE=5+7=12. 在Rt△ACD中，AC=√DC2+AD2=√52+122=13， .△ACD的周长为5+12+13=30 第四节等腰三角形与直角三角形 必备知识·夯根基 ①相等②顶角的平分线③底边上的中线④底边上的高线 ⑤- ⑥两条⑦2h⑧60°⑨三国三条边①60 了 4 390°④斜边的一半⑤斜边的一半⑥a2+b2=c2 D直角Ba2+b2=29互余0-半①2b245° 8直角（或90°）②445°5直角②6两直角边 重难突破·提能力 【例1】(1)20°或80°(2)14或16(3)36 (4)①等边三角形3②3√/3③3√3④27 【例211)150(2)30165(3)105(416 3 30 核心考点·分类练 1.B2.63.24.B5.∠BCE=∠B(答案不唯一) 6.证明：.·△ABC是等边三角形 ..AB=BC,∠ABD=∠C=60 又.BD=CE,.△ABD≌△BCE(SAS), ∴.AD=BE. 7D&2+/3 2 9.11,60.6110.B11.B12.3 当堂达标检测 1.C2.D3.1004.45.12 6(1)解：方法一：∴AB=AC,D是BC边上的中点， .AD⊥BC,∠BAD=∠CAD, .∠ADC=90°，.∠CAD=90°-36°=54°， .∠BAD=54°. 方法二：·AB=AC,D是BC边上的中点， ∴.∠ABD=∠C=36°，AD⊥BC .∠BAD=90°-36°=54 (2)证明：：BE平分∠ABC,.∠ABE=∠CBE. .·EF∥BC,∴.∠FEB=∠CBE .∠FBE=∠FEB,∴.FB=FE 7.解：(1)∠ABC=90°，∠ACB=30°， ..∠BAC=60°. 'AD是∠BAC的平分线， .∠DAC=∠DAB=7∠BAC=30 .∠ADC=∠DAB+∠ABC=120 (2)由作图，知MN是线段CD的垂直平分线」 DE=CE=CD,4FED=90 .∠DAC=∠C=30°，.AD=CD. .·∠ABC=90°，∠DAB=30°， ..AD=AB c0s30 -=25,BD=AD-2CD-DE. 2 .∠ADB=∠FDE,∠ABD=∠FED=90°， ..△ADB≌△FDE(ASA), ..DF=AD=23. 微专题六中点问题常见辅助线的作法 【例1】11.4 2.解：如图，过点D作DGAB交BC于点G. 点F为DE的中点，DGAB, .BE=BG. .BF为△EGD的中位线、 .DG=2BF=6. .·D为AC的中点，DG∥AB, .BG=CG. .DG为△ABC的中位线， ∴.AB=2DG=12, .AF=AB-BF=12-3=9. 3.解：如图，延长GE交AB于点O,过点P作 PH⊥OE于点H,则PH∥AB,OB=1. P是AE的中点，.OH=HE, .PH是△AOE的中位线 .1 PH=20A=2X(3-1)=1 .·Rt△AOE中，∠OAE=45° .△AOE是等腰直角三角形，即0A=OE=2. 8