第4章 第1节 线段、角、相交线与平行线-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

第四章 图形的初步认识与三角形 ⊙知识体系·巧构建 平行线 直线 三边关系 相交线)垂线 内角和、内外角关系 般三角 几何初步 射线角角平分线 中线、高、角平分线、中位线 线段中点 稳定性 尺规作图 判定 轴对称性 等边三角形】 三角形 全等三角形 、性质 特殊化 边 特 特殊化 应用 等腰三角形 角 相似三角形 !斜边 相似多边形 重要线段 三线 角 合一中线 平行线分线段成比例 锐角三角函数 直角三角形 位似 解直角三角形及其应用 第一节 线段、角、相交线与平行线 必备知识·夯根基 1.直线的基本事实：两点① 条直线 两个基本事实 2.线段的基本事实：两点之间，② 最短 两点间的距离：连接两点之间③ 的长度 线段和 线段的中点：如图1，若有AM=BM=④ AB,则M是线段AB的中点 直线 A M B AB C 段 图1 图2 角 线段的和与差：如图2，在线段AC上取一点B,则有⑤ +BC=AC; 相 AB=⑥ -BC;BC=AC-⑦ 线与平 度、分、秒的换算：1°=⑧ ,1'=60”,角的度、分、秒换算是60进制 定义：若∠A+∠B=⑨ 则∠A与∠B互余 余角 性质：同角（或等角）的余角⑩ 角与角 定义：若∠A+∠B=① 则∠A与∠B互补 平分线补角 性质：同角（或等角）的补角② 定理：角平分线上的点到这个角两边的距离B 角平分线 逆定理：在一个角的内部，并且到角的两边④ 的点，在这个角的平分线上 85 举例：如图3，∠1与∠3，∠2与⑤ 对顶角 性质：对顶角⑥ 举例：如图3，∠1与∠2、∠4，∠3与⑦ 邻补角 性质：互为邻补角的两个角的和为⑧ b 41 2/1 -a 34 85 7Y6 图3 图4 相交线 同位角：∠1与四 ∠2与∠6 三线八角 内错角：∠2与∠8，∠3与0 (如图4) 同旁内角：∠2与@ ,∠3与∠8 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 1.在同一平面内，过一点有且只有②② 条直线与已知直线垂直（基本事实）》 垂线的性质 2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，3 最短 线段、 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离④ 角 线段的垂直平分线 逆定理：到线段两个端点②巧 的点在这条线段的垂直平分线上 相 公理：经过直线外一点有且只有的 条直线与这条直线平行（基本事实） 平行公理及推论 线与平行线 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也②⑦ 两直线平行警同位角 (基本事实) 平行线的性 平行线 两直线9 判定内错角相等 性质 质与判定 性质同旁内角忍 两直线平行判 【温馨提示】(1)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 (2)两条平行线之间的距离处处相等 1.命题 (1)概念：判断一件事情的句子，叫做命题，一个命题由条件和结论两部分组成 (2)真命题：如果条件成立，那么结论一定成立的命题 命题 (3)假命题：如果条件成立，不能保证结论一定成立的命题 (4)互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两 个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题 2.定理：经过证明的真命题称为定理 86 。核心考点·分类练。 考点一直线、射线与线段 A.50 B.80° 1.(威海中考)图1是光的反射规律示意图.其 C.130° D.150° 中，P0是入射光线，OQ是反射光线，法线 5.（2024·日照)如图，直线AB,CD相交于点O. KO⊥MN,∠POK是入射角，∠KOQ是反射 若∠1=40°，∠2=120°，则∠C0M的度数为 角，∠KOQ=∠POK.图2中，光线自点P射 入，经镜面EF反射后经过的点是 反射面 A.70° B.80° C.90° D.100° 图1 图2 6.（2025·陕西)如图，点0在直线AB上，OD平 A.点A B.点B 分∠A0C.若∠1=52°，则∠2的度数为() C.点C D.点D 2.(2025·广西)在跳远比赛中，某同学从点C 处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量 2 线段AB的长度作为他此次跳远成绩（最近着 A 0 地点到起跳线的最短距离)，依据的数学原理 A.76 B.74° C.64° D.52° 是 7.(2025·兰州)如图是集热板示意图，集热板 与太阳光线垂直时，光能利用率最高.春分日 兰州正午太阳光线与水平面的夹角B为54°. 若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角α 起跳线BC 的度数是 ( A.垂线段最短 集热板 B.两点确定一条直线 太阳光线 C.两点之间，线段最短 彩 D.两直线平行，内错角相等 水平面 3.（日照中考)如图，已知AB=8cm,BD=3cm, A.26° B.30° C.36° D.54° C为AB的中点，则线段CD的长为 cm. 考点三垂线及线段垂直平分线的性质 CD B 考点二角的度量与计算 8.(2024·北京)如图，直线AB和CD相交于点 4.(2023·临沂)如图中用量角器测得∠ABC的 0,OE⊥OC.若∠A0C=58°，则∠E0B的大小 度数是 为 ( B D A.29° B.32° C.45° D.58° 87 9.(2024·镇江)如图，△ABC的边AB的垂直平 类型②平行线的判定 分线交AC于点D,连接BD.若AC=8,CD=5, 13.（2023·临沂)在同一平面内，过直线1外一 则BD= 点P作l的垂线m,再过P作m的垂线n,则 直线l与n的位置关系是 () A.相交 B.相交且垂直 C.平行 考点四平行线的性质与判定 D.不能确定 类型①平行线性质的有关计算 14.(2024·兰州)如图，小明在地图上量得∠1= 10.(2025·烟台)如图是一款儿童小推车的示 ∠2，由此判断幸福大街与平安大街互相平 意图，若AB∥CD,∠1=30°，∠2=70°，则∠3 行，他判断的依据是 的度数为 幸福大街 平安太街」 A.同位角相等，两直线平行 A.40° B.35° B.内错角相等，两直线平行 C.30° D.20° C.同旁内角互补，两直线平行 11.(2025·威海)如图，直线CF∥DE,∠ACB= D.对顶角相等 90°，∠A=30°.若∠1=18°，则∠2等于 考点五命题与定理 ( 15.（多选)(2024·潍坊)下列命题是真命题的 有 A.若a=b,则ac=bc B.若a>b,则ac>bc C.两个有理数的积仍为有理数 A.42° B.38 D.两个无理数的积仍为无理数 C.36 D.30° 16.（2025·成都)下列命题中，假命题是( 12.（2025·凉山州)如图，DF∥AB,∠BAC= A.矩形的对角线相等 120°，∠ACE=100°，则∠CED= ( B.菱形的对角线互相垂直 C.正方形的对角线相等且互相垂直 D.平行四边形的对角线相等 17.(2025·北京)能说明命题“若a2>4b2,则a> A.30° B.40° 2b”是假命题的一组实数a,b的值为a= C.60° D.80° ,b= 88 当堂达标检测 1.（2025·广安)若∠A=25°，则∠A的余角为 6.(2024·吉林)如图，从长春站去往胜利公园， ( 与其他道路相比，走人民大街路程最近，其蕴 A.25 B.65° C.75 D.155° 含的数学道理是 2.（2025·苏州)如图，在A,B两 北 地间修一条笔直的公路，从A 北 地测得公路的走向为北偏东 aB 709 70°.若A,B两地同时开工，要 A 使公路准确接通，则∠α的度数应为() 8 A.100° B.105° C.110° D.115° 7.命题：“如果直角三角形的两条直角边长分别 3.(2025·聊城模拟)下列定理中，没有逆定理 为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2”. 的是 ( ) (1)该命题的条件是 A.等腰三角形的两个底角相等 结论是 该命题是 B.对顶角相等 (填“真”或“假”)命题， C.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三 (2)“如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2= 角形 c2,那么这个三角形是直角三角形”，该命题 D.直角三角形两个锐角的和等于90° (填“是”或“不是”)(1)中命题的逆 4.(2025·扬州)如图，平行于主光轴PQ的光线 命题，该命题是 (填“真”或“假”) AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE, 命题， DF交于主光轴上一点G,若∠ABE=130°， 8.(2025·江西)如图，已知点C在AE上，AB∥ ∠CDF=150°，则∠EGF的度数是 CD,∠1=∠2.求证：AE∥DF. A D A.60° B.70° C.80° D.90° 5.(2024·东营)已知，直线a%,把一块含有30 角的直角三角板如图放置，∠1=30°，三角板的 斜边所在直线交b于点A,则∠2= A.50° B.60° C.70° D.80° 请完成“复习作业本”P36~P37 89方法二：作点K关于直线BC的对称点 G,连接KC交BC于点H,如图3， 此时∠CBK=∠CBG, ∴.∠CBG+∠AC0=45. K(0,-1),C(0,-3),∴.CK=2. C(P ·.·∠BC0=45°. ..△CHK为等腰直角三角形， 图3 .H(1,-2),.G(2,-3). 点G(2,-3)也在抛物线上， 点P与点G重合，即P(2,-3) 综上，点P的坐标（号母）支(2，-3》 第四章 图形的初步认识与三角形 第一节线段、角、相交线与平行线 必备知识·夯根基 ①确定②线段3线段④】⑤AB⑥AC⑦AB 2 ⑧60'⑨90°0相等①180°②相等3相等 ④距离相等5∠4M6相等⑦∠2、∠48180°19∠5 ①∠5①∠5②2一3垂线段24相等5距离相等 20一2⑦互相平行28相等29平行30互补 核心考点·分类练 1.B2.A3.14.C5.B6.A7.C8.B9.310.A 11.A12.B13.C14.B15.AC16.D 17.-31(答案不唯一） 当堂达标检测 1.B2.C3.B4C5.B6.两点之间，线段最短 7.(1)直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c a2+b2=c2真 (2)是真 8.证明：.ABCD,∴.∠1=∠ACD. ∠1=∠2，.∠2=∠ACD,.AE∥DF 第二节三角形的基本概念及性质 必备知识·夯根基 ①大于②小于③180°④360°⑤∠B⑥∠A⑦∠B ⑧90°⑨2BC·AD0DC①BCE2SABD1C BBAC 1 重雅突破·提能力 【例】(1)55(2)4020(3)2(4)8(5)1261 (64(7)FG/AcFG=24C6 核心考点·分类练 1.B2.2(答案不唯一)3.B4.B5.B6.C7.C 当堂达标检测 1.C2.D3.B4.A5.B6.2 7.解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°， ∴.∠ABC=90°-∠A=50°，.∠CBD=130°. BE是∠CBD的平分线， LCBE=7LCBD=65 (2),∠ACB=90°，∠CBE=65°， .∴.∠CEB=90°-65°=25°. .DFBE,∴.∠F=∠CEB=25°. 微专题四角平分线问题常见辅助线的作法 【例1】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E. BD平分∠ABC,DE⊥BC,∠A=90°， ∴.DE=DA=3, 5 六Sam=2×5x3=2 1.B 2.(1)证明：如图，过点P作PE⊥AB交BA的 延长线于点E. .∠1=∠2，PE⊥AB,PF⊥BC ∴.PE=PF 在R△APE和R△CPF中，{PE=PF, (PA=PC. .Rt△APE≌Rt△CPF(HL), ∴.∠PAE=∠PCF ∠PAE+∠PAB=180°， ..∠PCB+∠BAP=180 (2)解：由(1)，知Rt△APE≌Rt△CPF, ∴.AE=CF,易得△BPE≌△BPF,.BE=BF, ∴AB+AE=BC-CF 巴BC=12,AB=6,-AE=2×(12-6)=3, ∴.BE=AB+AE=6+3=9. 在Rt△PAE中，PE=√PA2-AE=√52-32=4， 在Rt△PBE中，BP=√BE+PE=√⑨+4=√7. 【例2】33.C 4.解：如图，延长AP交BC于点E. :AP垂直∠ABC的平分线BP于点P, ∴.∠ABP=∠EBP, ∠APB=∠EPB=90°. 在△ABP和△EBP中， I∠ABP=∠EBP BP=BP (∠APB=∠EPB .△ABP≌△EBP(ASA), AP=PE,SAP=SAP=E △APC和△EPC等底同高，.S△APe=S△cPs=2S△AcE, 1 六S△pc=SanE+Sacg=2Sac=2×6=3. 【例3】解：如图，在AD上取一点E,使得AE=AB,连接CE. AC平分∠BAD,.∠BAC=∠EAC. 又·AC=AC, ,∴.△BAC≌△EAC(SAS), .∴.∠B=∠AEC,BC=EC. 1 LD=2 ZAEC,LD=LECD, ∴.CE=DE,.BC=DE .AD=AE+DE=AB+BC=4+2=6. 5.32 6.证明：如图所示，在BC上取一点F使得 BF=AB,连接DF. .·BD平分∠ABC,∠ABC=40°，