第3章 第8节 二次函数的实际应用-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

第八节 二次函数的实际应用 类型一几何图形面积问题 类型二销售利润问题 1.(2024·泰安)如图，小明的父亲想用长为 3.(2024·滨州)春节期间，全国各影院上映多 60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩 部影片，某影院每天运营成本为2000元，该 形的菜园.已知房屋外墙长40米，则可围成 影院每天售出的电影票数量y(单位：张)与售 的菜园的最大面积是 平方米 价x(单位：元/张)之间满足一次函数关系 (30≤x≤80，且x是整数)，部分数据如下表 所示： 电影票售价x(元/张) 40 50 2.(2023·潍坊)工匠师傅准备从六边形的铁皮 售出电影票数量y(张) 164 ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如 124 图所示.经测量，AB∥DE,AB与DE之间的距 (1)请求出y与x之间的函数关系式， 离为2米，AB=3米，AF=BC=1米，∠A= (2)设该影院每天的利润（利润=票房收 ∠B=90°，∠C=∠F=135°.MH,HG,GN是工 入-运营成本)为w(单位：元)，求w与x之间 匠师傅画出的裁剪虚线.当MH的长度为多少 的函数关系式。 时，矩形铁皮MWGH的面积最大，最大面积是 (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天 多少？ 获利最大？最大利润是多少？ 78 4.(2024·烟台)每年5月的第三个星期日为全 A.当x≥1000时，y随x的增大而减小 国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美 B.当x=2000时，y有最大值 好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅 C.当y≥0.6时，x≥1000 计划在该月销售.根据市场调查，每辆轮椅盈 D.当y=0.4时，x=600 利200元时，每天可售出60辆：单价每降低 6.(2023·威海)城建部门计划修建一条喷泉步 10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不 行通道.图1是项目俯视示意图.步行通道的 变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不 一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另 低于180元.设每辆轮椅降价x元，每天的销 侧是方形水池.图2是主视示意图.喷水装 售利润为y元 置OA的高度是2米，水流从喷头A处喷出后 (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多 呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头 少元时，每天的销售利润最大？最大利润为 水平距离为2米时达到最高点B,此时距路面 多少元？ 的最大高度为3.6米.为避免溅起的水雾影响 (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润 通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防 12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点M 处，另一端与路面的垂直高度NC为1.8米，且 与喷泉水流的水平距离WD为O.3米.点C到 水池外壁的水平距离CE=0.6米，求步行通 道的宽OE.(结果精确到0.1米，参考数据： 2≈1.41) 喷水装置 行通道 图1 类型三抛物线型问题 B 5.(2025·山东)在水分、养料等条件一定的情 况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照 强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照 强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成 次函数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)》 图2 内，y与x近似成二次函数关系，其部分图象如图 所示.根据图象，下列结论正确的是 ( 0.6 0.3 020010003000x 79 7.（2025·辽宁)为方便悬挂电子屏幕，学校需 根据以上信息，解决下列问题： 要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立 (1)求抛物线的表达式， 柱.为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践 (2)现有一根长度为2m的材料，如果用它制 活动，记录如下： 作这两根立柱，请你通过计算.判断这根材料 活动 的长度是否够用（因施工产生的材料长度变 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 主题 化忽略不计)： 活动 1.去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 准备2.准备皮尺等测量工具 图1是校门及上方抛 物线形框架结构的平 面示意图，信息如下： 1.大门形状为矩形 采集 （矩形ABCD). 数据2.底部跨度(AD的 长)为8m. 图1 3.立柱0E的长为2m, 且0E⊥AD,垂足为O, AO=OD 考虑实用和美观等因 素，在A,D间增加两根 Efy/m N N2 与AD垂直的立柱，垂 A D 设计 足分别为M1,M2,立柱 x/m 方案 的另一端点N,N2在抛 物线形框架结构上，其 图2 中AM1=M,D=1m. 小组成员经过讨论，确定以点0为坐标原 点，线段AD所在直线为x轴，建立如图2所 示的平面直角坐标系.点E的坐标为(0,2)， 确定 设抛物线的表达式为y=ax2+2,分析数据得 思路 到点A或点D的坐标，进而求出抛物线的表 达式，再利用表达式求出增加立柱的长度， 从而解决问题， 请完成“复习作业本”P32~P33 80微专题三二次函数区间最值问题 1.A2.-43.B4.C5.C6.17.D8.A9.a≥6 第七节二次函数图象的变换（含解析 式的确定)及与方程、不等式的关系 必备知识·夯根基 ①两个不相等②两个相等③无④上⑤下 重难突破·提能力 【例1】(1)y=2x2+4x-6 (2)y=3x2-39 24 变式1y= 2x+6 (3)y=-x2+2x+8 变式2y=-2x2+4x-8 (4)y=x2-2x+1(答案不唯一) 【例2】(1)y=x2-6x+6(2)y=-x2+2x+1(3)y=x2+2x-1 (4)y=-x2-2x+1(5)y=-x2+2x-3(6)y=x2+6x+7 核心考点·分类练 1.y=-x2+x+2(答案不唯一) 、1 2解：抛物线)=x2+b+c的对称轴为直线x=-么 2 2 b=1,.抛物线的表达式为y=x2+x+c. 把A(-2,5)代入，得4-2+c=5,.c=3, 二次函数的表达式为y=x2+x+3. 3.C4.(1,-3) 5.解：(1).点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图 象上， .∴.4a+2b-3=-3,解得b=-2a, .二次函数的解析式为y=ax2-2ar-3, ·二次函数图象的对称轴为直线=-20=1， 2a ,∴.m=1. (2)点Q(1,-4)在y=ax2-2ax-3的图象上， ∴a-2a-3=-4,解得a=1, y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ·.将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的 二次函数图象的解析式为y=(x-1)2-4+5=(x-1)2+1. ,·a=1>0,0≤x≤4，.当x=1时，函数有最小值为1， 当x=4时，函数有最大值为(4-1)2+1=10， 新的二次函数的最大值与最小值的和为10+1=11. (3):y=ax2-2ax-3的图象与x轴的交点为(x1,0), (x2,0)(x1<x2), 3 .x1+x2=2,x1x2= ,12 3 x-x,=x+)-4名=√4+ =2√1+ a 4,<64<21+<6,解得 3 a<l. 6.B7.①②④ 8.解：(1)：该抛物线经过点(4,3)， ∴.3=42-4×4m+2m+1,解得m=1, .y=x2-4x+3=(x-2)2-1, .抛物线的顶点坐标为(2，-1). (2)y=x2-4mx+2m+1=(x-2m)2-4m2+2m+1, ·.抛物线的对称轴为直线x=2m,抛物线开口向上. ·.·2m-3≤x≤2m+1,2m-(2m-3)=3,(2m+1)-2m=1, .当x=2m-3时，y取最大值4， .4=(2m-3-2m)2-4m2+2m+1, 解得m=)或m= (3)当x=0时，y=2m+1;当x=1时，y=-2m+2. :该抛物线与线段OA(不含端点)恰有一个交点， ∴.当2m+1>0时，-2m+2<0,解得m>1; 当2m+1<0时，-2m+2>0,解得m<-2 综上，m>1或m<-2 1 当堂达标检测 1.D2.B3.D4.y=3x2-2 5.y=x2-2x-36.k≥3 7.解：(1)把A(1,-2)和B(0,-5)代入y=x2+bx+c,得 1+6=-2解得=2： (c=-5, lc=-5, .二次函数的表达式为y=x2+2x-5. .·y=x2+2x-5=(x+1)2-6, 图象的顶点坐标为(-1，-6). (2)当y≤-2时，x的取值范围是-3≤x≤1， 第八节二次函数的实际应用 1.450 2.解：连接CF分别交MH,NG于点Q,P, p G 如图. .·∠A=∠B=90°，.AF∥BC 又.·AF=BC=1米， .四边形ABCF是平行四边形. M ∴.CF∥AB,∴.∠AFC=∠BCF=90 四边形MNGH是矩形， .∠HMN=∠MNG=90°，MH=NG, ∴.四边形AMQF,NBCP均为矩形， .∠HQF=∠GPC=90°，MQ=AF=NP=BC=1米，FQ=AM, PC=BN. '∠BCG=∠AFH=135°，∴.∠HFQ=∠GCP=45°， .FQ=HQ,CP=GP,..FQ=HQ=MH-MQ=MH-1. 同理，得CP=MH-1, ..AM=NB=MH-1, .MN=AB-AM-NB=3-(MH-1)-(MH-1)=5-2MH, ∴.SE形GH=MN·MH=(5-2MH)）·MH =5wn-2Mr=-2wr-wm） 当MH=?米时，矩形铁皮M小G的面积最大，最大面积 是平方米 3.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=x+b(k≠0)， 把(40,164)，(50,124)代入， 得164406+解得怎4， 124=50k+b, (b=324. .y与x之间的函数关系式为y=-4x+324(30≤x≤80，且x 是整数). (2)由题意，得u=xy-2000=x(-4x+324)-2000=-4x2+ 324x-2000, 即w与x之间的函数关系式为w=-4x2+324x-2000(30≤ x≤80，且x是整数)， (3)由(2)知w=-4+24-200=-4(-到） +4561 (30≤x≤80，且x是整数). ·-4<0,30≤x≤80，且x是整数， .当x=40或41时，w取得最大值，最大值为4560. 该影院将电影票售价x定为40元/张或41元/张时，每天 获利最大，最大利润是4560元. 4.解：(1)由题意，得y=(200-x)60+x×4=- 10 r42+ 12000. ·每辆轮椅的利润不低于180元， ..200-x≥180，.x≤20. 2 2 .y=-2x2+20x+12000三-2（x-25)2+12250,-5<0, .当x<25时，y随x的增大而增大， 当：=20时，每天的销售利询最大，为-号x(20-25)4 12250=12240(元) 答：y与x的关系式为y=号2+20x+12000(x≤20)，每辆 轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为 12240元 2 (2)当y=12160时，-5t+20x+12000=12160, 解得x1=10,x2=40(不合题意，舍去)， ·60+0×4=64(辆)》 答：这天售出了64辆轮椅， 5.B 6.解：如图，建立平面直角坐标系 y B 01 由题意，知A(0,2),B(2,3.6),点D的纵坐标为1.8. :抛物线的最高点为B,.抛物线的顶点坐标为(2,3.6)， ∴.设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+3.6. 把(0,2)代入，得2=a(0-2)2+3.6, 解得a=-0.4, 抛物线的表达式为y=-0.4(x-2)2+3.6. 令y=1.8,则1.8=-0.4(x-2)2+3.6, 舒滑=233218 ,32 0E=xn-ND-CE=2+22-0.3-0.6=3.2(米). 答：步行通道的宽0E的长约为3.2米。 7.解：(1)由条件，可得AD=8m,0A=0D=4m,A(-4,0). 把A(-4,0)代人y=ax2+2,得0=16a+2, 解得a=令地物线的表达式为y=令2 (2)由题意，可得OM,=OM,=3m, .M,(3,0),N,V2关于y轴对称. 2+2, 1 y=- .当x=3时，y= x+2= 8,M,N.=M2N2=8m. 77 2x 842这根材料的长度够用 第九节二次函数与几何图形的综合应用 1.解：(1)对于抛物线y=ax2+bx-3,令x=0,则y=-3, .C(0,-3). 点C向右平移2个单位长度，得到点DD(2,-3) 抛物线y=ax2+bx-3经过点A(-1,0),D(2,-3), a-b-3=0, 得公 (4a+2b-3=-3, .抛物线的表达式为y=x2-2x-3. y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 抛物线的顶点E的坐标为(1，-4). (2)①如图1，当点O,M,F三点共线时，OM+FM=OF为最 小值. 对于抛物线y=x2-2x-3,令y=0,则 x2-2x-3=0, 解得x1=-1,x2=3,.B(3,0) 设过点B(3,0),C(0,-3)的直线表达 式为y=kx+c(k≠0)， 则t0解得. k=1, /DE c=-3, :.直线BC的表达式为y=x-3. 图1 C(0,-3),∴.CF=C0=3. 点F在射线CD上，C(0,-3),D(2,-3),.F(3,-3), .由点O(0,0),F(3,-3)可得直线OF的解析式为y=-x. 3 x= 联立=-3解得 2 (y=-x, 3 y=-2’ .当OM+FM的值最小时，点M的坐标为 ②B(3,0),C(0,-3),.0C=0B=3, .△B0C是等腰直角三角形，.∠OCB=45 如图2，连接DE,BG. .C(0,-3),E(1,-4),D(2,-3) .CE=√(0-1)2+(-3+4)7=√2， A DE=√(2-1)2+(-3+4)7=√2， CD=2, ..CE=DE,CE2+DE2=CD2, .△CDE是等腰直角三角形， .∠DCE=45°，.∠OCM=∠CCN .·CM=CN,CO=CG, 图2 ..△COM≌△CGN(SAS), ∴.OM=NG,.OM+BN=NG+BN≥BG C(0,-3),D(2,-3), ∴.CD⊥y轴，即∠0CD=90°， .∠BCD=∠OCD-∠OCB=90°-45°=45° .·.∠BCG=∠BCD+∠DCG=45°+45°=90° :BC=√0B2+0C2=√32+32=32，CG=C0=3, .在Rt△BCG中，BG=√BC+CC=√(32)2+32=33， ..OM+BWN≥BG=3√3，即OM+BN的最小值为33. 2