第3章 第4节 反比例函数的图象与性质及其应用-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

第四节 反比例函数的图象与性质及其应用 。必备知识·夯根基⊙ 表达式 y=(k为常数，k≠0) k的符号（决定函数图象 k>0 k<0 所在象限)》 图象 图象与 所在象限 第一、三象限(x同号) 第① 象限(xx异号) 性质 图象上点的坐标特征 横、纵坐标之积恒等于② x,y的取值范围 x≠0，y≠0 增减性 在每一象限内，y随x的增大 在每一象限内，y随x的增大 而③ 而④ 对称性 关于直线三x或yx成轴对称；关于原点成中心对称 【温馨提示】(1)反比例函数中，y随x的大小而变化的情况，应分x>0与x<0两种情况讨论，而不能 反比例函数的图象与性质 笼统地说成“当k<0时，y随x的增大而增大” (2)在同一直角坐标系中，若正比例函数与反比例函数图象有交点，则两个交点关于原点 对称 1.k的几何意义：如图，过反比例函数图象上任一点P(x,y),分别作x轴、y轴 的垂线PM,PW,所得矩形PMOW的面积S=PM·PW=1xyl= ⑤ 2.常见图形及结论 k的几何意义 y Px,y） Px,y） 图形 P(x,y) 0 BO 结论 1 1cl 2 SAAPP=2IkI(注：点P'与点P关于原点对称) (1)设所求反比例函数的解析式为y=(k≠0) 解析式的 1.待定系数法《2)找出图象上的一点P(a,b)代入y=人中 确定 ab (3)确定反比例函数的解析式y= 2.利用反比例函数中比例系数k的几何意义求解：若题中已知面积时考虑用k的几何意义，由面积 得1k1,再结合图象所在象限判断k的正负，从而得出k的值，代入解析式即可 55 重难突破·提能力。 重难点反比例函数的图象与性质 【例1（多维设问）在探究反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象与性质的过程中，x与y的几组对 应值如下表： -2 -3 -6 (1)该反比例函数的解析式为 ,a的值为 (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数图象 yt 6 4 --3- 12 -1 6543+2+10123456元 1 人2 4 5 (3)该反比例函数的图象分布在第 象限，在每一个象限内，y的值随x的增大而 (4)若点(b,5)在该反比例函数的图象上，则b的值为 (5)若点(-3，y1),(2,y2),(4,y3)在该反比例函数的图象上，则y1,y2y3的大小关系为 (6)当-7<x<-4时，y的取值范围是 核心考点·分类练 考点一反比例函数的图象与性质 3.（2025·山东)如图，在平面 直角坐标系中，A,C两点在 几(2025·湖南)对于反比例函数2下列结 坐标轴上，四边形OABC是 论正确的是 面积为4的正方形.若函数 A.点(2,2)在该函数的图象上 y=(>0)的图象经过点 B.该函数的图象分别位于第二、第四象限 B,则满足y≥2的x的取值范围为() C.当x<0时，y随x的增大而增大 A.0<x≤2B.x≥2 C.0<x≤4D.x≥4 D.当x>0时，y随x的增大而减小 考点二反比例函数解析式的确定 2.(2024·济宁)已知点A(-2,y1),B(-1,y2), C(3,)在反比例函数)=(k<0)的图象上， 4.(2025·云南)若点(1,2)在反比例函数y=k 2、 (k为常数，且k≠0)的图象上，则k=（) 则y1,y2,y3的大小关系是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 A.y1<y2<y3 B.Y2<y<y3 5.(2025·青岛)如图，正八边形ABCDEFGH的 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1 顶点A,B,G,H在坐标轴上，顶点C,D,E,F在 56 第一象限.点F在反比例函数y=(x>0)的 考点四反比例函数的实际应用 10.(2025·湖北)已知蓄电池 ↑IIA 图象上，若AB=√2，则k的值为 的电压为定值，使用蓄电池 时，电流1（单位：A)与电阻 R(单位：2)是反比例函数关 系，它的图象如图所示当电 RIS 阻R大于92时，电流I可能是 B B A.3AB.4A C.5A D.6A 第5题图 第6题图 6.(2025·陕西)如图，过原点的直线与反比例 11.(枣庄中考)为加强生态文 +y/(mg/L) 明建设，某市环保局对一 12 A 函数y=(k>0)的图象交于A(m,), 企业排污情况进行检测， B(m-6,n-6)两点，则k的值为 结果显示：所排污水中硫 4.5 考点三反比例函数k的几何意义 化物的浓度超标，即硫化 物的浓度超过最高允许的 x/侯 类型①已知比例系数求特殊图形的面积 1.0mg/L.环保局要求该企业立即整改，在 7.(2025·威海)如图，点A在反比例函数)=4的 15天内（含15天）排污达标.整改过程中，所 图象上，点B在反比例函数)=-2的图象上， 排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x (天)的变化规律如图所示，其中线段AC表 连接OA,OB,AB.若AO⊥B0,则tan∠BAO= 示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓 度降为4.5mg/L.从第3天起，所排污水中 硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的 关系： 时间x/天 6 9 硫化物的 4.5 2.7 2.25 1.5 浓度y/(mg/L) 第7题图 第8题图 类型② 根据几何图形求比例系数 (1)求在整改过程中，当0≤x<3时，硫化物 的浓度y与时间x的函数表达式， 8.（2024·德州)如图，点A,C在反比例函数y= (2)求在整改过程中，当x≥3时，硫化物的 的图象上，点B,D在反比例函数y=b的图 浓度y与时间x的函数表达式。 象上，AB∥CD∥y轴，若AB=3,CD=2,AB与 (3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在 CD的距离为5，则a-b的值为 15天以内不超过最高允许的1.0mg/L?为 ( A.-2 B.1 C.5 什么？ D.6 9.(2025·绥化)如图，反比例 函数y=←经过A,C两点，过 点A作AB⊥y轴于点B,过 点C作CD⊥x轴于点D,连 D 0 接OA,OC,AC.若S△ACo=4,CD:0B=1:3, 则k的值是 A.-12B.-9 C.-6 D.-3 57 当堂达标检测 7 1.(2025·浙江)已知反比例函数y=-.下列 6.(2025·上海)已知一个反比例函数，在每个 象限内，函数值y随x的增大而减小，那么这 选项正确的是 个反比例函数的解析式可以是 .(只 A.函数图象在第一、三象限 需写出一个) B.y随x的增大而减小 7.(2025·连云港)某气球内充满了一定质量的 C.函数图象在第二、四象限 气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压 D.y随x的增大而增大 强p(Pa)是气球体积V(m3)的反比例函数.当 2(2025·重庆)反比例函数y=-12的图象一定 V=1.2m3时，p=20000Pa.则当V=1.5m 时，p= Pa. 经过的点是 ( 8.(2024·贵州)已知点(1,3)在反比例函数y= A.(2,6) B.（-4,-3) C.(-3,-4) D.(6,-2) 的图象上 3函数y=a+a与y-兰(a0)在问直角 (1)求反比例函数的表达式， (2)点(-3，a),(1,b),(3,c)都在反比例函数 坐标系中的图象可能是 的图象上，比较a,b,c的大小，并说明理由. 4.(2025·河北)在反比例函数y=-中，若2<y< 4,则 B.1<x<2 C.2<x<4 D.4<x<8 5.(2025·烟台)如图，菱形OABC的顶点A在 x轴正半轴上，OA=3,反比例函数y=6(x>0) 的图象过点C和菱形的对称中心M,则k的值 为 ( A.4 B.42 C.2 D.22 请完成“复习作业本”P24~P25 582.解：(1)设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个 B种光伏车棚需投资y万元. 根据题意，得2x+=8,解得=3， 5x+3y=21, (y=2. 答：修建一个A种光伏车棚需投资3万元，修建一个B种光 伏车棚需投资2万元. (2)设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚 (20-m)个，修建A种和B种光伏车棚共投资e万元. 根据题意，得m≥2(20-m）,解得m≥40， 31 w=3m+2(20-m)=m+40. ,1>0,.w随m的增大而增大。 :m为整数， 当m=14时，w取得最小值，此时w=14+40=54(万元). 答：修建14个A种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投 资总额为54万元 3.0.354.B 5.解：(1)2407.5[提示]由题知，在一条笔直的“動学路' 上依次设置了A,B,C三个互动区.由图象可知，A,B两区相 距150米，B,C两区相距90米，∴.A,C两区相距150+90= 240(米) 机器人甲到达B区时所用时间为150÷20=7.5（分）， ∴.a=7.5. (2)机器人乙到达B区时所用时间为90÷10=9（分） ∴E(9,0),机器人乙从B区返回C区过程中的速度为90÷ (15-9)=15(米/分)，则y=15(x-9)=15x-135 .线段EF所在直线的函数解析式为y=15x-135(9≤x≤ 15). (3)机器人乙行进的时间为7分或11分或13分时，机器人 甲、乙相距30米。 [提示]当0≤x≤7.5时，当机器人甲、乙相距30米时，得 20x+10x+30=240,解得x=7: 当9≤x≤12时，当机器人甲、乙相距30米时，得15x-135= 30,解得x=11: 当12<x≤15时，机器人甲的速度为90：(15-12)=30（米/分） 则y甲=30(x-12)=30x-360,当机器人甲、乙相距30米时，得 15x-135-(30x-360)=30,解得x=13. ·.机器人乙行进的时间为7分或11分或13分时，机器人 甲、乙相距30米 6.解：(1)设购买A型新能源公交车每辆需x万元，购买B型 新能源公交车每辆需y万元. 、由题意，得3x+y二260解得0， (2x+3y=360, 答：购买A型新能源公交车每辆需60万元，购买B型新能 源公交车每辆需80万元： (2)设购买A型新能源公交车α辆，则购买B型新能源公交 车(10-a)辆，该线路的年均载客总量为w万人 由题意，得60a+80(10-a)≤650，解得a≥7.5. a≤10，∴.7.5≤a≤10 .·a是整数，.a=8,9,10. 由题意，知w与a的关系式为w=70a+100(10-a)=-30a+ 1000. -30<0,.∴.w随a的增大而减小 当a=8时，该线路的年均载客总量最大，最大载客总量 为w=-30×8+1000=760(万人次)， ∴.10-8=2（辆）， ·.购买方案为购买A型新能源公交车8辆，B型新能源公 交车2辆，此时该线路的年均载客总量最大，为760万 人次 7.解：(1)员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一 样多 (2)设方案二的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，将点(0， 600)、点(30,1200)代入表达式，得306+6=1200， b=600, 解得k=20, (b=600 .方案二y关于x的函数表达式为y=20x+600 (3)观察两方案的函数图象可知， 若生产件数x的取值范围为0≤x<30,则选择方案二； 若生产件数x=30,则选择两个方案都可以； 若生产件数x的取值范围为x>30,则选择方案一. 当堂达标检测 1.12 2.解：(1)由题意，可得蓄水池的水位高度y(米)与注水时间 x(小时)之间的关系式为y=6x+5. (2)根据题意，得0.4(6x+5)×0.3=4.2,解得x=5. 答：注水5小时可供发电4.2万千瓦时. 第四节反比例函数的图象与性质及其应用 必备知识·夯根基 ①二四②k③减小④增大⑤k1O子1 重难突破·提能力 6 【例】(1)y= .2 (2)如图. 6 -12 --+-↓- 3456x 1-2 (3)一、三减小(4)6 5 (5)y1<y<y2 (09 核心考点·分类练 1D2.C3A4B5.2+26.97.2 2 8.D9.D 10.A 11.解：(1)由前3天的函数图象是线段，设当0≤x<3时的函 数表达式为y=kx+b(k≠0). 把(0,12)(3,4.5)代入， 彩c品453 ·当0≤x<3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式 为y=-2.5x+12 (2)当x≥3时，3×4.5=5×2.7=6×2.25=…=13.5， .y是x的反比例函数， ·.当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为 135 (3)能.理由如下： 13.5 当x=15时，y= 150.9 ,0.9<1,13.5>0,.y随x的增大而减小， ·.该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内不超过 最高允许的1.0mg/L 当堂达标检测 1C2D3D4B5.D6y=(答案不唯-) 7.16000 8解：(1)把(1,3)代入y=中，得3= 1k=3, 3 ·反比例函数的表达式为y= (2)a<c<b.理由：.k=3>0, ∴函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增 大而减小. 点(-3，a),(1,b),（3,c)都在反比例函数的图象上，-3< 0<1<3, .∴.a<0<c<b,.a<c<b. 微专题二反比例函数中的面积问题 1.B2.B3.C4.C5.B6.-67.B8.B9.B10.B 11.D12.C13.B 14.解：(1)：一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m的 图象相交于点A(-1,n),B(2,1), 2 ∴.m=2×1=2,n= 12 2 ∴.反比例函数的表达式为y= ·一次函数y=x+b的图象经过A(-1,-2),B(2,1), 6+6=-2解得=， .2k+b=1, 1b=-1, .一次函数的表达式为y=x-1. (2)如图，设直线AB与x轴的交点为 点C, 在函数y=x-1中，当y=0时，x=1, .C(1,0),即0C=1, .S△oiB=S△Bc+S△Aoc 3 F2x1x1+2x1x2=2 15.B16.217.8 第五节反比例函数与一次函数的综合 重难突破·提能力 【例】解：(1)反比例函数的表达式为)=， 8 一次函数的表达式为y=-x+6. (2)x<0或2<x<4 (3)1提示： 方法一：直接用两点间距离公式，计算CA,AB,求解即可 方法二：分别过点A,B作y轴的垂线，利用相似求解. (4)点M的坐标为(0,10)或(0,2).[提示]易得点B(4,2). 由y=-x+6得C(0,6) 设点M的坐标为(0，m),则CM=Im-61, 1 .S△AWB=S&RCM-S△Awc= ×(4-2)×1m-61=4, 解得m=10或m=2, .点M的坐标为(0,10)或(0,2). (5)点P在直线AB上，.设P(a,-a+6). :S△AoP:S△BOP=1:2,△AOP与△BOP的高相同， .AP:BP=1:2. 分两种情况：①如图，当点P在线段 AB上时，分别过点A,P,B作y轴的垂 线，垂足分别为G,N,H. .GW=0G-0N=a-2, HN=0N-0H=-a+4. AGPN∥BH, GN AP ,即a-21 HN BP a+42解得a=8 六点P的坐标为停》 ②当点P在线段BA的延长线上时，与①同理可得点P的坐 标为(0,6) 综上所述，点P的坐标为33 810 或(0,6) 【解题通法】线段比 核心考点·分类练 1.D2.C3.(-1,-1) 4解.1)把A3,4)代人y=兰，得=x4=2, 六反比例函数的解析式为)=12 (2)A(3,4),.0A=√/32+42=5. 四边形OABC是菱形， .AB=0A=5,AB∥0C,B(8,4). 设直线OB的解析式为y=mx(m≠0)， 1 把B(8,4)代入，得4=8m,m=2: ·直线0B的解析式为)y二2 1 ·点D是反比例函数与正比例函数图象的交点 12 Y=- .联立 1 =26或x=-26, 解得 y=2, y=6y=-6. x>0,∴.D(26,6) 5.B6.-1≤x<0或x≥2 7解：()由表格知，当=-子时，2x+6=a,即-746=a, 当x=a时，2x+b=1,即2a+b=1. 联5w得化2 .一次函数的表达式为y=2x+5,.当x=1时，y=7. 由表格知，当x=1时，==7，k=7, X 反比例函数的表达式为y=7 x 当x= 3时=(3）-2 当x=a=-2时，y=2 补全表格如下： x 2 -2 1 2x+b -2 7 x -2 2