第3章 第5节 反比例函数与一次函数的综合-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

,0.9<1,13.5>0,.y随x的增大而减小， ·.该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内不超过 最高允许的1.0mg/L 当堂达标检测 1C2D3D4B5.D6y=(答案不唯-) 7.16000 8解：(1)把(1,3)代入y=中，得3= 1k=3, 3 ·反比例函数的表达式为y= (2)a<c<b.理由：.k=3>0, ∴函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增 大而减小. 点(-3，a),(1,b),（3,c)都在反比例函数的图象上，-3< 0<1<3, .∴.a<0<c<b,.a<c<b. 微专题二反比例函数中的面积问题 1.B2.B3.C4.C5.B6.-67.B8.B9.B10.B 11.D12.C13.B 14.解：(1)：一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m的 图象相交于点A(-1,n),B(2,1), 2 ∴.m=2×1=2,n= 12 2 ∴.反比例函数的表达式为y= ·一次函数y=x+b的图象经过A(-1,-2),B(2,1), 6+6=-2解得=， .2k+b=1, 1b=-1, .一次函数的表达式为y=x-1. (2)如图，设直线AB与x轴的交点为 点C, 在函数y=x-1中，当y=0时，x=1, .C(1,0),即0C=1, .S△oiB=S△Bc+S△Aoc 3 F2x1x1+2x1x2=2 15.B16.217.8 第五节反比例函数与一次函数的综合 重难突破·提能力 【例】解：(1)反比例函数的表达式为)=， 8 一次函数的表达式为y=-x+6. (2)x<0或2<x<4 (3)1提示： 方法一：直接用两点间距离公式，计算CA,AB,求解即可 方法二：分别过点A,B作y轴的垂线，利用相似求解. (4)点M的坐标为(0,10)或(0,2).[提示]易得点B(4,2). 由y=-x+6得C(0,6) 设点M的坐标为(0，m),则CM=Im-61, 1 .S△AWB=S&RCM-S△Awc= ×(4-2)×1m-61=4, 解得m=10或m=2, .点M的坐标为(0,10)或(0,2). (5)点P在直线AB上，.设P(a,-a+6). :S△AoP:S△BOP=1:2,△AOP与△BOP的高相同， .AP:BP=1:2. 分两种情况：①如图，当点P在线段 AB上时，分别过点A,P,B作y轴的垂 线，垂足分别为G,N,H. .GW=0G-0N=a-2, HN=0N-0H=-a+4. AGPN∥BH, GN AP ,即a-21 HN BP a+42解得a=8 六点P的坐标为停》 ②当点P在线段BA的延长线上时，与①同理可得点P的坐 标为(0,6) 综上所述，点P的坐标为33 810 或(0,6) 【解题通法】线段比 核心考点·分类练 1.D2.C3.(-1,-1) 4解.1)把A3,4)代人y=兰，得=x4=2, 六反比例函数的解析式为)=12 (2)A(3,4),.0A=√/32+42=5. 四边形OABC是菱形， .AB=0A=5,AB∥0C,B(8,4). 设直线OB的解析式为y=mx(m≠0)， 1 把B(8,4)代入，得4=8m,m=2: ·直线0B的解析式为)y二2 1 ·点D是反比例函数与正比例函数图象的交点 12 Y=- .联立 1 =26或x=-26, 解得 y=2, y=6y=-6. x>0,∴.D(26,6) 5.B6.-1≤x<0或x≥2 7解：()由表格知，当=-子时，2x+6=a,即-746=a, 当x=a时，2x+b=1,即2a+b=1. 联5w得化2 .一次函数的表达式为y=2x+5,.当x=1时，y=7. 由表格知，当x=1时，==7，k=7, X 反比例函数的表达式为y=7 x 当x= 3时=(3）-2 当x=a=-2时，y=2 补全表格如下： x 2 -2 1 2x+b -2 7 x -2 2 7 (2)x的取值范围为2<<0或>1 [提示]由表格信息，可得两个函数图象的交点坐标分别为 (子-2小(1,7).画图如图 6 3 7-6-5-4-3-2-10 123456783 -6 当y=2+b的图象在y=的图象上方时，x的取值范围 为了<0成o1 8解：(1)分别将点A(-2,m),点B(n,-1)代入，=8中， 可得-2m=-8,-n=-8,解得m=4,n=8, ∴.点A的坐标为(-2,4)，点B的坐标为(8，-1). 把点A(-2,4),B(8,-1)分别代入y1=x+b, 1 可将 k=- 2 b=3, 1 “直线的表达式为1=2+3. (2)当y1>y2时，x<-2或0<x<8. (3)由(1)知y1=-2+3,令x=0,则y=3, C(0,3),点D的纵坐标为3. 把=3代入=8中，得=- 3 点D的坐标为(-0 3 1 8 4 am2×3(4-3)=3 9.解：(1)一次函数y=kx-2的图象与x轴交于点A(-1,0), ∴.0=-k-2,解得k=-2, ·.一次函数的表达式为y=-2x-2 把B(-2,a)代人y=-2x-2,得a=-2×(-2)-2=2, .B(-2,2) 把B(-2,2)代入y=得2=2解得m=-4, 二反比例函数的表达式为y=-4 (2)A(-1,0),.A0=1. 由题意知点B(-2,2)与点C关于原点成中心对称 ∴C(2,-2). 如图，过点B作BE⊥x轴于点E,过 点C作CD⊥x轴于点D,则BE=2, CD=2, 1 六Sa0c=Sa0s+Sa0c=2×1x2+ 2 1×2=2. 10.解：(1)令x=0,则y=k,x+2=2, .D(0,2),.0D=2. OD .tan ZACO= OC =2,.OC=1.∴.C(-1,0) 将点C(-1,0)代人y=kx+2,得-k1+2=0,.k,=2, .一次函数的表达式为y=2x+2. 将点A(m,4)代入y=2x+2,得m=1,.A(1,4) 把A1,4)代入y=,得，=y=4. ·反比例函数的表达式为)： 4 y=2x+2, (2)联立 化4子 =x1 (y=-2 B(-2,-2). 如图，连接DE,过点B作BH⊥y轴 于点H,则BH=2,0H=2,.DH=4. 在Rt△DOE和Rt△BHD中， (DE=BD, OD=HB. .Rt△DOE≌Rt△BHD(HL), .OE=DH=4,.CE=5, .S△ABE=S△ACE+S△BCE= 2CE·4+ 1 2x5x2=15 1 2CB,1yl=2×5x4 (3)当-2<x<0或x>1时，k1x+2> 当堂达标检测 1.C 2解：(1)把点A(-8,1)代入y=m 得1g解得m=-8。 ·反比例函数的解析式为y=-8 把点B(n,-4代入y三-，得-4=，解得n=2 ..B(2,-4) 把A(-8,1),B(2,-4)代入y=x+h,得8+6=L, (2k+b=-4, 1 解得 k2 b=-3, 1 .一次函数的解析式为y=2-3. (2)关于x的不等式x+b>m的解集为x<-8或0<<2. 3.解：(1)由题意，得-1+4=a,解得a=3,.B(-1,3) 将B(-1,3)代入y=中，得k=-3. :反比例函数的表达式为)= (2)一次函数y=x+4的图象向下平移m(m>0)个单位长度 后的图象的表达式为y=x+4-m, 令y=0,得x+4-m=0,解得x=m-4, ∴.点C的坐标为(m-4,0). 一次函数y=x+4的图象交x轴于点A, ∴.点A的坐标为(-4,0)，.AC=m 点B的坐标为(-1,3)， Sa0c=2m3=3,m=2 第六节二次函数的图象与性质 必备知识·夯根基 ②k5@(2） 2 ⑤(h,)⑥减小⑦增大⑧增大⑨减小四04c- ①k②小B4ac-b 4k⑤大6向上⑦向下 4a B左侧9右侧②0正①负2两3没有 重难突破·提能力 【例1】(1)y=x2+2x-3y=(x+1)2-4 (2)如图. 44 -3 42子4 (3)上x=-1(-3,0),(1,0)(0,-3) (4)<-1>-1-1小-4 (5)-4≤y≤12(6)y2<y,<y:(7)(-7,3)(8)4 【例2】①×②V③×④V⑤×⑥V⑦V⑧V√ 核心考点·分类练 1.C2.D3.BCD4.D5.D6.D 7.解：(1)当a=0,b=3时，二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x- b)+x(x-b)可化为y=x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)= 3x2-6x, -6 ÷此函数图象的对称轴为直线x=2x31 (2)当b=2a时，二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b) 可化为y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)=3x2-6ax+ 2a2, 抛物线的对称轴为直线x= -6a =a. 2×3 3>0,.抛物线开口向上 在0≤x≤1时，y随x的增大而减小，.a≥1. 在3≤x≤4时，y随x的增大而增大， a≤3，.1≤a≤3. （3)存在点4a,).B),c6,)均在西数y x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=3x2-2(a+b)x+ab的图象上， .y1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b)=a2-ab, =3）-2o+62）d /a+b) =3x（a+b) -(a+b)2+ab 4 =-(a+b)2 4+ab=- 1,ab1, 24+ =- y3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=62-ab. .y+my2+y3=0, 「1 .a-ab+m(a-b)+b-ab=0, 整理，得(a-6(l-)-0 a,b为两个不相等的实数， u-b≠0,1-4m=0,解得m=4. 8.解：(1)①=②<③> (2).x1=1,2<x2<3,∴.3<x2+x1<4, .3×-b<4,.-4<b<-3. (3)范粉线(6c0的顶点坚标为（兰生） 对称纳为直线=合>0 当x=0时，y=c,当x=1时，y=1+b+c. ①当在x=0处取得最大值，在x=1处取得最小值时，之≥ 1,即b≤-2， 有c-(16e)=6解得6=爱合去 25 ②当在x=0处取得最大值，在顶点处取得最小值时， 22<1,即-2<b<-1, 1.b 3 3 有c4名解得=（舍去）或6=2了 ③当在x=1处取得最大值，在顶点处取得最小值时，0< 即1de0, 有1+6+c4c-b2、9 4161 部得6：子（合去）或6=号 ④当号时，6：-1，此时在0或a1处取得最大位。 在：=处取得最小值，经计算可得最大值与最小值的差为 1,与题干矛盾，心6=-1不符合题意 综上所述，6的值为或号 1 当堂达标检测 1.C2.D3.C4.二 5.(1)解：二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3中，1>0， .二次函数的图象开口向上 二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点， .二次函数的最小值小于2a2, 即4(3a2-2a+3)-4(a+1） 4 =2a2-4a+2<2a2,解得a>2 (2)解：二次函数的图象与x轴有交点， ∴.x2+2(a+1)x+3a2-2a+3=0有实数根， .4=4(a+1)2-4×1×(3a2-2a+3)=-8a2+16a-8=-8(a- 1)2≥0，∴.8(a-1)2≤0 又.8(a-1)2≥0， .8(a-1)2=0,解得a=1. (3)证明：当x=0时， =w-2wg=o写g0, 该二次函数的图象不经过原点.第五节 反比例函数与一次函数的综合 回1 重难突破·提能力。 【例】（多维设问）如图1，已知一次函数y=kx+b(k,<0)与反比例函数 解题通法 k2 y=(,>0)的图象交于点A(2,4),B(4,),与y轴交于点C,与 1.用待定系数法确定函数 表达式时，反比例函数只 x轴交于点D. 需要一个点即可确定，一 (1)直接写出反比例函数与一次函数的表达式. 次函数一般需要两个点 确定 2.直线与双曲线两支都有 0 交点时，结合图象比较函 数值大小只需要以交点和 图1 原点为界限分类讨论即 (2)结合图象，直接写出关于x的不等式kx+b>的解集 可；直线与双曲线一支相 交时结合图象比较函数值 大小，除需要以交点和原 点为界限分类讨论外，还 (3)4 的值为 需要讨论双曲线另一支所 AB 在区域函数值的大小 (4)如图2，点M是y轴上的一个动点，若S△AwB=4,直接写出点M 关系. 的坐标 3.题千中出现面积比，通 常要转化为 ·常 用方法是通过构造相似三 角形，利用相似比结合题 干条件进行推理和计算， 图2 (5)若点P是直线AB上一点，SA4om:S△Bop=1:2,求点P的坐标. C B 0 D x 备用图 63 核心考点·分类练。 考点一函数图象的位置判断 形的顶点A(3,4),连接OB,OB与反比例函数 1.(2023·泰安)一次函数y=ax+b与反比例函 图象交于点D. 数y=心(a,b为常数且均不等于0)在同一坐 (1)求反比例函数解析式， (2)求直线OB的解析式和点D的坐标. 标系内的图象可能是 D 2.（2024·大庆)在同一平面直角坐标系中，函 数=如-子0)与=奇的人致肉象为 考点三求不等式（组）的解集 5.（2023·潍坊)如图，在 直角坐标系中，一次函 B3,1) 数y,=x-2与反比例函 数，=3的图象交于A, A(-1,-3) B两点，下列结论正确的是 A.当x>3时，y1<y2 B.当x<-1时，y1<y2 C.当0<x<3时，y1>y2 D.当-1<x<0时，y<y2 6.(2024·威海)如图，在平面 直角坐标系中，直线y,= ax+b(a≠0)与双曲线y2= 考点二交点问题 3.（2025·深圳)如图，同一平面 (k≠0)交于点A(-1,m), 直角坐标系下的正比例函数 B(2,-1).则满足y1≤y2的x的取值范围 0 是 y=ax与反比例函数)=2-“相 7.(2024·山东)列表法、表达式法、图象法是三 交于点A和点B.若A的横坐标为1，则B的 种表示函数的方法，它们从不同角度反映了 坐标为 自变量与函数值之间的对应关系.下表是函 4.(2025·德阳)如图，已知菱形OABC,点C在 数y=2x+6与)=部分自变量与函数值的对 k x轴上，反比例函数y=“（x>0)的图象经过菱 应关系： 64 > 9.（2025·资阳)如图，在平面直角坐标系中，0 X 2 a 为坐标原点.一次函数y=kx-2的图象与x轴 2x+b a k 交于点A(-1,0),与反比例函数y=m的图象 7 交于点B(-2,a),射线B0与反比例函数的图 (1)求a,b的值，并补全表格 象交于点C,连接AC (2)结合表格，当y=2x+b的图象在y=二的图 (1)求一次函数和反比例函数的表达式. 象上方时，直接写出x的取值范围 (2)求△ABC的面积 10.(2024·淄博)如图，一次函数y=k,x+2的图 考点四与面积有关的问题 象与反比例函数y=:的图象相交于A(m, 8.(2024·泰安)直线y,=x+b(k≠0)与反比例 8 函数2=-8的图象相交于点A(-2,m), 4),B两点，与x,y轴分别相交于点C,D,且 tan∠AC0=2. B(n,-1),与y轴交于点C (1)分别求这两个函数的表达式 (1)求直线y的表达式 (2)以点D为圆心，线段DB的长为半径作 (2)若y1>y2,请直接写出满足条件的x的取 弧与x轴正半轴相交于点E,连接AE,BE.求 值范围 △ABE的面积 (3)过C点作x轴的平行线交反比例函数的 (3)根据函数的图象直接写出关于x的不等 图象于点D,求△ACD的面积， 式，x+2的解集 65 当堂达标检测⊙ 1.(2025·连云港)如图，正比例函数y1=kx3.(2025·甘肃)如图，一次函数y=x+4的图象 (k,<0)的图象与反比例函数y2=二(k,<0)的 交x轴于点A,交反比例函数y=(k≠0，x< 图象交于A,B两点，点A的横坐标为-1.当 0)的图象于点B(-1,a).将一次函数y=x+4 y1<y2时，x的取值范围是 的图象向下平移m(m>0)个单位长度，所得 A.x<-1或x>1 的图象交x轴于点C. B.x<-1或0<x<1 (1)求反比例函数y=的表达式. C.-1<x<0或x>1 D.-1<x<0或0<x<1 (2)当△ABC的面积为3时，求m的值. 2.（2025·广安)如图，一次函数y=kx+b(k,b为 常数，k≠0)的图象与反比例函数y=m（m为 常数，m≠0)的图象交于A,B两点，点A的坐 00 标是(-8,1)，点B的坐标是(n,-4) (1)求一次函数和反比例函数的解析式. (2)根据函数图象直接写出关于x的不等式 kx+b>m的解集 B 请完成“复习作业本”P26~P27 66