第3章 第7节 二次函数图象的变换(含解析式的确定)及与方程、不等式的关系-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

微专题三二次函数区间最值问题 1.A2.-43.B4.C5.C6.17.D8.A9.a≥6 第七节二次函数图象的变换（含解析 式的确定)及与方程、不等式的关系 必备知识·夯根基 ①两个不相等②两个相等③无④上⑤下 重难突破·提能力 【例1】(1)y=2x2+4x-6 (2)y=3x2-39 24 变式1y= 2x+6 (3)y=-x2+2x+8 变式2y=-2x2+4x-8 (4)y=x2-2x+1(答案不唯一) 【例2】(1)y=x2-6x+6(2)y=-x2+2x+1(3)y=x2+2x-1 (4)y=-x2-2x+1(5)y=-x2+2x-3(6)y=x2+6x+7 核心考点·分类练 1.y=-x2+x+2(答案不唯一) 、1 2解：抛物线)=x2+b+c的对称轴为直线x=-么 2 2 b=1,.抛物线的表达式为y=x2+x+c. 把A(-2,5)代入，得4-2+c=5,.c=3, 二次函数的表达式为y=x2+x+3. 3.C4.(1,-3) 5.解：(1).点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图 象上， .∴.4a+2b-3=-3,解得b=-2a, .二次函数的解析式为y=ax2-2ar-3, ·二次函数图象的对称轴为直线=-20=1， 2a ,∴.m=1. (2)点Q(1,-4)在y=ax2-2ax-3的图象上， ∴a-2a-3=-4,解得a=1, y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ·.将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的 二次函数图象的解析式为y=(x-1)2-4+5=(x-1)2+1. ,·a=1>0,0≤x≤4，.当x=1时，函数有最小值为1， 当x=4时，函数有最大值为(4-1)2+1=10， 新的二次函数的最大值与最小值的和为10+1=11. (3):y=ax2-2ax-3的图象与x轴的交点为(x1,0), (x2,0)(x1<x2), 3 .x1+x2=2,x1x2= ,12 3 x-x,=x+)-4名=√4+ =2√1+ a 4,<64<21+<6,解得 3 a<l. 6.B7.①②④ 8.解：(1)：该抛物线经过点(4,3)， ∴.3=42-4×4m+2m+1,解得m=1, .y=x2-4x+3=(x-2)2-1, .抛物线的顶点坐标为(2，-1). (2)y=x2-4mx+2m+1=(x-2m)2-4m2+2m+1, ·.抛物线的对称轴为直线x=2m,抛物线开口向上. ·.·2m-3≤x≤2m+1,2m-(2m-3)=3,(2m+1)-2m=1, .当x=2m-3时，y取最大值4， .4=(2m-3-2m)2-4m2+2m+1, 解得m=)或m= (3)当x=0时，y=2m+1;当x=1时，y=-2m+2. :该抛物线与线段OA(不含端点)恰有一个交点， ∴.当2m+1>0时，-2m+2<0,解得m>1; 当2m+1<0时，-2m+2>0,解得m<-2 综上，m>1或m<-2 1 当堂达标检测 1.D2.B3.D4.y=3x2-2 5.y=x2-2x-36.k≥3 7.解：(1)把A(1,-2)和B(0,-5)代入y=x2+bx+c,得 1+6=-2解得=2： (c=-5, lc=-5, .二次函数的表达式为y=x2+2x-5. .·y=x2+2x-5=(x+1)2-6, 图象的顶点坐标为(-1，-6). (2)当y≤-2时，x的取值范围是-3≤x≤1， 第八节二次函数的实际应用 1.450 2.解：连接CF分别交MH,NG于点Q,P, p G 如图. .·∠A=∠B=90°，.AF∥BC 又.·AF=BC=1米， .四边形ABCF是平行四边形. M ∴.CF∥AB,∴.∠AFC=∠BCF=90 四边形MNGH是矩形， .∠HMN=∠MNG=90°，MH=NG, ∴.四边形AMQF,NBCP均为矩形， .∠HQF=∠GPC=90°，MQ=AF=NP=BC=1米，FQ=AM, PC=BN. '∠BCG=∠AFH=135°，∴.∠HFQ=∠GCP=45°， .FQ=HQ,CP=GP,..FQ=HQ=MH-MQ=MH-1. 同理，得CP=MH-1, ..AM=NB=MH-1, .MN=AB-AM-NB=3-(MH-1)-(MH-1)=5-2MH, ∴.SE形GH=MN·MH=(5-2MH)）·MH =5wn-2Mr=-2wr-wm） 当MH=?米时，矩形铁皮M小G的面积最大，最大面积 是平方米 3.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=x+b(k≠0)， 把(40,164)，(50,124)代入， 得164406+解得怎4， 124=50k+b, (b=324. .y与x之间的函数关系式为y=-4x+324(30≤x≤80，且x 是整数).第七节 二次函数图象的变换（含解析式的确定）》 及与方程、不等式的关系 。必备知识·夯根基。 已知条件 常设解析式 任意三点坐标 般式：y=ax2+bx+c(a≠0) 二次函数解 与x轴的两个交点坐标+任意一点坐标 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 析式的确定 顶点坐标+任意一点坐标 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0) 对称轴+最值+任意一点坐标 1.从图象上考虑：二次函数图象平移的实质是图象上点的整体平移，平移过程中：不变 2.从解析式上考虑：二次函数图象平移规律如下表： 二次函数图象的变 一般式 顶点式 平移方式 简记 y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0) 向上平移n(n>0)个 y=ax2+bx+c +n y=a(x-h)2+k +n 单位长度 上下平移： （含解 二次函数图 等式右边整 象的平移 向下平移n(n>0)个 y=ax2+bx+c -n y=a(x-h)2+k -n 体上加下减 单位长度 y=a(x+m)2+ 的确定)及与方程 向左平移m(m>0)个 y=a(x +m-h)2+k 单位长度 b(x +m)+c 左右平移： 向右平移m(m>0)个 y=a(x-m)2+ x左加右减 y=a(x -m-h)2+k 单位长度 b(x -m)+c 、不等式的关系 变换前的 变换后的 变换方式 变换后的a 变换后的解析式 解析式 顶点坐标 沿x轴翻折 a变为原来的相反数 (h,-k) y=-a(x-h)2-k 二次函数图 沿y轴翻折 a不变 (-h,k) y=a(x+h)2+k 象的翻折、 绕顶点旋转180° a变为原来的相反数 (h,k) y=-a(x-h)2+k 旋转 y=a(x-h)2+ k(a≠0) 绕原点旋转180° a变为原来的相反数 (-h,-k) y=-a(x+h)2-k 绕二次函数图象 (-h, y=-a(x+h)2+ 与y轴的交点旋转 a变为原来的相反数 2ah2+k) 2ah2+k 180° 73 抛物线与x轴有两个交点台方程ax2+bx+c=0有① 的实数 一次函数 二次函 根，根为交点横坐标b2-4ac≥0 数与一 抛物线与x轴有一个交点→方程ax2+bx+c=0有② 的实数 象 元二次 根，根为交点横坐标-b2-4ac=0 方程 变 二次函数与方程 抛物线与x轴无交点台方程ax2+bx+c=0③ 实数根台b2 不等式的关系 4ac<0 解 二次函 不等式ax2+bx+c>0的解集台二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴 的 ④ 方对应点的横坐标的取值范围 数与一 定 元二次 及 不等式ax2+bx+c<0的解集曰二次函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴 不等式 ⊙ 方对应点的横坐标的取值范围 【拓展】方程ax2+bx+c=t(a>0)的根可看作抛物线y=ax2+bx+c和直线 等 y=1交点的横坐标 的关系 t>y直，如抛物线①，方程ax2+bx+c=t有两个不相等的实数根； t=y顶点，如抛物线②，方程ax2+bx+c=t有两个相等的实数根； t<y顶意，如抛物线③，方程ax2+bx+c=t没有实数根. 重难突破·提能力 重难点一二次函数解析式的确定 【例1)(1)一般式已知二次函数的图象过(-2，-6)，(2,10)和(3,24)三点，则二次函数的解析式为 (2)交点式已知抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，且过点(1，-3)，则抛物线的解析式为 变式1)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,且 A(-2,0),C(0,6),对称轴为直线x=1,则二次函数的解析式为 (3)顶点式已知抛物线的顶点为M(1,9),且抛物线经过点A(-3,-7),则抛物线的解析式 为 变式2)已知二次函数的最大值为-6，其图象的对称轴为直线x=1,且经过点(2，-8)，则二次函 数的解析式为 (4)开放型老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质！ 甲：函数图象的顶点在x轴上； 乙：当x<1时，y随x的增大而减小； 丙：该函数图象的开口大小、形状均与函数y=x2的图象相同. 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数解析式： 74 重难点二二次函数图象的变换 【例2】（多维设问）在平面直角坐标系中，已知抛物线C:y=x2-2x-1 （1)若将抛物线C向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后的抛物线的解析 式为 (2)若抛物线C,与抛物线C关于x轴对称，则抛物线C,的解析式为 (3)若抛物线C,与抛物线C关于y轴对称，则抛物线C,的解析式为 (4)将抛物线C绕原，点旋转180°所得抛物线的解析式为 (5)将抛物线C绕顶点旋转180°所得抛物线的解析式为 (6)已知抛物线C经过点P(-1,2),将抛物线向左平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的解 析式为 。核心考点·分类练⑧ 考点一二次函数解析式的确定 考点二二次函数图象的变换 1.(2025·广东)已知二次函数y=-x2+bx+c的图 3.（2025·青岛)将二次函数y=x2-2x-3的图象 象经过点(c,0),但不经过原点，则该二次函数 在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到 的表达式可以是 .(写出一个即可)》 x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列 2.（2024·浙江节选)已知二次函数y=x2+bx+c 对新函数的描述正确的是 (b,c为常数)的图象经过点A(-2,5),对称轴 为直线x=?求二次函数的表达式 A.图象与y轴的交点坐标是(0，-3) B.当x=1时，函数取得最大值 C.图象与x轴两个交点之间的距离为4 D.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 4.(黔东南中考)在平面直角坐标系中，将抛物 线y=x2+2x-1先绕原点旋转180°，再向下平 移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 5.(2024·山东)在平面直角坐标系x0y中，点 P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象 上，记该二次函数图象的对称轴为直线x=m. (1)求m的值， (2)若点Q(m,-4)在y=ax2+bx-3的图象上， 将该二次函数的图象向上平移5个单位长度， 得到新的二次函数的图象.当0≤x≤4时，求 新的二次函数的最大值与最小值的和. 75 (3)设y=ax2+bx-3的图象与x轴交点为(x1, 下列结论： 0),(x2,0)(x1<x2).若4<x2-x1<6,求a的取 ①abc>0; 值范围， ②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两 个相等的实数根； ③当-4<x<1时，y的取值范围为0<y<5; ④若点(m,y),（-m-2,y2)均在二次函数图象 上，则y1=y2; ⑤满足ax2+(b+1)x+c<2的x的取值范围是 x<-2或x>3. 其中正确结论的序号为 8.(2024·德州)已知抛物线y=x2-4mx+2m+1, m为实数， 考点三二次函数与一元二次方程、不等式 (1)如果该抛物线经过点(4,3)，求此抛物线 6.(2024·泰安)如图所示是二次函数y=ax2+ 的顶点坐标 bx+c(a≠0)的部分图象，该函数图象的对称 (2)如果当2m-3≤x≤2m+1时，y的最大值 轴是直线x=1,图象与y轴交点的纵坐标是 为4，求m的值 2,则下列结论： (3)点0(0,0)，点A(1,0),如果该抛物线与 ①2a+b=0; 线段OA(不含端，点)恰有一个交点，求m的取 ②方程ax2+bx+c=0一定有一个根在-2和-1 值范围. 之间； 3 ③方程ax2+bx+c- =0一定有两个不相等的 实数根； ④b-a<2. 其中，正确结论的个数有 23 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.(2024·烟台)已知二次函数y=ax2+bx+c的y 与x的部分对应值如下表： -3 2 0 5 9 5 -27 76 。当堂达标检测 1.（2024·南通)将抛物线y=x2+2x-1向右平移 7.（宁波中考)如图，已知二次函数y=x2+bx+c 3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为( 图象经过点A(1,-2)和B(0,-5) A.(-4,-1) B.(-4,2) (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点 C.(2,1) D.(2,-2) 坐标 2.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数 (2)当y≤-2时，请根据图象直接写出x的取 y2=mx+n的图象，观察图象，当y,>y2时，x的 值范围。 取值范围是 A.-2<x<1 B.x<-2或x>1 C.x>-2 D.x<1 3.小嘉说：将二次函数y=x2的图象平移或翻折 后经过点(2,0)有4种方法： ①向右平移2个单位长度； ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单 位长度； ③向下平移4个单位长度； ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度， 小嘉说的方法中正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(2025·上海)抛物线y=3x2向下平移两个单 位所得的抛物线的解析式为 5.已知二次函数y=ax2+bx-3(a≠0)的图象经 过点(2，-3)，(-1,0)，则二次函数的表达式 为 6.(2024·济宁)将抛物线y=x2-6x+12向下平 移k个单位长度.若平移后得到的抛物线与 x轴有公共点，则k的取值范围是 请完成“复习作业本”P30~P31 77