第3章 第6节 二次函数的图象与性质&微专题3 二次函数区间最值问题-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

∴.点A的坐标为(-4,0)，.AC=m 点B的坐标为(-1,3)， Sa0c=2m3=3,m=2 第六节二次函数的图象与性质 必备知识·夯根基 ②k5@(2） 2 ⑤(h,)⑥减小⑦增大⑧增大⑨减小四04c- ①k②小B4ac-b 4k⑤大6向上⑦向下 4a B左侧9右侧②0正①负2两3没有 重难突破·提能力 【例1】(1)y=x2+2x-3y=(x+1)2-4 (2)如图. 44 -3 42子4 (3)上x=-1(-3,0),(1,0)(0,-3) (4)<-1>-1-1小-4 (5)-4≤y≤12(6)y2<y,<y:(7)(-7,3)(8)4 【例2】①×②V③×④V⑤×⑥V⑦V⑧V√ 核心考点·分类练 1.C2.D3.BCD4.D5.D6.D 7.解：(1)当a=0,b=3时，二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x- b)+x(x-b)可化为y=x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)= 3x2-6x, -6 ÷此函数图象的对称轴为直线x=2x31 (2)当b=2a时，二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b) 可化为y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+x(x-2a)=3x2-6ax+ 2a2, 抛物线的对称轴为直线x= -6a =a. 2×3 3>0,.抛物线开口向上 在0≤x≤1时，y随x的增大而减小，.a≥1. 在3≤x≤4时，y随x的增大而增大， a≤3，.1≤a≤3. （3)存在点4a,).B),c6,)均在西数y x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)=3x2-2(a+b)x+ab的图象上， .y1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b)=a2-ab, =3）-2o+62）d /a+b) =3x（a+b) -(a+b)2+ab 4 =-(a+b)2 4+ab=- 1,ab1, 24+ =- y3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=62-ab. .y+my2+y3=0, 「1 .a-ab+m(a-b)+b-ab=0, 整理，得(a-6(l-)-0 a,b为两个不相等的实数， u-b≠0,1-4m=0,解得m=4. 8.解：(1)①=②<③> (2).x1=1,2<x2<3,∴.3<x2+x1<4, .3×-b<4,.-4<b<-3. (3)范粉线(6c0的顶点坚标为（兰生） 对称纳为直线=合>0 当x=0时，y=c,当x=1时，y=1+b+c. ①当在x=0处取得最大值，在x=1处取得最小值时，之≥ 1,即b≤-2， 有c-(16e)=6解得6=爱合去 25 ②当在x=0处取得最大值，在顶点处取得最小值时， 22<1,即-2<b<-1, 1.b 3 3 有c4名解得=（舍去）或6=2了 ③当在x=1处取得最大值，在顶点处取得最小值时，0< 即1de0, 有1+6+c4c-b2、9 4161 部得6：子（合去）或6=号 ④当号时，6：-1，此时在0或a1处取得最大位。 在：=处取得最小值，经计算可得最大值与最小值的差为 1,与题干矛盾，心6=-1不符合题意 综上所述，6的值为或号 1 当堂达标检测 1.C2.D3.C4.二 5.(1)解：二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3中，1>0， .二次函数的图象开口向上 二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点， .二次函数的最小值小于2a2, 即4(3a2-2a+3)-4(a+1） 4 =2a2-4a+2<2a2,解得a>2 (2)解：二次函数的图象与x轴有交点， ∴.x2+2(a+1)x+3a2-2a+3=0有实数根， .4=4(a+1)2-4×1×(3a2-2a+3)=-8a2+16a-8=-8(a- 1)2≥0，∴.8(a-1)2≤0 又.8(a-1)2≥0， .8(a-1)2=0,解得a=1. (3)证明：当x=0时， =w-2wg=o写g0, 该二次函数的图象不经过原点. 微专题三二次函数区间最值问题 1.A2.-43.B4.C5.C6.17.D8.A9.a≥6 第七节二次函数图象的变换（含解析 式的确定)及与方程、不等式的关系 必备知识·夯根基 ①两个不相等②两个相等③无④上⑤下 重难突破·提能力 【例1】(1)y=2x2+4x-6 (2)y=3x2-39 24 变式1y= 2x+6 (3)y=-x2+2x+8 变式2y=-2x2+4x-8 (4)y=x2-2x+1(答案不唯一) 【例2】(1)y=x2-6x+6(2)y=-x2+2x+1(3)y=x2+2x-1 (4)y=-x2-2x+1(5)y=-x2+2x-3(6)y=x2+6x+7 核心考点·分类练 1.y=-x2+x+2(答案不唯一) 、1 2解：抛物线)=x2+b+c的对称轴为直线x=-么 2 2 b=1,.抛物线的表达式为y=x2+x+c. 把A(-2,5)代入，得4-2+c=5,.c=3, 二次函数的表达式为y=x2+x+3. 3.C4.(1,-3) 5.解：(1).点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图 象上， .∴.4a+2b-3=-3,解得b=-2a, .二次函数的解析式为y=ax2-2ar-3, ·二次函数图象的对称轴为直线=-20=1， 2a ,∴.m=1. (2)点Q(1,-4)在y=ax2-2ax-3的图象上， ∴a-2a-3=-4,解得a=1, y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ·.将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的 二次函数图象的解析式为y=(x-1)2-4+5=(x-1)2+1. ,·a=1>0,0≤x≤4，.当x=1时，函数有最小值为1， 当x=4时，函数有最大值为(4-1)2+1=10， 新的二次函数的最大值与最小值的和为10+1=11. (3):y=ax2-2ax-3的图象与x轴的交点为(x1,0), (x2,0)(x1<x2), 3 .x1+x2=2,x1x2= ,12 3 x-x,=x+)-4名=√4+ =2√1+ a 4,<64<21+<6,解得 3 a<l. 6.B7.①②④ 8.解：(1)：该抛物线经过点(4,3)， ∴.3=42-4×4m+2m+1,解得m=1, .y=x2-4x+3=(x-2)2-1, .抛物线的顶点坐标为(2，-1). (2)y=x2-4mx+2m+1=(x-2m)2-4m2+2m+1, ·.抛物线的对称轴为直线x=2m,抛物线开口向上. ·.·2m-3≤x≤2m+1,2m-(2m-3)=3,(2m+1)-2m=1, .当x=2m-3时，y取最大值4， .4=(2m-3-2m)2-4m2+2m+1, 解得m=)或m= (3)当x=0时，y=2m+1;当x=1时，y=-2m+2. :该抛物线与线段OA(不含端点)恰有一个交点， ∴.当2m+1>0时，-2m+2<0,解得m>1; 当2m+1<0时，-2m+2>0,解得m<-2 综上，m>1或m<-2 1 当堂达标检测 1.D2.B3.D4.y=3x2-2 5.y=x2-2x-36.k≥3 7.解：(1)把A(1,-2)和B(0,-5)代入y=x2+bx+c,得 1+6=-2解得=2： (c=-5, lc=-5, .二次函数的表达式为y=x2+2x-5. .·y=x2+2x-5=(x+1)2-6, 图象的顶点坐标为(-1，-6). (2)当y≤-2时，x的取值范围是-3≤x≤1， 第八节二次函数的实际应用 1.450 2.解：连接CF分别交MH,NG于点Q,P, p G 如图. .·∠A=∠B=90°，.AF∥BC 又.·AF=BC=1米， .四边形ABCF是平行四边形. M ∴.CF∥AB,∴.∠AFC=∠BCF=90 四边形MNGH是矩形， .∠HMN=∠MNG=90°，MH=NG, ∴.四边形AMQF,NBCP均为矩形， .∠HQF=∠GPC=90°，MQ=AF=NP=BC=1米，FQ=AM, PC=BN. '∠BCG=∠AFH=135°，∴.∠HFQ=∠GCP=45°， .FQ=HQ,CP=GP,..FQ=HQ=MH-MQ=MH-1. 同理，得CP=MH-1, ..AM=NB=MH-1, .MN=AB-AM-NB=3-(MH-1)-(MH-1)=5-2MH, ∴.SE形GH=MN·MH=(5-2MH)）·MH =5wn-2Mr=-2wr-wm） 当MH=?米时，矩形铁皮M小G的面积最大，最大面积 是平方米 3.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=x+b(k≠0)， 把(40,164)，(50,124)代入， 得164406+解得怎4， 124=50k+b, (b=324. .y与x之间的函数关系式为y=-4x+324(30≤x≤80，且x 是整数).第六节 二次函数的图象与性质 。必备知识·夯根基 概念 形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)的函数 般式 顶点式 交点式 三种解析式 y=ax2+bx+c(a≠0) y=a(x-h)2+k(a≠0) y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 42 a>0 开口向上 鼓 u<0 开口向下 二次函数 的图象与 对称轴 直线x=① 直线x=② 直线x=③ 性质 顶点坐标 ④ ⑤ 在对称轴左侧时，y随x增大而⑥ a>0 在对称轴右侧时，y随x增大而⑦ 二次函数的图象与性质 增减性 在对称轴左侧时，y随x增大而⑧ a<0 在对称轴右侧时，y随x增大而⑨ 当x= b时， 2 当x=h时， 当x= +2时， a>0 2 y有最小值① 最 y有最小值⑩ y有最② 值 当x=h时， a<0 当。 当， y有最大值B y有最大值④ y有最⑤ 值 a 决定开口方向 a>0台开口6 ;a<0曰开口⑦ b=0=对称轴为y轴 a,b 决定对称轴的位置 a,b同号→对称轴在y轴的⑧ a,b异号→对称轴在y轴的 简记：左同右异 二次函数 图象与系 c=0→抛物线过原点 数a,b,c 决定与y轴的交点 c c>0→抛物线与y轴交于四 半轴 的关系 位置 c<0→抛物线与y轴交于@ 半轴 b2-4ac=0曰与x轴有唯一交点（顶点） 决定与x轴的交点 b2-4ac b2-4ac>0→与x轴有2 个交点 个数 b2-4ac<0曰与x轴②3 交点 67 重难突破·提能力 重难点一二次函数的图象与性质 重难点二二次函数图象与系数a,b,c的关系 【例1】（多维设问）在探究二次函数y=ax2+bx+c 【例2】在平面直角坐标系中，已知二次函数y= (a≠0)的图象与性质的过程中，x与y的几组 ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.判断下列 对应值如下表： 结论的正误： 12 05 (1)该二次函数的解析式为 化为顶点式为 (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出函 ①abc>0:( 数的图象 ②b2>4ac;( ③2a-b=0;( 4 ④a-b+c<0;( 2 1 ⑤3a+c>0;( 5432+1 145 ⑥(a+c)2<b2;() 2 -k-- ⑦4a+2b+c>0;( 4 -5 ⑧若m为任意实数，则有a+b≥m(am+b). (3)该二次函数图象开口向 (填 ( ) “上”或“下”)，对称轴为直线 ,与 提分关键 x轴的交点坐标为 ,与y轴的交点坐 标为 (1)由开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断a, (4)当x 时，y随x的增大而减小；当 b,c的符号。 时，y随x的增大而增大；当x= (2)由抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac与0 时，函数有最 值，为 的关系 (5)当-3≤x≤3时，y的取值范围 (3)由对称轴的位置判断2a±b的符号 是 (4)判断a±b+c,4a±2b+c的符号，令x=±1，x=±2， (6)若点A(-5,y1),B(-2,y2),C(4,y3)在该 观察纵坐标 二次函数的图象上，则y1,y2y3的大小关系为 (5)判断a,c或b,c的关系，利用对称轴与x等于 .(用“<”连接)》 某个值时y的式子联立求解 (7)若点M(5,3)关于该二次函数图象对称轴对 (6)判断(a+c)2与b2的大小：先因式分解，再利用 称的点为点N,则点N的坐标为 x等于某两个值的式子联立求解 (8)若该二次函数的图象上有且只有三个点 (7)判断a+b与m(am+b)的大小，由二次函数的增 到x轴的距离等于p,则p的值为 减性判断有关m(am+b)的不等式 68 。核心考点·分类练 考点一二次函数的图象与性质 正确的个数为 1.(2025·威海)已知点(-2，y1),(3,y2), (7,y3)都在二次函数y=-(x-2)2+c的图象 上，则y1y2y3的大小关系是 ( 73 A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y1 A.1个 B.2个 C.3个D.4个 2.(2025·陕西)在平面直角坐标系中，二次函 5.(2024·东营)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠ 数y=ax2-2ax+a-3(a≠0)的图象与x轴有两 0)的图象如图所示，则下列结论正确的是 个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则 下列关于该函数的结论正确的是 A.图象的开口向下 B.当x>0时，y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于-3 D.当x=2时，y<0 A.abc<0 3.(多选)(2025·潍坊)已知二次函数y=ax2+ B.a-b=0 bx+c,自变量x与函数值y的部分对应值如 C.3a-c=0 下表 D.am2+bm≤a-b(m为任意实数) 2 6.（2025·烟台)如图，二次函数y=ax2+bx+c的 m 部分图象与x轴的一个交点A位于(-2,0)和 下列说法正确的是 (-1,0)之间，顶点P的坐标为(1，n).下列 A.若c≤0，则函数图象的开口向上 结论： B.关于x的方程ax2+bx+c=m的两个根是-1 ①abc<0; 和4 ②对于任意实数m,都有am2+bm-a-b≥0； C.点(a,c)在一次函数y=2x+2的图象上 ③3b<2c; D代数式：的龄大值为 ④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点 考点二二次函数图象与系数a,b,c的关系 为B,且△PAB是等边三角形，则n=-3 4.(2025·达州)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠ 其中所有正确结论的序号是 0)与x轴交于点A(1,0),点B(3,0),下列 结论： ①abc<0; ②4a+b=0; 2-10 x=1 ③b2-4ac>0; A.①② B.①3 ④a-b+c>0. C.①④ D.①③④ 69 考点三二次函数纯性质综合 8.(2024·威海)已知抛物线y=x2+bx+c 7.(2025·山东)已知二次函数y=x(x-a)+ (b<0)与x轴交点的坐标分别为(x1,0), (x-a)(x-b)+x(x-b),其中a,b为两个不相 (x2,0),且x1<x2 等的实数 (1)若抛物线y1=x2+bx+c+1(b<0)与x轴交 (1)当a=0,b=3时，求此函数图象的对称轴. 点的坐标分别为(x3,0),(x4,0),且x3<x4·试 (2)当b=2a时，若该函数在0≤x≤1时，y随 判断下列每组数据的大小（填写“<”“=”或 x的增大而减小；在3≤x≤4时，y随x的增大 “>”): 而增大，求a的取值范围。 ①x1+x2 x3+x4; (3)若点A(a,,B,c6,)均在 ②x1-X3 x2-X4; ③x2+x3 x1+x4 该函数的图象上，是否存在常数m,使得y1+ (2)若x1=1,2<x2<3,求b的取值范围 my2+y3=0?若存在，求出m的值；若不存在， (3)当0≤x≤1时，y=x2+bx+c(b<0)最大值与 说明理由 放小值的若为。求》的简 70 当堂达标检测 1.(2025·淄博淄川区二模)函数y=ax2+ax+a5.(2025·连云港)已知二次函数y=x2+2(a+ (a≠0)的图象可能是下列图象中的() 1)x+3a2-2a+3,a为常数 (1)若该二次函数的图象与直线y=2a2有两 个交点，求a的取值范围. (2)若该二次函数的图象与x轴有交点，求a 的值 (3)求证：该二次函数的图象不经过原点， D 2.(2024·贵州)如图，二次函数y=ax2+bx+c的 部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3， 顶点坐标为(-1,4)，则下列说法正确的是 ( y (-1,4) 1-3 衣 A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐 标是2 C.当x<-1时，y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 3.（2025·安徽)已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象如图所示，则 A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b+c<0 4.二次函数y=-(x+1)2+2图象的顶点在第 象限 请完成“复习作业本”P28~P29 71 微专题三 二次函数区间最值问题 类型一在全体实数内的最值问题 ·方法指导 1.二次函数y=x2-4x+1的最小值是 方法一：二次函数的一般式转化 A.-3 B.3 C.-5 D.5 为顶点式：y=a(x-h)2+k. 2.如图是二次函数y=x2+bx+c的图象，则该函数的最小值是 方法二：先求出对称轴，再代入 解析式求值. ●方法指导 对称轴： 求自变量取值范围内的最值问 题，需结合函数图象进行判断. -10 (1)先判断函数在自变量取值范 围内的增减性： ①开口向下时，在对称轴左侧， y随x的增大而增大；在对称轴 类型二对称轴确定，自变量取值范围内的最值问题 右侧，y随x的增大而减小 ②开口向上时，在对称轴左侧， 3.二次函数y=x2-4x+m在1≤x≤m范围内有最大值4，则m的值 y随x的增大而减小；在对称轴 为 右侧，y随x的增大而增大. A.-1 B.4 C.7 D.4或7 (2)再判断与对称轴的距离： 4.(2024·乐山)已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1 ①开口向下时，离对称轴越远， 时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范 y值越小 围是 ②开口向上时，离对称轴越远， A.0<t≤2 B.0<t≤4 y值越大. C.2≤t≤4 D.t≥2 方法指导 5.已知二次函数y=mx2-2mx+3(m为常数，且m≠0)，当-1≤x≤ 以函数图象开口向上为例，分三 种情况： 2时，该二次函数有最小值2，则m的值是 ( A.1 B c1或 D1或对 m m！n 6.已知二次函数y=x2-2x-2,当3≤x≤4时，y的最小值是 图1 图2 类型三对称轴不确定，自变量取值范围内的最值问题 m n 7.已知二次函数y=-(x-h)2+5(h为常数)，在自变量x的值满足 图3 1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为-4，则h的 如图1，当对称轴在m左侧时 值为 ) 6 A.-2或4 B.0或6 C.1或3 D.-2或6 (2amy在x=m时取最小 8已流西致血+1，当-号≤时，两数影有是小值 1 值，在x=n时取最大值； 如图2，当对称轴在m,n之间时 则b的值为 b m<-2d 9<ny在x三22时取得 A2政号 最小值（顶点纵坐标）； 如图3，当对称轴在n右侧时， C.±√2 D-2或君 y在x=n时取最小值，在x=m 时取最大值 9.关于x的二次函数y=x2+(2-a)x+5,当1≤x≤3时，y在x=1 时取得最大值，则实数α的取值范围是 72