第3章 第1节 平面直角坐标系及函数初步-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

第三章函 数 。知识体系·巧构建⊙ 点的平移 列表法 有关概念 点的对称 函数 函数基础 平面直角坐标系 图象法 表示方法 坐标轴上的点 解析式法 坐标确定位置 求值 增减性 一般式 性质 解析式 系数的几何意义 比较大小 对称性 一次函数 二次函数 待定系数法 方案选择 反比例函数 图象与系数的关系 图象 利润最值 实际应用 图象的变化 拋物线型 其他实际应用 函数与方程（组） 次函数与方程（组）、不等式 不等式的关系 二次函数与一元二次方程 第一节 平面直角坐标系及函数初步 。必备知识·夯根基 (1)点P(x,y)在第一象限曰x>0,y>0 第二象限 第一象限 (2)点P(x,y)在第二象限台x<0,y① 0 （-,+) (+,+) 各象限内 (3)点P(x,y)在第三象限台x② 0,y<0 第三象限' 第四象限 (4)点P(x,y)在第四象限台x③ 0,y④ （-,-) （+,-) 0 (1)点P(x,y)在x轴上台⑤ =0 y 面直角坐标系及函数初 点的坐标特征 (2)点P(x,y)在y轴上⑥ =0 (0,y) 坐标轴上 (3)点P(x,y)在原点台⑦ (x,0) 0 注意：坐标轴上的点不属于任何象限； 原点既在x轴上，又在y轴上 (1)第一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 象限角 ⑧ 平分线上 (2)第二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为 ⑨ 39 x=n 点的坐标 (x,m) 平行于坐标(1)平行于x轴的直线上的点的0 坐标相等 Y=m 轴的直线上 (2)平行于y轴的直线上的点的① 坐标相等 征 (n,y) P(a,b)- 关于x轴对称 →P'② 口诀： P(a,b)- 关于y轴对 →P'B 对于坐标轴，关于谁对称谁不变，另一个变号； 关于原点对称 关于原点对称，互为相反数； 点的对称 P(a,b) 绕原点旋转180P'@ 关于直线y=x对称，横纵坐标互换； P(a,b)- 关于直线y=x对称P'⑤ 关于直线y=一x对称，横纵坐标互换且互为相 P(a,b) 关于直线)=x对称P的 反数 【温馨提示】(1)点(a,b)关于直线x三m对称的点的坐标为(2m-a,b) (2)点(a,b)关于直线y三n对称的点的坐标为(a,2n-b) (3)中点坠标公式：若4a6).B队c,d)为坐标系中任老两点，周线段B的史点垒标为空） 面直角坐标 P(x,y)- 左平移a个单位长度 →P'(x-a,y) 向右平移a个单位长 口诀： P(x,y) →P'0 及函 点的平移 向上平移a个单位长度P'⑧ 左右平移，左减右加； P(x,y)- 上下平移，上加下减 向下平移a个单位长度 步 (P(x,y)- P'9 点P(a,b)到x轴的距离为②0 点到坐标轴 P(a,b) 点P(a,b)到y轴的距离为@ 的距离 点P(a,b)到原点的距离为②2 平行于坐标 P1(x1,y）),P2(x2,y)为平行于x轴的直线L1上的两点， 点的距 轴的直线上 O (x,y) P1P2=1x1-x2 Q2(x,y2) 离特征 两点间的 Pi(x1,y) Q(x,y1),Q2(x,y2)为平行于y轴的直线2上的两点， 0 距离 QQ2=ly-y2I 坐标系中任 y Px1y） P:z) P1(x1,y1),P(x2,y2)为坐标系中任意两点， 意两点间的 距离 P1P2=√/(x1-x2)P+(y1-y2)7 40 函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定值，y都 有唯一的值与其对应，那么我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量 函数的表示方法：列表法、⑧ 和图象法 函数图象的画法：列表→描点→连线 函数解析式的形式 自变量x的取值范围 面直 整式型 全体实数 注：在实际 分式型y= 问题中，自 标 函数及函数自变 B≠0 B 变量的取值 其概念 量的取值 二次根式型y=√A 4 范围应使该 范围 分式与二次 y= A≥0且B≠0 问题有实际 步 B 根式结合型 A 意义 y 西 √B 1.分清函数图象的横、纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围 分析函数图象 2.找转折点、交点（与坐标轴的交点或两条线的交点）等特殊点，并弄清楚该点的含义 的基本要点 3.判断不同段函数图象的增减性，注意平行于横轴的线的纵坐标是一个常数 重难突破·提能力⊙ 重难点一平面直角坐标系中点的坐标特征 【例1】（多维设问）已知P(a,3a+6)是平面直角坐标系内的一点，试分别根据下列条件，直接求出点 P的坐标。 (1)若点P在y轴上，则点P的坐标为 (2)若点P在x轴上，则点P的坐标为 (3)若点P在第二象限内，则a的取值范围是 (4)若点P的纵坐标与横坐标互为相反数，则点P的坐标为 (5)若点P在第一、三象限角平分线所在的直线上，则点P的坐标为 (6)若a=2,则点P关于y轴的对称点为 ,关于x轴的对称点为 ,关于原点的对 称点为 (7)若=-2，将点P向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到对应点的坐标 为 重难点二平面直角坐标系中点的距离 【例2】（一题多变）已知点P(-3,4),则点P到x轴的距离为 ,点P到y轴的距离为 点P到原点的距离为 变式1)交换条件和结论，逆向求参 若点P的坐标改为(3，b),且点P到x轴的距离为5，则点P的坐标为 41 变式2)由点到线的距离转化为点到点的距离 若点Q(-1,4),则直线PQ与x轴的位置关系为 线段PQ的长为 变式3)已知两点间的距离，求点的坐标 若点P和点Q所在直线与y轴平行，且PQ=4,则点Q的坐标为 01 核心考点·分类练。 考点一平面直角坐标系中点的坐标特征 1.(2024·滨州)若点N(1-2a,a)在第二象限， 那么a的取值范围是 1 A.72 1 B.a<2 A种瓷砖B种瓷砖 1 1 012 34 c.0<a<2 D.0≤a<2 图1瓷砖图案 图2预铺图案 2.(2023·临沂)某小区的圆形花园中间有两条 A.(2024,2025)位置是B种瓷砖 B.(2025,2025)位置是B种瓷砖 互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂 花，如图所示.若A,B两处桂花的位置关于小 C.(2026,2026)位置是A种瓷砖 路对称，在分别以两条小路为x,y轴的平面直 D.（2025,2026)位置是B种瓷砖 角坐标系内，若点A的坐标为(-6,2)，则点B 5.（2024·山东)任取一个正整数，若是奇数，就 的坐标为 将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除 以2.反复进行上述两种运算，经过有限次运 算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰 雹猜想”在平面直角坐标系xOy中，将点 (x,y)中的x,y分别按照“冰雹猜想”同步进行 运算得到新的点的横、纵坐标，其中x,y均为 A.(6,2) B.(-6,-2) 正整数.例如，点(6,3)经过第1次运算得到点 C.(2,6) D.(2,-6) (3,10),经过第2次运算得到点(10,5)，以此 3.(2025·山东)在平面直角坐标系中，将点 P(3,4)向下平移2个单位长度，得到的对应 类推.则点(1,4)经过2024次运算后得到点 点P'的坐标是 考点二平面直角坐标系中点的规律 6.(2024·东营)如图，在平面直角坐标系中，已 4.(2025·威海)某广场计划用如图1所示的 知直线1的表达式为y=x,点A,的坐标为 A,B两种瓷砖铺成如图2所示的图案.第一 (2,0),以0为圆心，OA1为半径画弧，交直 行第一列瓷砖的位置记为(1,1)，其右边瓷砖 线l于点B1,过点B,作直线1的垂线交x轴 的位置记为(2,1)，其上面瓷砖的位置记为 于点A2;以O为圆心，OA2为半径画弧，交直 (1,2),按照这样的规律，下列说法正确的是 线l于点B2,过点B2作直线1的垂线交x轴 于点A3;以O为圆心，OA,为半径画弧，交直 42 线l于点B,过点B,作直线1的垂线交x轴 由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别 于点A4…按照这样的规律进行下去，点 为 ( A,24的横坐标是 A.100min,50℃ B.120min,50℃ B C.100min,55℃ B3 B D.120min,55℃ 10.(2024·威海)同一条公路连接A,B,C三地， 0 A A2 A3 A B地在A,C两地之间.甲、乙两车分别从 考点三函数自变量的取值范围 A地、B地同时出发前往C地.甲车速度始终 7.(2024·滨州)若函数y=,的解析式在实数 保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行 x-1 范围内有意义，则自变量x的取值范围是 驶.如图表示甲、乙两车之间的距离y(km)》 与时间x(h)的函数关系.下列结论正确的是 8.(2024·龙东)在函数y=-3 中，自变量x的 x+2 y/km 40 取值范围是 考点四函数图象的分析与判断 20 类型①实际背景类函数图象的分析与判断 012 x/1 9.(2024·滩坊)中国中医科学院教授屠呦呦因 其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔 A.甲车行驶h与乙车相遇 生理学或医学奖.某科研小组用石油醚做溶 B.A,C两地相距220km 剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条 C.甲车的速度是70km/h 件不变，分别研究提取时间和提取温度对青 D.乙车中途休息36分钟 蒿素提取率的影响，其结果如图所示： 11.(2025·青海)如图，甲、乙两车从A地出发 提取时间对青蒿素提取率的影响 前往B地，在整个行程中，汽车离开A地的 提取率/% 100 路程y(km)与时刻t之间的对应关系如图所 80 60 示，下列结论错误的是 40 y/km 20 300--- 0 50 100150200250提取时间/min 提取温度对青蒿素提取率的影响 甲 乙 提取率/% 100 06:007:008:3010:0011:00 无 A.乙车先到达B地 40 B.A,B两地相距300km 20 C.甲车的平均速度为100km/h 0 35 4550560提取温度/℃ 40 D.在8：30时，乙车追上甲车 43 类型②动点、动图类函数图象的分析与判断 12.(2025·烟台)如图，在△ABC中，∠ACB= 90°，AC=BC,AD是角平分线.点E从点A出 发，沿AB方向向点B运动，连接CE,点F在 S/cm S/cm2 6 63 BC上，且∠CEF=45°.设AE=x,FD=y,若y 3 33 关于x的函数图象过点(0,2-√2)，则该图象 681114t/s 03681114t/s 上最低点的坐标为 B S/cm2 S/cm2 6 63 33 33- 3 681114t7s 03681147s C 0 A(2) (53 14.(2025·湖北)如图1，在△ABC中，∠C= 90°，BC=4cm,AB=ncm.动点P,Q均以 c(分3-22 1cm/s的速度从点C同时出发，点P沿折线 C→B→A向点A运动，点Q沿边CA向点A运 13.(2024·烟台)如图，水平放置的矩形ABCD 动.当点Q运动到点A时，两点都停止运动. 中，AB=6cm,BC=8cm,菱形EFGH的顶点 △PCQ的面积S(单位：cm2)与运动时间t(单 E,G在同一水平线上，点G与AB的中点重 位：s)的关系如图2所示.（1)m= 合，EF=2√3cm,∠E=60°.现将菱形EFGH以 (2)n= 1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E S/cm 运动到CD上时停止，在这个运动过程中，菱 10 m 形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积 S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系图 4 10t/s 图1 象大致是 图2 当堂达标检测 1.(2025·成都)在平面直角坐标系x0y中，点 P(-2,a2+1)所在的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 A.(3,0) B.(0,2) D.第四象限 C.(3,2) D.(1,2) 2.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原3.(2025·河南)汽车轮胎的摩擦系数是影响行 点，点P的坐标为(2,1)，则点Q的坐标为 车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车 速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦 44 系数u与车速v(km/h)之间的函数关系如图 所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为 所示.下列说法中错误的是 ) 0.9 0.75 0.71 0 图1 图2 02560km/h) A.2 B.2.5 A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9 C.22 D.4 B.当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车 5.（2024·甘南州)若点P(3m+1,2-m)在x轴 速的增大而减小 上，则点P的坐标是 C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车 速应不低于60km/h 6(2025·威海一模)在函数y=1中，x的取 x-1 D.若车速从25km/h增大到60km/h,则这款 值范围是 轮胎的摩擦系数减小0.04 7.(2025·青岛模拟)在平面直角坐标系中，点 4.(2025·武威)如图1，在等腰直角三角形ABC A(a,2)与点B(-3,b)关于原点成中心对称， 中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点.动点P 则a+b= 从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运 8.（2025·青海)在平面直角坐标系中，点 动到点B时停止.设点P的运动路程为x, P(a-2,1+a)在第三象限，则a的取值范围是 △APD的面积为y,y与x的函数图象如图2 请完成“复习作业本”P18~P19 45(4)由(2)知，不等式组的解集为5<x≤a+2 大于5的整数为6,7,8，…，且不等式组有且只有3个整 数解， 这3个整数解为6,7,8， 8≤a+2<9,解得6≤a<7. 核心考点·分类练 1.A2.D3.C4.C 5.解：去分母，得3(3x-1)≤2(2x+1),去括号，得9x-3≤ 4x+2, 移项、合并同类项，得5x≤5， 系数化为1，得x≤1， ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示. -3-2-10123 6.A7.-1(答案不唯一) 12x-7<3(x-1),① 8.解：{1 1 2(x+1)-3≤1，② 解不等式①，得x>-4,解不等式②，得x≤3. 所以不等式组的解集是-4<x≤3 将不等式组的解集在数轴上表示如图所示. 54-3-2-101234 9解2 解不等式①，得x≤1， 解不等式②，得x>-3, 所以不等式组的解集为-3<x≤1， 所以它的所有负整数解为-2，-1. 10.0(答案不唯一)11.m≥-112.m≤113.-3≤a<-2 14解：(1)设A型机器人单价为x万元，则B型机器人单价为 （x-3)万元， 根据题意，得？9解得=9 经检验，x=9是原分式方程的解，且符合题意， .x-3=6, .A型机器人单价为9万元，B型机器人单价为6万元. (2)设配备A型机器人y台，则配备B型机器人(10- y)台， 、根据题意，得9+6(10-)≤70，解得y≤0. :要求A,B两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正 整数， .y的取值为1,2,3，共有3种方案 方案一：A型机器人1台，B型机器人9台； 方案二：A型机器人2台，B型机器人8台； 方案三：A型机器人3台，B型机器人7台. 15.解：任务一：设A种型号的新型垃圾桶的单价为x元，B种 型号的新型垃圾桶的单价为y元. 由题在，科红网解80 (y=100. 答：A种型号的新型垃圾桶的单价为60元，B种型号的新 型垃圾桶的单价为100元. 任务二：设购买A种型号的新型垃圾桶a个，则购买B种 型号的新型垃圾桶(200-a)个. 160a+100(200-a)≤15300 由题意，得 2 200-a≥3a, 解得117.5≤a≤120 a为整数，a=118或119或120 ,,有三种购买方案： ①购买A种型号的新型垃圾桶118个，购买B种型号的新 型垃圾桶82个： ②购买A种型号的新型垃圾桶119个，购买B种型号的新 型垃圾桶81个； ③购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新 型垃圾桶80个. 任务三：.·A种型号的新型垃圾桶价格更低， ∴购买A种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低， 即购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新 型垃圾桶80个更省钱， .最低购买费用为60×120+100×80=15200（元） 答：购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的 新型垃圾桶80个更省钱，最低购买费用是15200元. 当堂达标检测 1.C2.B3.a>24.m≤35.m<3 6.解：原不等式去分母，得3x-2-2(x+3)≤6， 去括号，得3x-2-2x-6≤6， 移项、合并同类项，得x≤14. 7.解：x≥-1x<4 在数轴上表示为 -5-4-3-2-1012345 -1≤x< 8.解：(1)设一条A型生产线每月生产抹茶xt,一条B型生产 线每月生产抹茶yt, 保据题意得仁仁0 答：一条A型生产线每月生产抹茶120t,一条B型生产线每 月生产抹茶80t. (2)设需要安装m条A型生产线，则安装(5-m)条B型生 产线. 根据题意，得4x120m+4×80(5-m)≥2000，解得m≥2 5 m为正整数，.m的最小值为3. 答：至少需要安装3条A型生产线 第三章函 数 第一节平面直角坐标系及函数初步 必备知识·夯根基 ①>②<③>④<⑤y⑥x⑦x=y=0⑧相等 ⑨相反数0纵①横②(a,-b)B(-a,b) ④(-a,-b)⑤(b,a）6(-b,-a）⑦(x+a,y) ⑧(x,y+a）9(x,y-a）201bl①lal2√a2+6 3解析式法②4A≥025B>0 重难突破·提能力 【例1】(1)(0,6)(2)(-2,0)(3)-2<a<0 4(引 (5)(-3,-3) (6)(-2,12)(2,-12)(-2,-12)(7)(0,2) 【例2】435 变式1(3,5)或(3，-5) 变式2平行2 变式3(-3,0)或(-3,8) 核心考点·分类练 1.A2.A3.(3,2)4.B5.(2,1)6.2127.x≠1 8.x≥39.B10.A11.C12.B13.D14.(1)8(2)12 当堂达标检测 1.B2.C3.C4.A5.(7,0)6.x≥0且x≠17.1 8.a<-1 第二节一次函数的图象与性质 必备知识·夯根基 ①<②>③一、三、四④二、三、四⑤增大⑥减小 ⑧b⑨y=k(x+m)+b0y=k(x-m)+b ①y=kx+b+m2y=kx+b-mB横④上⑤下6下 ⑦上 重难突破·提能力 【例1(1)-1(2)(2,0)(0,2)(3)>(4)m<2 3 (5)-、二，三(6)-1<m<乏(7)-1≤m 。3 3 例2】解：(1)①3②-7 (2)直线c经过点(0,3)，且与y=-2x+4垂直， 1 直线c的解析式为)2+3. .·将直线c向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长 度后得到直线d, ·直线d的解析武为y=2(x-2)+3+1,即y=2+3, (3).·将直线d绕原点顺时针旋转90°，得到直线e, .设直线e的解析式为y=-2x+b,易知直线d经过点(0,3)， .直线e经过点(3,0)，将(3,0)代入y=-2x+b,得0=-2× 3+b,解得b=6 .直线e的解析式为y=-2x+6. 核心考点·分类练 1.D2.A3.C4.2(答案不唯一)5.A 6.y=-x+2(答案不唯一)7.15 8.解：(1)方法一：根据表格，气体温度每升高1℃，气体体积 增大2L,则y=596+2(x-25)=2x+546. .y与x的函数关系式为y=2x+546. 方法二：设y=kx+b(k≠0)，把(25,596)，(30,606)代入，得 25k+b=596,解得k=6 30k+b=606, ∴y与x的函数关系式为y=2x+546. (2)当y=700时，得2x+546=700,解得x=77. 答：停止加热时的气体温度为77℃. 9D0A1分≤a<号 当堂达标检测 1.D2.A3.B4.B5.x=-26.1(答案不唯一，y>-3即可) 7.y=x+1(答案不唯一) 8.解：(1).在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的 图象经过点(1,3)和(2,5)， 1025低子 {2k+b=5, (2)2≤m≤3.[提示]由(1)可得函数y=kx+b(k≠0)的解 析式为y=2x+1,函数y=x+k的解析式为y=x+2. 当mx<2x+1时，则(m-2)x<1, 当mx<x+2时，则(m-1)x<2. 当x<1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既 小于函数y=kx+b的值，也小于函数y=x+k的值， .m-2≥0，且m-1≥0，.m≥2. 当m=2,x<1时，2x<2x+1和x<2恒成立，故m=2符合 题意； 当m>2时，则x< .2 m-1' 当1 m-1 得不等式之品得3 解不等式2 式m-21,得m≤32<m≤3， 当12时，则1， m-2m-1 m-2 解不等式后科a, 醒不等式2之1，得m≤3，此时不符合题意 综上所述，2≤m≤3. 第三节一次函数的实际应用 重难突破·提能力 【例】解：(1)点(0,3)表示A,B两点相距3km点(0.2,0)表 示甲出发0.2h到达B点 (2)120.8 (3)设z=x,则9=1.2h,解得k=15 15 2…yz=2 当x>0.2时，设yp=mxtn,则02m+n=0, (0.8m+n=9, 解得m=15.当>0.2时，y甲=15x-3, (n=-3. 同理可得，当x≤0.2时，y甲=-15x+3. (④)由15-3=5.得=04 .在整个运动过程中，甲、乙两人相遇时x的值为0.4. (5由15-35≤1，解得≤ 15 .0.4≤x≤15 8 核心考点·分类练 1解：(1)设乙车间每天能生产x件产品，则甲车间每天能生 产1.5x件产品. 由题意，得150210-1500=10，解得x=120.经检验， x+1.5x x=120是原方程的解，且符合题意，则1.5×120=180（件）. 答：甲车间每天能生产180件产品，乙车间每天能生产 120件产品. (2)设安排甲车间生产m天，则乙车间生产(30-m)天. 由题意，得m≤2(30-m),解得m≤20. 设生产总量为心， 由题意，得w=180m+120(30-m)=60m+3600. m>0,.心随着m的增大而增大， .当m=20时，w最大，即这30天的生产总量最大， .30-m=30-20=10, .应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天.