第2章 微专题1 一元二次方程根与系数的关系-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

微专题一一元二次方程根与系 类型一已知一根，求另一根及字母的系数 1.若关于x的一元二次方程(a-1)x2+a2x-a=0有一个根是x=1, 则a= 2.(2025·济宁邹城市一模)若关于x的方程x2-5x+k=0的一个 解是x=2,则另一个解是 3.若方程x2+3x+k-1=0的一个根为1，则方程的另一个根为 ,k的值为 类型二由根与系数的关系求代数式的值 4.若x1,x2是方程x2-2x-1=0的两个根，则2x,+2x2-x1x2的值为 A.5 B.-5 C.3 D.-3 5.(2025·青岛李沧区、西海岸新区、平度市联考)一元二次方程 x2+x-1=0的两根分别为x1,x2,则x+x2的值为 ( A.1 B.3 C.5 D.3 6.若m,n是一元二次方程x2-6x-1=0的两个根，则m2n+mn2的 值是 A.-1 B.-5 C.-6 D.6 7.(2024·成都)若m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数 根，则m+(n-2)2的值为 类型三由方程两根满足的关系确定字母的值或范围 8.(2025·济南槐荫区一模)已知关于x的方程x2+4x+k=0有两 个同号的实数根，则k的取值范围是 A.k<0 B.k>0 C.0≤k<4 D.0<k≤4 9.若关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两根为x1,x2,且x,+ x2+3x1x2≥5，则m的取值范围为 () 1 A.m≤。且m≠0 B.m≥ 3 3 1 C.3≤m≤4 D.m<3 10.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2+k=0的两个实数根分 别为x1,x2,且x+x2=4,则k的值是 A.-1或-2 B.-1或2 C.2 D.-1 数的关系 ·方法指导 方法一：先利用根与系数的关系 求出另一根，再根据方程的两根 及根与系数的关系求出字母 系数。 方法二：先把已知根代入方程， 求出字母的系数，再解方程求出 另一根 ·方法指导 常用五种“变形” (1)x2+x号=(x1+x2)2-2x1x2 （2)1+1+ x1 x2 x1x2 (3)(x1-x2)2=(x1tx2)2-4x1x2 (4)(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+ x2）+a2. (5)x1x2+xx2=xx2（x1+x2 ·方法指导 一元二次方程根与系数的关系 常与根的判别式相结合，一般按 下面方法解题： (1)一元二次方程根的情况 结合根的判别式 列出方程或不等式 确定字母的值或取值范围 (2)方程的根满足的条件 结合根与系数的关系 列出方程或不等式 确定字母的值或取值范围 29 11.(2025·泰安新泰市一模)若关于x的一元二次方程x2-6x+ m=0的两根为x1,x2,且x1=2x2,则m的值是 类型四不解方程由根与系数的关系判断根的正负 12.一元二次方程2x2-mx-3=0根的情况是 A.有两个相等的实根 B.有两个正根 C.有两个负根 D.有一个正根，一个负根 13.已知x1,x2是关于x的方程x2-2x-m2=0的两根，下列结论中 不一定正确的是 A.x1+x2>0 B.x1x2<0 C.x1≠x2 D.方程必有一正根 14.关于x的方程(x-1)(x+2)=p(p为常数)的根的情况，下列结 论：①两个正根；②两个负根；③一个正根，一个负根，正确的是 (写出序号) 类型五构造一元二次方程求代数式的值 15.若实数a,b分别满足a2-3a+2=0,b2-3b+2=0,且a≠b,则 1 16.已知a,6满是d2+2a-1=0,62+26-1=0,且a≠6，则9+6 b a 17.阅读材料：若a,b是一元二次方程x2+x-1=0的两个实数根， 则有a2+a-1=0,b2+b-1=0. 创新应用：若m,n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3, n2-n=3,求代数式2n2-mn+2m+2025的值. 30 >方法指导 (1)要使方程ax2+bx+c=0有两 个实数根，满足a≠0且4≥0. (2)利用两根和x1+x2,两根积 x1x2,结合条件判断. ●方法指导 (1)构造以两数为根的一元二次 方程！ (2)写出方程两根之和与两根 之积. (3)将代数式化简，代入计算.12.解：设小路的宽度为xm,则9块矩形地块可合成长为 (20-4x)m,宽为(14-4x)m的矩形地块.根据题意，得 (20-4x)(14-4x)=24×9, 整理，得2x2-17x+8=0, 解得=2x,=8(不符合题意，舍去). 答：小路的宽度为了m 13.解：(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为m. 由题意，得32(1+m)2=50, 解得m=25%或-2.25（舍去） 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%. (2)设购买这种健身器材x套. .·240000÷1600=150(套)，150>100 ,市政府从A公司购买套数超过100套 h在，利(600x40)=2000 化简，得x2-500x+60000=0,解得x=300或200. 由题意，得160-0x40≥100.5250. .100<x≤250，.x=200 答：购买这种健身器材的套数为200套 14.C15.A 当堂达标检测 1D2.A3B4x=±15.m> 6.-8 7.解：x2-9=2(x+3), .(x+3)(x-3)-2(x+3)=0, ∴.(x+3)(x-5)=0, .x+3=0或x-5=0 ∴.x1=-3,x2=5 8.解：(1)设该商场投入资金的月平均增长率为x 依题意，得20(1+x)2=24.2, 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意，舍去). 答：该商场投人资金的月平均增长率为10%. (2)由题意，得24.2×(1+10%)=26.62（万元）. 答：预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元 微专题一一元二次方程根与系数的关系 1.-12.x=33.-4-34.A5.D6.C7.78.D 9.c10.D11.812.D13.B14.③15.2 16.-6 17.解：：m,n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3,n2- n=3, .m,n是一元二次方程x2-x-3=0的两个实数根，n2= n+3, .∴.m+n=1,mn=-3, .2n2-mn+2m+2025=2(n+3)-(-3)+2m+2025 =2n+6+3+2m+2025=2(m+n)+2034 =2×1+2034=2+2034=2036. 第三节分式方程及其应用 必备知识·夯根基 ①未知数②最简公分母③检验④一作时恒 售价 ⑤ 标价 重难突破·提能力 【例】解：(1)任务一：①等式的基本性质 ②二完全平方公式展开错误 任务二：方程两边同乘(x-1)(x+2),得x(x+2)=(x-1)2, 去括号，得x2+2x=x2-2x+1, 移项、合并同类项，得4x=1, 系数化为1，得x=4 1 经检验，x=}是原方程的解， 41 ·原方程的解为x=4 2- ,(3)m≠-2且m≠-1(4)-1(5)m<-2 核心考点·分类练 1.A 2.解：(1)去分母，得x-2-2x+1=-1,解得x=0. 检验：当x=0时，2x-1≠0，故原分式方程的解为x=0. (2)去分母，得3(x-1)-(x+1)=0, 去括号，得3x-3-x-1=0,解得x=2. 检验：把x=2代入(x+1)(x-1)≠0 .原分式方程的解为x=2 3.B4A5.C6-17.B828,245=3 1 1+4)x 9.解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时， 则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦·时. 由题意，得160009600 2x-32x 整理，得5x=3(2x-32),解得x=96, 经检验，x=96是原分式方程的解，且符合题意 2x-32=160. 答一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时. 10.解：设小林跑步的平均速度为x米/秒，则小吉跑步的平均 速度为1.25x米/秒 由驱迹科罗0 800 解得x=4. 经检验，x=4是原方程的解，且符合题意. 答：小林跑步的平均速度为4米秒 当堂达标检测 1.C2.A3.B4.x=25.-1 6.解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里，则一 个工作队每小时人工更换钢轨0.5x公里 根据题意，得80116-2，解得x=2 0.5xx 经检验，x=2是原方程的根，且符合题意， 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里， 第四节一元一次不等式（组）及其应用 必备知识·夯根基 ①>②>③<④x>a⑤x≥a⑥x>a⑦b<x≤a⑧≥ ⑨≤ 重难突破·提能力 【例】解：(1)x>5x≤65<x≤66 (2)6 (3)解不等式①，得x>5,解不等式②，得x≤+2 不等式组无解，根据“大大小小取不了”的原则， ∴.a+2≤5，解得a≤3.