第2章 第4节 一元一次不等式(组)及其应用-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

第四节一元一次不等式（组）及其应用 必备知识·夯根基。 基本性质 文字表达 数学表达 在解不等式中的应用 不等式两边加（或减）同一个数（或 如果a>b,那么a±c 性质1 移项 式子)，不等号的方向不变 ① b±c 如果a>b,c>0,那么 不等式的 性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正 ac② bc 基本性质 数，不等号的方向不变 去分母，系数化为1 如果a>b,c<0,那么 不等式两边乘（或除以）同一个负 ac③ 性质3 be 数，不等号的方向改变 或<b cc 「解法步骤：去分母→去括号移项合并同类项系数化为1（注意：不等号方向是否改变） 元 解集 在数轴上的表示 总结 次 一元一次 x<a a 不等式的 解集在数轴 式 解法及解 ④ 方向：小于向左，大于向右； 组 上的表示 边界：“≤”“≥”用实心圆 集表示 x≤d 及其应用 点，“<”“>”用空心圆圈 ⑤ 解法步骤：(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集 (2)将每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来，找出它们的公共部分 (3)根据公共部分写出不等式组的解集，如果没有公共部分，那么不等式组无解 类型(a>b) 在数轴上的表示 解集 口诀 元一次 (x>a, ⑥ 同大取大 b a 不等式组 (x>b 的解法及 [x<a, 解集的类 x<b 同小取小 解集表示 (x<b 型及表示 (x≤u, 大小小大 ⑦ x>b 取中间 (x>a, 大大小小 无解 x≤b 266F 取不了 34 1.列不等式（组）解应用题的基本步骤： 公 (1)审题；(2)设未知数；(3)列不等式（组）；(4)解不等式（组）；(5)检验作答（注意：所取值 次不等 要符合实际意义) 2.常见的关键词与不等号的对应表： 一元一次不 等式（组）的 常见关键词 不等号 及 实际应用 大于，多于，超过，高于 小于，少于，不足，低于 < 角 至少，不低于，不小于，不少于 ⑧ 至多，不高于，不大于，不超过 ⑨ 重难突破·提能力⊙ 重难点一元一次不等式组中的参数问题 满分技法 3x-1 >x+2,① 已知整数解个数的不等式组中 【例】（多维设问）已知关于x的不等式组 2 含参问题的解题步骤： x-a≤2.② (1)分别解出两个不等式， (1)若a=4, (2)在数轴上画出含参不等式的 解不等式①得： 解集。 解不等式②得： (3)根据已知整数解的个数确定 则该不等式组的解集为 与含参不等式解集相邻的两个 该不等式组的所有整数解为 整数，转化为以参数为未知数的 (2)若不等式组的解集为5<x≤8，则a的值为 不等式组 (3)若不等式组无解，求a的取值范围. (4)解该不等式组即可. ◆易错提醒 (4)若不等式组有且只有3个整数解，求a的取值范围. 注意不等式组的解在满足整数 解个数时临界值是否可取，要根 据已知不等式的解集是否含 “=”决定 35 。1 核心考点·分类练⊙ 考点一不等式的基本性质 01234 1.(2025·广西)有两个容量足够大的玻璃杯， 分别装有a克水、b克水，a>b,都加入c克水 后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质 5(2025·达州)解不等式：3≤2， 3,并把解 量的大小关系的是 集表示在数轴上， A.a+c>b+c B.a+c=b+c 3-2-10123 C.a+c<b+c D.a-c<b-c 2.(2024·广州)若a<b,则 ( A.a+3>b+3 B.a-2>b-2 C.-a<-b D.2a<26 3.(2024·山东)根据以下对话， 1班所有人的身高 考点三一元一次不等式组的解法及解集表示 均不超过180cm. 3m-2≥1 6.(2023·烟台)不等式组 的解集在 我发现，1班同学的 2-m>3 1班班长 最高身高与2班同学的最 高身高之和为350cm. 同一条数轴上表示正确的是 2班所有人的身高 -101 -101 均超过140cm. B 哦，我还发现，1班 同学的最低身高与2班同 2班班长 0 -101 学的最低身高之和为 290cm. 给出下列三个结论： 7.（2024·山东)写出满足不等式 x+2≥1，的 2x-1<5 ①1班学生的最高身高为180cm; 一个整数解 ②1班学生的最低身高小于150cm; 2x-7<3(x-1), ③2班学生的最高身高大于或等于170cm. 上述结论中，所有正确结论的序号是( （2025·威海)解不等式组了2(x+1)-3≤1一 A.①② B.①③ 并把它的解集表示在数轴上. C.②③ D.①②③ 考点二一元一次不等式的解法及解集表示 4(2025·福建)不等式7+1<2的解集在数轴 上表示正确的是 01 34 0 A B 36 4x-3≤x, 机器人各至少配备1台，且购买这10台机器 9.(2025·扬州)解不等式组 3(x+1)>2x, 并写 人的总费用不超过70万元.求出所有配备 出它的所有负整数解. 方案 15.（2025·遂宁)为了建设美好家园，提高垃圾 考点四由不等式（组）的解集确定字母的 分类意识，某社区决定购买A,B两种型号的 值或范围 新型垃圾桶.现有如下材料： 10.(2024·湘台)关于x的不等式m- 材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶 ≤1-x 和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元； 有正数解，m的值可以是 .(写出一 购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个 个即可)》 B型号的新型垃圾桶共700元. x-1、x-2 材料二：据统计该社区需购买A,B两种型号 11(2023·聊城)若不等式组2≥3'的解 的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过 2x-m≥x 15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少 集为x≥m,则m的取值范围是 于A型号的新型垃圾桶数量的了 x-2>0 12.(龙东中考)关于x的不等式组 (x-m≤1 请根据以上材料，完成下列任务： 无解，则实数m的取值范围是 任务一：求A,B两种型号的新型垃圾桶的 13.(济宁中考改编)若关于x的不等式组 单价？ x-a>0, 任务二：有哪几种购买方案？ 仅有3个整数解，则α的取值范围 7-2x>5 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是 是 多少元？ 考点五一元一次不等式（组）的实际应用 14.（2025·潍坊)某企业为提高生产效率，采购 了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购 买A型机器人的总费用为90万元，购买 B型机器人的总费用为60万元，B型机器人 单价比A型机器人单价低3万元. (1)求A型、B型两种机器人的单价. (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择 10台配备到某生产线，要求A,B两种型号的 37 当堂达标检测⊙ 1.(2025·滨州模拟)如果x>y,那么下列正确的 7.（2025·深圳)解一元一次不等式组 是 ( 2x≥x-1,① A.x+5<y+5 B.x-5<y-5 2(x+2)<3,② 并在数轴上表示 C.5x>5y D.-5x>-5y 2.(2025·长春)下列不等式组无解的是( 解：由不等式①得： x>2, x>2, 由不等式②得： A. B. x>-1 xs-1 在数轴上表示为： C/2, D./c2, -5-4-3-2-1012345 x<-1 (x>-1 所以，原不等式组的解集为 3.(2025·泸州)若点(1，a-2)在第一象限，则a 8.(2025·贵州)贵州省江口县被誉为“中国抹 的取值范围是 茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产 车间.为满足市场需求，某抹茶车间准备安装 4.(2025·南充)不等式组 x-3>-1, 的解集是 -x<-m+1 A,B两种型号生产线.已知，同时开启一条 x>2,则m的取值范围是 A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共 2x-1<5, 200t,同时开启一条A型和两条B型生产线 5.已知关于x的不等式组 有解，则m x>m 每月可以生产抹茶共280t. 的取值范围是 (1)求一条A型和一条B型生产线每月各生 产抹茶多少吨？ 6.(2025·凉山州)解不等式： 3x-2x+3≤1. 63 (2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时安 装相同型号的A,B两种生产线共5条，该车 间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于 2000t,至少需要安装多少条A型生产线？ 请完成“复习作业本”P16~P17 3812.解：设小路的宽度为xm,则9块矩形地块可合成长为 (20-4x)m,宽为(14-4x)m的矩形地块.根据题意，得 (20-4x)(14-4x)=24×9, 整理，得2x2-17x+8=0, 解得=2x,=8(不符合题意，舍去). 答：小路的宽度为了m 13.解：(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为m. 由题意，得32(1+m)2=50, 解得m=25%或-2.25（舍去） 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%. (2)设购买这种健身器材x套. .·240000÷1600=150(套)，150>100 ,市政府从A公司购买套数超过100套 h在，利(600x40)=2000 化简，得x2-500x+60000=0,解得x=300或200. 由题意，得160-0x40≥100.5250. .100<x≤250，.x=200 答：购买这种健身器材的套数为200套 14.C15.A 当堂达标检测 1D2.A3B4x=±15.m> 6.-8 7.解：x2-9=2(x+3), .(x+3)(x-3)-2(x+3)=0, ∴.(x+3)(x-5)=0, .x+3=0或x-5=0 ∴.x1=-3,x2=5 8.解：(1)设该商场投入资金的月平均增长率为x 依题意，得20(1+x)2=24.2, 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意，舍去). 答：该商场投人资金的月平均增长率为10%. (2)由题意，得24.2×(1+10%)=26.62（万元）. 答：预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元 微专题一一元二次方程根与系数的关系 1.-12.x=33.-4-34.A5.D6.C7.78.D 9.c10.D11.812.D13.B14.③15.2 16.-6 17.解：：m,n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3,n2- n=3, .m,n是一元二次方程x2-x-3=0的两个实数根，n2= n+3, .∴.m+n=1,mn=-3, .2n2-mn+2m+2025=2(n+3)-(-3)+2m+2025 =2n+6+3+2m+2025=2(m+n)+2034 =2×1+2034=2+2034=2036. 第三节分式方程及其应用 必备知识·夯根基 ①未知数②最简公分母③检验④一作时恒 售价 ⑤ 标价 重难突破·提能力 【例】解：(1)任务一：①等式的基本性质 ②二完全平方公式展开错误 任务二：方程两边同乘(x-1)(x+2),得x(x+2)=(x-1)2, 去括号，得x2+2x=x2-2x+1, 移项、合并同类项，得4x=1, 系数化为1，得x=4 1 经检验，x=}是原方程的解， 41 ·原方程的解为x=4 2- ,(3)m≠-2且m≠-1(4)-1(5)m<-2 核心考点·分类练 1.A 2.解：(1)去分母，得x-2-2x+1=-1,解得x=0. 检验：当x=0时，2x-1≠0，故原分式方程的解为x=0. (2)去分母，得3(x-1)-(x+1)=0, 去括号，得3x-3-x-1=0,解得x=2. 检验：把x=2代入(x+1)(x-1)≠0 .原分式方程的解为x=2 3.B4A5.C6-17.B828,245=3 1 1+4)x 9.解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时， 则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦·时. 由题意，得160009600 2x-32x 整理，得5x=3(2x-32),解得x=96, 经检验，x=96是原分式方程的解，且符合题意 2x-32=160. 答一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时. 10.解：设小林跑步的平均速度为x米/秒，则小吉跑步的平均 速度为1.25x米/秒 由驱迹科罗0 800 解得x=4. 经检验，x=4是原方程的解，且符合题意. 答：小林跑步的平均速度为4米秒 当堂达标检测 1.C2.A3.B4.x=25.-1 6.解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里，则一 个工作队每小时人工更换钢轨0.5x公里 根据题意，得80116-2，解得x=2 0.5xx 经检验，x=2是原方程的根，且符合题意， 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里， 第四节一元一次不等式（组）及其应用 必备知识·夯根基 ①>②>③<④x>a⑤x≥a⑥x>a⑦b<x≤a⑧≥ ⑨≤ 重难突破·提能力 【例】解：(1)x>5x≤65<x≤66 (2)6 (3)解不等式①，得x>5,解不等式②，得x≤+2 不等式组无解，根据“大大小小取不了”的原则， ∴.a+2≤5，解得a≤3. (4)由(2)知，不等式组的解集为5<x≤a+2 大于5的整数为6,7,8，…，且不等式组有且只有3个整 数解， 这3个整数解为6,7,8， 8≤a+2<9,解得6≤a<7. 核心考点·分类练 1.A2.D3.C4.C 5.解：去分母，得3(3x-1)≤2(2x+1),去括号，得9x-3≤ 4x+2, 移项、合并同类项，得5x≤5， 系数化为1，得x≤1， ∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示. -3-2-10123 6.A7.-1(答案不唯一) 12x-7<3(x-1),① 8.解：{1 1 2(x+1)-3≤1，② 解不等式①，得x>-4,解不等式②，得x≤3. 所以不等式组的解集是-4<x≤3 将不等式组的解集在数轴上表示如图所示. 54-3-2-101234 9解2 解不等式①，得x≤1， 解不等式②，得x>-3, 所以不等式组的解集为-3<x≤1， 所以它的所有负整数解为-2，-1. 10.0(答案不唯一)11.m≥-112.m≤113.-3≤a<-2 14解：(1)设A型机器人单价为x万元，则B型机器人单价为 （x-3)万元， 根据题意，得？9解得=9 经检验，x=9是原分式方程的解，且符合题意， .x-3=6, .A型机器人单价为9万元，B型机器人单价为6万元. (2)设配备A型机器人y台，则配备B型机器人(10- y)台， 、根据题意，得9+6(10-)≤70，解得y≤0. :要求A,B两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正 整数， .y的取值为1,2,3，共有3种方案 方案一：A型机器人1台，B型机器人9台； 方案二：A型机器人2台，B型机器人8台； 方案三：A型机器人3台，B型机器人7台. 15.解：任务一：设A种型号的新型垃圾桶的单价为x元，B种 型号的新型垃圾桶的单价为y元. 由题在，科红网解80 (y=100. 答：A种型号的新型垃圾桶的单价为60元，B种型号的新 型垃圾桶的单价为100元. 任务二：设购买A种型号的新型垃圾桶a个，则购买B种 型号的新型垃圾桶(200-a)个. 160a+100(200-a)≤15300 由题意，得 2 200-a≥3a, 解得117.5≤a≤120 a为整数，a=118或119或120 ,,有三种购买方案： ①购买A种型号的新型垃圾桶118个，购买B种型号的新 型垃圾桶82个： ②购买A种型号的新型垃圾桶119个，购买B种型号的新 型垃圾桶81个； ③购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新 型垃圾桶80个. 任务三：.·A种型号的新型垃圾桶价格更低， ∴购买A种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低， 即购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新 型垃圾桶80个更省钱， .最低购买费用为60×120+100×80=15200（元） 答：购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的 新型垃圾桶80个更省钱，最低购买费用是15200元. 当堂达标检测 1.C2.B3.a>24.m≤35.m<3 6.解：原不等式去分母，得3x-2-2(x+3)≤6， 去括号，得3x-2-2x-6≤6， 移项、合并同类项，得x≤14. 7.解：x≥-1x<4 在数轴上表示为 -5-4-3-2-1012345 -1≤x< 8.解：(1)设一条A型生产线每月生产抹茶xt,一条B型生产 线每月生产抹茶yt, 保据题意得仁仁0 答：一条A型生产线每月生产抹茶120t,一条B型生产线每 月生产抹茶80t. (2)设需要安装m条A型生产线，则安装(5-m)条B型生 产线. 根据题意，得4x120m+4×80(5-m)≥2000，解得m≥2 5 m为正整数，.m的最小值为3. 答：至少需要安装3条A型生产线 第三章函 数 第一节平面直角坐标系及函数初步 必备知识·夯根基 ①>②<③>④<⑤y⑥x⑦x=y=0⑧相等 ⑨相反数0纵①横②(a,-b)B(-a,b) ④(-a,-b)⑤(b,a）6(-b,-a）⑦(x+a,y) ⑧(x,y+a）9(x,y-a）201bl①lal2√a2+6 3解析式法②4A≥025B>0 重难突破·提能力 【例1】(1)(0,6)(2)(-2,0)(3)-2<a<0 4(引 (5)(-3,-3) (6)(-2,12)(2,-12)(-2,-12)(7)(0,2) 【例2】435 变式1(3,5)或(3，-5) 变式2平行2 变式3(-3,0)或(-3,8)