第2章 第1节 一次方程(组)及其应用-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

第二章方程（组）与不等式（组） 知识体系·巧构建© 分式方程的解 不等式的解集 检验 代数式之间的大小关系 不等式 分式方程 相等 不等 的性质 去分母 关系 关系 元一次不等式 二元一次 消元 一元一次方程 方程 不等式 公 转化 方程组 降次 元一 次不等式组 部 元二次方程 概念 解法 实际应用 根的判别式 根与系数的关系 不等式组的解集 第一节 一次方程（组）及其应用 必备知识·夯根基 基本性质 文字表达 数学表达 在解方程中的应用 等式的基 等式两边加（或减）同一个数（或 性质1 若a=b,则a±c=b±c 移项 本性质与 式子)，结果仍相等 解方程 等式两边乘同一个数，或除以同 若a=b,则ac=bc; 去分母， 性质2 个不为0的数，结果仍相等 若a=b,c≠0，则0=b 系数化为1 CC 一元一（定义：等号两边都是整式，只含有① 个未知数，且未知数的指数都是② 的方程 程次方程（解一元一次方程的步骤：1.去分母；2.去括号；3.移项；4.合并同类项；5.未知数系数化为1 组 二元一次方程：含有③ 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是④ 的方程 二元一次方程组：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程 应 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解 [1.思想：二元一次方程消元一元一次方程 二元一次 方程（组）》 二元一次方 2.消元方法：代入消元和加减消元 程组的解法 【温馨提示】(1)当方程组中有一个方程的未知数的系数为1或-1时，常用代入消元法 (2)当方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，常用加 减消元法 *三元一次方程组（选学内容）：三元一次方程组消元二元一次方程组消元一元一次方程 18 般解题步骤：审、设、列、解、验、答 .利润问题：售价=标价×折扣：销售额=⑤ 10 ×销量；利润=⑥ -成本； 利润率= 利润 ×100% 成本 2.工程问题：工作量=工作效率x⑦ :总工作效率=各个单独做的效率之和 (1)相遇问题（同时不同地出发，如图1所示）： A B 等量：时间，即t甲=t之 甲→ 相遇处 乙 等量关系：路程，即s甲+s乙=S 图1 次方程 一次方 (2)追及问题 程（组） ①同时不同地出发（如图2所示）： s B 常见类型 的实际 甲→ s师乙→相遇处 及关系 等量：时间，即t甲=t之； 及其应 应用 3.行程问题 图2 等量关系：路程，即s甲S4C=S乙； ②同地不同时出发（甲出发a小时后乙出 发，在B处乙追上甲，如图3所示)： A 相遇处 等量：路程，即5甲=5乙； 图3 等量关系：时间，即tm=tz+a (3)航行问题：心顺水=U静水+”水流沙逆水=V静水一V水流 4.配套问题：m件A产品与n件B产品配套，则A产品的数量×n=B产品的数量×m 5.数字问题：数字问题常间接设未知数，如十位、个位上的数字分别为α，b的两位数为 10a+b;百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c的三位数为100a+10b+c 。重难突破·提能力 重难点一次方程（组）的实际应用 【例】（多维设问）某公司生产部门拟组织员工去户外团建，准备在 思路导引 某客运公司租车，该客运公司有60座和45座两种型号的客车 a.根据条件①，员工人数可用a 可供租用.①生产部门如果租用45座的客车a辆，那么还有 表示为 :根据条 15人没有座位：②如果租用60座的客车可少租2辆，且正好 件②，员工人数可用a表示 坐满， 为 (1)参加此次活动的员工共有多少人？ b.结合条件①和②列方程并 求解 19 (2)该公司销售部门昨天在这个客运公司租了③4辆60座和 ●思路导引 2辆45座的客车去户外团建，一天的租金共计5100元.若 a.根据题意，问什么，设什么：设 ④60座的客车每辆每天的租金比45座的客车多150元，客运公 客运公司60座的客车每辆每天 司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 的租金是x元，45座的客车每辆 每天的租金是y元 b.根据条件③可列方程： ;根据条件④可 列方程： c.结合条件③和④列方程组并 求解。 (3)若同时租用两种或一种客车，要使每位员工都有座位，且每 辆客车恰好坐满，有几种租车方案？哪一种租车方案最省钱？ ·思路导引 a.根据题意，问什么，设什么： b.根据题意可列二元一次方程： 60m+45n=420. c.讨论方程的自然数解，并将不 同方案下的费用进行比较得出 答案。 核心考点·分类练。 考点一解一元一次方程 2.(2024·滨州)解方程：3=2 2x-1_x+1 1.（2025·眉山)解方程：2(x-1)=2+x. 20 考点二解二元一次方程组 考点四一次方程（组）的实际应用 3x-2y=11,① 8.(2025·烟台)某商场打折销售一款风扇，若 3.(2025·山西)解方程组 x+2y=1.② 按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若 按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元.这 款风扇每台的标价为 A.350元 B.320元 C.270元 D.220元 9.(2025·山东)明代数学家吴敬的《九章算法 比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意 是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头 x-y=2, 8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头， 4.(2025·潍坊)解方程组： 2x+3y=-1. 108只手.问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有 x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为 x+3y=36, A. x+3y=36, B. 8x+6y=108 (6x+8y=108 3x+y=36, 3x+y=36, C. D. 8x+6y=108 6x+8y=108 10.(2024·贵州)在元朝朱世杰所著的《算学启 蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行 240里，慢马每天行150里，慢马先行12天， 考点三一次方程（组）中的含参问题 则快马追上慢马需要的天数是 5.(2025·贵州)已知x=2是关于x的方程x+11.(2025·吉林)吉林省长白山盛产人参.为促 m=7的解，则m的值为 ( 进我省特色经济的发展，某公司现将人参加 A.3 B.4 C.5 D.6 工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种 6.(眉山中考)已知关于x,y的二元一次方程组 商品的售价分别为每盒25元和20元.某游客 3x-y=4m+1, 的解满足x-y=4,则m的值为 购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元. (x+y=2m-5 求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数. A.0 B.1 C.2 D.3 7.（2024·宿迁)若关于x,y的二元一次方程组 a+y=6的解是=3，则关于，y的方程组 cx-y=d y=-2, (ax+2y=2a+b, 的解是 cx-2y=2c+d 21 当堂达标检测。 1.若一元一次方程3x-a=0的解为x=1,则a= x-2y=3, （淄博中考)解方程组：1+3v= A.1 B.2 C.3 0.3 2.(2025·河南模拟)已知关于x,y的二元一次 方程组+2，=则x-y的值为 (2x+y=4, A.-2 B.2 C.-3 D.3 3.(2025·德阳)在2000多年前的《九章算术》 中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出 九，盈十一；人出六，不足十六.问人数，物价各 8.(2024·徐州)中国古代数学著作《张邱建算 几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人 经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知 出9文钱，就多11文钱：如果每人出6文钱，就 其数.甲得乙十钱，多乙余钱五倍.乙得甲十 差16文钱.问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？ 钱，适等.问甲、乙怀钱各几何？”问题大意： 设买鸡的人数为x人，则x为 ( A.5 B.7 C.8 甲、乙两人各有钱币若干枚.若乙给甲10枚 D.9 4.(2025·泸州)《九章算术》是中国古代一部重 钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍， 要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定 即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙 方程（组）解的问题.例如方程x+2y=3恰有 10枚钱，此时两人的钱币数相等.问甲、乙原 一个正整数解x=1,y=1.类似地，方程2x+ 来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解 3y=21的正整数解的个数是 ( 答上述问题 A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2025·自贡)某小区人行道地 砖铺设图案如图所示.用10块 相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四 边形，若大平行四边形短边长40cm,则小地 砖短边长 A.7 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm 6.(2025·陕西)草莓熟了，学校组织同学们参 加劳动实践，帮助果农采摘草莓.小康和小悦 采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草 莓比小悦多2.4kg.已知小康平均每小时采摘 6kg,小悦平均每小时采摘4kg,小康采摘的 时长是 小时. 请完成“复习作业本”P9~P11 22核心考点·分类练 1.2(答案不唯一)2.13.m≥14.x-1 5.解：如选A,B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分 式，并化简，得2-8-2(a2)(92-2(a-2》(答案不 3a2+6a 3a(a+2) 3a 唯一) 6解：原式=(+1(-(1》 =(x+1)(x-1).x+2 x+1 =(x-1)(x+2) =x2+x-2. 当x=2时，原式=4+2-2=4. 762 m =m。.3(m-2》-3m m-2 m m=(-1)25=-1,.原式=3×(-1)=-3. 8解：a+1-3）a+2_2-1-3a+2 ÷ a-1a-1a-1a-1 =（a+2)(a-2),a-1 a-1a+2 =a-2. 当a=3+2时，原式=√3+2-2=√3. 9解：原式=(+2a）.a2-4 （a+2a+2)2 2.(a+2)(a-2）=a-2 a+2 2 由题意，得a≠±2， 选a=0时，原式=0-2=-2： 选a=1时，原式=1-2=-1. 10.解：原式=a-4厂a+2a-1 aLa(a-2)(a-2)2 -a-4:「(a+2)(a-2)a(a-1)7 a a(a-2)2a(a-2)2 =a-4,a2-4-a2+a_a-4.a(a-2）2 aa(a-2)2-a a-4 =(a-2)2=a2-4a+4. ·a+6c0s60°=0， .a2-4a+3=0,.a2-4a=-3,.原式=-3+4=1. 11.解：原式=0·，(a-b)2a-b a-b (a+b)(a-b)a+b =a a-bb a+b atb a+b 6-2a=06=2a,原式=2a=2 a+2a3 当堂达标检测 1.D2.A3.C4.1(答案不唯一)5.2 6.解：原式=L×m+1)1m+11m.1 m+义mm5m2mmm 7解：原式=32-x+3-1-3x2-x+(x-》x+12x (x+1)2Lx(x+1)x(x+1)J =x-1+(x-1)1-x (x+1)2x(x+1) =x-1(x-.x(x+1） (x+1)2x-1 =-1-=2-12.1 x+1x+1x+1x+1 当x=1-31+(T-4)°=3+1=4时，原式=-1 5 8解：m7m-44-2m :m-3*9-m2) ÷ m+3 (m7m-4) .2(2-m) m-3m2-9/ m+3 「m(m+3) 7m-4 m+3 (m+3)(m-3)(m+3)(m-3)]*2(2-m) [m2+3m 7m-4 m+3 【(m+3)(m-3)(m+3)(m-3)]*2(2-m) m2-4m+4 m+3 (m+3)(m-3)2(2-m) （m-2)2 m+3 -X- (m+3)(m-3)-2(m-2) m-2 =m-2 -2(m-3)6-2m 32-5=4,.32-5的平方根为±2 4-2m≠0且9-m2≠0，∴.m≠2且m≠±3， 又m为32-5的平方根，m=-2, -2-2 2 “原式=6-2x(-2)5 第二章方程（组）与不等式（组） 第一节一次方程（组）及其应用 必备知识·夯根基 ①一②1③两④1⑤售价⑥售价⑦工作时间 重难突破·提能力 【例】(1)【思路导引】45a+1560(a-2) 解：由题意，得45a+15=60(a-2),解得a=9, ∴.45a+15=45×9+15=420. 答：参加此次活动的员工共有420人. (2)【思路导引】4x+2y=5100x-y=150 解：设客运公司60座的客车每辆每天的租金是x元，45座 的客车每辆每天的租金是y元. 由题意，得250610解料0 (x-y=150, 答：客运公司60座的客车每辆每天的租金是900元，45座 的客车每辆每天的租金是750元. (3)【思路导引】设租用60座的客车m辆，45座的客车n辆 解：设租用60座的客车m辆，45座的客车n辆， 由题意，得60m+45n=420, m=73 4n又：m,n均为自然数， 共有3种租车方案。 方案1：租用60座的客车7辆，所需租车费用为900×7= 6300(元)： 方案2：租用60座的客车4辆，45座的客车4辆，所需租车 费用为900×4+750×4=6600（元）； 方案3：租用60座的客车1辆，45座的客车8辆，所需租车 费用为900x1+750×8=6900(元) ,6300<6600<6900. .∴.租用60座的客车7辆最省钱。 核心考点·分类练 1.解：去括号，得2x-2=2+x,移项，得2x-x=2+2 合并同类项，得x=4. 2.解：去分母，得2(2x-1)=3(x+1), 去括号，得4x-2=3x+3, 移项，得4x-3x=3+2, 合并同类项，得x=5. 3.解：①+②，得4x=12,解得x=3, 将x=3代人②，得3+2y=1,解得y=-1, 所以原方程组的解为x=3, (y=-1. 4解22 由①，得x=y+2.③ 将③代人②，得2(y+2)+3y=-1, 解得y=-1. 将y=-1代入③，得x=1, 该方程组的解为=引， (y=-1. 5.C6B7,8A9D1020 11解：设该游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒 由题意，得+y=10 20每每6 (25x+20y=230, 答：该游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒 当堂达标检测 1.C2.D3.D4.C5.B6.1.2 7器鉴理方程州仁的2 ①×2-②，得-7y=-7,解得y=1,把y=1代入①，得x-2=3, 解得x=5, 之方程的等为》 8.解：设甲有钱币x枚，乙有钱币y枚.由题意，得 +10=6(10),解得=38， lx-10=y+10, ly=18 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币. 第二节一元二次方程及其应用 必备知识·夯根基 ①2②≠③btv-4c④6-4c⑤不相等 2a ⑥62-4ac=0⑦b2-4ac<08-b ⑨C⑩a(1+x)2 ①a(1-x)22(a-2x)(b-2x)B(a-x)(6-x）(x-D 2 15x(x-1) 重难突破·提能力 【例1】【易错提醒】a≠0a≠0 解：(1)k≠3 (2)当k=4时，原方程为x2-3x+2=0. ①公式法：a=1,b=-3,c=2. △=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=9-8=1, -b±√6-4ac_3±√/T3±1 ..x= 2a 2 21 x1=1,x2=2. ②配方法：x2-3x+2=0,x2-3x=-2, -+()=-2+() 31 .x1=1,x2=2 ③因式分解法：x2-3x+2=0,(x-1)(x-2)=0, .x-1=0或x-2=0,x1=1,x2=2. (3)-2 (4),·一元二次方程(k-3)x2-3x+2=0有实数根， {-3)2-4x2x(k-3)≥0 k-3≠0， 解得≤设且k华3 (5)当k-3=0,即k=3时，方程为-3x+2=0, 2 解得x=3 方程有解满足题意。 当k-3≠0，即k≠3时，方程为一元二次方程， 由(4)得人≤且3 综上所述，k的取值范围是≤33 8 【例2【思路导引】(36-20-x)(40+10x) (36-20-x)(40+10x) 解：设应将每盒的售价降低x元， 由题意，得(36-20-x)(40+10x)=750, 解得x1=1,x2=11. 答：应将每盒的售价降低1元或11元 变式1解：当x=11时，36-11=25（元），不在28元~36元 的范围内，不合题意 当x=1时，36-1=35（元），在28元~36元的范围内，符合题 意 答：应将每盒的售价降低1元 变式2解：设应将每盒的售价降低y元， 由题意.得(36-20-y)(40+05x4=720. 整理，得y2-11y+10=0,解得y1=1,y2=10. 尽快减少库存，y=10. 答：应将每盒的售价降低10元 核心考点·分类练 1.D2.A 3.解：因式分解，得x(x-4)=0, 解得x1=0,x2=4. 4.解：整理，得x2-7x+12=0, 方法一：由求根公式，得 x=-（-7)±W-7)-4x1x127±1 2×1 2 x1=4,x2=3. 方法二：因式分解，得(x-4)(x-3)=0, 所以x-4=0或x-3=0, 解得x1=4,x2=3. 5.B6.C7.m>-48.B9.202710.6 11.解：(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x.根据题 意，得125(1-x)2=80, 解得x,=0.2=20%,x,=1.8(不符合题意，舍去) 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. (2)设购进y件甲种商品，则购进(100-y)件乙种商品. 根据题意，得(125-25×2)y+80(100-y)≤7800. 解得y≥40，..y的最小值为40. 答：最少购进40件甲种商品.