第2章 第2节 一元二次方程及其应用-【中考对策】2026年中考总复习数学（通用版）

第二节一元二次方程及其应用 。必备知识·夯根基。 概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是① 的方程 般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a② 0),其中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项， a,b分别称为二次项系数和一次项系数 解法 使用情况 方法步骤及注意事项 (1)ax2+c=0(a≠0，ac<0) (1)移项、二次项系数化为1，得2=-。，两边开方，得三 直接开 (2)(x+m)2=n(n≥0) 平方法 口决：方程没有一次项，直接 ±a 开方最理想 (2)两边开方，得x+m三万，即x三元-m (1)把二次项系数化为1，即方程两边同除以二次项系数 般用于： (1)二次项系数化为1后， (2)把常数项移到方程的另一边，即x2+px=-9 配方法 次项系数是偶数 (3)在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程 (2)各项的系数较小且便于 的形式 解法 整理+)-) 配方 (4)运用直接开平方法解方程 二次方程及其应 求根公式：x=③ (b2-4ac≥0)， 在使用求根公式时： 公式法 所有一元二次方程 (1)要先将一元二次方程化为一般形式 (2)确定a,b,c的值时要带符号 方程左边能分解为两个因式 一移：方程的右边=0 因式 的积，右边等于0，形如 二分：方程左边因式分解 分解法 x(ax+b)=0或(ax+b) 三化：方程化为两个一元一次方程 (cx+d)=0 四解：写出方程的两个解 [关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为④ 1.b2-4ac>0-一元二次方程有两个⑤ 的实数根 根的判别式 2.⑥ 一一元二次方程有两个相等的实数根 3.⑦ 台一元二次方程无实数根 根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=⑧ x1·x2=⑨ (常见变形见“微专题一”)》 23 增长量×100% （1)增长率=基础量 增长率（下 (2)设a为原来的量，b为变化后的量 降率)问题 若x为平均增长率，2为增长次数，则b=⑩ 若x为平均下降率，2为下降次数，则b=① 2.每每问题：总利润=（售价-成本）×数量 元 元二次 【温馨提示】在每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，每涨价x元，则少卖的数量为之·b件 次 方程的实 [(1)如图1，设阴影部分的宽为x,则S白=② 其 际应用 用 3.面积问题 图1 图2 图3 图4 (2)如图2,3,4，设阴影部分的宽为x,则S室白=B 4.循环赛（单循环淘汰赛（握手）问题：设x队进行m场比赛，则m=④ 制问题（互赠照片问题：全班x人，每人向其他人赠送一张，共赠送m张，则m=⑤ 5.传播间题：a+ax+(a+ax)x=a(1+x)2 起始一轮传二轮传 两轮传播 个数播个数 播个数 后的总个数 重难突破·提能力 重难点一一元二次方程根的判别式 ·易错提醒 【例1（多维设问）已知关于x的方程(k-3)x2-3x+2=0. 对于方程ax2+bx+c=0,只有当 (1)若方程是一元二次方程，则k的取值范围为 时才是一元二次方程； (2)当k=4时，请用三种方法解该方程。 若ax2+bx+c=0是一元二次方程， 则必然隐含着 这一 条件 (3)若关于x的一元二次方程(k-3)x2-3x+2=0一个根为-1， 则飞的值为 (4)若关于x的一元二次方程(k-3)x2-3x+2=0有实数根，求k 的取值范围。 ·易错提醒 (5)若方程有实数根，求k的取值范围， 若未指明方程类型，则需分情况 讨论 24 重难点二一元二次方程的应用一每每问题 【例2】（一题多变）某商店将进价为20元/盒的百合，定价为36元/盒 销售，这样平均每天可出售40盒.经调查发现，在进价不变的情 况下，售价每降低1元，平均每天就多卖10盒.要使利润达到 思路导引 750元，应将每盒的售价降低多少元？ a.若将每盒的售价降低x元，则每 盒盈利 元，商店平均每 天可售出 盒，共盈利 元 b.方程模型：单件利润×数量= 总利润，可具体为：（原单件利 润-降价)×（原销售量+多卖出 数量)=总利润. 变式1)增加限制条件条件不变，若售价在28元~36元范围 内时，要使利润达到750元，应将每盒的售价降低多少元？ 变式2)创设新情境条件不变，若售价每降价0.5元，平均每 天就多出售4盒，为了尽快减少库存，利润又要达到720元，应 将每盒的售价降低多少元？ 25 核心考点·分类练。 考点一一元二次方程及其解法 6.(2024·潍坊)已知关于x的一元二次方程 1.(2024·东营)用配方法解一元二次方程 x2-mx-n2+mn+1=0,其中m,n满足m-2n= x2-2x-2023=0时，将它转化为(x+a)2=b的 3,关于该方程根的情沉况，下列判断正确的是 形式，则a的值为 ( A.-2024 B.2024 A.无实数根 C.-1 D.1 B.有两个相等的实数根 2.(2024·凉山州)若关于x的一元二次方程 C.有两个不相等的实数根 (a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的 D.无法确定 值为 7.(2025·山东)若关于x的一元二次方程x2+ A.2 B.-2 4x-m=0有两个不相等的实数根，则实数m C.2或-2 1 的取值范围是 3.(2024·滨州)解方程：x2-4x=0. 考点三一元二次方程根与系数的关系 8.(2024·日照)已知，实数x1,x2(x1≠x2)是关 于x的方程x2+2kx+1=0(k≠0)的两个根. 若1+=2，则k的值为 ( 尤1X2 A.1 B.-1 c D.、 4.(2025·齐齐哈尔)解方程：x2-7x=-12. 9.(2025·绥化)已知m,n是关于x的一元二次 方程x2-2025x+1=0的两个根，则(m+1)(n+ 1)= 10.(2024·烟台)若一元二次方程2x2-4x-1=0 的两根为m,n,则3m2-4m+n2的值为 考点四一元二次方程的实际应用 考点二一元二次方程根的判别式 类型①变化率问题 5.(2024·泰安)关于x的一元二次方程2x2- 11.(2025·泸州)某超市购进甲、乙两种商品， 3x+k=0有实数根，则实数k的取值范围是 2022年甲、乙两种商品每件的进价均为 ( 125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件 9 A.k<8 9 B.k≤ 的进价年平均下降25元，乙种商品2024年 C.k≥8 9 每件的进价为80元. D.k<- 8 (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率 26 (2)2024年该超市用不超过7800元的资金 若购买不超过100套，每套售价1600元；若 一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购 超过100套，每增加10套，售价每套可降低 进多少件甲种商品： 40元，但最低售价不得少于1000元.已知市 政府向该公司支付货款24万元，求购买的这 种健身器材的套数： 类型②面积问题 12.（2025·威海)如图，某校有一块长20m、宽 14m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在 种植园的四周和内部修建宽度相同的小路 (图中阴影部分).小路把种植园分成面积均 类型④ 其他问题 为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的 14.(衢州中考)某人患了流感，经过两轮传染后 宽度 共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每 20m 人传染了x人，则可得到方程 () 14m A.x+(1+x)=36 B.2(1+x)=36 C.1+x+x(1+x)=36 D.1+x+x2=36 15.(泰安中考)我国古代著作《四元玉鉴》记载 “买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去 买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株 椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽 类型③每每问题 的价钱为6210文.如果每株椽的运费是 13.(2024·淄博)“我运动，我健康，我快乐！”随 3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰 着人们对身心健康的关注度越来越高，某市 好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多 参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的 少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题 32万人增加到2023年的50万人. 意的方程是 () (1)求该市参加健身运动人数的年均增 A.3(x-1)x=6210 长率 B.3(x-1)=6210 (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从 C.(3x-1)x=6210 A公司购买某种套装健身器材.该公司规定： D.3x=6210 27 。当堂达标检测 @ 1.(2025·潍坊)若一元二次方程x2-2x+c=0有8.(2024·西藏)列方程（组）解应用题 两个相等的实数根，则c的值为 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开 c 展了家电惠民补贴活动.四月份投入资金 A.-1 B.0 D.1 20万元，六月份投人资金24.2万元，现假定 2.(2025·新疆)如图，小明在数学综合实践活 每月投入资金的增长率相同， 动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围 (1)求该商场投人资金的月平均增长率. 栏围成一个面积为40m2的矩形场地.设矩形 (2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入 的宽为xm,根据题意可列方程 资金将达到多少万元？ x m A.x(24-2x)=40 B.x(24-x)=40 C.2x(24-2x)=40 D.2x(24-x)=40 3.毕业前夕，班主任王老师让每一位同学为班 级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送 870条，这个班级的学生总人数是() A.40 B.30 C.29 D.39 4.(2025·贵州)一元二次方程x2-1=0的根是 5.(2025·上海)一元二次方程2x2+x+m=0没 有实数根，那么m的取值范围是 6.已知m,n是一元二次方程x2-4x-12=0的两 个根，则m+n+mn的值为 7.(2025·德州模拟)解方程：x2-9=2(x+3) 请完成“复习作业本”P12~P13 282.解：去分母，得2(2x-1)=3(x+1), 去括号，得4x-2=3x+3, 移项，得4x-3x=3+2, 合并同类项，得x=5. 3.解：①+②，得4x=12,解得x=3, 将x=3代人②，得3+2y=1,解得y=-1, 所以原方程组的解为x=3, (y=-1. 4解22 由①，得x=y+2.③ 将③代人②，得2(y+2)+3y=-1, 解得y=-1. 将y=-1代入③，得x=1, 该方程组的解为=引， (y=-1. 5.C6B7,8A9D1020 11解：设该游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒 由题意，得+y=10 20每每6 (25x+20y=230, 答：该游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒 当堂达标检测 1.C2.D3.D4.C5.B6.1.2 7器鉴理方程州仁的2 ①×2-②，得-7y=-7,解得y=1,把y=1代入①，得x-2=3, 解得x=5, 之方程的等为》 8.解：设甲有钱币x枚，乙有钱币y枚.由题意，得 +10=6(10),解得=38， lx-10=y+10, ly=18 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币. 第二节一元二次方程及其应用 必备知识·夯根基 ①2②≠③btv-4c④6-4c⑤不相等 2a ⑥62-4ac=0⑦b2-4ac<08-b ⑨C⑩a(1+x)2 ①a(1-x)22(a-2x)(b-2x)B(a-x)(6-x）(x-D 2 15x(x-1) 重难突破·提能力 【例1】【易错提醒】a≠0a≠0 解：(1)k≠3 (2)当k=4时，原方程为x2-3x+2=0. ①公式法：a=1,b=-3,c=2. △=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=9-8=1, -b±√6-4ac_3±√/T3±1 ..x= 2a 2 21 x1=1,x2=2. ②配方法：x2-3x+2=0,x2-3x=-2, -+()=-2+() 31 .x1=1,x2=2 ③因式分解法：x2-3x+2=0,(x-1)(x-2)=0, .x-1=0或x-2=0,x1=1,x2=2. (3)-2 (4),·一元二次方程(k-3)x2-3x+2=0有实数根， {-3)2-4x2x(k-3)≥0 k-3≠0， 解得≤设且k华3 (5)当k-3=0,即k=3时，方程为-3x+2=0, 2 解得x=3 方程有解满足题意。 当k-3≠0，即k≠3时，方程为一元二次方程， 由(4)得人≤且3 综上所述，k的取值范围是≤33 8 【例2【思路导引】(36-20-x)(40+10x) (36-20-x)(40+10x) 解：设应将每盒的售价降低x元， 由题意，得(36-20-x)(40+10x)=750, 解得x1=1,x2=11. 答：应将每盒的售价降低1元或11元 变式1解：当x=11时，36-11=25（元），不在28元~36元 的范围内，不合题意 当x=1时，36-1=35（元），在28元~36元的范围内，符合题 意 答：应将每盒的售价降低1元 变式2解：设应将每盒的售价降低y元， 由题意.得(36-20-y)(40+05x4=720. 整理，得y2-11y+10=0,解得y1=1,y2=10. 尽快减少库存，y=10. 答：应将每盒的售价降低10元 核心考点·分类练 1.D2.A 3.解：因式分解，得x(x-4)=0, 解得x1=0,x2=4. 4.解：整理，得x2-7x+12=0, 方法一：由求根公式，得 x=-（-7)±W-7)-4x1x127±1 2×1 2 x1=4,x2=3. 方法二：因式分解，得(x-4)(x-3)=0, 所以x-4=0或x-3=0, 解得x1=4,x2=3. 5.B6.C7.m>-48.B9.202710.6 11.解：(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x.根据题 意，得125(1-x)2=80, 解得x,=0.2=20%,x,=1.8(不符合题意，舍去) 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. (2)设购进y件甲种商品，则购进(100-y)件乙种商品. 根据题意，得(125-25×2)y+80(100-y)≤7800. 解得y≥40，..y的最小值为40. 答：最少购进40件甲种商品. 12.解：设小路的宽度为xm,则9块矩形地块可合成长为 (20-4x)m,宽为(14-4x)m的矩形地块.根据题意，得 (20-4x)(14-4x)=24×9, 整理，得2x2-17x+8=0, 解得=2x,=8(不符合题意，舍去). 答：小路的宽度为了m 13.解：(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为m. 由题意，得32(1+m)2=50, 解得m=25%或-2.25（舍去） 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%. (2)设购买这种健身器材x套. .·240000÷1600=150(套)，150>100 ,市政府从A公司购买套数超过100套 h在，利(600x40)=2000 化简，得x2-500x+60000=0,解得x=300或200. 由题意，得160-0x40≥100.5250. .100<x≤250，.x=200 答：购买这种健身器材的套数为200套 14.C15.A 当堂达标检测 1D2.A3B4x=±15.m> 6.-8 7.解：x2-9=2(x+3), .(x+3)(x-3)-2(x+3)=0, ∴.(x+3)(x-5)=0, .x+3=0或x-5=0 ∴.x1=-3,x2=5 8.解：(1)设该商场投入资金的月平均增长率为x 依题意，得20(1+x)2=24.2, 解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意，舍去). 答：该商场投人资金的月平均增长率为10%. (2)由题意，得24.2×(1+10%)=26.62（万元）. 答：预计该商场七月份投入资金将达到26.62万元 微专题一一元二次方程根与系数的关系 1.-12.x=33.-4-34.A5.D6.C7.78.D 9.c10.D11.812.D13.B14.③15.2 16.-6 17.解：：m,n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3,n2- n=3, .m,n是一元二次方程x2-x-3=0的两个实数根，n2= n+3, .∴.m+n=1,mn=-3, .2n2-mn+2m+2025=2(n+3)-(-3)+2m+2025 =2n+6+3+2m+2025=2(m+n)+2034 =2×1+2034=2+2034=2036. 第三节分式方程及其应用 必备知识·夯根基 ①未知数②最简公分母③检验④一作时恒 售价 ⑤ 标价 重难突破·提能力 【例】解：(1)任务一：①等式的基本性质 ②二完全平方公式展开错误 任务二：方程两边同乘(x-1)(x+2),得x(x+2)=(x-1)2, 去括号，得x2+2x=x2-2x+1, 移项、合并同类项，得4x=1, 系数化为1，得x=4 1 经检验，x=}是原方程的解， 41 ·原方程的解为x=4 2- ,(3)m≠-2且m≠-1(4)-1(5)m<-2 核心考点·分类练 1.A 2.解：(1)去分母，得x-2-2x+1=-1,解得x=0. 检验：当x=0时，2x-1≠0，故原分式方程的解为x=0. (2)去分母，得3(x-1)-(x+1)=0, 去括号，得3x-3-x-1=0,解得x=2. 检验：把x=2代入(x+1)(x-1)≠0 .原分式方程的解为x=2 3.B4A5.C6-17.B828,245=3 1 1+4)x 9.解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时， 则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦·时. 由题意，得160009600 2x-32x 整理，得5x=3(2x-32),解得x=96, 经检验，x=96是原分式方程的解，且符合题意 2x-32=160. 答一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时. 10.解：设小林跑步的平均速度为x米/秒，则小吉跑步的平均 速度为1.25x米/秒 由驱迹科罗0 800 解得x=4. 经检验，x=4是原方程的解，且符合题意. 答：小林跑步的平均速度为4米秒 当堂达标检测 1.C2.A3.B4.x=25.-1 6.解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里，则一 个工作队每小时人工更换钢轨0.5x公里 根据题意，得80116-2，解得x=2 0.5xx 经检验，x=2是原方程的根，且符合题意， 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里， 第四节一元一次不等式（组）及其应用 必备知识·夯根基 ①>②>③<④x>a⑤x≥a⑥x>a⑦b<x≤a⑧≥ ⑨≤ 重难突破·提能力 【例】解：(1)x>5x≤65<x≤66 (2)6 (3)解不等式①，得x>5,解不等式②，得x≤+2 不等式组无解，根据“大大小小取不了”的原则， ∴.a+2≤5，解得a≤3.