第1章 第3讲 代数式与整式 (含因式分解)（精讲册）-【练客中考】2026年甘肃中考数学提优方案

第3讲代数式与整式（含因式分解） [省卷：5年12考；兰州：4年9考] 知识点梳理 Q2022年版课标重要变化 ①理解（改动）乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2. ②了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理.（新增） ③了解代数推理.（新增） 知识点]代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式，单独的一个数或字母也是代数 概念 式.例：5，t都是代数式 直接 例：若x= 把已知字母的值直接代入 2,则代数式-x2-1= 代入法 代数式 ① 求值 利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式或降 整体 例：若6y2-3y+5=14,则代数式 次对所求代数式、已知等式进行恒等变形，使所求 代入法 2y2-y+1=② 代数式变形成含有已知等式或部分项的形式 知识点2 整式的相关概念 代数式都是数或字母的积，像这样的代数式叫作单项式.单独的一个数或一个字母也是 概念 单项式.例：-6，x都是单项式 单项式 系数 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数 →次数为2+3=5 个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的 次数 系数[xy 次数（对于一个非零的数，规定它的次数为0） 概念 几个单项式的和叫作多项式 多项式 项 每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项 T一次数为3+3=6 次数 多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数 2ab-ab+ab是六次三项式 整式 单项式与多项式统称整式 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项.几个常数项也是同类项 知识点飞3整式的运算 1.加减运算 实质 整式加减运算的实质是合并同类项 合并 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项 同类项 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变 去括号 括号前是“+”，去括号时，原括号内各项符号都③ 例：a+(b+c)=a+b+c 法则 括号前是“-”，去括号时，原括号内各项符号都④ 例：a-(b+c)=a-b-c 8 甘肃数学精讲册 2.幂的运算(ab≠0，m,n都是整数) 同底数幂相乘 底数不变，指数相加 am·a”=am+n 同底数幂相除 底数不变，指数⑤ am÷a=⑥ 幂的乘方 底数不变，指数⑦ (am)"=⑧ 积的乘方 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 (ab)"=⑨ 3.乘法运算 单项式乘单项式 把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指 数作为积的一个因式.例：ac·bc2=(a·b)·(c5·c2)=abc3+2=abc 单项式乘多项式 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.例：p(a+b+c)=四 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.例：(a+b)· 多项式乘多项式 (p+q)=① 公式：(a±b)2=② 【温馨提示】完全平方公式的变形： 几何背景： (1)a2+b2=(a±b)2干2ab; (2)2ab=(a+b)2-(a2+b2); 完全平方 ab (3)(a-b)2=(a+b)2-4ab; 公式 (a-b) (4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc; ab (5)(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2 乘法 公式 公式：(a+b)(a-b)=③ 【温馨提示】平方差公式的变形： 几何背景： (1)(b+a)(-b+a)=a2-b2; 平方差 (2)(-a-b)(a-b)=b2-a2; 公式 (3)(a+b-c)(a-b+c)=a2-(b-c)2; (a+b)(a-b) a-b (4)(a+b+c)(a-b-c)=a2-(b+c)2; 5)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 4.除法运算 把系数与同底数幂分别相除，作为商的一个因式，对于只在被除式中含有的字母，则连 单项式除以单项式 同它的指数作为商的一个因式.例：12a3b÷(-4a2)=-3ab 先用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.例：(am+bm)÷m=a+b 多项式除以单项式 (m≠0) 知识点4因式分解 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫 概念 作把这个多项式分解因式 看有无公因式， 若有， 则先提公因式 一提 提公因式法ma+mb+mc=④ 考虑是否可套用公式 a'-b2 因式分解 分解，两项考虑平方 二套 式 平方差公式 差公式，三项考虑完 步 法 法 全平方公式 a士2ab+h因式分解⑤ 完全平方公式 检查是否分解彻底， 十字相乘法：x2+p+qx+pq=(x+p)x+q) 若没有，则继续分解 三查 其他方法 分组分解法 第一章数与式 9 【温馨提示】(1)因式分解优先考虑提公因式； (2)因式分解分解到不能再分解为止； (3)因式分解最终的结果一定是乘积的形式； (4)整式乘法与因式分解是互逆运算；可用整式乘法检验因式分解的正确性 甘肃5年中考真题及拓展 命题点1代数式 命题点3因式分解（省卷：必考；兰州：必考） 拓展训练 8.[2021省卷11题]分解因式：4m-2m2 1.[2025扬州]若a2-2b+1=0,则代数式 9.[2025省卷11题]因式分解：x2-6x+9 2a2-4b+3的值是 命题点2整式的运算（省卷：必考；兰州：必考） 10.[2023兰州13题]因式分解：x2-25y2 2.[2024兰州4题]计算：2a(a-1)-2a2= ( 11.[2025兰州12题]因式分解：2x2+4x+2 A.a B.-a C.2a D.-2a 12.[2024省卷11题]因式分解：2x2-8 3.[2025省卷3题]下列计算正确的是( A.2a2+3a2=6a2 B.a6÷a2=a3 C.(a2)3=a D.(3a)2=9a2 命题点4】规律探索（省卷：5年2考：兰州：2025.15） 13.[2021省卷18题]一组按规律排列的代数 4.[2021省卷9题]对于任意的有理数a,b,如果 式：a+2b,a2-2b3,a3+2b,a-2b7,…,则 满是号+号-+号那么我们称这一对数a,6 第n个式子是 14.[2025省卷16题]勾股树是一个可以无限生 为“相随数对”，记为(a,b).若(m,n)是“相随 长的树形图形，它既展示了数学中的精确与 数对”，则3m+2[3m+(2n-1)]=() 秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美 A.-2B.-1 C.2 D.3 如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个 5.[2022省卷11题]计算：3a3·a2= 图形是正方形，第2个图形是以这个正方形 6.[2025兰州16题]计算：(a+2)(a-2)+ 的边长为斜边在其外部构造一个直角三角 a(3-a). 形，再以这个直角三角形的两条直角边为边 长，分别向外生成两个新的正方形，重复上 述步骤得到第3个图形，…，则第5个图形 中共有 个正方形 7.[2024省卷19题]先化简，再求值：[(2a+b)2 (2a+b)(2a-b)]÷2b,其中a=2,b=-1. 勾股树 第1个图形第2个图形 第3个图形 第14题图 温馨提示请完成《裸后提计练》3习题 10 甘肃数学精讲册参考答案 1.精 第一章数与式 第1讲实数 知识点梳理 ①无限循环小数②无限不循环小数③0 ④-154.3米⑤xg-x4⑥0⑦相等⑧-a ⑨x<-2四片①±1巴5.2国-6四6 精 ⑤±a0a⑩<⑧a2<a<a<1 讲 册 四-4③号@1②9图时 甘肃5年中考真题及拓展 1.-109072.B3.D4.B5.B6.B7.C 8.C9.B10.B11.C12.A13.214.A 15.D16.<17.D18.8 19解：原式=1+2-2×号 =3-√2. 第2讲二次根式 知识点梳理 ①大于或等于0②a⑧-a④a·6⑤ ⑥最简⑦相同 甘肃5年中考真题及拓展 1.3(答案不唯一)2.B 3.解：原式=3√2-2√2 =√2. 4.解：原式=2√3-√3 =√5. 5.解：原式=35×2x22-62 =122-6√2 =6√2. 6.A7.B8.A9.C10.7 第3讲代数式与整式（含因式分解） 知识点梳理 ①-子②4③不变④改变⑤相减 ⑥am-n⑦相乘⑧am⑨a"b⑩pa+pb+pc ①ap+aq+bp+bg②a2±2ab+b23a2-b2 ④m(a+b+c)⑤(a+b)(a-b)⑥(a±b)2 甘肃5年中考真题及拓展 1.12.D3.D4.A5.3a 6.解：原式=a2-4+3a-a =3a-4. 7.解：原式=[4a2+4ab+b2-(4a2-b2)]÷2b =(4a2+4ab+b2-4a2+b2)÷2b =(4ab+2b2)÷2b =2a+b. 2 甘肃数学 讲册 当a=2,b=-1时， 原式=2×2+(-1)=4+(-1)=3. 8.2m(2-m)9.(x-3)2 10.(x-5y)(x+5y)11.2(x+1)2 12.2(x+2)(x-2)13.a”+（-1)n+1.262-1 14.31 中考专题一规律探索 1.(-2)-1x2n-12.clever3.164.85.11,60,61 6.B7.(675,-1)8.19.3n+210.2111.44 第4讲分式 知识点梳理 ①B②公因式③B≠0④A=0且B≠0 ⑤不等于0的整式⑥a±b⑦ad±bc n bd ⑧%o喘 甘肃5年中考真题及拓展 1.x≠21-121-2x>22.A3.D4.A 5解：原式2z22 =1+x-1.(x+2)(x-22 x-1x+2(x-1)2 =1+x-2 -x-1x-1 =1. 6.解：原式=a+26-a-6.(a-2b)2 a+b-a-26"(a+b)(a-b) -a+2b_a-2b a+b a+b 4b a+b 7.解：原式=a+1+a+7÷a+4 a+1 a a 2(a+4).a a+1a+4 2a_ a+1, 当a=4时，原式-号 第二章方程（组）与不等式（组） 第5讲一次方程（组）及其应用 知识点梳理 ①b±c②bc③a( ④1⑤两⑥两 ⑦公共解 甘肃5年中考真题及拓展 1.B2.D 参考答案