专题01特殊的平行四边形（期末复习知识清单）八年级数学下学期鲁教版五四制

专题01 特殊的平行四边形（5知识&11题型&1易错&2方法清单） 【清单01】菱形的性质与判定 ·菱形的定义与性质 定义 的 叫做菱形 性质 符号语言 图示 边 菱形的 ∵四边形ABCD是菱形∴ 对 角 线 菱形的 ，且 ∵四边形ABCD是菱形，∴ ， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 菱形的面积 ①菱形的面积=底×高，即. ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. ·菱形的判定 判定定理 符号语言 图示 边 的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵ ，∴四边形ABCD是菱形 的 是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵ ，∴▱ABCD是菱形 对角线 的 是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵ ，∴▱ABCD是菱形 【清单02】矩形的性质与判定 ·矩形的定义与性质 矩形的定义 有 的 叫做矩形. 性质 符号语言 图示 角 四个角都是 ∵四边形ABCD是矩形 ∴ 对角线 两条对角线 ∵四边形ABCD是矩形 ∴ ·矩形的判定 判定定理 符号语言 图示 角 的 是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵ ，∴平行四边形ABCD是矩形 的四边形是矩形 在四边形ABCD中，∵ ， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 的 是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵ ，∴平行四边形ABCD是矩形 【清单03】正方形 ·正方形的定义与性质 正方形的定义 且 是正方形. 性质 符号语言 图示 角 四个角都是 ∵四边形ABCD是正方形 ∴ 边 四条边都相等， 对边平行. ∵四边形ABCD是菱形，∴ ， ， 对角线 两条对角线 ∵四边形ABCD是正方形,∴ 、 、 ， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD ·正方形的判定： 定义法 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 判定 定理 已知是矩形时 有 的矩形是正方形 矩形+一组邻边相等 的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 已知是菱形时 的菱形是正方形 菱形+一个角是直角 的菱形是正方形 菱形+对角线相等 【清单04】特殊平行四边形的性质对比 四边形 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形、中心对称图形 菱形 对边平行且四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、中心对称图形 正方形 对边平行且四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、中心对称图形 【清单05】特殊平行四边形的性质对比 四边形 边 角 对角线 矩形 ①平行四边形+一直角 ②四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 ①平行四边形+一组邻边相等 ②四边形+四条边都相等 平行四边形+两条对角线互相垂直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 菱形+对角线相等 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 【题型一】利用菱形的性质求解 【例1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． ·方法点拨：①菱形的对角线互相垂直平分，因此涉及菱形的问题常会在直角三角形中解决； ②菱形的四条边相等，因此菱形与等腰三角形、等边三角形的综合应用较多，利用菱形的性质求线段、角时，注意菱形与其他几何知识的结合. 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）若菱形的两条对角线的长分别为6，，则菱形的面积为 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，菱形的对角线交于点O，菱形的周长为32，过点O作于点E，若，则菱形的面积是（   ） A．16 B．32 C． D． 【变式1-4】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，菱形的对角线、交于点，与关于点C成中心对称，连接，若，则的长度为 ． 【例4】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在菱形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在菱形中，，，则（） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型二】利用矩形的性质求解 【例5】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 ·方法点拨：运用矩形的性质可以证明线段相等或倍分关系，以及直线的位置关系、角的等量关系. 运用时应注意： ①矩形的性质是证明线段相等、角相等、线段平行或垂直的常用依据和手段； ②矩形的四个角都是直角，据此，常把矩形的有关问题放到直角三角形中解决； ③矩形的两条对角线相等且互相平分，并将矩形分割成四个等腰三角形，因而矩形的有关问题也常放在等腰三角形中解决. 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【题型三】利用正方形的性质求解 【例6】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，把边长为5的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，为正方形的对角线，延长到E点，使得，以，为邻边作菱形，若菱形的面积为，则正方形的面积为 ． 【变式6-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【题型四】矩形判定与性质综合 【例7】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，点E，F分别在边，上，， (1)求证：四边形是矩形． (2)连接 ，若，，平分，求矩形的面积 【变式7-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知在四边形中，，，，点是边上的中点，点为边上一点，连接、，与的延长线交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的值． 【变式7-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在矩形中，E为边上一点，连接．若，过点D作于点F．求证：． 【变式7-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在四边形中，，过点作交于点，过点作于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【题型五】菱形的判定 【例8】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式8-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点、分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 【变式8-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，点是的中点，，与交于点，求证：四边形是菱形． 【变式8-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的角平分线，过点D作交于点E．交于点F． (1)求证：四边形为菱形； (2)如果，，，求菱形的边长． 【题型六】正方形的判定 【例9】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D是的中点，．过点D作且，连接．求证：四边形是正方形． ·方法点拨：在判定一个四边形是正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”。 ①判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等； ②先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等． 【变式9-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，，分别是正方形的边，的中点，连接，，求证：． 【变式9-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．数学活动课上小东制作了一套七巧板，拼成正方形，其中包括五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形．如图，其中一块等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为，则正方形的边长为 ． 【题型七】添一个条件为特殊的平行四边形 【例10】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 【变式10-1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，下列条件中，能够判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【题型八】尺规作图——作特殊的平行四边形 【例11】（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，在中，，请用尺规作图法，求作正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式11-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，是平行四边形的对角线，请用尺规作图的方法在边上分别求作一点E，F，连接，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式11-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，请用尺规作图的方法在边上求作一点E，连接，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型十】综合运用特殊四边形的性质判断边角关系 【例12】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，四边形为菱形，E为对角线上的一个点，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：． 【变式13-1】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，点E为矩形的边上一点，连接，，将绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作于点H，求证：． ※【变式13-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，点M，N为边和上的动点（不含端点），，是旋转得到的．下列四个结论：①当时，则；②；③若如图位置测得，，则的面积为40；④的周长不变，其中正确结论的序号是 ． 【题型十一】坐标与图形 【例14】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图．在边长为6的正方形中，点分别在上，相交于点P，O是正方形的中心，连接，则的长度为 ． 【变式14-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，连接，若点A的坐标是，点C的坐标是，则的长为（   ） A． B． C． D．6 【题型一】忽视可以运用转化思想进行转化线段解决几何问题（等面积法的运用） 【例1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作于点，若，，则的长是（   ）      A． B．6 C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（   ） A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，于点，若，则四边形的面积是 ． 【题型一】先转化线段再运用三点共线或垂线段最段求最值 n点共线求最值（原理：两点之间线段最短） 问题类型 问题与条件 方法与结论 线段和的最小值 动点所在的直线给定 条件：两定点在直线异侧，动点在直线上 问题：点A，B在直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小 结论：PA＋PB的最小值为AB的长 条件：两定点在直线同侧，动点在直线上 问题：点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小 结论：PA＋PB的最小值为AB'的长 线段和的最小值 动点所在的直线未给 条件：动点到两定点连线的距离为定长，两定点在直线同侧 问题：P是线段AB上方一动点且到AB的距离为定值，确定一点P，使AP＋BP的值最小 ①先确定动点所在的直线l ②作点A(B)关于l的对称点A'(B') 结论：PA＋PB的最小值为AB'(BA')的长 n点共线求最值（原理：垂线段最短） 定点与两动点求线段和的最小值 条件：一定点在角外，两动点在角的两边上 问题：P是∠AOB外(在水平直线上方)一定点，在OA， OB上分别求点M，N，使PM＋MN的值最小 PM＋MN的最小值为垂线段PN的长 条件：一定点一动点在角的同一边上，另一动点在角平分线上 问题：M是∠AOB的边OB上一定点，N是OB上一动点，在∠AOB的平分线上确定一点P，使PM＋PN的值最小 PM＋PN的最小值为垂线段MH的长 【例1】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，在等边中，于点D，点M为上一点，，以点M为顶点作边长为6的正方形，连接，将正方形绕点M旋转一周，在旋转的过程中，当取最小值时，的长为 ．    【变式1-1】（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，已知正方形的边长为2，点分别在上，连接，若，则的最小值为 ．    【变式1-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，点在边上，且，将绕点旋转，点的对应点为点，连接、，则面积的最小值为 ． 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，．点在对角线上，点、分别在边、上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 【变式2-1】（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，点为对角线上一动点，于点交于点，则线段长的最小值为 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，P为菱形的对角线上的一定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交， 于点E，G，，若的长的最小值为3，则的长为 ．    【题型二】与平行四边形性质有关的综合实践问题 方法点拨：找对称中心解面积（周长）等分问题 n等分面积 方法与结论 图例 二等分面积 适合图形：平行四边形、矩形、菱形和正方形 （中心对称图形） 过其对称中心的任意一条直线，均可将它们的面积和周长分成相等的两部分 ①作四边形的对角线，确定对称中心； ②过对称中心作直线 ③原理：由对称性证明全等三角形 O为平行四边形的对称中心，EF为过点O的任意直线，有： C四边形AEFB＝C四边形DEFC； S四边形AEFB＝S四边形DEFC； 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）在四边形中，对角线，相交于点，过点的两条直线，分别交边，，，于点，，，． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且，则_____； 【问题探究】 （2）如图2，若四边形是矩形，且满足，设，，，求的长（用含，，的代数式表示）； 【问题解决】 （3）如图3，张大伯有一块平行四边形菜地，且米，米，点处是一口水井，且米，是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形菜地的对角线的交点，张大伯准备再修建一条经过点的沟渠，将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定点的位置． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）【提出问题】（1）如图1，正方形的边长为2，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，点不重合），求出四边形的面积； 【问题解决】（2）如图2，一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点．要在菜园的下方建一四边形储藏间．已知点在上，点在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园围一圈篱笆，则需要篱笆多少m？ 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，正方形是绿地公园的一块空地，其边长为．公园设计部门为了给儿童提供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形（E在上，F在上）部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出入口，即点D，E，F，而且根据实际需要，要使得，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草． (1)证明：； (2)若，请计算儿童活动区的面积． 【例4】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）【问题探究】 （1）如图1，为矩形的对角线，点为上方一点，连接、，点在的延长线上，连接，若，，，试判断与的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，矩形是某校一块劳动实践基地的示意图，其中米，米，对角线为一条走廊，学校计划对该基地进行重新扩建规划，在边上取点，上方取点，记与的交点为，并规划区域为幼苗种植区，线段为作品展示台（宽度不计），根据要求，，，，请你帮助学校计算作品展示台的长度． 图1                     图2 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）【问题探究】 （1）如图1，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接． 求证： ①； ②； 【实际应用】 （2）如图2，有一块正方形的荒地，点E在边上，是荒地中的一条小路，某村民计划以为边开垦一个正方形的菜地，在菜地的对角线的交点O处修建一口水井，并沿修建一条水渠．若荒地的边长为米，小路长为300米，求水渠的长度．（小路宽度以及水井面积忽略不计） 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 特殊的平行四边形（5知识&11题型&1易错&2方法清单） 【清单01】菱形的性质与判定 ·菱形的定义与性质 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 性质 符号语言 图示 边 菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC 对 角 线 菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 菱形的面积 ①菱形的面积=底×高，即. ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. ·菱形的判定 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴▱ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形 【清单02】矩形的性质与判定 ·矩形的定义与性质 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 性质 符号语言 图示 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO ·矩形的判定 判定定理 符号语言 图示 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中，∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 【清单03】正方形 ·正方形的定义与性质 正方形的定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 性质 符号语言 图示 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 边 四条边都相等， 对边平行. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD=AD=BC ，AB∥CD、AD∥BC， 对角线 两条对角线互相垂直、平分且相等 ∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD、AC=BD、AO=BO=CO=DO， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD ·正方形的判定： 定义法 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 判定 定理 已知是矩形时 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+一组邻边相等 对角线互相垂直的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 已知是菱形时 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+一个角是直角 对角线相等的菱形是正方形 菱形+对角线相等 【清单04】特殊平行四边形的性质对比 四边形 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形、中心对称图形 菱形 对边平行且四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、中心对称图形 正方形 对边平行且四条边都相等 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形、中心对称图形 【清单05】特殊平行四边形的性质对比 四边形 边 角 对角线 矩形 ①平行四边形+一直角 ②四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 ①平行四边形+一组邻边相等 ②四边形+四条边都相等 平行四边形+两条对角线互相垂直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 菱形+对角线相等 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 【题型一】利用菱形的性质求解 【例1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形典型在，求出是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得，进而根据得出，进而得出的度数，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：B． ·方法点拨：①菱形的对角线互相垂直平分，因此涉及菱形的问题常会在直角三角形中解决； ②菱形的四条边相等，因此菱形与等腰三角形、等边三角形的综合应用较多，利用菱形的性质求线段、角时，注意菱形与其他几何知识的结合. 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等边对等角、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查菱形的性质，等边对等角，先根据菱形的性质得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：解：∵四边形是菱形，点在对角线上，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）若菱形的两条对角线的长分别为6，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是记住菱形的面积等于对角线乘积的一半．根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半即可解决问题． 【详解】解：四边形是菱形，的长分别为6，， 菱形的面积． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，菱形的对角线交于点O，菱形的周长为32，过点O作于点E，若，则菱形的面积是（   ） A．16 B．32 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的面积公式等知识，根据菱形的周长求出菱形的边长，再根据三角形面积公式求出的面积，即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的周长为32， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1-4】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，菱形的对角线、交于点，与关于点C成中心对称，连接，若，则的长度为 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、中心对称图形规律问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】根据菱形的性质、旋转的性质，得到，，，根据，利用勾股定理计算即可． 本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本性质并灵活运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形，且与关于点C成中心对称，， ，，， ，， ， ， 故答案为：4． 【例4】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在菱形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质求角度、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质等知识点，熟知菱形的性质是解题的关键．根据菱形的对角线平分一组对角求出，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ， 故选：． 【变式4-1】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形中，，，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等边对等角、利用菱形的性质求角度、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【详解】解：四边形是菱形，， 故选：D． 【变式4-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等边对等角、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质等知识．由菱形的性质得，，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ，， ，， ， ， ， ， 故选：B． 【题型二】利用矩形的性质求解 【例5】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，得到四边形是矩形是解题的关键． 先证明四边形是矩形，得到，再运用勾股定理即可求解，继而得到矩形的面积． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：C． ·方法点拨：运用矩形的性质可以证明线段相等或倍分关系，以及直线的位置关系、角的等量关系. 运用时应注意： ①矩形的性质是证明线段相等、角相等、线段平行或垂直的常用依据和手段； ②矩形的四个角都是直角，据此，常把矩形的有关问题放到直角三角形中解决； ③矩形的两条对角线相等且互相平分，并将矩形分割成四个等腰三角形，因而矩形的有关问题也常放在等腰三角形中解决. 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查的知识点是矩形的性质、中位线定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握矩形的性质． 结合矩形性质可知，再由中位线定理得到的长，由勾股定理求出后即可得到． 【详解】解：矩形中，且和互相平分， ， 是的中点，是边的中点， 是的中位线， ， 矩形中，， ， ． 故选：． 【题型三】利用正方形的性质求解 【例6】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，把边长为5的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题重点考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，推导出是解题的关键． 由正方形的性质得，由旋转得，则，所以，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是边长为5的正方形， ， ∵把正方形绕点逆时针旋转得到正方形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，为正方形的对角线，延长到E点，使得，以，为邻边作菱形，若菱形的面积为，则正方形的面积为 ． 【答案】9 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，把握特殊四边形的性质是解题的关键． 由勾股定理得，则由，求出，即可得到正方形的边长，继而即可求解面积． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴正方形的面积为9， 故答案为：9． 【变式6-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等边三角形的性质、根据正方形的性质求角度、等边对等角 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据正方形与等边三角形的性质得出，，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∴ 故选C． 【题型四】矩形判定与性质综合 【例7】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，点E，F分别在边，上，， (1)求证：四边形是矩形． (2)连接 ，若，，平分，求矩形的面积 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】平行四边形性质的其他应用、证明四边形是矩形、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理含30度直角三角形的性质等知识，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，求得，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由角平分线的定义得到，中，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，，在中，根据勾股定理和直角三角形的性质求出，得到，根据矩形的面积公式即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，平分， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 【变式7-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知在四边形中，，，，点是边上的中点，点为边上一点，连接、，与的延长线交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)的值为． 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是矩形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到求得，得到，根据矩形的判定定理得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，求得，，推出 ，得到，由点是边上的中点，得到，然后证明，根据全等三角形的性质得到，再由等量代换得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定定理和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【变式7-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在矩形中，E为边上一点，连接．若，过点D作于点F．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明 【分析】此题考查矩形的性质，根据矩形的性质得出，，进而利用证明三角形全等解答即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在与中，     ， ∴， ∴． 【变式7-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在四边形中，，过点作交于点，过点作于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由，得到，推出， 证四边形为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判定； （2）由勾股定理求出，由题意易证，得出，代入数据，即可求解． 【详解】（1）证明：，即， ， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为矩形； （2）解：，，， ，， 四边形为矩形， ，， ， ， ，即， ， ，即， 解得：． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题关键． 【题型五】菱形的判定 【例8】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）根据题意得到，四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合菱形的判定方法即可求解； （2）过点作于点，得到是等腰直角三角形，运用勾股定理得到，根据四边形是菱形，直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，则，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，则（负值舍去）， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识的综合，掌握菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，数形结合分析是解题的关键． 【变式8-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点、分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是菱形 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定和性质、菱形的定义．证明，得到，即可证明四边形是菱形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【变式8-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，点是的中点，，与交于点，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是平行四边形、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 根据，求得四边形是平行四边形，根据直角三角形的性质得到，由菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：， 四边形是平行四边形， ，点是的中点， ， 四边形是菱形． 【变式8-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的角平分线，过点D作交于点E．交于点F． (1)求证：四边形为菱形； (2)如果，，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)菱形的边长为 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、含30度角的直角三角形、证明四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键. （1）根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可； （2）根据含的直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：, 四边形是平行四边形， 是的角平分线， , , , , , 平行四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于, ,, , 由（1）得：四边形是菱形, , , , 平分, , , , , 由勾股定理得，, , 菱形的边长为． 【题型六】正方形的判定 【例9】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D是的中点，．过点D作且，连接．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是正方形、证明四边形是矩形 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定，先证明，，即可得到结论． 【详解】证明：∵点D是的中点， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，则， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． ·方法点拨：在判定一个四边形是正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”。 ①判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等； ②先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等． 【变式9-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，，分别是正方形的边，的中点，连接，，求证：． 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定． 先根据正方形的性质推得，，，由此证明后即可根据全等三角形的性质得证． 【详解】证：正方形中，，， 又，分别是正方形的边，的中点， ， 在和中， ， ， ． 【变式9-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．数学活动课上小东制作了一套七巧板，拼成正方形，其中包括五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形．如图，其中一块等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为，则正方形的边长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、用七巧板拼图形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确识图，灵活运用所学知识解决问题．根据七巧板的特点和平行四边形及等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】∵等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为， ∴等腰直角三角形（阴影图形）的斜边为， ∴平行四边形的边长为， ∴正方形的边长为， 故答案为： 【题型七】添一个条件为特殊的平行四边形 【例10】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】添一个条件使四边形是正方形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据三角形的中位线定理先证明四边形是平行四边形，再证明其是菱形，最后根据有一个角是直角的菱形的是正方形即可证明． 【详解】解：如图： 当且，四边形是正方形，理由如下： ∵点E，F，G，H分别是边的中点， ∴,，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形，故D符合题意，而A、B、C均不能证明，不符合题意， 故选：D． 【变式10-1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，下列条件中，能够判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质等知识；由矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：在中，添加，由对角线相等的平行四边形是矩形，故能判定是矩形， 在中，添加或或，都不能判定是矩形， 故选：D． 【题型八】尺规作图——作特殊的平行四边形 【例11】（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，在中，，请用尺规作图法，求作正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】证明四边形是正方形、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图——画线段，熟练掌握是解题的关键．以点A为圆心，以边长为半径画弧，以点C为圆心，以边长为半径画弧，两弧交于点D，连接，则，根据，即得四边形正方形． 【详解】解：如图，四边形即为所求作的正方形． 【变式11-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，是平行四边形的对角线，请用尺规作图的方法在边上分别求作一点E，F，连接，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】线段垂直平分线的性质、证明四边形是菱形、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图－线段垂直平分线，平行四边形的性质，菱形的判定．作对角线的垂直平分线分别交边于点E，F，则四边形是菱形． 【详解】解：如图，四边形是菱形． 由作图知，是对角线的垂直平分线， ∴，， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是对角线的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形． 【变式11-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，请用尺规作图的方法在边上求作一点E，连接，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【难度】0.85 【知识点】证明四边形是平行四边形、作线段(尺规作图)、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了尺规作图以及菱形的定义，以点为圆心，以为半径画弧，交边于一点，连接，因为，所以四边形是平行四边形，则，故四边形是菱形，即可作答． 【详解】解：菱形，如图所示： 【题型十】综合运用特殊四边形的性质判断边角关系 【例12】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，四边形为菱形，E为对角线上的一个点，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明出，得到，再结合平行得到即可求证． 【详解】证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴． 在和中，， ∴ ∴， ∴． 【变式13-1】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，点E为矩形的边上一点，连接，，将绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作于点H，求证：． 【答案】见解析 【难度】0.65 【知识点】利用矩形的性质证明、根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定等知识． 根据矩形的性质得到由旋转的性质得到,即可得到，又由，即可证明． 【详解】证明：∵点E为矩形的边上一点， ∴ ∵将绕点A逆时针旋转得到线段， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵于点H， ∴， ∴． ※【变式13-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，点M，N为边和上的动点（不含端点），，是旋转得到的．下列四个结论：①当时，则；②；③若如图位置测得，，则的面积为40；④的周长不变，其中正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理等知识点，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． ①先用勾股定理求得，证明，再结合，可得答案；②将绕点A顺时针旋转得，证明，再利用全等三角形的性质及邻补角关系，可证得结论；③设正方形的边长为，则，，利用勾股定理列出关于a的方程，求出a的值，可证得结论；④由，可得，从而将的三边相加即可得答案． 【详解】解：①∵正方形中，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②如图， 将绕点A顺时针旋转得， 则， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误； ③设正方形的边长为，则，， 根据③可知，， ∵， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴，故③错误． ④∵， ∴， ∴的周长为：， ∵和均为正方形的边长，故的周长不变，故④正确； 综上①④都正确， 故答案为：①④． 【题型十一】坐标与图形 【例14】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图．在边长为6的正方形中，点分别在上，相交于点P，O是正方形的中心，连接，则的长度为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长、化为最简二次根式、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了正方形的性质，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，由正方形的性质得到；以点B为原点，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则，进而得到；求出点E和点F的坐标，进而求出直线的解析式，则可求出点P的坐标，再根据两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是边长为6的正方形， ∴； 如图所示，以点B为原点，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系， ∴， ∵O是正方形的中心， ∴O是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式14-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，连接，若点A的坐标是，点C的坐标是，则的长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】矩形性质理解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质，两点间的距离公式，根据四边形为矩形，得，因为点A的坐标是，点C的坐标是，则由勾股定理求得，即可作答． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， 即， 故选：A． 【题型一】忽视可以运用转化思想进行转化线段解决几何问题（等面积法的运用） 【例1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作于点，若，，则的长是（   ）      A． B．6 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键，根据菱形的性质和勾股定理得到的长，再利用等面积法即可求得的长． 【详解】解： ∵四边形为菱形， ， ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（   ） A．4 B．4.5 C．4.8 D．5 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键； 根据菱形的性质得出、的长，在求出，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中 ∵， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，于点，若，则四边形的面积是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质与判定求线段长、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形、正方形的判定和性质，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，再证明和全等得，，则矩形是正方形，，熟练掌握全等三角形的判定与性质，矩形、正方形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴矩形是正方形， ∴， 故答案为：． 【题型一】先转化线段再运用三点共线或垂线段最段求最值 n点共线求最值（原理：两点之间线段最短） 问题类型 问题与条件 方法与结论 线段和的最小值 动点所在的直线给定 条件：两定点在直线异侧，动点在直线上 问题：点A，B在直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小 结论：PA＋PB的最小值为AB的长 条件：两定点在直线同侧，动点在直线上 问题：点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小 结论：PA＋PB的最小值为AB'的长 线段和的最小值 动点所在的直线未给 条件：动点到两定点连线的距离为定长，两定点在直线同侧 问题：P是线段AB上方一动点且到AB的距离为定值，确定一点P，使AP＋BP的值最小 ①先确定动点所在的直线l ②作点A(B)关于l的对称点A'(B') 结论：PA＋PB的最小值为AB'(BA')的长 n点共线求最值（原理：垂线段最短） 定点与两动点求线段和的最小值 条件：一定点在角外，两动点在角的两边上 问题：P是∠AOB外(在水平直线上方)一定点，在OA， OB上分别求点M，N，使PM＋MN的值最小 PM＋MN的最小值为垂线段PN的长 条件：一定点一动点在角的同一边上，另一动点在角平分线上 问题：M是∠AOB的边OB上一定点，N是OB上一动点，在∠AOB的平分线上确定一点P，使PM＋PN的值最小 PM＋PN的最小值为垂线段MH的长 【例1】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，在等边中，于点D，点M为上一点，，以点M为顶点作边长为6的正方形，连接，将正方形绕点M旋转一周，在旋转的过程中，当取最小值时，的长为 ．    【答案】8 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、等边三角形的性质、根据旋转的性质求解 【分析】根据题意得到点在以点为圆心，为半径的圆上运动，则，得到当点N、C、M三点共线时，取得最小值，即最小值为，求出，得到的最小值为,由，，得到即可． 【详解】解：∵以点M为顶点作边长为6的正方形，连接，将正方形绕点M旋转一周， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴当点N、C、M三点共线时，取得最小值，即最小值为，如图，    ∵在等边中，于点D， ∴ ∴ ∵， ∴, ∴， ∴的最小值为, ∵，， ∴ 故答案为：8 【点睛】此题考查了正方形的性质、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的性质等知识，找到当点N、C、M三点共线时，取得最小值是解题的关键． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，已知正方形的边长为2，点分别在上，连接，若，则的最小值为 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．延长至点，使得，连接，首先证明，易得，即有，故当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，然后在中，利用勾股定理求解，即可获得答案． 【详解】解：如下图，延长至点，使得，连接，    ∵四边形为正方形，边长为2， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点在同一直线上时，取最小值，即取最小值， 此时在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，点在边上，且，将绕点旋转，点的对应点为点，连接、，则面积的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、垂线段最短、根据旋转的性质求解、根据矩形的性质求线段长 【分析】由矩形的性质和勾股定理得，则有，根据旋转性质得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，设到的距离为，则，当最小时，面积的最小，过作于点，连接，当三点共线时，有最小值，此时最小值为的长，，然后用等面积法即可求出的长，则，从而求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点为对角线的中点， ∴， ∵，将绕点旋转，点的对应点为点， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 设到的距离为，则， 当最小时，面积的最小， 过点作与点，交圆于点，则， ∵四边形是矩形， ∴与不重合， 过作于点，连接， ∵， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， 如图，此时与重合，与重合， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，垂线段最短，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，．点在对角线上，点、分别在边、上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求线段长、垂线段最短、用勾股定理解三角形 【分析】过点作于，由矩形的性质可得，，，，即得，再根据补角性质可得，即可得，得到，，进而可证，得到，即可得，得到四边形的周长，可知当时，取最小值，此时四边形的周长，利用求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长， 当时，取最小值，此时四边形的周长，如图，此时点与点重合， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴四边形周长的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，补角性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2-1】（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求线段长、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，即得到最小值，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出最小值即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ， ，分别为、的中点， 是的中位线， ， 当时，则，最小，即得到最小值， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线． 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，点为对角线上一动点，于点交于点，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】此题重点考查矩形的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点G，连接，可证明四边形是矩形，所以，则，，，求得，由，求得，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点G，连接， ∵四边形是矩形，于点E，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，P为菱形的对角线上的一定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交， 于点E，G，，若的长的最小值为3，则的长为 ．    【答案】6 【难度】0.85 【知识点】线段垂直平分线的性质、垂线段最短、利用菱形的性质求线段长、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了菱形的性质，线段的垂直平分线性质，含角的直角三角形，垂线段最短，先得，，然后连接，过点P作，得，，则，即可作答． 【详解】解：∵P为菱形的对角线上的一定点，，的最小值为3， ∴，，    连接，过点P作， 则，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：6． 【题型二】与平行四边形性质有关的综合实践问题 方法点拨：找对称中心解面积（周长）等分问题 n等分面积 方法与结论 图例 二等分面积 适合图形：平行四边形、矩形、菱形和正方形 （中心对称图形） 过其对称中心的任意一条直线，均可将它们的面积和周长分成相等的两部分 ①作四边形的对角线，确定对称中心； ②过对称中心作直线 ③原理：由对称性证明全等三角形 O为平行四边形的对称中心，EF为过点O的任意直线，有： C四边形AEFB＝C四边形DEFC； S四边形AEFB＝S四边形DEFC； 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）在四边形中，对角线，相交于点，过点的两条直线，分别交边，，，于点，，，． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且，则_____； 【问题探究】 （2）如图2，若四边形是矩形，且满足，设，，，求的长（用含，，的代数式表示）； 【问题解决】 （3）如图3，张大伯有一块平行四边形菜地，且米，米，点处是一口水井，且米，是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形菜地的对角线的交点，张大伯准备再修建一条经过点的沟渠，将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定点的位置． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，能将该菜地分成四个面积相等的部分 【难度】0.4 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、根据正方形的性质求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】(1）如图1，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图2，过作于N，于M，根据图形的面积得到，于是得到结论； （3）如图3，过作，，则，，根据平行四边形的面积公式得到，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ， 故答案为． （2）解：如图2，过作于N，于M， ， ， ， ， ，． ， （3）解：如图3，过作，，则，， ， ， ， ， ，， ，解得米， 米， 当时，能将该菜地分成四个面积相等的部分． 【点睛】本题考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明是解决问题的关键． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）【提出问题】（1）如图1，正方形的边长为2，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，点不重合），求出四边形的面积； 【问题解决】（2）如图2，一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点．要在菜园的下方建一四边形储藏间．已知点在上，点在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园围一圈篱笆，则需要篱笆多少m？ 【答案】（1）1 （2）32 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据正方形的性质可得，再根据得出答案； （2）先取的中点为G，连接，根据菱形的性质及直角三角形的性质可得是等边三角形，即可得，接下来说明是等边三角形，再证明，可说明储藏间的面积等于三角形的面积，然后根据相似三角形的性质得出，可求出，最后设为，并表示出，再根据面积相等得出方程，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，边长为2， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1； （2）如图所示，取的中点为G，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 同理可得． ∵， ∴∴是等边三角形， ∴．． ∵， ∴， ∴， ∴储藏间的面积等于三角形的面积， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设为，则， ∴， 根据题意，得， 解得或（舍去）， ∴菱形菜园围一圈篱笆需要． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，中位线的性质等，构造全等三角形是解题的关键． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，正方形是绿地公园的一块空地，其边长为．公园设计部门为了给儿童提供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形（E在上，F在上）部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出入口，即点D，E，F，而且根据实际需要，要使得，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草． (1)证明：； (2)若，请计算儿童活动区的面积． 【答案】(1)见解析； (2)儿童活动区的面积为． 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）将绕点D逆时针旋转得到．证明，则即可得到； （2）求出．．由（1）可知，，设，则，．在中，，则，求出，即，根据即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，将绕点D逆时针旋转得到． ，． ． 即． 在和中， ， ． （2）解：∵四边形是正方形，． ． ． 由（1）可知，，设，则，． 在中，， ，即， ． 故儿童活动区的面积为． 【点睛】此题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 【例4】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）【问题探究】 （1）如图1，为矩形的对角线，点为上方一点，连接、，点在的延长线上，连接，若，，，试判断与的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图2，矩形是某校一块劳动实践基地的示意图，其中米，米，对角线为一条走廊，学校计划对该基地进行重新扩建规划，在边上取点，上方取点，记与的交点为，并规划区域为幼苗种植区，线段为作品展示台（宽度不计），根据要求，，，，请你帮助学校计算作品展示台的长度． 图1                     图2 【答案】（1），理由见解析；（2）米 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据矩形的性质可得，证明，得到，证明，即可判断； （2）过点作于点，作交的延长线于点，根据勾股定理可得，证明，得到，推出，证明，根据相似三角形的性质求出米，利用勾股定理求出米，证明四边形是矩形，得到米，进而得到米，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）如图，过点作于点，作交的延长线于点， 四边形是矩形， ，米，米， ， 米，米，米， ， ， ， ， ，， ， ， ，即， 米， 米， ，，， ， 四边形是矩形， 米， 米， 米， ，， ， ，即， 米． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）【问题探究】 （1）如图1，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接． 求证： ①； ②； 【实际应用】 （2）如图2，有一块正方形的荒地，点E在边上，是荒地中的一条小路，某村民计划以为边开垦一个正方形的菜地，在菜地的对角线的交点O处修建一口水井，并沿修建一条水渠．若荒地的边长为米，小路长为300米，求水渠的长度．（小路宽度以及水井面积忽略不计） 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）米 【难度】0.65 【知识点】根据等边对等角证明、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）①先根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定即可得证； ②先根据相似三角形的性质可得，再得出，然后证出，根据相似三角形的性质即可得证； （2）连接，先根据正方形的性质、勾股定理可得，米，从而可得的长，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：①∵在等腰中，， ∴， ∵在等腰中，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． ②由（1）①已证：， ∴，即， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵荒地的边长为米，正方形的边长长为300米， ∴米，米，，，， ∴米，米， 米， ∴米，，， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴（米）， 答：水渠的长度为米． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $