专题04 图形的相似（考点清单，6考点14题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版）

专题04 图形的相似 （5个考点梳理+14种题型解读+提升训练） 清单01 比例线段及有关性质 1.两条线段的比 定义：如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项.（两条线段长度的比叫做这两条线段的比） 【易错点】 1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数； 2）求两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； 3）线段的比，最终要化成最简整数比. 2.比例线段 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 3.比例的基本性质： 1）基本性质： 2）推论： 黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 【补充】 1)黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2)，0.618又被称为黄金分割数； 4.平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等. 2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例． 如图，若DE∥BC，则有 清单02 相似多边形 1.相似图形：把形状相同的图形叫做相似形. 2.相似多边形及、性质与判定 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 清单03 相似三角形 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 相似三角形的判定方法： 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 清单04 利用相似三角形解决实际问题 清单05 位似图形 1.位似图形 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 2.位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 3.画位似图形 位似变换：利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫做位似变换. 【补充】位似与平移、轴对称、旋转一样，是图形的变换方式，但位似可以改变图形的位置和大小，平移、轴对称、旋转只能改变图的位置，即位似是图形的相似变换，而平移、轴对称、旋转是图形的全等变换. 4.位似变换的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 【考点题型一】比例线段与成比例线段（） 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）下列四组线段中，是成比例线段的共有 组． ①1.5，4，1.2，5；②2，4，6，8；③5，6，15，18；④0.5，3，2，10． 【答案】2 【分析】本题考查成比例线段，理解成比例线段的概念是解题关键．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条线段相乘，看它们的积是否相等，即可得出答案． 【详解】解：①：，故1.5，4，1.2，5是成比例线段； ②：，故2，4，6，8不是成比例线段； ③：，故5，6，15，18是成比例线段； ④：，故0.5，3，2，10不是成比例线段． 综上可知共有2组成比例线段． 故答案为：2． 2．（22-23八年级下·山东烟台·期中）下列线段a、b、c、d是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】根据比例线段定义检验判断． 【详解】解：A. a = 3，，，； ，，， 故a、b、c、d不是成比例线段，本选项不合题意； B. ，，，； ，，， 故a、b、c、d不是成比例线段，本选项不合题意； C. ，，，； ，，， 故a、b、c、d是成比例线段，本选项符合题意；     D. ，，，； ，，， 故a、b、c、d不是成比例线段，本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查比例线段，注意比例线段的顺序性，理解比例线段的定义是解题的关键． 3．（20-21六年级下·山东东营·期末）A、B两地相距，在的地图上，A、B两地的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图上距离=实际距离×比例尺，代入数据计算即可求解． 【详解】解：150km=150000m=15000000cm ∴图上A、B两地的距离=15000000×=15(cm)， 故选：A． 【点睛】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答） 【答案】公里 【分析】此题主要考查了比例线段，掌握比例尺是本题的关键，注意单位的统一． 根据比例尺图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有多少公里． 【详解】解：设国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有x公里，依题意有： ：：， 解得． 答：国家会展中心上海与浦东机场的实际直线距离有公里． 【考点题型二】利用比例的性质求解（） 5．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）若，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质．设，，代入即可求解． 【详解】解：∵，即 ∴设，， ∴． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知，，为的三边，且，，求的三边，，的长． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，代入可求出的值，由此即可得． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， 答：的三边长分别为，，． 7．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知，且，则的值为______． 【答案】12 【分析】本题考查了比例的性质，利用“设法”表示出、、求解更加简便． 设比值为，然后用表示出、、，再代入等式求出的值，即可得解． 【详解】解：设， 则，，， ， ， 解得， ， 故答案为：． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）已知：线段a、b、c，且． (1)求的值． (2)如线段a、b、c满足，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】此题主要考查了成比例线段，熟练掌握比例的基本性质，合比性质，是解题关键． （1）根据合比性质即可得出的值； （2）首先设，则，利用求出k的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点题型三】黄金分割（） 9．（23-24八年级下·山东淄博·期末）主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．如图，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时倍好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 点P是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解． 【详解】解：由题意知，点P是的黄金分割点，且，，则，， ， ． 故选：A． 10．（2021·陕西·模拟预测）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，直接利用黄金分割的定义计算即可．解题的关键是掌握黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割的比值是，即． 【详解】解：∵为的黄金分割点（），的长度为， ∴， ∴， ∴的长度为． 故答案为：． 11．（22-23八年级下·山东威海·期末）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点作的垂线，取的中点，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，再以点为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于，两点，最后，以为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段 ．    【答案】 【分析】根据作图可知，，，设，则，根据勾股定理得，，求出，得出，即可得出结论． 【详解】解：根据作图可知，，， 设，则， 根据勾股定理得，， ， ， 以为圆心，“”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，黄金分割，解的关键是求出． 12．（22-23八年级下·山东东营·期末）某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度与从轮子底部到拉杆顶部的高度之比是黄金比（约等于0.618）．已知，则约是 （结果保留整数）．    【答案】49 【分析】根据题意列出比例式即可解答． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， 故答案为：49． 【点睛】本题考查了黄金分割问题，解题关键是根据题意正确列出比例式． 【考点题型四】相似图形的判定（） 13．（23-24八年级下·山东威海·期末）下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个有角的直角三角形 C．两个正六边形 D．两个正方形 【答案】A 【分析】题主要考查相似形．根据相似形的定义对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A. 两个菱形得各边成比例，但角不一定相等，不一定相似，符合题意； B. 根据有两个角分别相等的两个三角形是相似三角形可知两个有角的直角三角形是相似性，不符合题意； C. 两个正六边形的各边成比例，各角相等，是相似形，不符合题意； D. 两个正方形的各边成比例，各角相等，是相似形，不符合题意； 故选A． 14．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）下面几对图形中，相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定．如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，结合题中选项中所给的两个图形，运用上述的定义进行判定即可． 【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似； C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 15．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的概念，对应角相等，对应边成比例是解题关键．根据多边形相似的条件逐项分析即可． 【详解】解：A、，对应边成比例，且对应角相等，甲和乙相似，符合题意； B、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； C、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； D、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； 故选：A． 【考点题型五】由平行判断成比例线段（） 16．（20-21八年级下·山东东营·期末）如图，在中，点D在BC边上，连接AD，点C在线段AD上，，且交AD于点E，，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质及判定，根据，可得，根据，可得，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 故选项A错误； ∵， ∴，，， ∴ 故选项B错误；C正确， ∵，， ∵，， 故选项D错误； 故选：C． 17．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：， ，，； ∴选项A、C、D正确， 故选：B． 18．（21-22八年级下·山东烟台·期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”进行判断即可． 【详解】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例， ∵BC和AD对应，CE和DF对应，BE和AF对应， ∴，， 故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，确定出对应线段是解题的关键． 【考点题型六】由平行截线求相关线段的长或比值（） 19．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，已知，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，属于基础题，熟练掌握平行线成比例定理是解答本题的关键．直接利用平行线分线段成比例定理得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】解：∵，两条直线与这三条平行线分别交于点和， ， 又， ， 故选：D． 20．（21-22八年级下·山东烟台·期末）如下图，，若，则的长度是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 21．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质．先根据平行线性质和中点性质证明，再证明，从而可得答案． 【详解】解：如图，设与的交点为H， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，平行线分线段成比例定理，先由三线合一定理得到，再由平行线分线段成比例定理得到，，同理得到，则，则，据此可得答案． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，， ， ， ，即． 解得，． 【考点题型七】选择或补充条件使两个三角形相似（） 23．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，中，点是边上一点，下列条件中，能判定与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判定即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， 又∵， ∴，符合题意； 、∵，， ∴，符合题意； 、∵，， ∴， 又∵， ∴，符合题意； 、∵， ∴， ∵和不一定相等， ∴不能判定与相似，该选项不合题意； 故选：． 24．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）如图，点在的边上，添加一个条件可判定，其中添加不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：∵在和中，， ∴当时，满足两组角对应相等，可判断，故A不符合题意； 当时，满足两组角对应相等，可判断，故B不符合题意； 当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C不符合题意； 当时，不能判断，故D符合题意； 故选：D． 25．（21-22八年级下·山东济南·期末）如图，点为的边上的一点，添加 ，可以使与相似． 【答案】∠APC=∠ACB或∠ACP=∠B或 【分析】根据相似三角形的判定方法探究即可． 【详解】解∶∵∠A=∠A， ∴当添加∠APC=∠ACB时，根据“两角对应相等的两个三角形相似”可以使得△ABC与△APC相似． 当添加∠ACP=∠B时，根据“两角对应相等的两个三角形相似”可以使得△ABC与△APC相似． 当添加时，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”可以使得△ABC与△APC相似． 故答案为∶∠APC=∠ACB或∠ACP=∠B或. 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 26．（20-21八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点（不与点，重合），请添加一个条件后，使，则添加的这个条件可以是 （只添加一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两三角形相似，添加条件即可． 【详解】解：添加条件是：， 理由是：，， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了对相似三角形的判定定理的应用，本题是一道比较好的题目，答案不唯一，主要考查了学生对相似三角形的判定定理的运用能力． 【考点题型八】证明两个三角形相似（） 27．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，在等腰直角中，点，点分别为，上的点，连接，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，先根据等腰直角三角形的性质可得，再根据平角的性质和得出，再根据三角形内角和的性质得出，从而得出，进而可得． 【详解】证明：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 28．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定． （1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，由相似三角形的判定得证； （2）根据，，求出，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴； （2）结论：． 证明∵， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴ 29．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 30．（23-24九年级上·山东聊城·期末）已知是等腰三角形，过底边的中点作，垂足为，并延长到，使得，连接． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判定与性质，根据是等腰三角形，点是底边的中点得，，利用证明，得，，根据得，则，即可得，根据，得，根据可得，即可得；掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：∵是等腰三角形，点是底边的中点， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵ ∴， ∴． 【考点题型九】利用相似三角形的性质求解（） 31．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，已知，且相似比为，若，则下列线段长度能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键，由相似三角形的性质得出，再由相似比为，且，即可得解． 【详解】∵∽ 相似比为，， ， 线段长度能确定， 故选：． 32．（17-18九年级上·山东济宁·期末）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵， 和分别是和的高，，， 其相似比为， 与的面积的比为． 故选：A． 33．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）若，的周长是6，面积是4，的周长是9，则的面积是 ． 【答案】9 【分析】先根据相似三角形的性质求出其相似比，再根据面积的比等于相似比的平方进行解答即可． 【详解】解：，的周长为6，的周长为9， 三角形的相似比是， 与的面积之比为． 的面积， 故答案为：9． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 34．（22-23八年级下·山东淄博·期末）如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．    (1)请判定的形状，并说明理由； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据相似三角形的性质得出，然后根据邻补角得出，进而即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， （2）解：∵是等边三角形， 设等边三角形的边长为， ∵， ∴，又∵，， ∴， 解得：（负值舍去）， 如图所示，过点，作于点，    ∴， ∴， ∴的面积为 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 35．（21-22八年级下·山东泰安·期末）如图，已知的顶点E在的边BC上，DE与AB相交于点F，，． (1)若，求AE； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据，，证明，然后根据相似三角形对应边成比例得到，即可得到结论； （2）首先由，得到，然后进一步证明，根据相似三角形对应边成比例和对应角相等得到，，然后根据两角对应相等证明，得到，然后根据线段之间的转化即可证明出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定方法．相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的判定方法：①两组角对应相等的两个三角形相似；②两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三组边对应成比例的两个三角形相似． 【考点题型十】相似三角形的实际应用（） 36．（23-24八年级下·山东烟台·期末）操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子（）落在水平地面上，另一部分影子（）落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点D作于点E，根据题意，，得到矩形,继而得到，根据同一时刻，物高与影长成正比，建立等式计算即可． 本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的应用，熟练掌握解矩形的应用是解题的关键． 【详解】过点D作于点E，根据题意，得， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， 根据同一时刻，物高与影长成正比， ∴即， 解得， ∴． 故选C． 37．（2024·四川成都·二模）如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴，即， 解得， 即河宽为， 故选：D． 38．（2023·甘肃兰州·一模）四分仪是一种十分古老的测量仪器。其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据题意得出，代入数据即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为． ∴ 解得：， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 39．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为 ． 【答案】12.8 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算是解题的关键．先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算即可． 【详解】解：依据题意，得， ，， ， ， ， ， 即， ， 教学楼的高度为． 故答案为：12.8． 40．（23-24九年级上·广西桂林·期中）如图，有一块三角形余料ABC，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为 cm． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，的长，即可得出答案． 【详解】矩形中，，， ∴， ， ， ∵， ， ， ∵矩形零件的长与宽的比为， 设，，则，， ， 解得：， ，， 矩形的周长为：． 故答案为：． 41．（23-24八年级下·山东威海·期末）图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度的示意图．如图II，在C处放置一根高度为且与地平线垂直的竹竿，点A，I，D在同一直线上，测得为．将竹竿平移至E处，点A，G，F在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 【答案】大拇指的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 分别证明、可得、，进而得到可得；最后将代入求得的值即可解答． 【详解】解：由题意可得：， ∴． ∴． 由题意可得：， ∴． ∴． ∵， ∴， 即，解得：． 将代入， 得，解得． ∴大拇指的高度为． 42．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，和的交点为M． (1)若，，求点M离地面的高度； (2)若，，，请判断a，b，l三者之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用． （1）根据题意得到，，证明，，分别得到①，②，两式相加，即可得出结果； （2）同理（1）解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴① ∵， ， ∴ ∴② ∴①②得，， ∴解得； （2）解：∵， ， ∴① ∵， ， ∴ ∴②， ∴①②得， ∴． 【考点题型十一】位似图形的识别（） 43．（23-24八年级下·山东泰安·期末）下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查位似图形，根据“两个相似图形的对应点的连线相交于一点，而且对应边互相平行或位于同一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，”进行判断即可． 【详解】解：图①对应点的连线相交于点A，对应边，对应边与在同一条直线上，与在同一条直线上，是位似图形； 图②，对应边，，对应边和在同一条直线上，对应点的连线交于一点（的延长线于的交点），是位似图形； 图③，对应点的连线交于点O，对应边，，，是位似图形； 图④，对应点法连线交于点O，对应边，，，是位似图形， 故选：A． 44．（2022·宁夏·中考真题）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（   ）    A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 【答案】D 【分析】根据位似的定义，即可解决问题． 【详解】根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似． 故选：D． 【点睛】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似的定义． 45．（22-23八年级下·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】B 【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得． 【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意； B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意； C、①和④是位似图形，则此项不符合题意； D、②和④是位似图形，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键． 【考点题型十二】利用位似的性质求解（） 46．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，与位似，位似中心是点O，若，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，，进而得出，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解∶∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即与的面积比是， 故选∶C． 47．（22-23八年级下·山东泰安·期末）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到．以下说法中错误的是（　　）    A． B．点、、三点在同一直线上 C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ，点、、三点在同一直线上，，， 选项A、B、C说法正确，不符合题意； ， ， ， ，故选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形． 48．（2024·四川成都·二模）如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，若的面积是3，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到， ，得到，根据相似三角形的性质求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：， ， 与位似， ，， ， ， ， 的面积是3， 的面积是12， 故答案为：12． 【考点题型十三】求位似图形对应点的坐标（） 49．（21-22八年级下·山东威海·期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为，点E 的横坐标为，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，进而证明，根据相似三角形的性质求出，得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，点E 的横坐标为， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，， ∴点P的坐标为， 故选：B． 50．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行． 先证明，再根据相似三角形的性质得，则，然后写出点坐标． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故选B． 51．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心，位似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是 ．    【答案】或 【分析】本题考查了利用位似求对应点的坐标．利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以或，求出结果即可． 【详解】解：点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， 则点A的对应点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 52．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，的顶点坐标为，，，与是以点P为位似中心的位似图形，点，，都在格点上． (1)在图中画出点P，并写出点P的坐标； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为，并写出点A的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析，点P的坐标为． (2)见解析，点的坐标为 【分析】本题主要考查了位似变换作图，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）连接与，交点即为点P； （2）根据相似比画出图形即可得到答案． 【详解】（1）解：点P的位置如图所示． 点P的坐标为； （2）解：如图所示． 点的坐标为． ． 【考点题型十四】坐标系中画位似图形（） 53．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大到原来的倍后得到，其中、在图中格点上，点、的对应点分别为、． (1)在第一象限内画出，并直接写出点、的坐标； (2)若线段上有一点，请写出点在上的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析，，； (2)． 【分析】本题主要考查了位似变换，和位似图形的性质．解决本题的关键是根据位似比作出图形，再根据位似比得到对应点的坐标． （1）根据位似比为，延长到，使，延长到，使，连接，得到即为所求； （2）根据位似比为，可知对应点的坐标也要扩大倍，从而得到点的坐标． 【详解】（1）解：如下图所示： 延长到，使，延长到，使， 连接，得到， 即为所求，，； （2）解：点在线段上， 点在线段上的对应点的坐标为：． 54．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧画，使它与的相似比为； (2)的面积为__________； (3)若点为内一点，则点M的对应点的坐标为__________． 【答案】(1)图见解析 (2)14 (3) 【分析】本题考查作图−位似变换、位似图形的性质、在网格中求三角形的面积，（1）根据题意可得，，，，再依次连接即可； （2）利用分割法求三角形面积即可； （3）利用位似图形的性质求点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ∵，，，它与的相似比为， ∴，，， 依次连接点、、即可； （2）解：由图可得，， 故答案为：14； （3）解：∵为内一点， ∴点M的对应点的坐标为， 故答案为：． 55．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，已知点O是坐标原点，小方格的边长为1，A，B，C都在格点上，边与y轴交于点M． (1)以点M为位似中心，在x轴的上方将放大到原图的2倍，（即新图与原图的相似比为2），画出对应的（顶点用实心黑点标记一下）； (2)直接写出四边形的面积：__________． 【答案】(1)见解析 (2)33 【分析】本题考查基本作图-位似变换，熟练掌握位似变换的性质，正确作出图形 是解答的关键． （1）根据位似变换的性质，找到对应点，然后顺次连接即可； （2）利用割补法求解面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：四边形的面积为 ． 故答案为：33． 56．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知， 在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点 P 为位似中心的位似图形． (1)请写出点P的坐标是 ． (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出 的位似图形，使相似比为； (3)若点为 内一点，则点M在内的对应点的坐标为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查位似变换，（1）利用位似图形的性质得到位似中心的位置即可求解； （2）根据点O为位似中心，相似比为作图即可； （3）利用位似图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接、、，并延长相交于点P， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由题意得，点M在内的对应点的坐标为， 故答案为：． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 图形的相似 （5个考点梳理+14种题型解读+提升训练） 清单01 比例线段及有关性质 1.两条线段的比 定义：如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项.（两条线段长度的比叫做这两条线段的比） 【易错点】 1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数； 2）求两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； 3）线段的比，最终要化成最简整数比. 2.比例线段 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即，那么线段b叫做线段a，c的比例中项. 3.比例的基本性质： 1）基本性质： 2）推论： 黄金分割：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 【补充】 1)黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2)，0.618又被称为黄金分割数； 4.平行线分线段成比例 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 1）示例：如图，所得的对应线段成比例的有等等. 2）对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例． 如图，若DE∥BC，则有 清单02 相似多边形 1.相似图形：把形状相同的图形叫做相似形. 2.相似多边形及、性质与判定 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 清单03 相似三角形 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 相似三角形的判定方法： 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 清单04 利用相似三角形解决实际问题 清单05 位似图形 1.位似图形 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 2.位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 3.画位似图形 位似变换：利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫做位似变换. 【补充】位似与平移、轴对称、旋转一样，是图形的变换方式，但位似可以改变图形的位置和大小，平移、轴对称、旋转只能改变图的位置，即位似是图形的相似变换，而平移、轴对称、旋转是图形的全等变换. 4.位似变换的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 【考点题型一】比例线段与成比例线段（） 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）下列四组线段中，是成比例线段的共有 组． ①1.5，4，1.2，5；②2，4，6，8；③5，6，15，18；④0.5，3，2，10． 2．（22-23八年级下·山东烟台·期中）下列线段a、b、c、d是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．（20-21六年级下·山东东营·期末）A、B两地相距，在的地图上，A、B两地的距离是（    ） A． B． C． D． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）国家会展中心（上海）坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有公里，总建筑面积万平方米，地上建筑面积万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体小明在地图上量得国家会展中心（上海）距离虹桥机场的直线距离为厘米，而量得国家会展中心（上海）与浦东机场的直线距离为厘米，那么国家会展中心（上海）与浦东机场的实际直线距离有多少公里？（运用比例解答） 【考点题型二】利用比例的性质求解（） 5．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）若，则代数式的值是 ． 6．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知，，为的三边，且，，求的三边，，的长． 7．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知，且，则的值为______． 8．（2024九年级上·全国·专题练习）已知：线段a、b、c，且． (1)求的值． (2)如线段a、b、c满足，求的值． 【考点题型三】黄金分割（） 9．（23-24八年级下·山东淄博·期末）主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．如图，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时倍好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 10．（2021·陕西·模拟预测）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（结果保留根号） 11．（22-23八年级下·山东威海·期末）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点作的垂线，取的中点，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，再以点为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于，两点，最后，以为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段 ．    12．（22-23八年级下·山东东营·期末）某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度与从轮子底部到拉杆顶部的高度之比是黄金比（约等于0.618）．已知，则约是 （结果保留整数）．    【考点题型四】相似图形的判定（） 13．（23-24八年级下·山东威海·期末）下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个有角的直角三角形 C．两个正六边形 D．两个正方形 14．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）下面几对图形中，相似的是（   ） A．B．C． D． 15．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【考点题型五】由平行判断成比例线段（） 16．（20-21八年级下·山东东营·期末）如图，在中，点D在BC边上，连接AD，点C在线段AD上，，且交AD于点E，，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（21-22八年级下·山东烟台·期末）如图，已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】由平行截线求相关线段的长或比值（） 19．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，已知，则的值为（   ）    A． B． C． D． 20．（21-22八年级下·山东烟台·期末）如下图，，若，则的长度是（   ） A．6 B． C． D． 21．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值． 22．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 【考点题型七】选择或补充条件使两个三角形相似（） 23．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，中，点是边上一点，下列条件中，能判定与相似的是（　　） A． B． C． D． 24．（23-24八年级下·山东东营·阶段练习）如图，点在的边上，添加一个条件可判定，其中添加不正确的是(    ) A． B． C． D． 25．（21-22八年级下·山东济南·期末）如图，点为的边上的一点，添加 ，可以使与相似． 26．（20-21八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点（不与点，重合），请添加一个条件后，使，则添加的这个条件可以是 （只添加一个条件）． 【考点题型八】证明两个三角形相似（） 27．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）如图，在等腰直角中，点，点分别为，上的点，连接，，且，求证：． 28．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 29．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 30．（23-24九年级上·山东聊城·期末）已知是等腰三角形，过底边的中点作，垂足为，并延长到，使得，连接． 求证：． 【考点题型九】利用相似三角形的性质求解（） 31．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，已知，且相似比为，若，则下列线段长度能确定的是（    ） A． B． C． D． 32．（17-18九年级上·山东济宁·期末）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（   ） A． B． C． D． 33．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）若，的周长是6，面积是4，的周长是9，则的面积是 ． 34．（22-23八年级下·山东淄博·期末）如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．    (1)请判定的形状，并说明理由； (2)若，，求的面积． 35．（21-22八年级下·山东泰安·期末）如图，已知的顶点E在的边BC上，DE与AB相交于点F，，． (1)若，求AE； (2)求证：． 【考点题型十】相似三角形的实际应用（） 36．（23-24八年级下·山东烟台·期末）操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子（）落在水平地面上，另一部分影子（）落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（    ） A． B． C． D． 37．（2024·四川成都·二模）如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（    ） A． B． C． D． 38．（2023·甘肃兰州·一模）四分仪是一种十分古老的测量仪器。其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 39．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图所示，小军用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为 ． 40．（23-24九年级上·广西桂林·期中）如图，有一块三角形余料ABC，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为 cm． 41．（23-24八年级下·山东威海·期末）图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度的示意图．如图II，在C处放置一根高度为且与地平线垂直的竹竿，点A，I，D在同一直线上，测得为．将竹竿平移至E处，点A，G，F在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 42．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，和的交点为M． (1)若，，求点M离地面的高度； (2)若，，，请判断a，b，l三者之间的关系，并说明理由． 【考点题型十一】位似图形的识别（） 43．（23-24八年级下·山东泰安·期末）下图所示的四种画法中，能使得与是位似图形的有（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④ 44．（2022·宁夏·中考真题）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（   ）    A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似 45．（22-23八年级下·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【考点题型十二】利用位似的性质求解（） 46．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，与位似，位似中心是点O，若，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 47．（22-23八年级下·山东泰安·期末）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到．以下说法中错误的是（　　）    A． B．点、、三点在同一直线上 C． D． 48．（2024·四川成都·二模）如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，若的面积是3，则的面积是 ． 【考点题型十三】求位似图形对应点的坐标（） 49．（21-22八年级下·山东威海·期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为，点E 的横坐标为，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 50．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 51．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心，位似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是 ．    52．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，的顶点坐标为，，，与是以点P为位似中心的位似图形，点，，都在格点上． (1)在图中画出点P，并写出点P的坐标； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与位似的，使它与的相似比为，并写出点A的对应点的坐标． 【考点题型十四】坐标系中画位似图形（） 53．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大到原来的倍后得到，其中、在图中格点上，点、的对应点分别为、． (1)在第一象限内画出，并直接写出点、的坐标； (2)若线段上有一点，请写出点在上的对应点的坐标． 54．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，． (1)以点O为位似中心，在y轴右侧画，使它与的相似比为； (2)的面积为__________； (3)若点为内一点，则点M的对应点的坐标为__________． 55．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，已知点O是坐标原点，小方格的边长为1，A，B，C都在格点上，边与y轴交于点M． (1)以点M为位似中心，在x轴的上方将放大到原图的2倍，（即新图与原图的相似比为2），画出对应的（顶点用实心黑点标记一下）； (2)直接写出四边形的面积：__________． 56．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知， 在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点 P 为位似中心的位似图形． (1)请写出点P的坐标是 ． (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出 的位似图形，使相似比为； (3)若点为 内一点，则点M在内的对应点的坐标为 ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$