专题03一元二次方程（期末复习知识清单）八年级数学下学期鲁教版五四制

专题03 一元二次方程（5知识&11题型&2易错&1方法清单） 【清单01】一元二次方程的概念 【清单02】一元二次方程的解法 开平方法 因式分解法 把一元二次方程分解成两个一次因式积等于零的形式，分别令两个一次因式为零求解 配方法 ①移项；②二次项系数化1；③方程两边都加上一次项系数一半的平方； ④左边配成完全平方式；⑤开平方解方程 公式法 ①化成一般式；②计算判别式；③套公式 【清单03】一元二次方程的判别式 【清单04】二次三项式的因式分解 步骤： 【清单05】一元二次方程的应用题 一般步骤： 【题型一】识别一元二次方程 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）下列式子中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、不是等式，不是方程，故此选项错误； B、当时，是一元二次方程，故此选项错误； C、是一元二次方程，故此选项正确； D、是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：C． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）下列式子中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，不是等式，不是一元二次方程，故A不符合题意； B、当时不是一元二次方程，故B不符合题意； C、，是一元二次方程，故C符合题意； D、，是一元一次方程，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】若一元二次方程的二次项系数是3，则常数项是（） A．5 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式知识点，解题的关键是将给定方程化为一元二次方程的一般形式． 先把方程化为一般形式，再根据一般形式确定常数项． 【详解】一元二次方程的一般形式是，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 将方程移项化为一般形式为， 常数项是2． 故选：C． 【题型三】解一元二次方程 【例3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．首先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：B． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）一元二次方程用配方法解可变形为（） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解本题的关键．根据一元二次方程完全平方公式配方，即可得出选项． 【详解】∵， ， ， 故选：B． 【变式3-2】将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选A． 【变式3-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）用配方法解方程：． 【答案】， 【难度】0.94 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配成完全平方式（）的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：两边都加，得： ， 即， 两边开平方，得：， 即或 解得：，． 【变式3-4】（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知点与关于原点对称，求的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知两点关于原点对称求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解一元二次方程，代数式的值，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数可得，，解方程可得的值，再代入代数式计算即可求解，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴，， ∴，， 解得，， ∴． 【例4】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）解方程：． 【答案】，． 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 则或， 解得：，． 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程： （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，得，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴． 【变式4-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）解方程：． 【答案】， 【难度】0.94 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 【变式4-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）解方程：． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，先运用平方差公式将左边的式子因式分解，再移项、提取公因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴或， ∴，． 【题型四】根据一元二次方程的定义求参数 【例5】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得， 故答案为： 【变式5-1】若关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值只能是　　 A．1 B．1， C． D．以上都不对 【分析】把代入原方程，求出的值，再根据一元二次方程的定义得出，即可解答． 【解答】解：把代入得：， 解得：，， 是一元二次方程， ， 解得：， ， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握一元二次方程的定义是关键． 【变式5-2】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 　 　． 【分析】根据一元二次方程的定义，二次根式的性质，解一元一次不等式求解集，即可求解． 【解答】解：根据题意得，，且， 且， 且． 故答案为：且． 【点评】本题主要考查根据一元二次方程的定义，二次根式的性质求参数，掌握一元二次方程的定义，二次根式的性质，解一元一次不等式是解题的关键． 【题型五】根据一元二次方程的根求参数 【例6】（24-25九年级上·陕西安康·期末）若关于的一元二次方程有一个根为1，则实数的值为 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】由一元二次方程的解求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元一次方程的求解，将代入方程得关于k的方程，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为1， 故将代入，得， 解得：． 故答案为：1． 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若为一元二次方程的一个解，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解．将代入原方程，然后解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得， 故选B． 【变式6-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由一元二次方程的解求参数、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由关于的一元二次方程的一个根是，得，然后求出的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， 解得：， 故选：． 【变式6-3】（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知方程的一个根是，则m的值为（   ） A． B．2 C．7 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把方程已知的根代入方程中，即可求得m的值． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴， ∴， 故选D． 【变式6-4】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）若m是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】8 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根．熟练掌握一元二次方程根的定义，分解因式，整体代入法求代数式的值，是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的定义得到 ，得到，化为，代入计算即得． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 【题型六】已知方程的根列满足条件的一元二次方程 【例7】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）任意写出两个根分别是和2的关于x的一元二次方程，你写的是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、一元二次方程的定义 【分析】此题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程，即为一元二次方程，据此进行作答即可． 【详解】解：∵两个根分别是和2的关于x的一元二次方程， ∴， 故答案为：（答案不唯一） 【变式7-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使它的一个解为： ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的概念“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程”是解题关键．先确定方程的左边分解因式后，含有因式，再根据一元二次方程的定义求解即可得． 【详解】解：由题意，写出一个符合条件的一元二次方程为，即， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型七】判断一元二次方程根的情况 【例8】（24-25九年级上·陕西安康·期末）一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 即该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【变式8-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知关于x的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根． 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 证明判别式的值大于等于0即可． 【详解】证明：∵， ∴该方程总有两个实数根． 【例9】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式、一次不等式的解法及一元二次方程的定义．熟练掌握相关知识是解答本题的关键．由于关于的一元二次方程有实数根，计算根的判别式，得关于的不等式，求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 则且． 解得且． 故选：D． 【变式9-1】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；根据题意可得，且，计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：且， 故选：A． 【变式9-2】（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：①二次项系数不为零，②在有个实数根下必须满足，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， 故选：D． 【变式9-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的一元二次方程无实数根，求整数的最大值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程的根的判别式求出k的取值范围，由此即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， ∴整数的最大值为． 【题型八】利用根与系数的关系求代数式的值 【例10】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．7 B．4 C．9 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，再代入即得答案． 【详解】解：根据题意，得，， ． 故选：A． 【变式10-1】已知方程的两根是，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 先利用根根与系数的关系得，，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：． 【变式10-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知一矩形的长和宽分别是一元二次方程的两个根，则这个矩形的周长为 ． 【答案】20 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查根与系数的关系，先根据一元二次方程根与系数的关系得出矩形的长与宽的和，从而得出答案． 【详解】解：∵一个矩形的长和宽是一元二次方程的两个根， ∴矩形的长与宽的和为10， 则矩形的周长为20， 故答案为：20． 【题型九】一元二次方程的应用——增长率问题 【例11】（24-25九年级上·陕西安康·期末）智慧养老，让老年人享受数字经济红利．近年来，智慧养老成为老龄事业与产业发展的方向之一．某养老服务机构9月份为800名老人提供服务，11月份为1352名老人提供服务，若该机构10、11月服务老人人数的月平均增长率相同，求该机构10、11月份服务老人人数的月平均增长率． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，设该机构10、11月份服务老人人数的月平均增长率为x，根据等量关系正确列方程求解即可． 【详解】解：设该机构10、11月份服务老人人数的月平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该机构10、11月份服务老人人数的月平均增长率为． 【变式11-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）某些治疗特殊疾病的药物经过纳入医保目录后，由“天价药”变成了“平价药”，如某种药品的原价格为200元，在经过连续两次降价后，现价格为98元，求这种药品平均每次降价的百分率． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是找出题目中的等量关系． 设该种药品平均每场降价的百分率为，根据原价为200元可以表示出两次降价后的价格，结合现在仅卖98元／瓶，列出关于的方程，通过解方程即可得到降价的百分率． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为． 依题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次降价的百分率为． 【变式11-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）宝鸡辣椒身条细长、皱纹均匀、肉质丰厚、色泽红亮、辣味佳美，在国内外市场，被誉为“椒中之王”．某辣椒种植基地2022年的单位面积产椒量为50千克，因为改进了种植技术，单位面积产椒量逐年增加，到2024年该基地的单位面积产椒量达到了72千克．请你计算该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为， 由题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率为． 【变式11-3】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）年某市政府投资了万元用于建设绿道免费公共自行车租赁系统，之后逐年增加投资，用于建设新站点，配置公共自行车，年投资了万元，求年到年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率． 【答案】年到年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率为． 【难度】0.85 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设年到年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设年到年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率为， 依题意得：，即， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：年到年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率为． 【变式11-4】（24-25九年级上·陕西延安·期末）某公司今年6月份的生产成本是500万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到8月份的生产成本是320万元． (1)求每个月生产成本下降的百分率； (2)该公司9月份的生产成本是否会超过260万元？请说明理由． 【答案】(1) (2)不会，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（增长率问题），有理数四则混合运算的实际应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设每个月生产成本的下降率为，根据题意，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的值即可； （2）求出该公司9月份的生产成本（预测值），再进行比较即可． 【详解】（1）解：设每个月生产成本的下降率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，故舍去）， 每个月生产成本下降的百分率为； （2）解：该公司9月份的生产成本不会超过260万元，理由如下： 预测9月份的生产成本为： （万元）， ， 该公司9月份的生产成本不会超过260万元， 答：该公司9月份的生产成本不会超过260万元． 【题型十】一元二次方程应用——降价销售问题 【例12】（24-25九年级上·陕西西安·期末）随着气温的降低，某商场销售一批电热毯，已知平均每天可售出30个，且每个盈利50元．经调查发现，若该电热毯的售价每降1元，商场平均每天可多售出2个．元旦期间，商场决定开启降价促销活动，为了最快时间将该电热毯的库存清空，请问商场应降价多少元，才能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元? 【答案】商场应降价20元，能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每个电热毯降价x元时，才能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元，根据“平均每天可售出30个，且每个盈利50元．经调查发现，若该电热毯的售价每降1元，商场平均每天可多售出2个”，列出一元二次方程，解方程再根据最快时间将该电热毯的库存清空，即可得出答案． 【详解】解：设每个电热毯降价元时，利润能达到2100元， 由题意可列方程为， 整理方程得， 解得，， ∵需要尽快清空库存， ∴取较大值20， 答：商场应降价20元，能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元． 【变式12-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）某服装店销售一款大衣，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，该服装店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件大衣． (1)若降价7元，则平均每天销售大衣的数量为________件； (2)为尽快减少库存，要使该服装店每天销售这款大衣的利润为1200元，每件大衣应降价多少元？ 【答案】(1)34 (2)每件大衣应降价20元 【难度】0.85 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据在每天销售20件的基础上销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件进行求解即可； （2）设每件商品应降价元，则每天的销售量为件，再根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，若降价7元，则平均每天销售数量为（件）， 故答案为：34； （2）解：设每件大衣应降价元， 由题意得，， 整理，得， 解得，， 要尽快减少库存， ， 答：每件大衣应降价20元． 【变式12-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱．一商场以20元每个的进价购进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出200个．经过市场调查发现，价格每涨1元，每周就少卖5个． (1)若商场计划一周的利润达到3000元，且要以更优惠的价格让利给消费者，销售价应定为多少元？ (2)商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格的基础上，销售量稳步上涨，两周后销售量达到了每周216个，求这两周的平均增长率． 【答案】(1)销售价应定为40元 (2)这两周的平均增长率为 【难度】0.65 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设销售价应定为元，则每个利润为元，每周销售量为个，根据商场计划一周的利润达到3000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设这两周的平均增长率为，根据两周后销售量达到了216个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设销售价应定为元，则每个利润为元，每周销售量为个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：销售价应定为40元； （2）解：由（1）可知，当售价为40元时，每周销售量为150个， 设这两周的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为． 【题型十一】一元二次方程应用——几何图形上的动点运动问题 【例13】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点、同时从、两点出发，分别沿，方向匀速运动到终点，其速度都为．若要使的面积为面积的一半，则需要运动（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． 设运动的时间为，表示出相关线段的长度，根据面积列出方程求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，根据题意得， ， ∴， 解得或， 当点到达终点时，所需时间为， 当点到达终点时，所需时间为， ∴取， 故选：A． 【变式13-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，另一动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，点同时出发，当有一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为，那么经过多长时间，的面积为？ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据的面积为列方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， ， ， 整理，得 解得， ，则， ， 经过，的面积为． 【变式13-2】如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)； (2)或时，的面积为 【难度】0.65 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、列代数式 【分析】此题主要考查了动点问题，一元二次方程的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或时，的面积为． 【变式13-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，．动点P，Q分别从A，C同时出发，点以秒的速度向点移动，点以秒的速度向点移动，当点到达点时，两动点同时停止运动．    (1)两动点经过几秒时，四边形的面积是矩形面积的？ (2)连接，两动点经过几秒，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】(1)两动点经过秒时，使得四边形的面积是矩形面积的 (2)当两动点经过或或4秒时，使得是以为腰的等腰三角形 【难度】0.65 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解关于动点问题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解． （1）四边形为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间； （3）需要分类讨论：和两种情况，再分别根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：设两动点经过x秒时，使得四边形面积是矩形面积的， 由题意，得， ， 解得：， 两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的； （2）解：设两动点经过秒时，使得是以为腰的等腰三角形， ①当时，， 则， 整理得， 解得； ②当时，如图，过点作于点，   ， 则， 整理得，解得（与点重合，舍去）． 综上所述，当两动点经过或或4秒时，使得是以为腰的等腰三角形． 【题型一】一元二次方程应用——降价销售问题中不会列销售数量与所降价格的关系式而出错 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）随着气温的降低，某商场销售一批电热毯，已知平均每天可售出30个，且每个盈利50元．经调查发现，若该电热毯的售价每降1元，商场平均每天可多售出2个．元旦期间，商场决定开启降价促销活动，为了最快时间将该电热毯的库存清空，请问商场应降价多少元，才能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元? 【答案】商场应降价20元，能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每个电热毯降价x元时，才能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元，根据“平均每天可售出30个，且每个盈利50元．经调查发现，若该电热毯的售价每降1元，商场平均每天可多售出2个”，列出一元二次方程，解方程再根据最快时间将该电热毯的库存清空，即可得出答案． 【详解】解：设每个电热毯降价元时，利润能达到2100元， 由题意可列方程为， 整理方程得， 解得，， ∵需要尽快清空库存， ∴取较大值20， 答：商场应降价20元，能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随在人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从年的万人增加到年的万人． (1)求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率． (2)其网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为元时，月份售出了组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 【答案】(1)； (2)降价元 【难度】0.65 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从年的万人增加到年的万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设设该哑铃组每组应降价m元，由该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，确定销售量与价格之间关系，再根据利润单件利润销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市，这两年参加健身运动人数的年均增长率， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：设该哑铃组每组应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价元， 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的窥度都为米，左右两条纵向道路的察度都为米，中间部分为种植园区．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    (1)若中间种植园区的面积是44800平方米，求道路的宽度； (2)该农户在种植园区种植了草莓，经市场调查，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气情况影响，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓．若该农户预期一个月的总利润为57.2万元，并且想要让利于顾客，每平方米草莓的平均利润应该下调多少元？ 【答案】(1)道路宽度为10米 (2)每平方米草莓平均利润下调48元 【难度】0.65 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 道路宽度为10米； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 【题型二】一元二次方程应用——与图形有关的周长面积问题中易列错矩形的另一条边长 【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）茶文化是中华文化的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．中国传统制茶技艺及其相关习俗曾被列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录．某驻村工作队为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不需要围篱笆），求这个茶园的长和宽． 【答案】这个茶园的长和宽分别为、． 【难度】0.65 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．设当茶园垂直于墙的一边长为时，则另一边的长度为，根据茶园的面积为，列出方程并解答． 【详解】解：设茶园垂直于墙的一边长为，则另一边的长度为， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，，不符合题意舍去； 当时，，符合题意． 答：这个茶园的长和宽分别为、． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）某农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围两边），并在两边上各开一个宽的门（门不用篱笆围），则养殖场的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】养殖场的面积能为，此时的值为或 【难度】0.65 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的代数式和方程是解题的关键． 设，根据题意表示出，列出方程并解方程即可． 【详解】解：养殖场的面积能为，理由如下：                     设，则，                   由题意得：，                          整理得：，                   解得：或， ∴养殖场的面积能为，此时的值为或． 【题型一】在复杂的几何问题中根据勾股定理列方程解决问题 ·方法：根据勾股定理，在一个直角三角形中，用未知数表示出各边边长，再根据直角边的平方和等于斜边的平方列一元二次方程解决问题。 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接，F为的中点．若线段，那么的长为 ． 【答案】10或14 【难度】0.4 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、公式法解一元二次方程、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】解法一：在对角线上截取，使，连接，分两种情况：点H在点O上方，点H在点O下方，分别画出图形，求出结果即可； 解法二：延长，至点G，使，连接，过点E做于点H，根据中位线的性质求出，然后根据正方形的性质得为等腰直角三角形，设，利用勾股定理表示出，在利用勾股定理及一元二次方程求出，再利用正方形的性质得出，即可解答． 【详解】解：解法一：在对角线上截取，使，连接， 当点H在点O上方时，如图所示： ∵F为的中点． ∴， ∵正方形的边长为， ∴， 在中，， ∴， ∴； 在对角线上截取，使，连接， 当点H在点O下方时，如图所示： ∵F为的中点， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的长为10或14． 解法二：延长，至点G，使，连接， 过点E做于点H， ∴ ∴点A是的中点， ∵F为的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵正方形对角线，相交于点， ∴，， ， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ， 在中 ， ， 即 解得：，， 当时，， 当时，， 在中 ， ， ∴，或（不符合题意，舍去） 或， 综上所述的长为10或14． 故答案为：10或14 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，一元二次方程，等腰直角三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式1-1】（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）在正方形中，点，分别在，上，连接，，，且． (1)【问题探究】 、、的数量关系是__________； (2)【问题探究】 在图1中，若，，，求线段的长． (3)【拓展延伸】 如图2，在四边形中，，，对角线平分，点、分别在、上，且，连接，，，，若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)4 (3)8 【难度】0.4 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、根据正方形的性质求线段长、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、含30度角的直角三角形 【分析】（1）延长至点，使得，连接，先证明，得到，，再证明，得到，再利用线段的和差即可得出结论； （2）根据正方形的性质得到，，由（1）得，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再结合即可得出答案； （3）作交的延长线于点，作于点N，作于点H，延长至点，使得，连接，则，，先证明，得到，，利用直角三角形的性质和勾股定理求出，再证明，得到，，进而得到，接着证明，得到，，进而证出，则有，进而得到，设，分别表示出和，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再结合即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， 由（1）得，， 设，则，， ∴， 在中，， ∴， 解得，， 当时，，，此时，符合题意； 当时，，，此时，不符合题意，舍去； ∴线段的长为4； （3）解：如图2，作交的延长线于点，作于点N，作于点H，延长至点，使得，连接， 则，， ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，， 当时，，，此时，不符合题意，舍去； 当时，，，此时，符合题意； ∴线段的长为8． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，一元二次方程的应用等知识，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程（5知识&11题型&2易错&1方法清单） 【清单01】一元二次方程的概念 【清单02】一元二次方程的解法 开平方法 因式分解法 把一元二次方程分解成两个 等于 的形式，分别令两个一次因式为零求解 配方法 ①移项；②二次项系数化1；③方程两边都加上一次项系数一半的平方； ④左边配成完全平方式；⑤开平方解方程 公式法 ①化成一般式；②计算判别式 ；③套公式 【清单03】一元二次方程的判别式 【清单04】二次三项式的因式分解 步骤： 【清单05】一元二次方程的应用题 一般步骤： 【题型一】识别一元二次方程 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）下列式子中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）下列式子中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若一元二次方程的二次项系数是3，则常数项是（） A．5 B． C．2 D． 【题型三】解一元二次方程 【例3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）一元二次方程用配方法解可变形为（） A． B． C． D． 【变式3-2】将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）用配方法解方程：． 【变式3-4】（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知点与关于原点对称，求的值． 【例4】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）解方程：． 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式4-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）解方程：． 【变式4-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）解方程：． 【题型四】根据一元二次方程的定义求参数 【例5】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【变式5-1】若关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值只能是　　 A．1 B．1， C． D．以上都不对 【变式5-2】若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是 　 　． 【题型五】根据一元二次方程的根求参数 【例6】（24-25九年级上·陕西安康·期末）若关于的一元二次方程有一个根为1，则实数的值为 ． 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若为一元二次方程的一个解，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式6-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D．或 【变式6-3】（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知方程的一个根是，则m的值为（   ） A． B．2 C．7 D． 【变式6-4】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）若m是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【题型六】已知方程的根列满足条件的一元二次方程 【例7】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）任意写出两个根分别是和2的关于x的一元二次方程，你写的是 ．（写出一个即可） 【变式7-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使它的一个解为： ．（写出一个即可） 【题型七】判断一元二次方程根的情况 【例8】（24-25九年级上·陕西安康·期末）一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【变式8-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知关于x的一元二次方程，求证：该方程总有两个实数根． 【例9】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式9-1】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【变式9-2】（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式9-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的一元二次方程无实数根，求整数的最大值． 【题型八】利用根与系数的关系求代数式的值 【例10】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．7 B．4 C．9 D． 【变式10-1】已知方程的两根是，则 ． 【变式10-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知一矩形的长和宽分别是一元二次方程的两个根，则这个矩形的周长为 ． 【题型九】一元二次方程的应用——增长率问题 【例11】（24-25九年级上·陕西安康·期末）智慧养老，让老年人享受数字经济红利．近年来，智慧养老成为老龄事业与产业发展的方向之一．某养老服务机构9月份为800名老人提供服务，11月份为1352名老人提供服务，若该机构10、11月服务老人人数的月平均增长率相同，求该机构10、11月份服务老人人数的月平均增长率． 【变式11-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）某些治疗特殊疾病的药物经过纳入医保目录后，由“天价药”变成了“平价药”，如某种药品的原价格为200元，在经过连续两次降价后，现价格为98元，求这种药品平均每次降价的百分率． 【变式11-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）宝鸡辣椒身条细长、皱纹均匀、肉质丰厚、色泽红亮、辣味佳美，在国内外市场，被誉为“椒中之王”．某辣椒种植基地2022年的单位面积产椒量为50千克，因为改进了种植技术，单位面积产椒量逐年增加，到2024年该基地的单位面积产椒量达到了72千克．请你计算该基地这两年单位面积产椒量的年平均增长率． 【变式11-3】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）年某市政府投资了万元用于建设绿道免费公共自行车租赁系统，之后逐年增加投资，用于建设新站点，配置公共自行车，年投资了万元，求年到年市政府配置公共自行车投资的年平均增长率． 【变式11-4】（24-25九年级上·陕西延安·期末）某公司今年6月份的生产成本是500万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到8月份的生产成本是320万元． (1)求每个月生产成本下降的百分率； (2)该公司9月份的生产成本是否会超过260万元？请说明理由． 【题型十】一元二次方程应用——降价销售问题 【例12】（24-25九年级上·陕西西安·期末）随着气温的降低，某商场销售一批电热毯，已知平均每天可售出30个，且每个盈利50元．经调查发现，若该电热毯的售价每降1元，商场平均每天可多售出2个．元旦期间，商场决定开启降价促销活动，为了最快时间将该电热毯的库存清空，请问商场应降价多少元，才能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元? 【变式12-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）某服装店销售一款大衣，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，该服装店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件大衣． (1)若降价7元，则平均每天销售大衣的数量为________件； (2)为尽快减少库存，要使该服装店每天销售这款大衣的利润为1200元，每件大衣应降价多少元？ 【变式12-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱．一商场以20元每个的进价购进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出200个．经过市场调查发现，价格每涨1元，每周就少卖5个． (1)若商场计划一周的利润达到3000元，且要以更优惠的价格让利给消费者，销售价应定为多少元？ (2)商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格的基础上，销售量稳步上涨，两周后销售量达到了每周216个，求这两周的平均增长率． 【题型十一】一元二次方程应用——几何图形上的动点运动问题 【例13】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点、同时从、两点出发，分别沿，方向匀速运动到终点，其速度都为．若要使的面积为面积的一半，则需要运动（   ） A． B． C．或 D． 【变式13-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，另一动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，点同时出发，当有一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为，那么经过多长时间，的面积为？ 【变式13-2】如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【变式13-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，．动点P，Q分别从A，C同时出发，点以秒的速度向点移动，点以秒的速度向点移动，当点到达点时，两动点同时停止运动．    (1)两动点经过几秒时，四边形的面积是矩形面积的？ (2)连接，两动点经过几秒，是以为腰的等腰三角形？ 【题型一】一元二次方程应用——降价销售问题中不会列销售数量与所降价格的关系式而出错 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）随着气温的降低，某商场销售一批电热毯，已知平均每天可售出30个，且每个盈利50元．经调查发现，若该电热毯的售价每降1元，商场平均每天可多售出2个．元旦期间，商场决定开启降价促销活动，为了最快时间将该电热毯的库存清空，请问商场应降价多少元，才能使销售该电热毯每天的盈利能达到2100元? 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）“我运动，我健康，我快乐！”随在人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从年的万人增加到年的万人． (1)求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率． (2)其网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为元时，月份售出了组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的窥度都为米，左右两条纵向道路的察度都为米，中间部分为种植园区．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    (1)若中间种植园区的面积是44800平方米，求道路的宽度； (2)该农户在种植园区种植了草莓，经市场调查，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气情况影响，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓．若该农户预期一个月的总利润为57.2万元，并且想要让利于顾客，每平方米草莓的平均利润应该下调多少元？ 【题型二】一元二次方程应用——与图形有关的周长面积问题中易列错矩形的另一条边长 【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）茶文化是中华文化的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．中国传统制茶技艺及其相关习俗曾被列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录．某驻村工作队为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不需要围篱笆），求这个茶园的长和宽． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）某农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围两边），并在两边上各开一个宽的门（门不用篱笆围），则养殖场的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【题型一】在复杂的几何问题中根据勾股定理列方程解决问题 ·方法：根据勾股定理，在一个直角三角形中，用未知数表示出各边边长，再根据直角边的平方和等于斜边的平方列一元二次方程解决问题。 【例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接，F为的中点．若线段，那么的长为 ． 【变式1-1】（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）在正方形中，点，分别在，上，连接，，，且． (1)【问题探究】 、、的数量关系是__________； (2)【问题探究】 在图1中，若，，，求线段的长． (3)【拓展延伸】 如图2，在四边形中，，，对角线平分，点、分别在、上，且，连接，，，，若，，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $