6.3.1二项式定理教案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该教案聚焦二项式定理及二项式系数性质，从学生熟悉的(a+b)²、(a+b)³展开式入手，通过“特殊→一般”探究路径结合计数原理推导定理，为后续特定项求解、系数性质学习搭建知识支架。 资料突出知识生成过程，以问题链引导学生经历定理推导，渗透数学抽象与逻辑推理素养，如用杨辉三角归纳系数对称性、通过赋值法证明系数和。题型分类系统，含特定项、整除等应用，提升学生运算与建模能力，为教师提供清晰教学路径，助力学生深化理解。

6.3.1 二项式定理 一、教材分析 教材从学生熟悉的、展开式入手，通过 “特殊→一般” 的探究路径，结合计数原理推导二项式定理，注重知识的生成过程，渗透数学抽象、逻辑推理核心素养，同时为后续特定项求解、系数性质探究奠定理论基础。 二、学情分析 学生已掌握多项式乘法法则、两个计数原理、排列组合的基本概念，对、的展开式有初中基础，具备推导二项式定理的工具性知识。 三、教学目标 1.理解二项式定理的推导过程，掌握二项式定理的表达式、二项式系数、通项公式的概念，能准确写出简单二项式的展开式，区分二项式系数与项的系数。 2.通过从特殊到一般的探究，经历二项式定理的生成过程，体会计数原理在代数定理中的应用，提升逻辑推理、数学抽象素养。 四、教学重点 二项式定理的推导过程、二项式定理的表达式、通项公式; 五、教学难点 理解二项式展开式中项的系数与组合数的内在联系，准确区分二项式系数与项的系数。 六、教学过程 1.【探究规律】 如何研究的展开式呢？ 我们先从简单的开始分析，我们知道： 问题1：的展开式中的每一项是怎样产生的呢？ 问题2：的每一项的次数是多少？每项中与的次数有什么规律？ 问题3：的展开式中的每一项的系数有什么规律？ 由上述分析可以得到 问题4：仿照上述过程，写出和的展开式. 2.【归纳新知】 （1）定义:一般地，对于任意正整数，都有： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． （2）二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0； 字母 升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为； 注意：教学过程中应强调“两个系数”：二项式系数和项的系数的区别 （3）二项展开式的通顶公式: 公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； 教学过程中应强调区分二项式系数与项的系数的区别： 3.【随堂检测】 例1：求的展开式． 例2：（1）求的展开式的第4项的系数与第4项的二项式系数． （2） 的展开式中的系数． 4.【作业布置】 课后练习题1-5 七、课堂小结 1.回顾二项式定理的推导核心：利用计数原理结合组合数归纳规律。 2.梳理二项式定理的表达式、通项公式、二项式系数的概念。 3.强调书写展开式时的注意事项：符号、次数、系数。 八、板书设计 （1）定义:一般地，对于任意正整数，都有： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． （2）二项式的展开式的特点： ①项数：②二项式系数：③次数： （3）二项展开式的通顶公式: 九、教学反思 本节课从学生熟悉的简单二项式展开入手，结合计数原理引导推导，大部分学生能理解定理的生成过程，但部分学生对组合数与系数的关联理解仍不透彻，后续需加强针对性练习。教学中应多给学生自主探究的时间，让学生亲身经历归纳过程，加深对知识的理解，同时强化通项公式的应用训练。 第二课时 一、教材分析 本节课是二项式定理的第一课时应用课，聚焦于利用二项式通项公式求解展开式中的特定项（如常数项、指定次数的项、有理项等），是对二项式定理基础知识的深化与巩固。 二、学情分析 学生已经掌握二项式定理的表达式和通项公式，具备初步的展开式书写能力，但对通项公式的灵活运用能力不足，面对含参数、复杂系数的二项式，难以准确根据题意列方程求解k值； 三、教学目标 1.熟练运用二项式通项公式，求解二项展开式的逆用、求展开式中的特定项、两个二项式积的问题、三项展开式问题； 2.通过例题分析和变式训练，掌握利用通项公式解决问题的思路，提升运算求解和逻辑分析能力。 四、教学重点 利用二项式通项公式求解展开式中的特定项。 五、教学难点 根据题意准确确定k的值，区分二项式系数与项的系数，处理含参数的二项式特定项问题。 六、教学过程 1.复习回顾： 抽查学生默写二项式定理和通项公式，提问：通项公式中的取值范围？的含义？通过快速问答巩固基础知识，为本节课应用做铺垫。 2.题型归纳 （题型一）二项展开式的逆用 类型：将形如的式子还原为 口诀：“首项找a，末项找b，中间看系数，指数和为n” 例1.设是正整数，表达式化简的结果是___________ 例2. 化简下列式子： (1)； (2) ． （题型二）求展开式中的特定项 (1)明确核心思路：求特定项 利用通项 根据条件列方程求 代入通项得特定项 (2)特定项类型：含的项、常数项、含根号的项、系数最大的项等 (3)核心工具：通项公式 (4)解题方法:①写出通项公式 ②根据特定项要求（如含、常数项），列方程确定的值；(常数项：变量指数为0；含项：变量指数等于） ③将代回通项公式，求得特定项 （题型三）两个二项式积的问题 方法归纳：两个二项式乘积的展开式中特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得． 例：的展开式中的系数是__________ （题型四）三项展开式问题 模型：或 核心思路：转化为二项式问题，利用“分组法”或“通项组合” <方法1>：分组转化（二项式） 1.将三项看作“二项”:： 2.先用二项式展开，得到 3.再对展开，合并所有项 <方法2>：通项组合 1.通项为：，其中 2.根据目标指数确定的值，代入计算 例1：　5的展开式中的常数项是________． 例2：　(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________． 反思感悟　三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性． 3.随堂检测 （1）的二项展开式中，常数项为______． （2）若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 （3）已知二项式． ①写出当时的展开式；②写出当时所有的有理项． （4） 在的展开式中，的幂指数是整数的项共有______项。 4.课堂小结 求特定项 利用通项 根据条件列方程求 代入通项得特定项 ； 注意：符号、幂次运算、k的取值范围 5. 布置作业 (1) 在的展开式中，常数项为（    ） A．-4 B．-6 C．6 D．12 (2) 的展开式中，项的系数为（    ） A．1 B．－5 C．6 D． (3) 在的展开式中按的升幂排列的第3项是___________． (4) 在的展开式的中间一项是_______________. 七、板书设计 求特定项 利用通项 根据条件列方程求 代入通项得特定项 八、教学反思 本节课聚焦通项公式的应用，题型分类清晰，学生基本掌握解题步骤，但部分学生在幂次运算和方程求解上仍有失误，尤其是含分数幂的题型，计算能力有待提升。 6.3.2 二项式系数的性质 一、教材分析 本节课是二项式定理的延伸，核心探究二项式系数的三大性质（对称性、增减性与最大值、各二项式系数的和），是组合数性质的具体应用。教材通过杨辉三角引入，引导学生从特殊到一般归纳性质，结合赋值法证明系数和公式，渗透数形结合、函数思想，培养数学归纳、逻辑证明素养。 二、学情分析 对 “二项式系数的增减性与最大值” 的原理理解困难，难以结合组合数公式推导；对赋值法的灵活运用能力不足，无法根据系数和需求选择合适的赋值。 三、教学目标 1.掌握二项式系数的三大性质，能利用赋值法证明系数和公式，运用性质解决系数最大值、系数和问题。 2.通过观察杨辉三角、归纳规律，培养归纳推理能力；通过赋值法证明，体会数学方法的巧妙性，提升逻辑证明素养。 四、教学重点 二项式系数的三大性质，赋值法求二项式系数和。 五、教学难点 理解二项式系数增减性与最大值的推导，灵活运用赋值法解决复杂系数和问题。 六、教学过程 1.导入 回顾二项式定理的内容，写出到的二项式系数，引出杨辉三角，导入新课。 2.探究新知 性质 1：对称性 观察杨辉三角：每行与首末两端等距离的两个数相等，对应组合数性质​ 结论：在的展开式中，与首末两端等距离的两个二项式系数相等。 性质 2：增减性与最大值 提问：杨辉三角中每行的系数是如何变化的？ 推导：比较相邻二项式系数所以，当，即时，随的增加而增大； 结论：当时， 随k的增加而增大；由对称性可知，当时，随k的增加而减小. 当n是偶数时，中间的一项的二项式系数 取得最大值； 当n是奇数时，中间的两项的二项式系数相等，且同时取得最大值. 性质 3： （1）各二项式系数的和： 已知 赋值法证明：令，得. （2）在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 证明：奇数项的二项式系数的和为：； 偶数项的二项式系数的和为： =中， 令a=1,b=-1，得 即 因此 强调：赋值法的核心：令x=1得所有项系数和，令x=−1得奇偶项系数和，根据需求灵活赋值。 3.随堂检测 判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的. ( ) (2)二项展开式的二项式系数和为 . ( ) (3)在 的展开式中，当n 为偶数时，二项展开式中中间一项的系数最大. ( ) (4)在的展开式中，二项式系数具有对称性，所以 ( ) 4.课堂小结 梳理二项式系数的三大性质：对称性、增减性与最大值、系数和; 回顾赋值法的应用技巧：根据系数和需求，对（或）赋特殊值（1,−1,0）; 5.布置作业 （1） 教材第34页练习第1、2、3、4题 （2） 已知，求： （1） ； （2） （3）在的展开式中系数最大的项是第 项． （4）的二项展开式中二项系数最大的项是（   ） A． B． C．和 D．和 （5）展开式中所有项的二项式系数和为（   B  ） A． B． C． D． 七、板书设计 性质 1：对称性​ 在的展开式中，与首末两端等距离的两个二项式系数相等。 性质 2：增减性与最大值 当时， 随k的增加而增大；当时，随k的增加而减小. 当n是偶数时，中间的一项的二项式系数 取得最大值； 当n是奇数时，中间的两项的二项式系数相等，且同时取得最大值. 性质 3： （1）各二项式系数的和： （2）在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 八、教学反思 本节课通过杨辉三角引入，学生对对称性、系数和性质掌握较好，但对增减性的推导理解不深入，部分学生只会记结论不会分析原因。赋值法的应用中，学生对复杂系数和（如绝对值和）的转化思路不清晰。后续需加强推导过程的讲解，增加赋值法的变式训练，让学生不仅知其然，更知其所以然；同时结合函数思想（将二项式系数视为关于k的函数），帮助学生理解增减性的本质。 二项式系数性质的应用（一） 一、教材分析 本节课整合了系数最值、系数和、赋值法等核心知识，解决系数最值、复杂系数和、含参数的系数问题，是对二项式系数性质的深化与巩固。 二、学情分析 面对系数最大值与项的系数最大值的区别、复杂系数和的转化、含参数的系数问题，学生难以选择合适的解题方法，易混淆概念、出现运算错误。 三、教学目标 1.综合运用二项式系数性质、赋值法，解决系数最大值、复杂系数和、含参数的系数问题。 2.通过题型分类、方法总结，掌握系数问题的通用解题思路，提升综合运算、逻辑分析能力。 四、教学重点 系数最大值的求解、赋值法的综合应用。 五、教学难点 区分二项式系数最大值与项的系数最大值，灵活运用赋值法解决复杂系数和问题。 六、教学过程 （题型一）二项展开式中的系数最值问题 求解二项展开式中系数的最值策略 (1)求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解． (2)求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果． 例 (1)在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为(　C　) A．－126 B．－70 C．－56 D．－28 (2)6的展开式中二项式系数最大的项为第___4__项，系数最大的项为___240x－8y2__． （题型二）二项式系数和问题（赋值法） 总结：（1）①求形如展开式各项系数之和：令即可； ②求形如的式子求其展开式各项系数之和:只需令x=y=1即可； （2） 若,则中展开式各项系数之和为 ①奇数项系数之和为 ②偶数项系数之和为 例2 已知. (1)求 (2)求 (3) 七、教学反思 本节课通过题型分类梳理，学生基本掌握了系数问题的解题方法，但部分学生对 “项的系数最大值” 的待定系数法掌握不牢，在列不等式组时容易出错。赋值法的应用中，学生对绝对值和的转化思路不清晰。后续需加强待定系数法的专项训练，增加复杂系数和的变式题，强化学生的转化能力；同时引导学生自主总结解题方法，提升知识迁移能力。 二项式系数性质的应用（二） 一、教材分析 本节课是二项式定理的综合复习与应用课，解决整除性、近似计算、代数式证明、系数综合计算等实际问题，是对整节知识的系统梳理和升华。 二、学情分析 对于整除性、近似计算等实际应用问题，学生难以将其转化为二项式定理的相关问题，缺乏数学建模的意识。 三、教学目标 1.综合运用二项式定理及系数性质，解决整除性证明、近似计算、代数式求值、系数综合计算等问题，提升知识整合能力。 2.通过综合例题分析，掌握不同类型问题的解题思路，培养数学建模、逻辑推理和运算求解能力。 四、教学重点 二项式定理在整除性、近似计算、代数式求值中的综合应用。 五、教学难点 将实际问题转化为二项式定理的数学模型，综合运用多种知识解决复杂问题。 6、 教学过程 （一）整除和余数问题及近似值问题 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了. (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式. (3)(1+a)n的近似计算的处理方法 当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1+a)n≈1+na，因为这时展开式的后面部分a2+a3+…+an很小，所以可以忽略不计，但是使用这个公式时应注意a的条件，以及对精确度的要求.若精确度要求较高，则可使用更精确的近似公式(1+a)n≈1+na+a2等. 例(1)今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 (2)实数1.9965的近似值为　　　　.(精确到0.001)  (3)求证：32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除. 跟踪训练(1)1.026的近似值(精确到0.01)为　　　　.  (2)设a∈Z，且0≤a<13，若512 024+a能被13整除，则a=　　　　.  七、教学反思 本节课整合了整节知识，综合性较强，大部分学生能跟上解题思路，但部分学生对知识的综合运用能力较弱，面对复杂问题仍无从下手。整除性问题的转化思路、多项式乘积的特定项求解是学生的薄弱点，后续需针对性加强专项训练，同时引导学生自主梳理知识、总结解题方法，提升知识迁移和综合应用能力。课堂时间略显紧张，可适当精简例题，给学生更多自主思考和练习的时间。 学科网（北京）股份有限公司 $